隐圆问题 复习讲义-2026年中考数学一轮复习高频考点复习

隐圆问题复习讲义 隐圆问题复习讲义 知识点解析 一、核心解题原理：判定点的轨迹为圆的基本依据 所有隐圆问题的本质，都是满足“到定点的距离为定长” 或其等价条件，以下是4类最常见的隐圆判定定理（几何条件→轨迹为圆），是挖掘隐圆的关键： 判定类型 核心几何条件 轨迹结论 补充说明 定距型（最基础） 动点P到定点O的距离为定长r 点P的轨迹是以O为圆心、r为半径的圆 直接贴合圆的定义，易识别 定角对定边型（圆周角定理逆用） 动点P对定线段AB的张角为定角∠APB=θ（0°<θ<180°） 点P的轨迹是以AB为弦的圆弧（不包括A、B两点）；若θ=90°，则轨迹为以AB为直径的圆（直径所对圆周角为直角） 1. 定角为锐角/钝角时，轨迹是两段优弧/劣弧；2. 需注意动点的位置范围（避免漏弧/多弧） 对角互补型（圆内接四边形性质逆用） 四边形ABCD中，∠A+∠C=180°（或∠B+∠D=180°） 四点A、B、C、D共圆（点D在以ABC为顶点的圆上） 常结合三角形内角和、平行线性质推导对角互补 到两定点距离的平方和为定值 动点P(x,y)到两定点A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)的距离满足PA²+PB²=k（k为定值，且k>AB²） 点P的轨迹为圆（坐标法推导：展开后消去一次项，得圆的一般方程） 解析几何中常用，几何意义：由中线定理PA²+PB²=2PO²+2AO²（O为AB中点），可推导出PO为定长，回归定距型 补充推导（中线定理证平方和型）： 设O为AB中点，由中线定理得 ，若（定值），则（定值），即P到O的距离为定长，轨迹为圆。 二、通用处理思路：四步走挖掘隐圆并解题 隐圆问题的关键是先找圆，再用圆的性质，步骤可概括为：定条件→挖隐圆→画图形→用性质，每一步的操作要点如下： 步骤1：分析题干，锁定“动点+定条件” 从题目中找出唯一动点（或核心动点），以及约束动点的定量条件（定线段、定角、定值平方和、对角互补等），排除所有定点、定长、定角，聚焦动点的约束关系。 例：△ABC中，AB=4（定线段），∠ACB=60°（定角），C为动点→核心条件：动点C对定线段AB的张角为60°。 步骤2：根据定条件，判定隐圆类型并确定圆的基本要素 结合上述4类判定定理，判断隐圆类型，进而求出圆的圆心、半径、轨迹范围（整圆/圆弧），这是最核心的一步，不同类型的要素求法： 1. 定距型：直接找定点（圆心）、定长（半径）； 2. 定角对定边型： - 若∠APB=90°：圆心为AB中点，半径=½AB（直径）； - 若∠APB=θ≠90°：先作AB的垂直平分线，再根据圆周角与圆心角的关系（圆心角=2θ），确定圆心位置，半径由弦长公式得； 3. 对角互补型：找三点确定圆（不共线三点定圆），圆心为三边垂直平分线的交点，半径为圆心到定点的距离； 4. 平方和型：先找两定点的中点O，再由中线定理求PO的定长（圆心O，半径PO）。 步骤3：画出隐圆图形，标注已知条件与轨迹范围 将挖掘出的隐圆（或圆弧）画在原图中，标注定点、定长、定角、圆心、半径，重点标注动点的轨迹范围（如“不包括A、B两点”“仅在AB上方的圆弧”），避免因范围错误导致答案偏差。 步骤4：结合圆的几何性质，解决所求问题 隐圆画出后，问题转化为常规圆的几何问题，根据所求（角度、长度、最值、面积），选用对应的圆的性质，常见应用场景及对应性质： 所求问题 常用圆的性质 角度计算/证明 圆周角定理（同弧所对圆周角相等）、圆心角与圆周角的关系、圆内接四边形的对角互补/外角等于内对角 线段长度计算 垂径定理（垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧）、勾股定理（半径、弦心距、半弦长构成直角三角形）、切线长定理 最值问题（最常考） 1. 点到圆的距离最值：圆外一点P到圆O上动点Q的距离，，； 2. 线段和/差最值：结合圆的对称性、两点之间线段最短转化； 3. 角度最值：同弧所对的圆周角为定值，弦切角为最值 面积最值 结合线段最值，如△APB的面积=高，AB为定长时，高的最值对应面积最值（高的最值为圆上点到AB的距离最值） 三、典型题型分类解析（附解题技巧） 隐圆问题的考法集中在定角对定边型（含90°定角） 和最值型，以下是两类高频题型的解题技巧和示例： 题型1：90°定角对定边（直径型隐圆） 核心特征：动点对定线段的张角为90°，轨迹为以定线段为直径的圆（去掉端点）； 解题技巧：直接找定线段中点为圆心，半长为半径画圆，再用圆的性质解题。 题型2：非90°定角对定边（圆弧型隐圆） 核心特征：动点对定线段的张角为定值θ（≠90°），轨迹为以定线段为弦的圆弧； 解题技巧：先作定线段的垂直平分线，再构造圆心角2θ确定圆心，注意轨迹的两个圆弧（上下/左右），根据题干条件取舍。 题型3：隐圆中的最值问题（高频压轴） 核心特征：结合“点到圆的距离最值”，是隐圆问题的核心考法； 解题技巧：先定隐圆，再找圆外/圆内定点，利用“定点到圆心的距离±半径”求最值，口诀：圆外点，和为最大，差为最小；圆内点，和为最小，差为最大。 通用结论：设圆O的半径为r，定点P到圆心O的距离为d，则： - 若P在圆外：圆上动点Q到P的距离，，； - 若P在圆内：，； - 若P在圆上：PQ的最值为2r（直径）和0。 例题分析 例1．（2026·江苏苏州·模拟预测）矩形中，，，点为矩形内一点，使得．将绕点顺时针旋转，得到，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，矩形的性质，旋转的性质．取的中点，连接，先判断出点在上运动，当共线时，有最小值，据此求解即可． 【详解】解：取的中点，连接， 由旋转的性质知：， ∴点在上运动， ∴当共线时，有最小值， 由旋转的性质知：，， ∴,， ∴， ∴的最小值为， 故选：A． 例2．（24-25九年级下·广东广州·开学考试）如图，在菱形中，，点E在边上，且，F是边上一动点，将沿直线折叠，点D落在点N处，当点N在四边形内部（含边界）时，的长度的最大值是（   ） A． B．        B．       D． 【答案】A 【分析】根据题意可知，点在以为圆心，长为半径的圆上运动．由此可找出临界点，当点落在上时，最短，当点落在边上时，最长．根据轴对称的性质分别求解，可得出的取值，进而得最大值． 【详解】解：根据题意可知，点在以为圆心，长为半径的圆上运动， 如图所示： 当点正好落在边上时， ， 是等边三角形， ， 最短， 此时； 当点落在边上时，最长， 过点作于点，分别过点作的垂线，交的延长线于点． 四边形是矩形， 在菱形中，，， 点在边上，且， ，，，， ， ， ，，， 在中，，， ， ， ， 设，则，， 在中， 由勾股定理可知，， 即， 解得， ， 故答案为：A． 例3．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且，当点从点运动到点时，点运动的路径长是____________． 【答案】 【分析】本题考查矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，求弧长，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形，确定点的运动轨迹，是解题的关键． 作 ，交于点，以为直径画，证明，推出点在以为直径的运动，并求出半径，再连接，推出点运动的路径长为，然后根据三角形函数和圆周角定理解出，最后运用弧长公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵将沿直线翻折得到， ∴， 作 ，交于点，以为直径画， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点在以为直径的运动， ∵点从点运动到点， ∴连接，点运动的路径长为， ∵，，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴的弧长为． ∴点的运动路径总长为：． 故答案为：． 例4．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）已知正方形边长为2，点E是正方形边上的动点，点F在边上，，线段相交于点M，连接，则点E从点A运动到点B的过程中，线段扫过的面积是_______． 【答案】 【分析】先证明≌得到，进而证得，利用圆周角定理得到点M在以AD为直径的圆上运动，如图，设圆心为N，连接相交于O，连接，利用正方形的性质和圆周角定理得到点O在圆N上，根据图形结合已知得到在点E从点A运动到点B的过程中，点M在劣弧上运动，点F在上运动，由线段扫过的面积求解即可． 【详解】解：正方形边长为2， ，， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， 点M在以为直径的圆弧上运动， 如图，连接相交于O，设圆心为N，连接，则，，， ， 点O在圆N上， ，， ，， 当点E在点A处时，点F在点B处，这时点M在点A处，当点E在点B处时，点F在点C处，这时点M在点O处， 在点E从点A运动到点B的过程中，点M在劣弧上运动，点F在上运动， 线段FM扫过的面积是， 故答案为：． 例 5．（2025·陕西西安·模拟预测）（1）如图1，已知线段，平面内有一动点，且，则的最小值为______． （2）如图2，中，，点为的中点，点为内一动点，，连接，过点作，且，连接，求的长． （3）某工厂计划加工如图3所示的零件，要求分米，，在上有一点，连接，请你帮工人师傅计算是否存在最小值，若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由．    【答案】（1）3  （2）  （3）存在， 【分析】（1）C在以A为圆心，为半径的圆上运动，根据点圆最值求解即可； （2）连接，由等腰直角三角形的性质和三角函数可得 ，进而可证，再由相似的性质求解即可； （3）如图3，在下方作，使得，，证明得到，故作的外接圆，圆心为点O，则当点P在线段上时，最小，利用圆周角定理和等边三角形的判定与性质证明是等边三角形得到，，利用三角形的内角和定理和角度的运算得到，利用勾股定理求得，进而求得由求解即可． 【详解】解：（1）以A为圆心，为半径，交于，则，    当C与重合时，的值最小，， 故答案为：3； （2）连接，   ，点为的中点， 在 中，， ， 在中，， ， ， ， ， ； （3）存在． 如图3，在下方作，使得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴作的外接圆，圆心为点O，则当点P在线段上时，最小， 如图， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故的最小值为． 变式训练 变式1．（2025·山东泰安·模拟预测）如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明，得出点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上，从而计算出答案． 【详解】设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆 ∵四边形为矩形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上 连接OB交圆O与点N ∵点B为圆O外一点 ∴当直线BM过圆心O时，BM最短 ∵， ∴ ∴ ∵ 故选：D． 变式2．（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图，正方形的边长为4，点E是正方形内的动点，点P是边上的动点，且．连结，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明，即可得点E在以为直径的半圆上移动，设的中点为O，作正方形关于直线对称的正方形，则点D的对应点是F，连接交于P，交半圆O于E，根据对称性有：，则有：，则线段的长即为的长度最小值，问题随之得解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点E在以为直径的半圆上移动， 如图，设的中点为O， 作正方形关于直线对称的正方形， 则点D的对应点是F， 连接交于P，交半圆O于E， 根据对称性有：， 则有：， 则线段的长即为的长度最小值，E ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故的长度最小值为， 故选：A． 变式3．（2025·河南周口·二模）如图，正方形的边长为2，在平面内有一点P，始终保证，连接，设的中点为E，连接，则线段的最小值为__________，最大值为__________． 【答案】 / / 【分析】本题考查圆的定义、三角形的中位线性质、正方形的性质，解答的关键是构造三角形的中位线和得到点P的运动轨迹，属于中考填空题的常考压轴题． 延长至T，使得，连接，根据三角形的中位线性质得到，即只需求的最大值和最小值；根据圆的定义可得点P在以A为圆心，为半径的圆上运动，如图，连接并延长，交该圆于，，利用正方形的性质和勾股定理求得，进而求得的最小值和最大值即可求解． 【详解】解：延长至T，使得，连接， ∵的中点为E， ∴是的中位线， ∴，即只需求的最大值和最小值； ∵始终保证， ∴点P在以A为圆心，为半径的圆上运动，如图，连接并延长，交该圆于，， ∵，， ∴， ∴，， ∴的最小值为，的最大值为， ∴的最小值为，的最大值为， 故答案为：，． 变式4．（2025·陕西·模拟预测）如图，在菱形中，，，点分别在边和上，且．当的面积最大时，的面积为___________． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质、垂径定理、锐角三角函数、隐形圆求最值问题等知识，利用圆的相关知识得到的面积最大是解答的关键．作的外接圆，设圆心为O，过O作于H，过A作于P，由，当A、O、H共线时取等号，此时最大，点P、H重合，，则的面积最大；设、相交于，由菱形的性质和锐角三角函数分别求得，再由垂径定理和等腰三角形的性质证得点A、O、P、、C共线，进而求得，则，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴作的外接圆，设圆心为O，过O作于H，过A作于P，如图，则， ∴，当A、O、H共线时取等号，此时最大，点P、H重合，， ∵， ∴最大时，的面积最大； 如图1，设、相交于， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴， 又∵，， ∴，， ∴点A、O、P、、C共线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 变式5．（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考）1.问题发现 图（1），在和中，，，，连接，交于点M. ①的值为______；②的度数为_______． （2）类比探究 图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点M，请计算的值及的度数； （3）拓展延伸 在（2）的条件下，若，，将绕点O在平面内旋转一周． ①当直线经过点B且点C在线段上时，求的长； ②请直接写出运动过程中M点到直线距离的最大值． 【答案】（1）①1；②；（2），；（3）①的长为；②M点到直线距离的最大值为 【分析】（1）直接根据两个共顶点的等腰三角形证明，可以证明，最后在和中导角直接可以求解． （2）改变三角形结构，直接通过判定和相似，同样可以用第一问的方式证明，根据相似比，求线段比例，最后在和中导角直接可以求解的度数． （3）深度理解题意，本质上问的就是当B，C，D，三点共线时，求的长，在利用，对应边成比例求的长，最值的求解，先找到点和点的轨迹，可以发现是在两个圆弧上运动，再利用最大时，则M点到直线距离的最大，直接求解即可． 【详解】（1）①∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②设与交于点F， 由①知，， ∴， ∵， ， ∴， 故答案为：； （2）如下图，在和中，设与交于点； ∵∠，， ∴； ∵， 即， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，． （3）①如下图所示，当直线经过点B且点C在线段上时； 在中，，； 过点O作的垂线，垂足为； ∴； ∵； ∴； ∴，； 在中，由勾股定理得； ； ∴； ∵； ∴； 即； ②如下图所示，∵，； ∴点M的轨迹是圆弧，即点M在圆P上运动，且； 要想求出点到直线的最大值，动点距离直线越远越好， 从下图可以看出，点的轨迹也是圆，点运动极限位置取决于的最大值； ∵，； ∴的最大值取得当且仅当时； 即在中； ； ∴； 过点作的垂线，垂足为； ∴； 即线段即为所求； 在中； ； ∵； ∴； ∵； ∴； ； ∴； ∴M点到直线距离的最大值为． 实战演练 1．（2026·陕西西安·模拟预测）问题探究 (1)如图①，是的中位线，点在上，，连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为___________． (2)如图②，在中，，，，是内部的一个动点，且满足，求线段的最小值． 问题解决 (3)如图③，某学校规划一块矩形劳动实践基地，用于班级种植，是两个工具房，分别在，边上，且，沿铺设一条运送通道，再从点铺设一条垂直于的小路，在点处修一个肥料存放点，点处是基地水房，为方便参加劳动实践的同学取水后能最快到达点处获取肥料，需要沿铺设一条小路，要求尽可能的短，已知，．请问是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．（工具房、肥料存放点、水房的大小均忽略不计） 【答案】(1) (2) (3)存在最小值，为 【分析】（1）根据三角形中位线定理，可得，，从而可得，进而可求，计算即可求出； （2）根据，，易得，则可得动点的运动轨迹是圆弧，以的中点为圆心，为半径画圆弧交于点，连接，交圆弧于一点，即为点，此时线段的值最小，再根据勾股定理，计算即可求解； （3）延长、相交于点，连接，点是的中点，作，以点为圆心，为直径作圆弧，连接，交圆弧于点，此时的值最小，利用相似三角形的判定和性质，易求，再根据勾股定理，得，则，利用垂径定理，得，最后根据勾股定理，求得，，计算即可． 【详解】（1）解：是的中位线，， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ，即， ， ， ， 则动点是在以的中点为圆心，的长为直径的圆上，且在内部的圆弧上， 如图②，以的中点为圆心，为半径画圆弧交于点，连接，交圆弧于一点，即为点，此时线段的值最小，    ， ， 在，，， ， 则线段的最小值为； （3）存在最小值， 如图③，延长、相交于点，连接，点是的中点，作， 矩形， ，， ， ， ， ，即， ，即， 动点的运动轨迹是以点为圆心，为直径的圆弧上， 以点为圆心，为直径作圆弧，连接，交圆弧于一点，即为点，此时的值最小， 在中，，， ， ， ， ， 在中，， ， 在中， ， ， 则存在最小值，最小值为． 2．（25-26九年级上·重庆·期中）在中，，是延长线上一点，，是线段上一动点，连接，过点作于点，交于点． (1)如图1，过点作于点，交于点，证明：； (2)在（1）的条件下，如图2，在线段上截取，连接，若，，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明； (3)如图3，连接，将关于对称得到，连接，以为斜边在左侧作等腰，连接，若，，当最小时，直接写出的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据与，结合四边形对角互补即可证明全等； （2）结合第一问全等性质能够证明，再利用题干角度关系，得出，从而确定等腰，根据，得出，倍长构造，从而将转换到，得出等腰，再尝试将推导至，通过证明可得出，从而在等腰中，可以得出； （3）根据轴对称与定长得出点P轨迹，再根据等腰直角的形状，同方向构造等腰，从而得出，因此可确定点Q轨迹，再考虑最小时的位置，通过，分别求出与两三角面积进而可求解出答案． 【详解】（1）证明：，， ， ， ，， ， ， ， ， 在与中， ， ； （2）解：，理由如下， 如图，连接，延长至点N使得，连接， ， ，， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 在与中， ， ， ， ，， ， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ， ，， ， ， ； （3）解：如图，以为斜边在左侧作等腰，连接， 由题意得， 当点E在线段上运动时，点P在以点C为圆心，长为半径的半圆上运动， 与为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， 点Q在以G为圆心，长为半径的半圆上运动， 如图，当点G、Q、F三点共线时，最小， 如图，连接，过点G作于点J，过点C作于点L，在上取点O，使得，在上取点R，使得，过点O作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 则，，， ， 解得， 在中， ， 解得， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，当最小时，面积为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $隐圆问题复习讲义 隐圆问题复习讲义 知识点解析 一、核心解题原理：判定点的轨迹为圆的基本依据 所有隐圆问题的本质，都是满足“到定点的距离为定长” 或其等价条件，以下是4类最常见的隐圆判定定理（几何条件→轨迹为圆），是挖掘隐圆的关键： 判定类型 核心几何条件 轨迹结论 补充说明 定距型（最基础） 动点P到定点O的距离为定长r 点P的轨迹是以O为圆心、r为半径的圆 直接贴合圆的定义，易识别 定角对定边型（圆周角定理逆用） 动点P对定线段AB的张角为定角∠APB=θ（0°<θ<180°） 点P的轨迹是以AB为弦的圆弧（不包括A、B两点）；若θ=90°，则轨迹为以AB为直径的圆（直径所对圆周角为直角） 1. 定角为锐角/钝角时，轨迹是两段优弧/劣弧；2. 需注意动点的位置范围（避免漏弧/多弧） 对角互补型（圆内接四边形性质逆用） 四边形ABCD中，∠A+∠C=180°（或∠B+∠D=180°） 四点A、B、C、D共圆（点D在以ABC为顶点的圆上） 常结合三角形内角和、平行线性质推导对角互补 到两定点距离的平方和为定值 动点P(x,y)到两定点A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)的距离满足PA²+PB²=k（k为定值，且k>AB²） 点P的轨迹为圆（坐标法推导：展开后消去一次项，得圆的一般方程） 解析几何中常用，几何意义：由中线定理PA²+PB²=2PO²+2AO²（O为AB中点），可推导出PO为定长，回归定距型 补充推导（中线定理证平方和型）： 设O为AB中点，由中线定理得 ，若（定值），则（定值），即P到O的距离为定长，轨迹为圆。 二、通用处理思路：四步走挖掘隐圆并解题 隐圆问题的关键是先找圆，再用圆的性质，步骤可概括为：定条件→挖隐圆→画图形→用性质，每一步的操作要点如下： 步骤1：分析题干，锁定“动点+定条件” 从题目中找出唯一动点（或核心动点），以及约束动点的定量条件（定线段、定角、定值平方和、对角互补等），排除所有定点、定长、定角，聚焦动点的约束关系。 例：△ABC中，AB=4（定线段），∠ACB=60°（定角），C为动点→核心条件：动点C对定线段AB的张角为60°。 步骤2：根据定条件，判定隐圆类型并确定圆的基本要素 结合上述4类判定定理，判断隐圆类型，进而求出圆的圆心、半径、轨迹范围（整圆/圆弧），这是最核心的一步，不同类型的要素求法： 1. 定距型：直接找定点（圆心）、定长（半径）； 2. 定角对定边型： - 若∠APB=90°：圆心为AB中点，半径=½AB（直径）； - 若∠APB=θ≠90°：先作AB的垂直平分线，再根据圆周角与圆心角的关系（圆心角=2θ），确定圆心位置，半径由弦长公式得； 3. 对角互补型：找三点确定圆（不共线三点定圆），圆心为三边垂直平分线的交点，半径为圆心到定点的距离； 4. 平方和型：先找两定点的中点O，再由中线定理求PO的定长（圆心O，半径PO）。 步骤3：画出隐圆图形，标注已知条件与轨迹范围 将挖掘出的隐圆（或圆弧）画在原图中，标注定点、定长、定角、圆心、半径，重点标注动点的轨迹范围（如“不包括A、B两点”“仅在AB上方的圆弧”），避免因范围错误导致答案偏差。 步骤4：结合圆的几何性质，解决所求问题 隐圆画出后，问题转化为常规圆的几何问题，根据所求（角度、长度、最值、面积），选用对应的圆的性质，常见应用场景及对应性质： 所求问题 常用圆的性质 角度计算/证明 圆周角定理（同弧所对圆周角相等）、圆心角与圆周角的关系、圆内接四边形的对角互补/外角等于内对角 线段长度计算 垂径定理（垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧）、勾股定理（半径、弦心距、半弦长构成直角三角形）、切线长定理 最值问题（最常考） 1. 点到圆的距离最值：圆外一点P到圆O上动点Q的距离，，； 2. 线段和/差最值：结合圆的对称性、两点之间线段最短转化； 3. 角度最值：同弧所对的圆周角为定值，弦切角为最值 面积最值 结合线段最值，如△APB的面积=高，AB为定长时，高的最值对应面积最值（高的最值为圆上点到AB的距离最值） 三、典型题型分类解析（附解题技巧） 隐圆问题的考法集中在定角对定边型（含90°定角） 和最值型，以下是两类高频题型的解题技巧和示例： 题型1：90°定角对定边（直径型隐圆） 核心特征：动点对定线段的张角为90°，轨迹为以定线段为直径的圆（去掉端点）； 解题技巧：直接找定线段中点为圆心，半长为半径画圆，再用圆的性质解题。 题型2：非90°定角对定边（圆弧型隐圆） 核心特征：动点对定线段的张角为定值θ（≠90°），轨迹为以定线段为弦的圆弧； 解题技巧：先作定线段的垂直平分线，再构造圆心角2θ确定圆心，注意轨迹的两个圆弧（上下/左右），根据题干条件取舍。 题型3：隐圆中的最值问题（高频压轴） 核心特征：结合“点到圆的距离最值”，是隐圆问题的核心考法； 解题技巧：先定隐圆，再找圆外/圆内定点，利用“定点到圆心的距离±半径”求最值，口诀：圆外点，和为最大，差为最小；圆内点，和为最小，差为最大。 通用结论：设圆O的半径为r，定点P到圆心O的距离为d，则： - 若P在圆外：圆上动点Q到P的距离，，； - 若P在圆内：，； - 若P在圆上：PQ的最值为2r（直径）和0。 例题分析 例1．（2026·江苏苏州·模拟预测）矩形中，，，点为矩形内一点，使得．将绕点顺时针旋转，得到，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 例2．（24-25九年级下·广东广州·开学考试）如图，在菱形中，，点E在边上，且，F是边上一动点，将沿直线折叠，点D落在点N处，当点N在四边形内部（含边界）时，的长度的最大值是（   ） A． B．        B．       D． 例3．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且，当点从点运动到点时，点运动的路径长是____________． 例4．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）已知正方形边长为2，点E是正方形边上的动点，点F在边上，，线段相交于点M，连接，则点E从点A运动到点B的过程中，线段扫过的面积是_______． 例 5．（2025·陕西西安·模拟预测）（1）如图1，已知线段，平面内有一动点，且，则的最小值为______． （2）如图2，中，，点为的中点，点为内一动点，，连接，过点作，且，连接，求的长． （3）某工厂计划加工如图3所示的零件，要求分米，，在上有一点，连接，请你帮工人师傅计算是否存在最小值，若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由．    变式训练 变式1．（2025·山东泰安·模拟预测）如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图，正方形的边长为4，点E是正方形内的动点，点P是边上的动点，且．连结，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式3．（2025·河南周口·二模）如图，正方形的边长为2，在平面内有一点P，始终保证，连接，设的中点为E，连接，则线段的最小值为__________，最大值为__________． 变式4．（2025·陕西·模拟预测）如图，在菱形中，，，点分别在边和上，且．当的面积最大时，的面积为___________． 变式5．（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考）1.问题发现 图（1），在和中，，，，连接，交于点M. ①的值为______；②的度数为_______． （2）类比探究 图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点M，请计算的值及的度数； （3）拓展延伸 在（2）的条件下，若，，将绕点O在平面内旋转一周． ①当直线经过点B且点C在线段上时，求的长； ②请直接写出运动过程中M点到直线距离的最大值． 实战演练 1．（2026·陕西西安·模拟预测）问题探究 (1)如图①，是的中位线，点在上，，连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为___________． (2)如图②，在中，，，，是内部的一个动点，且满足，求线段的最小值． 问题解决 (3)如图③，某学校规划一块矩形劳动实践基地，用于班级种植，是两个工具房，分别在，边上，且，沿铺设一条运送通道，再从点铺设一条垂直于的小路，在点处修一个肥料存放点，点处是基地水房，为方便参加劳动实践的同学取水后能最快到达点处获取肥料，需要沿铺设一条小路，要求尽可能的短，已知，．请问是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．（工具房、肥料存放点、水房的大小均忽略不计） 2．（25-26九年级上·重庆·期中）在中，，是延长线上一点，，是线段上一动点，连接，过点作于点，交于点． (1)如图1，过点作于点，交于点，证明：； (2)在（1）的条件下，如图2，在线段上截取，连接，若，，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明； (3)如图3，连接，将关于对称得到，连接，以为斜边在左侧作等腰，连接，若，，当最小时，直接写出的面积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $