精品解析：河南省南阳市镇平县2025-2026学年下学期九年级阶段性练习数学试卷

2026年春期九年级阶段性练习（二） 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图，数轴上点P表示的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数轴，掌握数轴的定义是解题的关键． 根据数轴的定义和特点可知，点P表示的数为，从而求解． 【详解】解：根据题意可知点P表示的数为， 故选：A． 2. 中国古代数学著作《九章算术》中，将两底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.将一个“堑堵”按如图方式摆放，则它的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，解题的关键是熟练运用数形结合思想．从左边观看立体图形即可得到． 【详解】解：从左边观看立体图形可得左视图为直角在左边的直角三角形， 故选：B． 3. 芯片是承载集成电路的硅片，是电子设备的核心，负责运算、存储与控制指令．某芯片的电路宽度约为，则数据用小数表示为（ ） A. B. 0.000008 C. D. 0.0000008 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 4. 如图所示，有一个四边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据量角器的测量角的方法和对顶角性质，可得所测零件的内角的度数． 【详解】由图可知，量角器所量的角的一边指向量角器的  刻度线，另一边指向 刻度线，量的角为，  零件的内角与所量的角是对顶角， ∴所量的零件的内角的度数为 ． 故选：C． 5. 下列不等式中．与组成的不等式组无解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解题的关键．根据此原则对选项一一进行判断即可． 【详解】解：根据题意，可得， A、与组成的不等式组时，此不等式组解集为，不符合题意； B、与组成的不等式组时，此不等式组解集为，不符合题意； C、与组成的不等式组时，此不等式组无解，符合题意； D、与组成的不等式组时，此不等式组解集为，不符合题意； 故选：C 6. 如图，和内接于，与相交于点．已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质得到，根据同弧所对圆周角相等得到，再根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B ． 7. 小明在算一个数的2倍时，误算成了这个数的平方，他发现两个结果的和为8，则这个数为（ ） A. 2 B. 2或4 C. 2或 D. 或4 【答案】C 【解析】 【详解】解：设这个数为， ∵根据题意，这个数的平方与这个数的2倍的和为8， ∴， 整理得，， 因式分解得，， 解得，或， 故选：C． 8. 第十一届全国少数民族传统体育运动会在郑州奥体中心举办期间，某单位得到了两张开幕式的门票，为了弘扬劳动精神，决定从本单位的劳动模范小李、小张、小杨、小王四人中选取两人去参加开幕式，那么同时选中小李和小张的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵从四人中选取两人，所有等可能的结果为：小李和小张、小李和小杨、小李和小王、小张和小杨、小张和小王、小杨和小王，共种等可能的结果， 其中同时选中小李和小张的结果有种， ∴同时选中小李和小张的概率为． 9. 如图，在正方形中，，，，交于点，点为的中点，连接，则的长为（ ） A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】在中，由勾股定理得，证明，推出，从而得到为直角三角形，再利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半求解． 【详解】解：四边形是正方形，，  ，，  ，  ， 在中，由勾股定理得， 在和中， ，  ， ， ， ， ， ，即是直角三角形， 点为的中点， ． 10. 用如图甲所示的装置探究不同物质吸热升温的现象．两个相同试管内分别装有水和食用油，同时放置在红外加热器中，用温度传感器分别测得水和食用油的温度随时间变化图象如图乙所示，下列说法中正确的是（ ） A. 实验中食用油函数图象为正比例函数图象 B. 加热后，水的温度比食用油的温度要高 C. 水吸热升温比食用油快 D. 食用油的温度要升至，需加热 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、食用油函数图象不经过原点，不是正比例函数，原选项不符合题意； B、加热后，水的温度比食用油的温度要低，原选项不符合题意； C、水吸热升温比食用油吸热升温慢，原选项不符合题意； D、设食用油的函数解析式为，函数图象过， ∴， 解得，， ∴食用油的函数解析式为， 当时，， 解得，，即食用油的温度要升至，需加热，原选项符合题意； 故选：D ． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个使在实数范围内有意义的的值：________ 【答案】 2（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：根据题意得：， 解得， ∴（答案不唯一）． 12. 某校为满足学生午餐的多样性，将学生午餐分成了、、三类供学生自主选择．在前期的调研中，从全校2000人中随机抽取了100人进行问卷调查，并将问卷的结果整理后绘制成图．根据该数据，估计全校约有________人会选择类午餐． 【答案】 840 【解析】 【分析】本题考查了样本容量得到C餐的人数，运用样本百分比估算总体数量的计算即可求解． 【详解】解：随机抽取了100人进行问卷调查， ∴C餐的人数为（人）， ∴（人）， 故答案为：840 ． 13. 关于的方程有两个相等的实数根，则的值为________． 【答案】 8 【解析】 【详解】解：一元二次方程 中， ， ，常数项为， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴，即， 解得，． 14. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据勾股定理求出，，，得到，，，推出是等腰直角三角形，，得到，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， 由题意得，，，， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴． 15. 定义：有一个内角的度数为的三角形叫做“折矩三角形”．如图，中，，，，点是直线上任意一点，连接．若为“折矩三角形”，则的长为________． 【答案】3 或 6+3 【解析】 【分析】根据“折矩三角形”的定义可知为“折矩三角形”有两种情形，①当时，此时点在边上；②当时，此时点在的延长线上，讨论求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∵为“折矩三角形”， ∴必有一个角为，分两种情况讨论： ①当时，此时点在边上，如图， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ②当时，此时点在的延长线上，如图， ∴， 在上取一点，使得， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 综上，的长为3或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算与化简： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） 0 （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的乘法法则，零次幂的计算方法，绝对值的化简方法先计算，得到结果再计算加减即可； （2）根据平方差公式，单项式乘以多项式，合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 扫地机器人已经成为新时代人们日常生活的重要助手．为了解扫地机器人在一次充满电后运行的最长时间情况，小明所在的综合实践小组利用周末时间开展调查活动．他们在相关技术人员的帮助下，对，两款扫地机器人分别随机调查了10台，记录了它们运行的最长时间（分钟），并将数据分为四个等级：较差，一般，较好，很好． 收集数据： 款：112 98 96 102 92 108 108 95 100 89 款：102 92 102 99 97 112 101 91 94 110 分析数据： 类别 平均数 中位数 众数 方差 100 108 50.6 100 44.4 解决问题： 根据以上信息，解决下列问题： （1）上表中的________，________，________； （2）某商场购进了一批款扫地机器人600台，请估算这批款扫地机器人运行最长时间等级为“较好及以上”的台数； （3）根据以上统计信息和数据，你认为哪款扫地机器人的运行最长时间更好？请说明理由．（写出一条理由即可） 【答案】（1），， （2）300 （3）B款扫地机器人运行最长时间较好，理由见详解 【解析】 【分析】（1）根据平均数，中位数，众数的计算求解即可； （2）根据样本百分比估算总体数量即可； （3）由中位数，方差作决策即可． 【小问1详解】 解：A款数据从小到大排序为：89   92   95   96   98   100   102   108   108   112， ∴， 根据题意，， B款数据中102出现次数最多， ∴， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：样本中，款扫地机器人运行最长时间等级为“较好及以上”有5台， ∴（台）； 【小问3详解】 解：B款扫地机器人运行最长时间较好，理由如下， B款的中位数大于A款的，B款的方差小于A款的，即B款运行最长时间稳定， B款扫地机器人运行最长时间较好． 18. 小华将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的斜边落在轴上，，直角顶点的坐标为，反比例函数（）的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式． （2）将三角板绕点逆时针旋转，则点的对应点是否会落在此反比例函数图象上？请说明理由． 【答案】（1） （2）点不在反比例函数图象上，理由见详解 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法即可求解； （2）根据题意得到，结合含30度角的直角三角形的性质，正切值的计算得到，根据旋转的性质，等面积法得到，由此即可求解． 【小问1详解】 解：直角顶点的坐标为，反比例函数（）的图象经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：点不在反比例函数图象上，理由如下， ∵， ∴， 如图所示，过点作于点， ∴，则， 同理，， ∵，，， ∴， ∵将三角板绕点逆时针旋转，则点的对应点， ∴，， 过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点不在反比例函数图象上． 19. 如图，在中，，，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作的平分线，交于点，以点为圆心，的长为半径作（保留作图痕迹，不写作法）； （2）请判断与直线的位置关系为________； （3）求（1）中所作的的半径． 【答案】（1）见详解 （2）相切 （3）3 【解析】 【分析】（1）尺规作角平分线即可； （2）如图所示，过点O作于点E，根据角平分线的性质定理得到，结合切线的判定即可求解； （3）根据题意，设，则，在中，由勾股定理列式求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示， ∴即为的平分线； 【小问2详解】 解：与直线的位置关系为相切，理由如下， 如图所示，过点O作于点E， ∵，即，且，平分， ∴， ∵以点为圆心，的长为半径作， ∴是的半径，且， ∴与直线的位置关系为相切； 【小问3详解】 解：∵，，， ∴， ∵，即，且， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴的半径为． 20. 为提升教师教学效率，学校教务处计划购买一批扩音器和翻页笔．已知商场某品牌扩音器的单价比翻页笔的单价多30元，用2400元购买扩音器的数量是用2000元购买翻页笔数量的． （1）求扩音器和翻页笔的单价； （2）学校采购时恰逢该商场“教师节”促销，翻页笔打八折，若购买扩音器和翻页笔共100个，且扩音器数量不少于翻页笔数量的3倍，请问分别购买多少个扩音器和翻页笔，学校花费最少？最小花费多少元？ 【答案】（1）扩音器单价为80元，翻页笔单价为50元 （2）购买75个扩音器，25个翻页笔时学校花费最少，最小花费为7000元 【解析】 【分析】（）设扩音器的单价为元，则翻页笔的单价为元，根据题意列出方程即可求解； （） 设购买扩音器个，花费为元，则购买翻页笔个，由题意可得，即得，又根据题意可得，再根据一次函数的性质解答即可求解； 【小问1详解】 解：设扩音器的单价为元，则翻页笔的单价为元， 又用2400元购买扩音器的数量是用2000元购买翻页笔数量的， ，解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：扩音器单价为80元，翻页笔单价为50元； 【小问2详解】 解：设购买扩音器个，花费为元，则购买翻页笔个， 由题意得，， 解得， 由题意得，， ∵， ∴随增大而增大， ∴当时，有最小值，此时， ， 答：购买扩音器个，购买翻页笔个时，学校花费最少，最小花费为7000元． 21. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上； ②过点E作，并沿方向前进到点F，用皮尺测得的长为4米； ③在点F处用测角仪测得，，； ④用计算器计算得：，，．，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： （1）求线段和的长度： （2）求底座的底面的面积． 【答案】（1）7米；3米 （2）18平方米 【解析】 【分析】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）根据题意得，即可确定长度，再由得出米，即可求解； （2）过点A作于点M，继续利用正切函数确定米，即可求解面积． 【小问1详解】 解：∵，的长为4米，， ∴， ∴米； ∵， ∴米， ∴米； 【小问2详解】 过点A作于点M，如图所示： ∵， ∴， ∵米， ∴米， ∴米， ∴底座的底面的面积为：平方米． 22. 在二次函数中，与的几组对应值如表所示． … 0 1 … … 1 … （1）求二次函数的表达式； （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； （3）直接写出当时，函数的取值范围； （4）将二次函数的图象先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后所得图象与直线相交于A，B两点，请直接写出线段的长． 【答案】（1） （2）顶点坐标，作图见详解 （3） （4）4 【解析】 【分析】（1）根据表格，运用待定系数法求解即可； （2）把二次函数一般式化为顶点式得到顶点坐标，运用五点法作函数图象即可； （3）结合图形写出函数值的取值范围即可； （4）根据二次函数图象的平移规律得到平移后的解析式为，当时，得到对应的自变量的值，结合两点之间距离的计算即可求解． 【小问1详解】 解：把点，点代入二次函数中， ， 解得，， ∴二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴顶点坐标为，对称轴直线为， ∴当时，， 作图如下， 【小问3详解】 解：根据图示，当时，，当时，，当时，， ∴当时，函数的取值范围为； 【小问4详解】 解：∵， ∴将二次函数的图象先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后的解析式为， ∴当时，， 解得，， ∴线段的长为． 23. 在数学课上，老师请同学们思考如下问题：如图①，在中，，，则．小慧同学认真思考后思路如下：取边的中点，连接，证出是等边三角形，从而可以求出． （1）请结合小慧的解题思路，给出完整的证明； （2）如图②，四边形是一张边长为4的正方形纸片，，分别为，的中点，沿过点的折痕将纸片翻折，使点落在上的点处，折痕交于点，试求的度数和的长； （3）若矩形纸片按图③所示的方式折叠，，两点恰好重合于对角线的中点（如图④）．当时，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1）见详解 （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据材料提示方法得到，是等边三角形，再根据等边对等角，三角形外角的性质列式求解即可； （2）根据题意得到四边形是矩形，，，，，根据余弦值的计算得到，，则，则，，在中，，由此即可求解； （3）根据矩形与折叠的性质，结合（1）的计算得到，由此得到，同理得到，可证四边形是平行四边形，由面积公式求解即可． 【小问1详解】 证明：如图所示，取线段的中点D，连接， ∴，，且， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵，分别为，的中点， ∴，且， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵折叠，点落在上的点处，折痕交于点， ∴，，，， 在中，， ∴，则，， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠，，两点恰好重合于对角线的中点， ∴，， ∴，且， 由（1）的计算得到，，则， ∴，， ∴， ∴， 同理，，且， ∴四边形是平行四边形， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春期九年级阶段性练习（二） 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图，数轴上点P表示的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 中国古代数学著作《九章算术》中，将两底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.将一个“堑堵”按如图方式摆放，则它的左视图为（ ） A. B. C. D. 3. 芯片是承载集成电路的硅片，是电子设备的核心，负责运算、存储与控制指令．某芯片的电路宽度约为，则数据用小数表示为（ ） A. B. 0.000008 C. D. 0.0000008 4. 如图所示，有一个四边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列不等式中．与组成的不等式组无解的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，和内接于，与相交于点．已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 小明在算一个数的2倍时，误算成了这个数的平方，他发现两个结果的和为8，则这个数为（ ） A. 2 B. 2或4 C. 2或 D. 或4 8. 第十一届全国少数民族传统体育运动会在郑州奥体中心举办期间，某单位得到了两张开幕式的门票，为了弘扬劳动精神，决定从本单位的劳动模范小李、小张、小杨、小王四人中选取两人去参加开幕式，那么同时选中小李和小张的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，，，，交于点，点为的中点，连接，则的长为（ ） A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 10. 用如图甲所示的装置探究不同物质吸热升温的现象．两个相同试管内分别装有水和食用油，同时放置在红外加热器中，用温度传感器分别测得水和食用油的温度随时间变化图象如图乙所示，下列说法中正确的是（ ） A. 实验中食用油函数图象为正比例函数图象 B. 加热后，水的温度比食用油的温度要高 C. 水吸热升温比食用油快 D. 食用油的温度要升至，需加热 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个使在实数范围内有意义的的值：________ 12. 某校为满足学生午餐的多样性，将学生午餐分成了、、三类供学生自主选择．在前期的调研中，从全校2000人中随机抽取了100人进行问卷调查，并将问卷的结果整理后绘制成图．根据该数据，估计全校约有________人会选择类午餐． 13. 关于的方程有两个相等的实数根，则的值为________． 14. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则阴影部分的面积为________． 15. 定义：有一个内角的度数为的三角形叫做“折矩三角形”．如图，中，，，，点是直线上任意一点，连接．若为“折矩三角形”，则的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算与化简： （1）计算：； （2）化简：． 17. 扫地机器人已经成为新时代人们日常生活的重要助手．为了解扫地机器人在一次充满电后运行的最长时间情况，小明所在的综合实践小组利用周末时间开展调查活动．他们在相关技术人员的帮助下，对，两款扫地机器人分别随机调查了10台，记录了它们运行的最长时间（分钟），并将数据分为四个等级：较差，一般，较好，很好． 收集数据： 款：112 98 96 102 92 108 108 95 100 89 款：102 92 102 99 97 112 101 91 94 110 分析数据： 类别 平均数 中位数 众数 方差 100 108 50.6 100 44.4 解决问题： 根据以上信息，解决下列问题： （1）上表中的________，________，________； （2）某商场购进了一批款扫地机器人600台，请估算这批款扫地机器人运行最长时间等级为“较好及以上”的台数； （3）根据以上统计信息和数据，你认为哪款扫地机器人的运行最长时间更好？请说明理由．（写出一条理由即可） 18. 小华将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的斜边落在轴上，，直角顶点的坐标为，反比例函数（）的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式． （2）将三角板绕点逆时针旋转，则点的对应点是否会落在此反比例函数图象上？请说明理由． 19. 如图，在中，，，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作的平分线，交于点，以点为圆心，的长为半径作（保留作图痕迹，不写作法）； （2）请判断与直线的位置关系为________； （3）求（1）中所作的的半径． 20. 为提升教师教学效率，学校教务处计划购买一批扩音器和翻页笔．已知商场某品牌扩音器的单价比翻页笔的单价多30元，用2400元购买扩音器的数量是用2000元购买翻页笔数量的． （1）求扩音器和翻页笔的单价； （2）学校采购时恰逢该商场“教师节”促销，翻页笔打八折，若购买扩音器和翻页笔共100个，且扩音器数量不少于翻页笔数量的3倍，请问分别购买多少个扩音器和翻页笔，学校花费最少？最小花费多少元？ 21. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上； ②过点E作，并沿方向前进到点F，用皮尺测得的长为4米； ③在点F处用测角仪测得，，； ④用计算器计算得：，，．，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： （1）求线段和的长度： （2）求底座的底面的面积． 22. 在二次函数中，与的几组对应值如表所示． … 0 1 … … 1 … （1）求二次函数的表达式； （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； （3）直接写出当时，函数的取值范围； （4）将二次函数的图象先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后所得图象与直线相交于A，B两点，请直接写出线段的长． 23. 在数学课上，老师请同学们思考如下问题：如图①，在中，，，则．小慧同学认真思考后思路如下：取边的中点，连接，证出是等边三角形，从而可以求出． （1）请结合小慧的解题思路，给出完整的证明； （2）如图②，四边形是一张边长为4的正方形纸片，，分别为，的中点，沿过点的折痕将纸片翻折，使点落在上的点处，折痕交于点，试求的度数和的长； （3）若矩形纸片按图③所示的方式折叠，，两点恰好重合于对角线的中点（如图④）．当时，请直接写出四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $