精品解析：河北唐山第一中学2025-2026学年高一下学期4月月考数学试题

2025-2026唐山第一中学高一下学期数学4月月考 一、单选题 1. 复数满足，是的共轭复数，则（    ） A. B. C. D. 2. 已知点，则与同方向的单位向量为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量 ，若 ，则 （ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 4. 已知点，向量，点是直线上一点，满足，则点的坐标是（ ） A. . B. C. 或 D. 或 5. 已知，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，内角的对边分别为，若，则的形状一定为（ ） A. 等腰三角形非直角三角形 B. 直角三角形非等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 7. 如图，某建筑物的高度，一架无人机（无人机的大小忽略不计）上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为，地面某处的俯角为，且，则此无人机距离地面的高度为（ ） A. B. C. D. 8. 记的内角的对边分别为，已知的面积为为边的中点，且，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 二、多选题 9. 已知i为虚数单位，复数z满足z（2-i）= i2020，则下列说法错误的是（ ） A. 复数z的模为 B. 复数z的共轭复数为 C. 复数z的虚部为 D. 复数z在复平面内对应的点在第一象限 10. 下列命题中，正确的是（    ） A. 若与平行，则 B. 若，则 C. 若不平行的两个非零向量、，满足，则 D. 若平面内有四点，则必有 11. 设点是所在平面内一点，则下列说法正确的有（    ） A. 若，则点是边的中点 B. 若，则直线经过的内心 C. 在中，设，那么动点的轨迹必通过的外心 D. 在扇形中，半径，弧长为，点是弧上的动点，点分别是半径上的动点，则周长的最小值是 三、填空题 12. 设为单位向量，且，则________． 13. 已知的内角、、的对边分别为、、，已知，则的最大内角为_________. 14. 在中，为三等分点（靠近点），，若，且，则_________. 四、解答题 15. 已知点是线段AB的中点． （1）求点和的坐标； （2）若是轴上一点，且满足，求点的坐标． （3）若点坐标为，且点A，B，D能构成三角形，求实数的取值范围． 16. 如图，在平面四边形ABCD中，，，，，. （1）求线段AC的长度； （2）求的值. 17. 如图，一辆汽车从A市出发沿海岸一条笔直公路以km/h的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在A市南偏东方向距A市且与海岸距离为的海上B处有一艘快艇与汽车同时出发，要把一份文件交给这辆汽车的司机． （1）若快艇每小时最快行驶，快艇应如何行驶才能尽快把文件交到司机手中？最快需多长时间？ （2）快艇至少以多大的速度行驶才能把文件送到司机手中？ 18. 在中，内角的对边分别为，满足． （1）证明：； （2）若，，点为边上一点，为的平分线，求的值； （3）若为锐角三角形，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026唐山第一中学高一下学期数学4月月考 一、单选题 1. 复数满足，是的共轭复数，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出，然后由乘法法则计算． 【详解】由题意，由共轭复数的定义可得，则． 2. 已知点，则与同方向的单位向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的坐标表示公式，结合平面向量模的运算公式进行求解即可. 【详解】由， 因此与同方向的单位向量为， 故选：A 3. 已知向量 ，若 ，则 （ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示及数量积运算律、数量积的坐标表示列式求解. 【详解】向量 ，由，得， 所以. 故选：C 4. 已知点，向量，点是直线上一点，满足，则点的坐标是（ ） A. . B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示求解即得. 【详解】依题意，若，则，而， 因此，则点的坐标是； 若，则，则点的坐标是， 所以点的坐标是或. 故选：C 5. 已知，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据投影向量的公式求解即可. 【详解】设为向量，的夹角，因为， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：B. 6. 在中，内角的对边分别为，若，则的形状一定为（ ） A. 等腰三角形非直角三角形 B. 直角三角形非等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理化简可得,再根据可得 . 【详解】由与正弦定理有, 即,故, 因为,故,故. 又,故.又, 故,故.故一定是等腰直角三角形. 故选：C 7. 如图，某建筑物的高度，一架无人机（无人机的大小忽略不计）上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为，地面某处的俯角为，且，则此无人机距离地面的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 计算出和，利用正弦定理求出，由此可得出，即可计算出所求结果. 【详解】在中，，，. 在中，，，. 由正弦定理，得，得. 在中，， 故此无人机距离地面的高度为， 故选：B. 【点睛】本题考查高度的测量问题，考查正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 8. 记的内角的对边分别为，已知的面积为为边的中点，且，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用向量的中线公式和三角形面积公式得，进而得，再联立，即可求解. 【详解】因为为边中点，则， 所以， 又，，则， 又，则，所以①， 又②，由①②解得或， 又，则，所以， 由，解得 故选：B. 二、多选题 9. 已知i为虚数单位，复数z满足z（2-i）= i2020，则下列说法错误的是（ ） A. 复数z的模为 B. 复数z的共轭复数为 C. 复数z的虚部为 D. 复数z在复平面内对应的点在第一象限 【答案】ABC 【解析】 【分析】直接利用复数的运算，复数的模，复数的共轭，复数的几何意义判断A、B、C、D的结论． 【详解】解：复数满足，整理得． 对于A：由于，故，故A错误； 对于B：由于，故，故B错误； 对于C：复数的虚部为，故C错误； 对于D：复数在复平面内对应的点为，故该点在第一象限内，故D正确； 故选：ABC． 10. 下列命题中，正确的是（    ） A. 若与平行，则 B. 若，则 C. 若不平行的两个非零向量、，满足，则 D. 若平面内有四点，则必有 【答案】CD 【解析】 【详解】对于A，由与平行，得，A错误； 对于B，当时，对任意向量，均有成立，B错误； 对于C，若不平行的两个非零向量、，满足，则，C正确； 对于D，， 因此，D正确. 11. 设点是所在平面内一点，则下列说法正确的有（    ） A. 若，则点是边的中点 B. 若，则直线经过的内心 C. 在中，设，那么动点的轨迹必通过的外心 D. 在扇形中，半径，弧长为，点是弧上的动点，点分别是半径上的动点，则周长的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据中点的性质，可判定A正确；根据垂心的性质及数量积公式，可判定B正确；根据向量的运算得到，即可判断，可判定C正确；根据三点共线的性质，可判定D正确. 【详解】对于A，因为，可得， 所以，即，即点是边的中点，故A正确； 对于B，设的中点为， 可得， 即，故过的垂心，故B错误； 对于C，因为，即，所以， 即点在边的延长线上， 设是的中点，由， 即，所以， 所以动点在线段的中垂线上，故动点的轨迹必通过的外心，所以C正确. 对于D，连接，作点关于直线的对称点，关于直线的对称点， 连接分别交，与点，连接如下图所示：  则，， 则的周长的最小值即为的长度. 因为扇形OAB的弧长为，半径为2，所以， 根据对称性知，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，即周长的最小值是. 三、填空题 12. 设为单位向量，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由题知，进而得即可得答案. 【详解】因为为单位向量，且， 所以， 所以， 所以，即 故答案为： 13. 已知的内角、、的对边分别为、、，已知，则的最大内角为_________. 【答案】 【解析】 【分析】分析可知的内角中，角最大，再利用余弦定理求解即可. 【详解】因为，不妨设，则，，所以， 故的内角中，角最大， 由余弦定理可得， 因为，故. 14. 在中，为三等分点（靠近点），，若，且，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意建立平面直角坐标系，设出相关点坐标，利用向量的线性关系与向量数量积的坐标公式计算即得. 【详解】如图，以点为坐标原点，使在轴上，建立平面直角坐标系， 则，，因，可设，， 因为三等分点（靠近点），则， 根据，可得，即， 解得，于是. 四、解答题 15. 已知点是线段AB的中点． （1）求点和的坐标； （2）若是轴上一点，且满足，求点的坐标． （3）若点坐标为，且点A，B，D能构成三角形，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用中点坐标公式求出点的坐标，并根据求出的坐标； （2）设出，求出，根据平行得到方程，求出答案. （3）由点A，B，D能构成三角形，得到三点不共线，列不等式求解. 【小问1详解】 是线段AB的中点，记为坐标原点， ，； 【小问2详解】 设，则， 因为，，解得：， ∴点的坐标是． 【小问3详解】 点A，B，D能构成三角形，则三点不共线， 所以与不共线， 又，，所以， 解得. 16. 如图，在平面四边形ABCD中，，，，，. （1）求线段AC的长度； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助面积公式可先求出，再借助余弦定理即可得解； （2）借助正弦定理可得，则可得，再利用正弦定理即可得. 【小问1详解】 ，， ，， 在中，由余弦定理得： ，； 【小问2详解】 在中，由正弦定理得：， ，， ，， 在中，由正弦定理得：， ，. 17. 如图，一辆汽车从A市出发沿海岸一条笔直公路以km/h的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在A市南偏东方向距A市且与海岸距离为的海上B处有一艘快艇与汽车同时出发，要把一份文件交给这辆汽车的司机． （1）若快艇每小时最快行驶，快艇应如何行驶才能尽快把文件交到司机手中？最快需多长时间？ （2）快艇至少以多大的速度行驶才能把文件送到司机手中？ 【答案】（1）快艇应垂直于海岸向北行驶才能尽快把文件交到司机手中，最快需要4h （2）快艇至少以的速度行驶才能把文件送到司机手中 【解析】 【分析】（1）设快艇以的速度沿行驶，小时后与汽车在E处相遇，在中，利用余弦定理，列出关于方程，求得，即可求解； （2）设快艇以的速度从B处出发，沿方向行驶，小时后与汽车在C处相遇，再设，在中，利用余弦定理，求得，结合二次函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：如图所示，设快艇以的速度沿行驶，小时后与汽车在E处相遇. 在中，，，，. 由余弦定理得，解得或（舍去）， 当时，，，则， 所以快艇应垂直于海岸向北行驶才能尽快把文件交到司机手中，最快需要小时. 【小问2详解】 解：如图所示，设快艇以的速度从B处出发，沿方向行驶，小时后与汽车在C处相遇. 在中，，，， 其中为边上的高，且， 设，则，， 由余弦定理得， 即， 整理得 ， 当，即时，，所以， 即快艇至少以的速度行驶才能把文件送到司机手中. 18. 在中，内角的对边分别为，满足． （1）证明：； （2）若，，点为边上一点，为的平分线，求的值； （3）若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1） 由，利用正弦定理得：， 又， 所以， 所以， 所以或， 所以或（舍去） 所以； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换即可得证； （2）先计算，利用二倍角余弦公式得，再由结合二倍角正弦公式即可求解； （3）由（1）有，得，又由正弦定理得，利用锐角三角形求出的范围，进而求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，所以， 又，所以， 又，所以， 又由为的平分线， 所以， 所以， 所以， 又由余弦定理得：， 所以，所以； 【小问3详解】 由（1）有，又，所以， 又由正弦定理得： ， 又为锐角三角形，所以， 所以，所以，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $