圆与相似三角形的性质综合复习讲义-2026年中考数学一轮复习高频考点复习讲义

圆与相似三角形的性质综合复习讲义 圆与相似三角形的性质综合复习讲义 知识点解析 一、核心原理 依托圆的核心性质（圆周角、圆心角、弦切角、相交弦/切割线定理等）转化角/线段的等量关系，结合相似三 角形的判定与性质(AA/SAS/SSS判定，对应边成比例、对应角相等)，实现角的传递、线段的比例转化，将圆的 几何关系转化为相似三角形的边/角计算，核心是找等角定相似，用相似推比例，结合圆性质求未知。 二、通用解题思路（四步法，核心：找等角→证相似→列比例→联圆性质求解） 1.标已知，挖圆的隐含等角等线段 标注题干中圆的已知条件（如直径、切线、弧相等、弦相等），根据圆的性质推导隐含等角/线段关系： ·等弧/等弦→对应圆周角/圆心角相等； ·直径所对圆周角为90°； ·弦切角=所夹弧对应的圆周角： ·圆内接四边形对角互补、外角等于内对角。 【关键】优先标记公共角、对顶角、由圆性质推导的等角，为相似判定铺垫。 2.找三角形，用判定定理证相似 结合圆的背景，锁定待证的两个三角形，利用相似三角形判定定理证明，AA判定为高频首选（由圆的性 质易推等角)，SAS/SSS为辅： ·AA(两角对应相等)：最常用，通过圆的性质找两组对应等角（如公共角+圆周角相等）； ·SAS(两边对应成比例且夹角相等)：适用于含圆的弦/半径切线的线段比例场景： ·S$S(三边对应成比例)：极少用，仅适用于线段关系明确的简单场景。 圆与相似三角形的性质综合复习讲义 3.由相似，列对应边成比例等式 相似三角形判定后，根据相似性质写出对应边成比例的核心等式（注意：对应顶点需对齐，避免比例列 错)，若有未知线段，用字母表示并代入比例式。 4.联圆的定理，化简求解未知量 将比例式与圆的线段定理（相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理）结合，消去中间量、化简 等式，求解未知线段长/角度，或证明线段/角的关系。 【常用圆的线段定理】 ·相交弦：PA·PB=PC·PD: ·切割线：PT=PA·PB; ·割线：PA·PB=PC·PD; ·切线长：PA=PB。 三、高频考向及专属解法 考向1：证线段成比例/相等 ·解法：由圆的性质找等角→证三角形相似→列对应边成比例→化简得线段比例/相等；证线段相等可通过相 似比为1，或比例式中对应边相等推导。 考向2：求线段长度 ·解法：标已知线段→证相似列比例式→结合相交弦/切割线等圆定理补充线段关系→代入已知数解未知线段 (多为一元一次/二次方程，注意舍负解)。 考向3：证角相等/垂直 ·证角相等：证三角形相似→对应角相等，或由相似推边比例一结合圆性质传递角； 圆与相似三角形的性质综合复习讲义 ·证垂直：先由圆性质（如直径）得直角，或通过相似推得某角等于已知直角，或证三角形内角为90°。 考向4：圆与相似的综合证明（如证切线、证四点共圆） ·证切线：先由相似得角相等→推导出弦切角=圆周角，或证直线与半径垂直(90°)，结合切线判定定理得 证： ·证四点共圆：由相似得等角→结合圆内接四边形判定（对角互补、外角等于内对角、同弧所对圆周角相 等)得证。 四、注意事项 1.找等角的核心抓手：紧扣弦切角定理、圆周角定理、圆内接四边形性质，这是圆中推导等角最直接的依据， 也是证相似的关键： 2.公共角对顶角优先用：圆的背景中，两个三角形常含公共角或对顶角，先标记此类角，再找一组由圆性质 推导的等角，即可用AA证相似： 3.比例式的规范书写：相似三角形的顶点必须按对应关系书写（如△ABC~△DEF)，确保比例式中边的对 应性(A=BC=AC),避免核心错误： DE EF DE 4.圆的定理与相似结合：若仅用相似比例无法求解，优先联想相交弦、切割线定理，此类定理可直接给出圆 中线段的乘积关系，与相似比例式联立可快速消元： 5.辅助线的常用作法：遇切线连半径（垂直）、遇直径连圆周角（直角）、遇弧相等连弦/圆周角，通过辅助 线构造可证相似的三角形，或挖掘圆的隐含性质。 圆与相似三角形的性质综合复习讲义 例题分析 例1.(25-26九年级下·北京·月考)如图，△ABC的边BC为⊙0的直径，AC交⊙0于点D,E为DC的中点， 连接EO并延长，交⊙O于点F,交AB的延长线于点G.∠G=∠C, B E (1)求证：AB为⊙O的切线； FM 3 (2)连接FD交B0于点M,若MD=4,AB=6?求BG的长. 【答案】(1)见解析 15 2)4 【详解】(1)证明：如图，连接OD, B D E .0D=0C, .E为DC的中点， .∠0EC=90°， ∠BOG=∠EOC,∠G=∠C ∴.根据三角形内角和定理得，∠OBG=∠OEC=90°， 又OB是⊙0的半径， ∴.AB为⊙O的切线： (2)解：如图所示，连接BD, 圆与相似三角形的性质综合复习讲义 B ,BC是⊙O的直径， ∴.∠BDC=90°， .∠BDC=∠OEC=90°， .BD∥CE, AB AD FM OF 3 BG DE'MD BD 4' 令BD=4x,则OF=3x,BC=6x, 由勾股定理得CD=VBC2-BD=2√5x 由(1)得∠ABC=90°， ∴∠ABD=∠C, 又∠ADB=∠BDC=90°， ∴.△ABC∽△BCD, AB BD ∴BCCD' 6 4x 即6x2N5x' 解得= :BD=4x52N5CD=2V5x。 2 2 E为DC的中点， .DE=CD= 5 2 2 由勾股定理得AD=VAB-BD=V√36-20=4 圆与相似三角形的性质综合复习讲义 64 .BG 5 2 解得BG=15 4· 例2.(2026浙江杭州一模)已知AB为⊙0的直径，C为⊙0上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D, 连接AC. D D 图1 图2 (1)如图1，求证：∠BAC=∠DAC: (2)如图2，连接BC,延长DC交AB的延长线于点E,∠AEC的平分线分别交AC,BC于点F,G,求证： CF=CG: (③创如图2，在(2)的条件下，若G是E的中点，且-0 3,CD=4,求线段CF的长. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 5 【详解】(1)证明：如图，连接OC, D 切于点， DC O .OC⊥CD, ∠0CD=90°， AD⊥CD, .∠ADC=90°， ∴.∠OCD+∠ADC=180°， .CC∥AD 6 圆与相似三角形的性质综合复习讲义 .∠ACO=∠DAC, .OA=OC. .∠ACO=∠BAC, ∠BAC=∠DAC: (2)证明：如图，连接OC, D B E 由(1)知：∠OCE=∠OCD=90°，∠CA0=∠AC0, ∴.∠OCB+∠BCE=90° AB是⊙O的直径， .∠ACB=90° .∠ACB=∠OCE, .∴∠BCE=∠ACO, .∠CAO=∠BCE, EF是∠AEC的平分线， ∴∠CEF=∠AEF, .∠CFG=∠CAO+∠AEF,∠CGF=∠BCE+∠CEF, .∠CFG=∠CGF, .CF=CG; CE OG (3)解：如图，取的中点，连接， D 是的中点， .G EF 1 GQ∥CF, GO=CF, 2 .∴∠CGQ=∠ACB=90°」 由(2)知：CF=CG, > 圆与相似三角形的性质综合复习讲义 .GQ=-CG 2 由(2)知：∠DAC=∠BAC=∠BCE, ∴tan∠DAC=tan∠BAC=tan∠BCE=Ge_L CG 2 CD BC 1 AD AC 2' 41 AD2 AD=8, ..AC=AD2+CD2=4V5 c-4c=25, ...AB=AC2+BC2=10 ·AE=40 ’ BE=AE-AB=10 , :AE=40 , DE=AE2-AD2 =32 ÷CE=DE-DC=20 :∠CAE=∠GCE,∠FEA=∠CEG, .AAFE∽aCGE, 40 4F4E-3=2 CGCE20 3 .AF =2CG, .CF=CG. :AF=2CF, AC=45 圆与相似三角形的性质综合复习讲义 :CF=45 3 例3，(25-26九年级下·江苏泰州月考)如图，半圆⊙0中，直径AB=8,点C为弧AB的中点，点D在弧BC上， 连接CD并延长交AB的延长线于点E,连接AD交CO于点F,连接EF. (I)求证：△DCA△ACE. (2)若D为CE中点，求BE的长. (3)求AE·CF的值. 【答案】(1)见解析 (2BE=4W3-4 (3)32 【详解】(I)证明：：AB为半圆⊙O的直径，点C为弧AB的中点， .∠A0C=90°， ..OA=OC, ∴.∠CA0=∠AC0=45°， ..AC=AC, :∠ADC=}∠40C=45°=∠C40, :∠ACD=∠ECA, ∴.△DCAr△ACE: (2)解：AB=8, 0A=0C=4B=4 2 心由勾股定理得4C=4W2 D为CE中点， CD=DE=1CE 2 由(1)知：△DCA△ACE, 9 圆与相似三角形的性质综合复习讲义 AC CE …CDAC 即AC2=CD.CE=2CD2, 20D2=42, CD=4, 即CE=8, 由勾股定理得：0E=VCE2-0C=4V5 BE=OE-OB=45-4 (3)解：·∠ACO=45°=∠CDA,∠CAD=∠FAC, ∴△CFAADCA, 由(1)得△DCA∽△ACE, .△CFAP△ACE, CF AC AC AE 即AE.CF=AC2=42=32 例4.(25-26九年级下湖北武汉：月考)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D,点 O是边AB上一点，以点O为圆心OB长为半径作圆，⊙O经过点D. D A B (I)求证：直线AC是⊙O的切线： (2)若B0=4,AO=5,求tan∠CBD的值. 【答案】(I)见解析 (2)3 【详解】(1)证明：如图，连接OD, .OB=OD. ∴.∠ODB=∠OBD o圆与相似三角形的性质综合复习讲义 圆与相似三角形的性质综合复习讲义 知识点解析 一、核心原理 依托圆的核心性质（圆周角、圆心角、弦切角、相交弦/切割线定理等）转化角/线段的等量关系，结合相似三角形的判定与性质（AA/SAS/SSS判定，对应边成比例、对应角相等），实现角的传递、线段的比例转化，将圆的几何关系转化为相似三角形的边/角计算，核心是找等角定相似，用相似推比例，结合圆性质求未知。 二、通用解题思路（四步法，核心：找等角→证相似→列比例→联圆性质求解） 1. 标已知，挖圆的隐含等角/等线段 标注题干中圆的已知条件（如直径、切线、弧相等、弦相等），根据圆的性质推导隐含等角/线段关系： · 等弧/等弦→对应圆周角/圆心角相等； · 直径所对圆周角为90°； · 弦切角=所夹弧对应的圆周角； · 圆内接四边形对角互补、外角等于内对角。 【关键】优先标记公共角、对顶角、由圆性质推导的等角，为相似判定铺垫。 1. 找三角形，用判定定理证相似 结合圆的背景，锁定待证的两个三角形，利用相似三角形判定定理证明，AA判定为高频首选（由圆的性质易推等角），SAS/SSS为辅： · AA（两角对应相等）：最常用，通过圆的性质找两组对应等角（如公共角+圆周角相等）； · SAS（两边对应成比例且夹角相等）：适用于含圆的弦/半径/切线的线段比例场景； · SSS（三边对应成比例）：极少用，仅适用于线段关系明确的简单场景。 1. 由相似，列对应边成比例等式 相似三角形判定后，根据相似性质写出对应边成比例的核心等式（注意：对应顶点需对齐，避免比例列错），若有未知线段，用字母表示并代入比例式。 1. 联圆的定理，化简求解未知量 将比例式与圆的线段定理（相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理）结合，消去中间量、化简等式，求解未知线段长/角度，或证明线段/角的关系。 【常用圆的线段定理】 · 相交弦：； · 切割线：； · 割线：； · 切线长：。 三、高频考向及专属解法 考向1：证线段成比例/相等 · 解法：由圆的性质找等角→证三角形相似→列对应边成比例→化简得线段比例/相等；证线段相等可通过相似比为1，或比例式中对应边相等推导。 考向2：求线段长度 · 解法：标已知线段→证相似列比例式→结合相交弦/切割线等圆定理补充线段关系→代入已知数解未知线段（多为一元一次/二次方程，注意舍负解）。 考向3：证角相等/垂直 · 证角相等：证三角形相似→对应角相等，或由相似推边比例→结合圆性质传递角； · 证垂直：先由圆性质（如直径）得直角，或通过相似推得某角等于已知直角，或证三角形内角为90°。 考向4：圆与相似的综合证明（如证切线、证四点共圆） · 证切线：先由相似得角相等→推导出弦切角=圆周角，或证直线与半径垂直（90°），结合切线判定定理得证； · 证四点共圆：由相似得等角→结合圆内接四边形判定（对角互补、外角等于内对角、同弧所对圆周角相等）得证。 四、注意事项 1. 找等角的核心抓手：紧扣弦切角定理、圆周角定理、圆内接四边形性质，这是圆中推导等角最直接的依据，也是证相似的关键； 1. 公共角/对顶角优先用：圆的背景中，两个三角形常含公共角或对顶角，先标记此类角，再找一组由圆性质推导的等角，即可用AA证相似； 1. 比例式的规范书写：相似三角形的顶点必须按对应关系书写（如△ABC∽△DEF），确保比例式中边的对应性（），避免核心错误； 1. 圆的定理与相似结合：若仅用相似比例无法求解，优先联想相交弦、切割线定理，此类定理可直接给出圆中线段的乘积关系，与相似比例式联立可快速消元； 1. 辅助线的常用作法：遇切线连半径（垂直）、遇直径连圆周角（直角）、遇弧相等连弦/圆周角，通过辅助线构造可证相似的三角形，或挖掘圆的隐含性质。 例题分析 例1．（25-26九年级下·北京·月考）如图，的边为的直径，交于点，为的中点，连接并延长，交于点，交的延长线于点．， (1)求证：为的切线； (2)连接交于点，若，，求的长． 例2．（2026·浙江杭州·一模）已知为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，延长交的延长线于点，的平分线分别交，于点，，求证：； (3)如图2，在（2）的条件下，若是的中点，且，，求线段的长． 例3．（25-26九年级下·江苏泰州·月考）如图，半圆中，直径，点为弧的中点，点在弧上，连接并延长交的延长线于点，连接交于点，连接． (1)求证：． (2)若为中点，求的长． (3)求的值． 例4．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）如图，在中，，的平分线交于点，点是边上一点，以点为圆心长为半径作圆，⊙经过点． (1)求证：直线是⊙的切线； (2)若，，求的值． 变式训练 变式1．（25-26九年级下·四川成都·月考）如图，是的直径，点为上一点，过点作的切线交的延长线于点．连接，，过点作的垂线，交，于点，，交于另一点． (1)求证：； (2)若，，求半径和线段的长． 变式2．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，内接于，的直径交于点，过点作的切线交延长线于点F，且，连接. (1)求证：； (2)已知，，求的长. 变式3．（25-26九年级下·江苏苏州·月考）如图，是的直径，点是线段延长线上一点，过点的直线与相切于点，过线段上一点作的垂线交直线于点，交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 变式4．（2026·江苏无锡·一模）如图，为的外接圆，点在上，为的直径，是的切线，且交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，若，，求的长． 实战演练 1．（25-26九年级下·广东广州·月考）如图，是的外接圆，是的直径，是的切线，切点为F，，连接交于E，连接．    (1)证明：平分； (2)作的平分线交于点D；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (3)在（2）的条件下，若，，求的半径． 2．（25-26九年级下·四川南充·月考）如图，是的直径，C是延长线上的一点，点F在上，于D，与交于点E，连接，，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $