精品解析：吉林省实验中学2025-2026学年高一下学期学程性考试（一） 数学试题

吉林省实验中学2025-2026学年度下学期 高一年级学程性考试（一） 数学 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟. 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.并在规定位置粘贴考试用条形码. 3．请认真阅读答题卡上的注意事项，在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应答题区域的答案一律无效.不得在答题卡上做任何标记. 4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 5．考试结束后，答题卡要交回，试卷由考生自行保存. 一、单项选择题（本题包括8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. （ ） A. B. C. D. 2. 给出下列命题，正确的有（ ） A. 若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 B. 已知为实数，若，则与共线 C. 的充要条件是且 D. 若是不共线的四点，且，则四边形为平行四边形 3. 已知向量，，，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则边（ ） A. 5 B. C. 4 D. 3 5. 如图是摩天轮的示意图，已知摩天轮半径为40米，摩天轮中心到地面的距离为41米，每30分钟按逆时针方向转动1圈．若初始位置是从距地面21米时开始计算时间，以摩天轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系．设从点运动到点时所经过的时间为（单位：分钟），且此时点距离地面的高度为（单位：米），则是关于的函数．当时，（ ） A. B. C. D. 6. 已知的内角所对的边分别为，，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 7. 已知向量，满足，，则向量与的夹角余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知的外接圆的圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题包括3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 函数（，，是常数，且，，）的部分图象如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 将的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数 10. 的内角，，的对边分别为，，，已知，，则（ ） A. B. 若，则的面积为2 C. 若，则或3 D. 的最小值为 11. 在中，点D，M分别满足，，AM与CD相交于点F，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 若，，，则 D. 若外接圆的半径为2，且，则的最大值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知点是边长为1的正方形的边上任一点，则的取值范围是________. 13. 如图，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，在A，B两点分别测得树顶P处的仰角为，，且A，B两点之间的距离为，则树的高度h为________m． 14. 如图，在平面四边形中，点与点分别在直线的两侧，，，则_______；若，则的最大值为_______． 四、解答题（本题共5小题，共77分.） 15. 已知点，，． （1）若与垂直，求的值； （2）若三点共线，求的值； （3）若，求的值． 16. 已知向量，，函数. （1）求的单调增区间； （2）若函数图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍得函数的图象，且关于x的方程在上有解，求实数m的取值范围. 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． （1）求角； （2）若，的面积为，D为线段中点，求中线的长度． 18. 在直角梯形ABCD中，已知，，，，，动点E、F分别在线段BC和DC上，AE和BD交于点M，且，，． （1）当时，求的值； （2）当时，求的值； （3）求的取值范围． 19. 已知直角中，，射线AD，AC三等分，分别交BC于点D、C，且． （1）若，求的值； （2）求证：； （3）求的最小值． 附加题（10分） 20. 我校西门有一条长600米，宽6米的道路（如图1所示的矩形ABCD），路的一侧划有120个长5米，宽2.5米的停车位（如矩形AEFG），由于停车位不足，放学时段道路拥堵，我校科技创新小组的同学们提出一个改造方案，在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度（米），停车位相对道路倾斜的角度，其中．按照同学们的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加多少个？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省实验中学2025-2026学年度下学期 高一年级学程性考试（一） 数学 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟. 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.并在规定位置粘贴考试用条形码. 3．请认真阅读答题卡上的注意事项，在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应答题区域的答案一律无效.不得在答题卡上做任何标记. 4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 5．考试结束后，答题卡要交回，试卷由考生自行保存. 一、单项选择题（本题包括8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 2. 给出下列命题，正确的有（ ） A. 若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 B. 已知为实数，若，则与共线 C. 的充要条件是且 D. 若是不共线的四点，且，则四边形为平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】根据相等向量的概念即可判断A，举反例即可反驳BC，根据相等向量的含义即可判断D. 【详解】对A，向量相等只需满足方向相同且模相等即可，故A错误； 对B，若时，此时与可以不共线，故B错误； 对C，、为相反向量时，也满足且，但此时，故C错误； 对D ，若是不共线的四点，且，则， 则四边形为平行四边形，故D正确. 故选：D. 3. 已知向量，，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行满足的坐标关系即可求解. 【详解】由题可得，因为，，所以，得. 故选：A 4. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则边（ ） A. 5 B. C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理及已知条件求解. 【详解】，，， ， ，． 故选：D. 5. 如图是摩天轮的示意图，已知摩天轮半径为40米，摩天轮中心到地面的距离为41米，每30分钟按逆时针方向转动1圈．若初始位置是从距地面21米时开始计算时间，以摩天轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系．设从点运动到点时所经过的时间为（单位：分钟），且此时点距离地面的高度为（单位：米），则是关于的函数．当时，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由题意得到，进而得到后，以为始边，为终边的角，从而得到点的纵坐标为，即距地面的高度函数求解． 【详解】由题意得，而是以为始边，为终边的角， 由在内转过的角为，可知以为始边， 为终边的角为，则点的纵坐标为， 所以点距地面的高度为， 故选：A. 6. 已知的内角所对的边分别为，，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理化边为角，然后化简可判断三角形的形状. 【详解】根据正弦定理可得：. 因为，所以. 所以或者. 即或者. 所以该三角形为等腰三角形或直角三角形. 故选：D. 7. 已知向量，满足，，则向量与的夹角余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知，则， ， ，设， ，， ． 8. 已知的外接圆的圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的几何意义，确定的形状，再根据投影向量的几何意义确定问题的答案. 【详解】如图： 因为，所以点为中点，所以. 又，，所以为等边三角形. 取中点，连接，则. 则即为向量在向量上的投影向量. 又. 故选：B 二、多项选择题（本题包括3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 函数（，，是常数，且，，）的部分图象如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 将的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数 【答案】AB 【解析】 【分析】先根据函数的图象确定函数的解析式，再由解析式讨论函数的性质. 【详解】根据函数的图象，易知，， ， 又因为，所以，因此函数，故A、B正确 对于C，，故C错误； 对于D，函数的图象向左平移个单位后，得到函数为，，因此不是偶函数，故D错误. 10. 的内角，，的对边分别为，，，已知，，则（ ） A. B. 若，则的面积为2 C. 若，则或3 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由条件结合正弦定理化边为角及两角和的正弦公式求得，则，可判断A；利用三角形的面积公式可判断B；由余弦定理求解可判断C；由正弦定理可判断D. 【详解】∵，∴， ∴，即， ∵，∴，∴，即， ∵，∴，故A正确； 若，，则的面积为，故B错误； 若，，则由余弦定理得， 即，解得或3，故C正确； 由正弦定理可得，则， ∵，∴，∴， ∴当，即时，取最小值，故D正确， 故选：ACD. 11. 在中，点D，M分别满足，，AM与CD相交于点F，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 若，，，则 D. 若外接圆的半径为2，且，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，设，以向量为基底表示向量，根据共线求出即可判断A正确；对于B，由的位置求出，即可判断 B正确；对于C，由得，再利用数量积求模即可判断C不正确；对于D，由题意利用正弦定理求得或，由此判断D正确. 【详解】对于A，，则为的中点，故， 设，因为， 则， ， 由共线，得，解得，所以，故A正确； 对于B，为的中点，故，， 又，所以， 所以，，故B正确； 对于C，， 所以， 所以，故C不正确； 对于D，设的三边分别为，依题意得， 由外接圆的半径为2，根据正弦定理得，所以， 由，得或， 当时，， 当时，由可得 ， 所以，当且仅当时等号成立， 则，故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知点是边长为1的正方形的边上任一点，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】建系，确定各点坐标，结合向量数量积的坐标表示即可求解. 【详解】 如图建系：则，，，， 因为在边上，因此设， ，，  ， 由， 得的取值范围是. 13. 如图，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，在A，B两点分别测得树顶P处的仰角为，，且A，B两点之间的距离为，则树的高度h为________m． 【答案】## 【解析】 【分析】根据正弦定理求得；利用直角三角形求得树高. 【详解】由正弦定理得：， 又， 所以， 所以树高（）， 故答案为： 14. 如图，在平面四边形中，点与点分别在直线的两侧，，，则_______；若，则的最大值为_______． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】连接，由已知结合余弦定理可得，，可填第一空；设，在中，有，利用余弦定理、二倍角公式、辅助角公式化简求解可填第二空. 【详解】连接，中，，，    由余弦定理得， 则，所以是等腰三角形，所以， 所以； 设，在中，， 所以是等腰三角形，在中，有， 所以，在中，， 由余弦定理得：， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，， 所以的最大值是. 故答案为：；. 四、解答题（本题共5小题，共77分.） 15. 已知点，，． （1）若与垂直，求的值； （2）若三点共线，求的值； （3）若，求的值． 【答案】（1）2 （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）由向量垂直的坐标表示即可求解； （2）由共线向量的坐标表示即可求解； （3）由向量夹角公式的坐标表示即可求解. 【小问1详解】 由， 得： ，，， 由， 得： ， 解得 ：； 【小问2详解】 由三点共线， 得与共线， 由向量共线坐标： ， 解得 ：； 【小问3详解】 是与的夹角，又， ， 又，，， 所以 ​ ，由余弦为正得即， 平方整理得，解得​，舍去大于2的根， 得 . 16. 已知向量，，函数. （1）求的单调增区间； （2）若函数图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍得函数的图象，且关于x的方程在上有解，求实数m的取值范围. 【答案】（1）的单调增区间为，；（2）. 【解析】 【分析】（1）先利用向量的坐标运算法则计算出的表达式，并运用降次公式及辅助角公式将化简为的形式，然后根据三角函数的性质求解单调递增区间； （2）根据三角函数的伸缩变换求解出函数的解析式，然后求解出函数在上的值域，然后根据的值域确定出的取值范围. 【详解】解：（1），令，，解得， 故函数的单调增区间为，； （2）由题意可知，令，则时，，所以，故当在上时，只需使. 【点睛】本题考查三角函数的图象变换及性质综合问题，求解型如的单调增区间时，只需使求解的区间即可；根据方程有解求解参数的取值范围是，注意运用参数分离思想求解，将问题转化为处理函数的最值问题求解. 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． （1）求角； （2）若，的面积为，D为线段中点，求中线的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理角化边，再由余弦定理解三角形求解即可； （2）由三角形面积公式可得，再由结合向量数量积运算律计算即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理可得，即， 由余弦定理可得，因为，所以； 【小问2详解】 因为，所以， 因为D为线段BC中点，所以， 则. 18. 在直角梯形ABCD中，已知，，，，，动点E、F分别在线段BC和DC上，AE和BD交于点M，且，，． （1）当时，求的值； （2）当时，求的值； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算可得，，结合数量积的定义运算求解即可； （2）根据题意整理可得，，利用三点共线求得，可求； （3）整理可得，两边平方，结合数量积运算律运算求解即可. 【小问1详解】 当时，，所以， 所以， ， 又， 所以 ； 【小问2详解】 当时，，所以， 所以， ， 因为三点共线，所以存在，使， 又因为三点共线，所以，解得， 所以，所以； 【小问3详解】 因为， ， 所以， ， 所以， ， ， 由题意知， 所以当时，取到最小值， 当时，， 当时，， 所以当时，取到最大值， 所以的取值范围是. 19. 已知直角中，，射线AD，AC三等分，分别交BC于点D、C，且． （1）若，求的值； （2）求证：； （3）求的最小值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由，结合向量数量积运算律即可求解； （2）由正弦定理可得，，利用三角恒等变换化简即可证明： （3）由（2）可知，根据基本不等式“1”的妙用计算即可求解. 【小问1详解】 因为，由题意可知， 所以 ； 【小问2详解】 设，在中， 由正弦定理可得，即， 在中，，即， 所以等式左边， 等式右边 因为， 所以， 即成立； 【小问3详解】 由（2）可知， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 附加题（10分） 20. 我校西门有一条长600米，宽6米的道路（如图1所示的矩形ABCD），路的一侧划有120个长5米，宽2.5米的停车位（如矩形AEFG），由于停车位不足，放学时段道路拥堵，我校科技创新小组的同学们提出一个改造方案，在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度（米），停车位相对道路倾斜的角度，其中．按照同学们的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加多少个？ 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，结合直角三角形边角关系及同角公式求出，再求出距离最远的停车位边界点到的最大距离，列出不等式求解即得. 【详解】停车位相对道路倾斜的角度， 由题意得， 所以， 又，所以， 化简整理得， 又，所以， 所以， 设改造后停车位数量最大值为，过停车位顶点作射线的垂线，垂足为，如图， 则顶点到线段的距离， 由各矩形停车位大小相等，得， 所以，又， 所以，又， 所以，由， 所以，即改造后最大停车位数量为， 所以改造后的停车位比改造前增加个. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $