精品解析：浙江省平阳中学2025-2026学年高三下学期数学第5周周测试卷

浙江省平阳中学2025~2026学年高三第5周周测试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知复数z满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 已知全集,,则 A. B. C. D. 3. 已知椭圆与双曲线的焦点相同，则双曲线的离心率为 A. B. C. D. 4. 函数的图象如下图所示，A为图象与x轴的交点，过点A的直线l与函数的图象交于B，C两点，则（ ） A. B. C. 4 D. 8 5. 已知定义在R上的函数满足，，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 已知，则（   ） A. B. C. D. 7. 一艘海监船上配有雷达，其监测范围是半径为26 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发径直驶向位于海监船正北30km的B处岛屿，船速为10 km/h这艘外籍轮船能被海监船监测到且持续时间长约为（ ） 小时 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 设正实数a，b满足3a=7b，下面成立的是（　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在直三棱柱中，平面，且，为中点，则下列说法正确的是（ ） A. 无论为何值时，均有平面成立 B. 当时，平面 C. 当时，与所成角的余弦值为 D. 当时，点到平面的距离为 10. 已知抛物线C：的准线为l，焦点为F，P为抛物线C上的动点，过点P作：的一条切线，Q为切点，过点P作l的垂线，垂足为B，则（ ） A. 准线l与圆A相切 B. 过点F，A的直线与抛物线C相交的弦长为5 C. 当P，A，B三点共线时， D. 满足的点P有且仅有2个 11. 若，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 若函数的图象在点处的切线垂直于轴，则________. 13. 已知是等比数列的前n项和，若，，则_________. 14. 数列的每一项为0或1，称此数列为0—1数列．（）表示所有k项0—1数列构成的集合．现从集合中随机取出两个元素，，与，，，定义随机变量，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. Unidentified Flying Object，简称UFO，俗称飞碟，通常被人们看作是外地文明派到地球的使者．为了调查国内网友对UFO的了解情况，资深UFO爱好者李磊，在网上发起了一项“UFO”有奖问答，共有10000名网友参加，李磊随机抽取了1000名（得分都在60～100分之间），将得分分成4组：，，，，并整理得到如下频率分布直方图： （1）李磊决定根据得分从高到低，对参与活动的的高分网友发放奖品，试估计这次有奖问答的获奖分数线；（保留一位小数） （2）用分层随机抽样的方法从，两个分数段共抽取出4名网友，再从这4名网友中随机抽取2名依次分享UFO时间供大家交流，求第一个分享的网友得分在的概率． 16. 设为数列的前项和，且． （1）证明：数列是等差数列； （2）已知指数函数的图象经过点，记数列的前项和为，证明：． 17. 如图，在三棱锥中，三条侧棱，，两两垂直，且，是的重心，，分别为，上的点，且． （1）求证：平面平面； （2）求证：与直线与都垂直． 18. 已知椭圆C：的离心率，短半轴长为. （1）求椭圆C的方程． （2）已知过定点的直线l与椭圆交于两点，且与直线x交于点，如果，，那么是否为定值？若是，求出具体数值；若不是，请说明理由． 19. 已知函数，． （1），，求的最小值； （2）设 ①证明：； ②若方程有两个不同的实数解，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省平阳中学2025~2026学年高三第5周周测试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知复数z满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，化简得到，得出，结合复数的概念，即可求解. 【详解】因为，可得， 所以，所以的虚部为. 故选：B. 2. 已知全集,,则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解出集合M，然后取补集即可. 【详解】=,全集 则 故选C 【点睛】本题考查集合的补集运算，属于简单题. 3. 已知椭圆与双曲线的焦点相同，则双曲线的离心率为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先设双曲线的焦距，再由焦点相同可得，结合，即可求出结果. 【详解】设双曲线的焦距为，依题意，即 ,又， , 即，双曲线的离心率为．答案： 【点睛】本题主要考查双曲线与椭圆的简单性质，只需熟记a,b,c三者之间关系即可求解，属于基础题型. 4. 函数的图象如下图所示，A为图象与x轴的交点，过点A的直线l与函数的图象交于B，C两点，则（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数与轴的交点，得到点坐标，根据对称性，得到，从而将问题转化为求的值，从而得到答案. 【详解】函数， 令，， 得到，， 因为，所以，， 即点坐标为， 点是函数一个对称中心， 直线过点，则也是直线的一个对称中心， 所以可得点和点关于点对称， 所以， 所以. 故选：D. 【点睛】本题考查求正切函数函数的对称中心，向量的线性运算和数量积，属于简单题. 5. 已知定义在R上的函数满足，，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得到，结合题干条件整合得到或，根据可知不满足，从而，最后由函数周期性解题即可. 【详解】因为，可得， 两式相减得， 即，故或， 又，则不满足， 所以，即的周期为2，所以. 故选：C. 6. 已知，则（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性坐标运算计算求解. 【详解】因为，则. 故选：C. 7. 一艘海监船上配有雷达，其监测范围是半径为26 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发径直驶向位于海监船正北30km的B处岛屿，船速为10 km/h这艘外籍轮船能被海监船监测到且持续时间长约为（ ） 小时 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意建立合适平面直角坐标系，将问题转化为求直线被圆所截得的弦长问题，然后根据弦长对应的距离求解出监测时间. 【详解】根据题意以海监船的位置为坐标原点，其正东方向为轴，正北方向为轴， 所以，圆，记从处开始被监测，到处监测结束， 所以，即， 因为到的距离为， 所以，所以监测时间持续小时， 故选：B. 【点睛】思路点睛：建立平面直角坐标系求解直线与圆的有关问题的思路： （1）选择合适坐标原点（方便求解直线、圆的方程），建立平面直角坐标系； （2）根据题意写出直线与圆的方程； （3）根据直线与圆的位置关系，采用几何法计算相关长度，完成问题的求解. 8. 设正实数a，b满足3a=7b，下面成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设3a=7b=t，（t＞0），则a=log3t，b=log7t，从而=log7t×logt3=log73，根据对数函数的单调性即可比较与和1的大小. 【详解】∵正实数a，b满足3a=7b， ∴设3a=7b=t，（t＞0），则a=log3t，b=log7t， ∴=log7t×logt3==log73， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查两数比值的范围的求法，考查对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在直三棱柱中，平面，且，为中点，则下列说法正确的是（ ） A. 无论为何值时，均有平面成立 B. 当时，平面 C. 当时，与所成角的余弦值为 D. 当时，点到平面的距离为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，连接，连接，利用中位线的性质可得，结合线面平行的判定定理即可判断；对于B、C、D，建立空间直角坐标系，用向量法进行计算判断即可. 【详解】 对于A，连接，连接. 因为四边形是平行四边形，所以是的中点，又为中点， 所以，又平面，平面，所以平面，A正确； 对于B，如图，建立空间直角坐标系，当时，， 则, 所以，，即， 又EC1、AE交于E点，且平面，所以平面，B正确； 对于C，当时，, 则，所以， 故与所成角的余弦值为，C正确； 对于D，当时，， 则， 设平面的法向量为， 则，取 点到平面的距离为，D错误. 故选：ABC 10. 已知抛物线C：的准线为l，焦点为F，P为抛物线C上的动点，过点P作：的一条切线，Q为切点，过点P作l的垂线，垂足为B，则（ ） A. 准线l与圆A相切 B. 过点F，A的直线与抛物线C相交的弦长为5 C. 当P，A，B三点共线时， D. 满足的点P有且仅有2个 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，只需判断圆的半径是否等于1即可；对于B，联立直线的方程与抛物线方程，结合韦达定理，焦点弦公式即可判断；对于C，直接验算即可；对于D，联立直线的垂直平分线方程与抛物线方程，判断判别式是否大于0即可. 【详解】 对于A，抛物线的准线为，圆A的圆心在轴上，半径，准线l与圆A相离，A错误； 对于B，直线的方程为，代入得， 弦长为，B正确； 对于C，中，令得，故，显然⊥， 由勾股定理得，所以，C正确； 对于D，由抛物线的定义得，故满足要求的点在线段的垂直平分线上， 其中直线的垂直平分线方程为，代入得， 故点有且仅有2个，D正确． 故选：BCD. 11. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由条件推得，对于A，利用指数函数的单调性，即可判断；对于B，根据条件，可得，再利用三角函数的单调性，可得，即可判断；对于C，利用在区间上单调递减，可得，再利用和的单调性，即可推得；对于D，利用和的单调性，可得，再利用对数函数的单调性，即可推得. 【详解】由，可得，则， 对于A，由是增函数，是减函数，可得， 故，故A正确； 对于B，因为，所以， 又在区间上单调递增，则在区间上单调递增， 所以，则有，故B错误； 对于C，由，又在区间上单调递减， 可得，故有是减函数，则， 又由在上是增函数可得，，因此，故C正确； 对于D，因为在上是增函数，所以，又是减函数，得， 因此，两边取对数可得，故D正确. 故选：ACD． 【点睛】方法点晴，比较函数值的大小，常用的方法： （1）利用基本函数的单调性，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等； （2）借助中间值进行比较，常用和. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 若函数的图象在点处的切线垂直于轴，则________. 【答案】 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，利用处的导数值为0列式求解的值即可. 【详解】因为函数的图象在点处的切线垂直于轴， 由，可得， 所以由题意得，解得. 故答案为： 13. 已知是等比数列的前n项和，若，，则_________. 【答案】64 【解析】 【分析】根据等比数列基本量的计算以及性质即可求解. 【详解】设等比数列的公比为， 则，，故， 又，所以， 所以， 故答案为：64. 14. 数列的每一项为0或1，称此数列为0—1数列．（）表示所有k项0—1数列构成的集合．现从集合中随机取出两个元素，，与，，，定义随机变量，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由集合中元素的互异性，数列，，与，，对应项不可能完全相同，所以，，中至少有1个1，至多有3个1，即的所有可能取值为1，2，3，利用古典概率求出对应的概率，代入数学期望公式即可求解. 【详解】集合中共有个元素，任取两个元素， 即数列，，与，，， 有4种可能情况：，，，， 即或1．当，此时或者；当， 此时，或，， 由集合中元素的互异性，数列，，与，，对应项不可能完全相同， 所以，，中至少有1个1，至多有3个1， 所以最小值为1，最大值为3， 即的所有可能取值为1，2，3． ，即，，中有1个1，有2个0， 对应的情况共有种， 所以，同理，，， 所以． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. Unidentified Flying Object，简称UFO，俗称飞碟，通常被人们看作是外地文明派到地球的使者．为了调查国内网友对UFO的了解情况，资深UFO爱好者李磊，在网上发起了一项“UFO”有奖问答，共有10000名网友参加，李磊随机抽取了1000名（得分都在60～100分之间），将得分分成4组：，，，，并整理得到如下频率分布直方图： （1）李磊决定根据得分从高到低，对参与活动的的高分网友发放奖品，试估计这次有奖问答的获奖分数线；（保留一位小数） （2）用分层随机抽样的方法从，两个分数段共抽取出4名网友，再从这4名网友中随机抽取2名依次分享UFO时间供大家交流，求第一个分享的网友得分在的概率． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，利用面积法列式计算即得. （2）求出两段抽取的人数，再利用列举法求出古典概率. 【小问1详解】 分数在的频率为0.3，依题意，有奖问答的获奖分数线， 则，解得， 所以这次有奖问答的获奖分数线约为. 【小问2详解】 分数在的频率分别为，因此抽取的4人中，分数在内的抽1人，记为， 分数在内的抽3人，依次记为， 抽取2人依次分享的试验样本空间，共12个结果， 第一个分享的得分在的事件，共9个结果， 所以第一个分享的网友得分在的概率. 16. 设为数列的前项和，且． （1）证明：数列是等差数列； （2）已知指数函数的图象经过点，记数列的前项和为，证明：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）应用计算，再结合等差数列定义证明； （2）方法一：结合错位相减法计算证明；方法二：证明单调递增，再结合错位相减法计算证明. 【小问1详解】 当时，，即，解得或（舍）． 由，得， 两式相减，得， 即，又，所以，即． 又，所以是首项为2，公差为1的等差数列． 【小问2详解】 方法一：由（1）知． 设（，且）， 又的图象经过点，则，解得，所以． 所以． ， ， 两式相减，得 所以． 对，所以． 因为，所以， 综上所述，． 方法二：因为． 所以，即单调递增，所以． 由方法一知：． 对．所以． 综上所述，． 17. 如图，在三棱锥中，三条侧棱，，两两垂直，且，是的重心，，分别为，上的点，且． （1）求证：平面平面； （2）求证：与直线与都垂直． 【答案】（1）如图．以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系． 则，，，，，，， 于是，． 设平面的法向量是，则， ∴，令，得． 显然是平面的一个法向量． 又，∴． ∴平面平面． （2）由（1），知，，， ∴，， ∴，， ∴与直线与都垂直． 【解析】 【分析】（1）如图．以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，求出两个法向量的数量积为0，即可得证； （2）分别求出与直线与的方向向量，求出对应的数量积，即可得出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知椭圆C：的离心率，短半轴长为. （1）求椭圆C的方程． （2）已知过定点的直线l与椭圆交于两点，且与直线x交于点，如果，，那么是否为定值？若是，求出具体数值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）是， 【解析】 【分析】（1）由已知结合椭圆的性质可求a，b，进而可求椭圆方程； （2）先对直线l的斜率是否存在分类讨论，然后联立直线l与已知椭圆方程，结合方程的根与系数关系及向量的线性坐标表示可求． 【小问1详解】 由题意，得，解得， 故椭圆C的方程为. 【小问2详解】 当直线l的斜率不存在时， 则，， 此时，，； 当直线的斜率存在时，设斜率为， 则直线的方程为， 联立，可得， 设， 联立，可得， 在椭圆内，必有， 则，， 因为，， 所以， 所以 . 【点睛】本题考椭圆的标准方程的求法、直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查运算求解能力，几何直观等，考查数形结合思想，化归与转化思想，方程思想. 19. 已知函数，． （1），，求的最小值； （2）设 ①证明：； ②若方程有两个不同的实数解，证明：． 【答案】（1）0 （2）①证明见解析；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导函数得：，证得，在单调递增，； （2）①构造函数即证： 求导分析得：在单调递减，在单调递增 所以，从而 得证; ②研究函数的图象，分析得在上单调递减，在上单调递增，不妨设，，，根据①的结论（当且仅当时取等号），求导证明（当且仅当时取等号），设直线与直线，交点的横坐标分别为，． 则，最后对数平均不等式证明求解. 【小问1详解】 令， 在单调递增，则，即 所以，在单调递增， 所以h（x）的最小值为0 【小问2详解】 ①要证明，可令，即证： 于是 易知，当时，当时， 当时，，当时 所以在单调递减，在单调递增 所以，则 ②函数，， 所以在上单调递减，在上单调递增 不妨设，，， 由①知，，当且仅当时取等号， 求导证明令， 易知，当时，当时， 所以在单调递减，在单调递增 所以，即 故当且仅当时取等号， 设直线与直线，交点的横坐标分别为，． 则 ① 对数平均不等式证明：（） ，设 令 所以函数在单调递增；； 所以，故有：（）恒成立； 由对数平均不等式得， 所以② 综合①②可知：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $