精品解析：河南南阳市西峡县2025-2026学年下 学期九年级阶段性练习数学试卷

2026年春期九年级阶段性练习 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 我国自主研制的首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度10907米，“极目一号”型浮空艇“大白鲸”，升空高度至海拔9050米，如果把海平面以上9050米记作“米”，那么海平面以下10907米记作（ ） A. 9050米 B. 米 C. 10907米 D. 米 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵海平面以上9050米记作“米”， ∴海平面以上记为正，海平面以下记为负， 因此海平面以下10907米记作米． 2. 唐三彩最早、最多出土于洛阳，亦有“洛阳唐三彩”之称．下列唐三彩图形中，主视图和左视图相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了三视图的知识，解题的关键是根据主视图和左视图的定义，发挥空间想象能力选出正确的选项．分别求出对应几何体的主视图和左视图即可得到答案． 【详解】解：根据从正面看到的图形和从左面看的图形相同的只有选项B符合， 故选：B． 3. 小浪底水利枢纽是黄河干流三门峡水利枢纽以下唯一能够取得较大库容的控制性工程．总库容约为亿立方米，数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：亿． 4. 一束平行光线经过水面后折射的光线也是平行的．如图，若杯底与水面平行，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质可知，，即可求得答案． 【详解】解：如图， 光线是平行的，， ， 又杯底与水面平行， ， ． 5. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题关键是掌握一元二次方程没有实数根时，根的判别式，根据判别式列出不等式即可求出的取值范围. 【详解】解：∵关于的一元二次方程没有实数根， ∴，在方程中，，，， ∴，解得. 故选：B. 6. 如图，在菱形中，，，交 于点O，于点E，连接，则的长为 （ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识点，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半成为解题的关键．由菱形的性质可得，再运用勾股定理可得，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答． 【详解】解：∵在菱形中，， ， ， ， ， ， 故选：A． 7. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】可根据乘法的意义计算，可根据乘方的定义计算，再相加即可得到结果． 【详解】解：． 8. 现有四张正面印有神舟载人航天飞行任务标识的卡片，它们除内容标识之外其他完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片中恰有一张正面印有“神舟十九号载人飞行任务”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，抽取的两张卡片中恰有一张正面印有“神舟十九号载人飞行任务”的结果有2种，再由概率公式求解即可．此题考查的是树状图法以及概率公式．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：把印有神舟十六号载人飞行任务、神舟十七号载人飞行任务，神舟十八号载人飞行任务的卡片分别记为：A、B、C、D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，则抽取的两张卡片中恰有一张正面印有“神舟十九号载人飞行任务”的有6种， ∴抽取的两张卡片中恰有一张正面印有“神舟十九号载人飞行任务”的概率为， 故选：A． 9. 如图，在中，、分别是、的中点，将沿翻折，点的对应点为，且点恰好落在边上．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】证明，得到求解即可； 【详解】解：根据折叠的性质，得，是的中点， 故, 故， 故， 故； 10. 如图，在正方形中，点以每秒的速度从点出发，沿的路径运动，到点停止．过点作，与边（或边）交于点，的长度为与点的运动时间（秒）的函数图象如图所示．当点的运动时间是秒时，的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据运动速度乘以时间，可得的位置，根据线段的和差，可得的长，最后根据勾股定理，可得的长度． 【详解】解：根据图象可知：， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由题意可得：点运动秒时，点运动了，此时，点在上，如图， ∴， 在中，由勾股定理得：． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请你写一个小于的整数：_____． 【答案】0（答案不唯一） 【解析】 【分析】先估算出的取值范围，再找出范围中小于的整数，任写一个符合要求的即可． 【详解】解：，，且， ，即， 则写一个小于的整数：0． 12. 不等式组的解集是_____． 【答案】 【解析】 【详解】解： 解不等式①，移项得， 系数化为得， 解不等式②，移项得， 系数化为得， 根据“同小取小”，可得不等式组的解集为． 13. 博物馆拟招聘一名优秀讲解员，王帅笔试、试讲、面试成绩分别为94分、95分、90分．根据实际需要，综合成绩将笔试、试讲和面试三项得分按的比例确定最后的成绩，那么王帅最后的成绩为_____分． 【答案】93 【解析】 【详解】解：由题意，王帅最后的成绩为（分）． 14. 如图，有一个半径为的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的周长为_____．（结果保留） 【答案】## 【解析】 【分析】连接、，根据等边三角形的判定得出为等边三角形，再根据弧长公式求出，即可求出阴影部分的周长． 【详解】解：如图，连接、， 由题意可知：， ， 为等边三角形， ， ， ∴阴影部分的周长． 15. 定义：如果三角形有两个内角差为，那么这样的三角形叫做准直角三角形．已知，如图，在直角中，，，如果点在边上，且是准直角三角形，那么_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题是一道结合 “新定义” 的直角三角形综合题，核心考查勾股定理、全等三角形、角平分线性质及锐角三角函数的应用，解题关键是紧扣 “准直角三角形” 的定义，对两种可能的情况进行分类讨论，避免漏解．情况①中，通过作垂线构造全等三角形；情况②中，利用 “等角的正切值相等”，直接建立方程求解即可． 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得：， 是准直角三角形， 有以下两种情况： ①当时，过点作交于，如图1所示： ， 又， ， 即为的平分线， ，于， ， 设， 在和中， ， ， ， 则， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ； ②当时，如图2所示： ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ． 综上所述：或． 故答案为：或． 三．解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）5；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，分式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据立方根定义，零指数幂和负整数指数幂运算法则，进行计算即可； （2）根据分式混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 17. 启迪未来之星，推进科技教育．某中学举行了一次“人工智能”知识竞赛（竞赛成绩为十分制）．各班以小组为单位组织竞赛． 【数据整理】 小东将本班甲、乙两组同学（每组8人）竞赛的成绩整理成如图所示的统计图： 【数据分析】小东对这两个小组的成绩（单位：分）进行了如下分析： 平均数 中位数 众数 甲组 8 8 乙组 7.5 9 【数据应用】请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空：_____，_____． （2）小明同学说：“这次竞赛我得了7.8分，在我们小组中略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是_____（填“甲”或“乙”）组的学生，请说明理由； （3）小华认为甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高，因此甲组成绩比乙组成绩好．小东认为小华的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小东说明理由．（写出一条即可） 【答案】（1）7.5；8 （2）乙，理由见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数的定义即可解答； （2）根据中位数的定义即可解答； （3）从两组成绩的众数角度进行分析即可解答． 【小问1详解】 解：乙组学生成绩从低到高排列，处于第4、5位的分别是7、8，则乙组的中位数； 甲组学生成绩8分学生数最多，故甲组的众数； 【小问2详解】 解：由甲、乙两组学生竞赛成绩的统计分析表可知，甲组的中位数为8分，乙组的中位数为分，由于小明的描述可知小明的成绩大于自己所在组的中位数，即小明是乙组的学生； 【小问3详解】 解：虽然甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高，但乙组成绩的众数大于甲组的众数，说明乙组优秀学生多于甲组，因此从众数的角度看，乙组成绩比甲组好；所以不能仅甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高，即小华的观点比较片面． 18. 如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，反比例函数（）的图象经过点D． （1）求反比例函数的表达式； （2）在图中画出一次函数的图象，并直接写出它与矩形的边的交点坐标； （3）将矩形向右平移，当点B落在反比例函数图象上时，平移的距离为_____． 【答案】（1）y＝ （2）画图见解析，交点坐标是， （3） 【解析】 【分析】（1）将点代入求解即可； （2）经过，画射线即可；利用图象即可知交点坐标； （3）将代入，可求出平移后点B的横坐标，再计算即可． 【小问1详解】 解：反比例函数（）的图象经过点， ， ， 反比例函数的表达式为； 小问2详解】 解：经过，画射线，即得图象如下： 一次函数图象，与矩形的边的交点坐标是，； 【小问3详解】 解：将代入，得， 解得， 平移的距离为． 19. 如图，在中，是边上一点，是边上一点，连接． （1）过点作的平行线，与的延长线交于点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （2）连接，，若是的中点，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查尺规作平行线与全等三角形、平行四边形的判定与性质的综合应用，解题关键是根据题目条件，结合平行线的判定定理和全等三角形的判定定理，逐步推导结论． （1）利用尺规作一个角等于已知角，通过同位角相等的原理，作出过点且与平行的直线； （2）先通过“”证明，得到，再结合，利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定四边形为平行四边形，从而推出． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 证明：由（1）知， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 20. 为了落实“五育并举”，全面发展素质教育，某中学准备开展丰富多彩的课后特色延时服务，计划购买排球及足球若干．某兴趣小组进行市场调查，发现购买2个足球和3个排球共需310元；购买7个足球所需的费用与购买5个排球所需的费用相同． （1）足球和排球的单价各是多少？ （2）该校根据需求打算购买足球和排球共30个，且足球数量不超过排球数量的某商场店庆促销，足球打九折，排球打八折，请问学校如何购买所需费用最少？ 【答案】（1）足球的单价是元，排球的单价是元； （2）购买足球个、排球个所需费用最少． 【解析】 【分析】（1）设足球的单价是元，排球的单价是元，根据题意列方程组求解即可； （2）设购买足球个，则购买排球个，根据已知可得，所需费用，由一次函数的性质，可得当时，的值最小，即可求解． 【小问1详解】 解：设足球的单价是元，排球的单价是元． 根据题意，得， 解得． ∴足球的单价是元，排球的单价是元． 【小问2详解】 解：设购买足球个，则购买排球个， 根据题意，得， 解得， 设所需费用为元，则， ∵， ∵随的增大而减小， ∴当时，的值最小， （个）． ∴购买足球10个，排球20个所需费用最少． 21. 停车楔（图1），又称车轮止退器、驻车楔、三角木，是用于防止车辆不必要移动的装置，使用时将停车楔放置在地面和轮胎之间，即可防止轮胎的滑动．如图2为停车楔工作模型侧面示意图，水平地面与车轮切于点为的直径，射线与射线交于点于点，连接． （1）求证：平分； （2）若，求点到地面的高度．（参考数据：） 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，根据平行线的判定和性质得到，根据等边对等角得到，即，即可证明平分； （2）求出，根据三角函数计算即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵切于点D， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴平分； 【小问2详解】 解：在中，， ∴， 由（1）知平分， ∴． 在中，， 又∵， ∴． 22. 如图，质量为的小球从某高处由静止开始下落到竖直放置的弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为）．经实验分析，从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度和弹簧被压缩的长度之间是二次函数关系，其部分对应数据如下表： 弹簧被压缩的长度 0 1.5 2 2.5 4 6 小球的速度 3 4 3 0 根据上述数据回答下列问题： （1）小球的速度最大时，弹簧的长度为_____ ，小球下落至最低点时，弹簧的长度为_____ ； （2）求小球的速度和弹簧被压缩的长度的函数表达式； （3）小航说：“当小球的速度为时，弹簧被压缩的长度为．”请判断他的说法是否正确，并说明理由． 【答案】（1）10，6 （2） （3）小航的说法不正确，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，二次函数的其他应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察表格数据，且结合抛物线的性质，得对称轴为直线，所对应的，故该抛物线的开口方向向下，小球的速度最大时，即，此时，小球下落至最低点时，即，此时结合弹簧的初始长度为，即可作答． （2）先得出函数的顶点坐标为，则函数的表达式为，再把代入，进行计算，即可作答． （3）依题意，得，解得，，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，小球的速度和弹簧被压缩的长度之间是二次函数关系，且观察当时，分别对应的的值有两个，分别是和4， 则这个抛物线的对称轴为直线， 当时，对应的， 即该抛物线的开口方向向下， ∴小球的速度最大时，即，此时， ∵弹簧的初始长度为， 则； 则小球下落至最低点时，即，此时 ∴， 故答案为：10，6； 【小问2详解】 解：由（1）得这个抛物线的对称轴为直线，所对应的， 即函数的顶点坐标为， ∴设函数的表达式为， ∴把代入， 得， 解得， ∴函数的表达式为． 【小问3详解】 解：小航的说法不正确，理由如下： 由（2）得， 由题意得：令， 则， 解得，， ∴当小球的速度为时，弹簧被压缩的长度为或． 小航的说法不正确 23. 综合与实践 【问题呈现】 （1）和都是等腰直角三角形，，连接，，当共线时，如图，则，之间的数量关系是_____，的度数为_____． 【类比探究】 如图，在中，，，（不与点，重合）是直线上的一动点，将线段绕点顺时针方向旋转得到，连接，． （2）当点在线段上时，求证：． 【拓展提升】 （3）如图，，在点运动的过程中，当时，请直接写出的长． 【答案】（1），； （2）见解析； （3）的长为或． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，旋转的性质等知识点，掌握知识点的应用是解题的关键． （）证明，根据相似三角形的性质可得，， （）过点作，垂足为，同理（）可得，，设，，则，由此求出； （）分当在内时，当在外时，两种情况，结合（）的结论，利用直角三角形性质和勾股定理解三角形即可求解． 【小问1详解】 解：，， ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：如图，过点作，垂足为， 在中，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由旋转可知：是等腰直角三角形， 同理（）可得：，， 设，，则， ∴ ，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：当在内时，如图，过点作，垂足为， 同理可得：，，， 在中，，， ∴， ∴， 当时， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当在外部时，如图，过点作，垂足为， 同理可得：，， ∴； ∴的长为或． 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春期九年级阶段性练习 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 我国自主研制的首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度10907米，“极目一号”型浮空艇“大白鲸”，升空高度至海拔9050米，如果把海平面以上9050米记作“米”，那么海平面以下10907米记作（ ） A. 9050米 B. 米 C. 10907米 D. 米 2. 唐三彩最早、最多出土于洛阳，亦有“洛阳唐三彩”之称．下列唐三彩图形中，主视图和左视图相同的是（ ） A. B. C. D. 3. 小浪底水利枢纽是黄河干流三门峡水利枢纽以下唯一能够取得较大库容控制性工程．总库容约为亿立方米，数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 一束平行光线经过水面后折射的光线也是平行的．如图，若杯底与水面平行，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在菱形中，，，交 于点O，于点E，连接，则的长为 （ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 7. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 现有四张正面印有神舟载人航天飞行任务标识的卡片，它们除内容标识之外其他完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片中恰有一张正面印有“神舟十九号载人飞行任务”的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，、分别是、的中点，将沿翻折，点的对应点为，且点恰好落在边上．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 10. 如图，在正方形中，点以每秒的速度从点出发，沿的路径运动，到点停止．过点作，与边（或边）交于点，的长度为与点的运动时间（秒）的函数图象如图所示．当点的运动时间是秒时，的长度是（ ） A B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请你写一个小于的整数：_____． 12. 不等式组的解集是_____． 13. 博物馆拟招聘一名优秀讲解员，王帅的笔试、试讲、面试成绩分别为94分、95分、90分．根据实际需要，综合成绩将笔试、试讲和面试三项得分按的比例确定最后的成绩，那么王帅最后的成绩为_____分． 14. 如图，有一个半径为圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的周长为_____．（结果保留） 15. 定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做准直角三角形．已知，如图，在直角中，，，如果点在边上，且是准直角三角形，那么_____． 三．解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 启迪未来之星，推进科技教育．某中学举行了一次“人工智能”知识竞赛（竞赛成绩十分制）．各班以小组为单位组织竞赛． 【数据整理】 小东将本班甲、乙两组同学（每组8人）竞赛的成绩整理成如图所示的统计图： 【数据分析】小东对这两个小组的成绩（单位：分）进行了如下分析： 平均数 中位数 众数 甲组 8 8 乙组 7.5 9 【数据应用】请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空：_____，_____． （2）小明同学说：“这次竞赛我得了7.8分，在我们小组中略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是_____（填“甲”或“乙”）组学生，请说明理由； （3）小华认为甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高，因此甲组成绩比乙组成绩好．小东认为小华的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小东说明理由．（写出一条即可） 18. 如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，反比例函数（）的图象经过点D． （1）求反比例函数的表达式； （2）在图中画出一次函数的图象，并直接写出它与矩形的边的交点坐标； （3）将矩形向右平移，当点B落在反比例函数图象上时，平移的距离为_____． 19. 如图，在中，是边上一点，是边上一点，连接． （1）过点作的平行线，与的延长线交于点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （2）连接，，若是的中点，求证：． 20. 为了落实“五育并举”，全面发展素质教育，某中学准备开展丰富多彩的课后特色延时服务，计划购买排球及足球若干．某兴趣小组进行市场调查，发现购买2个足球和3个排球共需310元；购买7个足球所需的费用与购买5个排球所需的费用相同． （1）足球和排球的单价各是多少？ （2）该校根据需求打算购买足球和排球共30个，且足球数量不超过排球数量的某商场店庆促销，足球打九折，排球打八折，请问学校如何购买所需费用最少？ 21. 停车楔（图1），又称车轮止退器、驻车楔、三角木，是用于防止车辆不必要移动的装置，使用时将停车楔放置在地面和轮胎之间，即可防止轮胎的滑动．如图2为停车楔工作模型侧面示意图，水平地面与车轮切于点为的直径，射线与射线交于点于点，连接． （1）求证：平分； （2）若，求点到地面的高度．（参考数据：） 22. 如图，质量为的小球从某高处由静止开始下落到竖直放置的弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为）．经实验分析，从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度和弹簧被压缩的长度之间是二次函数关系，其部分对应数据如下表： 弹簧被压缩的长度 0 1.5 2 2.5 4 6 小球的速度 3 4 3 0 根据上述数据回答下列问题： （1）小球的速度最大时，弹簧的长度为_____ ，小球下落至最低点时，弹簧的长度为_____ ； （2）求小球的速度和弹簧被压缩的长度的函数表达式； （3）小航说：“当小球的速度为时，弹簧被压缩的长度为．”请判断他的说法是否正确，并说明理由． 23. 综合与实践 【问题呈现】 （1）和都是等腰直角三角形，，连接，，当共线时，如图，则，之间的数量关系是_____，的度数为_____． 【类比探究】 如图，在中，，，（不与点，重合）是直线上的一动点，将线段绕点顺时针方向旋转得到，连接，． （2）当点在线段上时，求证：． 【拓展提升】 （3）如图，，在点运动的过程中，当时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $