精品解析：安徽省阜南实验中学（阜南县教师进修学校）2025-2026学年高二第二学期第一次质量检测数学试题

阜南实验中学2025-2026学年第二学期高二第一次质量检测 数学试卷 一、单选题 1. 已知数列的首项，（，），则为（ ） A. 7 B. 15 C. 30 D. 47 【答案】D 【解析】 【分析】根据递推公式逐项计算得到的值. 【详解】已知数列首项，递推关系为， 依次计算： ， ， ， . 2. 在等差数列中，已知，，则（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列的性质即可求解. 【详解】在等差数列中，已知，，则， 所以. 故选：D. 3. 已知数列的首项，且满足，则（   ） A. 8 B. 32 C. 16 D. 64 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件得出数列是以，公比为2的等比数列，即可求出结果. 【详解】由可得为常数，所以数列是以，公比为2的等比数列； 因此. 故选：D. 4. 已知实数是1，4的等比中项，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比中项定义计算可得结果. 【详解】依题意可知，解得. 故选：C 5. 已知等差数列的前项和为，若，则数列的公差（ ） A. 3 B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式和求和公式直接计算求解. 【详解】由， 故选：B 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由表达式可知利用等比数列求和公式计算即可. 【详解】由可知， 该表达式是一个以首项为1，公比为3的等比数列，共有项 故， 故选：C. 7. 等差数列的前项和为，若，则 A. B. 1 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式可得，即可得到答案. 【详解】， 故选：B. 8. 已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据数列满足单调递减，得到且，再比较端点值大小，求出，得到答案. 【详解】因为时，，而要满足， 故要单调递减，所以，解得， 时，，要满足，则， 从而， 还需满足，解得， 所以实数的取值范围是. 二、多选题 9. 甲同学通过数列3，5，9，17，33，…的前5项，得到该数列的一个通项公式为，根据甲同学得到的通项公式，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 该数列为递增数列 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据首项可得，再逐个选项判断即可. 【详解】对AB，由，得，故，故A正确，B错误； 对C，得该数列为递增数列，故C正确； 对D，，则，故D正确. 故选：ACD 10. 若为等差数列，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是数列中的项 C. 数列单调递减 D. 数列前7项和最大 【答案】ACD 【解析】 【分析】由为等差数列，列方程组求得首项与公差，就可得到通项公式，然后对选项逐一判断即可. 【详解】因为数列为等差数列，且，则，解得，，故A选项正确， 由，得，故B错误， 因为，所以数列单调递减，故C正确， 由数列通项公式可知，前7项均为正数，，所以前7项和最大,故D正确. 故选：ACD 11. 下列选项正确的是（ ） A. 已知数列的前n项和．则该数列的通项公式为． B. 若数列是等差数列，则为等差数列 C. 已知数列是等比数列，，，令，则 D. 若数列的通项公式为，则当时，取得最大值. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由与的关系，代入计算，即可求得数列的通项公式，可判断A；设等差数列的首项为，公差为，根据等差数列定义可判断B；设等比数列的公比为，根据题意求得，且当时，得到数列是以为公比的等比数列，结合等比数列的求和公式，计算即可判断C；先列出前2项比较大小，然后根据最大列出不等式方程组计算即可判断D. 【详解】对于A，当时，， 因为①， 则当时，②， ①-②得， 当时，，故A错误； 对于B，设等差数列的首项为，公差为，则， 所以， 因为，所以为等差数列，故B正确； 对于C，设等比数列的公比为， 因为，，可得，解得， 则，解得，所以 又由当时，， 所以数列表示首项为，以为公比的等比数列， 所以，故C正确； 对于D，设时，最大，因为，， 所以，所以 即，故 ， ， 即，所以， 故当取最大值时，，故D正确. 故选：BCD 三、填空题 12. 在数列中，，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题设可得为等差数列，故可求. 【详解】因为，故为等差数列且公差为， 故， 故答案为：. 13. 已知各项均为正数的等比数列，记为数列前项和，若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得，可求得，可求的值. 【详解】设各项均为正数的等比数列的公比为， 由，，可得， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 14. 已知数列满足，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】已知式变形构造出数列是常数数列，从而易得通项公式． 【详解】因为，所以，数列是常数数列， 所以，． 故答案为：． 四、解答题 15. 已知等差数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和为. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出首项与公差，再根据等差数列的通项公式即可得解； （2）根据等差数列的前项和公式计算即可. 【小问1详解】 设公差为， 由，， 得，解得， 所以； 【小问2详解】 . 16. 在递增的等比数列中，，，其中. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出的首项、公比即可作答. （2）利用分组求和法及等比数列前n项和公式求和作答. 【小问1详解】 由，等比数列是递增数列，得， 因此数列的公比，则， 所以数列的通项公式是. 【小问2详解】 由（1）得，， . 17. 在等差数列中，，． （1）求数列的首项和公差； （2）设数列的前n项和为，求的最小值及取最小值时n的值． 【答案】（1）， （2）最小值为，此时或． 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合等差数列的通项公式，列出方程组，即可求解； （2）由（1）求得，结合二次函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：设等差数列的公差为， 因为，，可得，记得， 所以数列的首项为，公差为． 【小问2详解】 解：由（1）知，可得， 因为，所以或时，取得最小值． 18. 已知数列的前项和为，满足． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． （3）若对任意，不等式恒成立，且，为常数．已知，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据与的关系易得，需要检验首项是否符合； （2）利用错位相减法求和即得； （3）将代入并化简不等式，利用求解即可． 【小问1详解】 当时，， 当时，， 显然也满足， 所以； 【小问2详解】 由（1）知， ①， ②， ①②得， ， 故． 【小问3详解】 把代入， 所以等价于，即， 对任意恒成立，所以， 设，显然递减， 当时，取最大值， 所以，的最小值． 19. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，进而根据已知条件列方程求解即可； （2）结合（1）得，进而根据裂项求和法求解即可； （3）结合（1）得，进而根据每项的符号进行讨论求解即可． 【小问1详解】 设等差数列的公差为，因为，， 所以，化简得，解得， 所以数列的通项公式为． 【小问2详解】 由（1）知，得， 所以 ． 所以的前n项和． 【小问3详解】 由（1）知，得 令，解得 ①当时，，故， 此时是首项为9，公差为的等差数列， 得到， ②当时，，故， 先求前五项和， 从第6项起，是首项，公差为2的等差数列，项数为， ， 综上所述，的前n项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阜南实验中学2025-2026学年第二学期高二第一次质量检测 数学试卷 一、单选题 1. 已知数列的首项，（，），则为（ ） A. 7 B. 15 C. 30 D. 47 2. 在等差数列中，已知，，则（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 3. 已知数列的首项，且满足，则（   ） A. 8 B. 32 C. 16 D. 64 4. 已知实数是1，4的等比中项，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列的前项和为，若，则数列的公差（ ） A. 3 B. 2 C. D. 4 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 等差数列的前项和为，若，则 A. B. 1 C. 2 D. 8. 已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 甲同学通过数列3，5，9，17，33，…的前5项，得到该数列的一个通项公式为，根据甲同学得到的通项公式，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 该数列为递增数列 D. 10. 若为等差数列，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是数列中的项 C. 数列单调递减 D. 数列前7项和最大 11. 下列选项正确的是（ ） A. 已知数列的前n项和．则该数列的通项公式为． B. 若数列是等差数列，则为等差数列 C. 已知数列是等比数列，，，令，则 D. 若数列的通项公式为，则当时，取得最大值. 三、填空题 12. 在数列中，，且，则______． 13. 已知各项均为正数的等比数列，记为数列前项和，若，，则________． 14. 已知数列满足，且，则__________. 四、解答题 15. 已知等差数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和为. 16. 在递增的等比数列中，，，其中. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 17. 在等差数列中，，． （1）求数列的首项和公差； （2）设数列的前n项和为，求的最小值及取最小值时n的值． 18. 已知数列的前项和为，满足． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． （3）若对任意，不等式恒成立，且，为常数．已知，求的最小值． 19. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）设，求数列的前项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $