河北唐山市开滦第二中学2025-2026学年高二下学期4月月考数学试题

2025-2026唐山开滦二中高二下学期4月月考—数学 一、单选题 1．已知函数，则（   ） A． B． C． D． 2．已知是函数的一个极值点，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．2023年杭州亚运会期间，甲､乙､丙3名运动员与4名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻､丙不排在两端，则不同的排法种数有（    ） A．720 B．960 C．1120 D．1440 4．函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．用6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（    ）    A．240 B．360 C．480 D．600 6．函数在上的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 7．函数的零点个数为 A．3 B．2 C．1 D．0 8．设，，其中e为自然对数的底数，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．现安排甲、乙、丙、丁、戊名同学参加年冬奥会志愿者服务活动，有翻译、礼仪、司机三项工作可以安排，以下说法正确的是（    ） A．每人安排一项工作的不同方法数为 B．每人安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同安排方法种数是 C．若甲乙丙会翻译，丙丁戊懂礼仪，现翻译和礼仪各安排两人，则不用的安排方法为 D．每人安排一项工作，如果礼仪工作不安排，其余两项工作每项工作至少安排一人，则不同的安排方法数为 10．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．曲线在处的切线与直线垂直 B．在上单调递增 C．的极小值为 D．在上的最小值为 11．已知函数，下列命题正确的是（    ） A．若是函数的极值点，则 B．若，则在上的最小值为0 C．若在上单调递减，则 D．若在上恒成立，则 三、填空题 12．设为正整数，若，则_____． 13．已知，则经过点的曲线的切线方程为__________. 14．已知函数，若在上恒成立，为自然对数的底数，则实数的取值范围是_________. 四、解答题 15．将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中. (1)有多少种放法？ (2)每盒至多一球，有多少种放法？ (3)恰好有一个空盒，有多少种放法？ (4)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？ 16．设函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若为的导函数，求的极值． 17．已知曲线在点处的切线的斜率为3，且当时，函数取得极值． (1)求函数的解析式，并求在点处的切线方程； (2)若存在，使得不等式成立，求的取值范围． 18．已知． (1)若函数在处取到极值，求的值； (2)设，，若，函数恰有三个零点，求的取值范围． 19．已知函数. (1)当时，求的单调区间 (2)讨论的单调性； (3)当时，证明. 试卷第2页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026唐山开滦二中高二下学期4月月考—数学 一、单选题 1．已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得导数，令即可求解. 【详解】因为，所以，解得． 故选：C． 2．已知是函数的一个极值点，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由题意得：， 又是的一个极值点，所以，所以， 所以，所以. 3．2023年杭州亚运会期间，甲､乙､丙3名运动员与4名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻､丙不排在两端，则不同的排法种数有（    ） A．720 B．960 C．1120 D．1440 【答案】B 【分析】根据题意，结合捆绑法和插空法，即可求解. 【详解】把甲乙捆绑成一个元素，则题设中的7个元素变为6个元素， 先排除去丙的5个元素，共有种排法， 再在中间的4个空隙中，插入丙，共有种插法， 所以甲与乙相邻､丙不排在两端，则不同的排法种数有种. 故选：B. 4．函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的导数，求出函数的单调区间，得到关于的不等式组，解出的范围即可． 【详解】解：的定义域是， ， 令，解得：，令，解得：， 故在递减，在递增， 若函数在区间上单调递减， 则且且，解得：， 故选：． 【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及集合的包含关系，属于基础题． 5．用6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（    ）    A．240 B．360 C．480 D．600 【答案】C 【分析】先涂区域②③④，再讨论①与④的颜色是否相同，结合计数原理运算求解. 【详解】将区域标号，如下图所示：    因为②③④两两相邻，依次用不同的颜色涂色，则有种不同的涂色方法， 若①与④的颜色相同，则有1种不同的涂色方法； 若①与④的颜色不相同，则有3种不同的涂色方法； 所以共有种不同的涂色方法. 故选：C. 6．函数在上的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】利用导数研究函数的极值，结合区间的端点值，再比较它们的大小，即可求其最大值. 【详解】由题意，， ∴当，x在和上，即单调增； 当，x在上，即单调减； ∴有极大值，有极小值，而端点值，，则， ∴在上的最大值为. 故选：D. 7．函数的零点个数为 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】令，转化为两个函数图像的交点个数来求零点个数. 【详解】令得，画出的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有两个交点，也即有两个零点，故选B. 【点睛】本小题主要考查函数零点个数的分析方法，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 8．设，，其中e为自然对数的底数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，利用导数讨论其单调性比较b，c；构造函数，利用导数讨论其单调性比较a，b即得. 【详解】令，则，当时，，单调递增， 因此，即， 令，则，当时，，单调递减， 因此，即 所以. 故选：D 【点睛】本题主要考查分离参数法处理恒成立问题，同时考查利用导数求函数的最值，属于中档题. 二、多选题 9．现安排甲、乙、丙、丁、戊名同学参加年冬奥会志愿者服务活动，有翻译、礼仪、司机三项工作可以安排，以下说法正确的是（    ） A．每人安排一项工作的不同方法数为 B．每人安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同安排方法种数是 C．若甲乙丙会翻译，丙丁戊懂礼仪，现翻译和礼仪各安排两人，则不用的安排方法为 D．每人安排一项工作，如果礼仪工作不安排，其余两项工作每项工作至少安排一人，则不同的安排方法数为 【答案】CD 【分析】根据分步乘法计数原理判断A，根据分组分配问题判断B；根据分类加法计数原理判断C，根据分步乘法计数原理及排除法判断D. 【详解】对于A，由乘法原理可得每人安排一项工作的不同方法数为，故A错误； 对于B，每人安排一项工作，每项工作至少有一人参加， 则每项工作的人生分别为或， 故不同的安排方法， 而，故B错误； 对于C，若多面手丙做翻译，则不同的安排方法为， 若多面手丙不做翻译，则不同的安排方法为， 故不同的安排方法为，故C正确； 对于D，每人安排一项工作做翻译或司机，共有， 如果人都只参加翻译或司机，共有2种安排，故不同的安排方法数为，故D正确. 故选：CD. 10．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．曲线在处的切线与直线垂直 B．在上单调递增 C．的极小值为 D．在上的最小值为 【答案】BC 【分析】求出函数的导函数，求出，即可判断A，求出函数的单调区间，即可判断B、C、D. 【详解】因为，所以， 所以，故A错误； 令，解得，所以的单调递增区间为， 而，所以在上单调递增，故B正确； 当时，所以的单调递减区间为， 所以的极小值为，故C正确； 在上单调递减，所以最小值为，故D错误； 故选：BC 11．已知函数，下列命题正确的是（    ） A．若是函数的极值点，则 B．若，则在上的最小值为0 C．若在上单调递减，则 D．若在上恒成立，则 【答案】AB 【分析】根据为函数的极值点可对A判断；由可求得即可对B判断；由在上单调递减等价于在区间上恒成立，即可对C判断；由在上恒成立等价于，构造函数，，再利用导数从而求出，即可对D判断． 【详解】对于A，由，得，因为是函数的极值点， 所以，得，经检验是函数的极小值点，故A正确． 对于B，由选项A，由，得，可知， 则，由，得，由，得， 所以在递增，在上递减， 所以当时，时，取得最小值，故B正确． 对于C，因为在上单调递减，所以，即， 得在上恒成立，令，则， 所以在单调递增，所以，即，所以，故C不正确． 对于D，由在上恒成立，得 在上恒成立， 即在上恒成立，令，，则， 所以在上单调递增，所以，所以，故D不正确． 故选：AB． 三、填空题 12．设为正整数，若，则_____． 【答案】或 【详解】因为，则或， 解得或，又，得到，经检验，或均合题意， 所以或. 13．已知，则经过点的曲线的切线方程为__________. 【答案】或 【分析】设出切点，结合导数的几何意义可表示出该点的切线方程，将代入计算即可得. 【详解】令该切线方程的切点为， 则， ，， 则有， 又该直线过点，故有， 化简得，即， 故或， 当时，有，即， 当时，有，即. 故答案为：或. 14．已知函数，若在上恒成立，为自然对数的底数，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【分析】在上恒成立，即在上恒成立，令，故只需即可，利用导数求出的最大值即可. 【详解】若在上恒成立，即在上恒成立， 令，故只需即可， ，令，得， 当时，；当时，， 所以在上是单调递增，在上是单调递减， 所以当， 所以实数的取值范围是. 四、解答题 15．将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中. (1)有多少种放法？ (2)每盒至多一球，有多少种放法？ (3)恰好有一个空盒，有多少种放法？ (4)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？ 【答案】(1)256(种) (2)24(种) (3)144(种) (4)12(种) 【分析】（1）由分步乘法计数原理求解即可； （2）根据排列的定义求解即可； （3）（方法1）先将4个小球分为三组，再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子，结合排列组合知识求解；（方法2）利用捆绑法结合排列组合知识求解； （4）（方法1）先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个结合组合知识求解；（方法2）根据隔板法求解. 【详解】（1）每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有种放法. （2）这是全排列问题，共有(种)放法. （3）（方法1）先将4个小球分为三组，有种方法，再将三组小球投入四个盒子中的三个 盒子，有种投放方法，故共有(种)放法. （方法2）先取4个球中的两个“捆”在一起，有种选法， 把它与其他两个球共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，有种投放方法， 所以共有(种)放法. （4）（方法1）先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球， 余下两个盒子各放一个.由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题， 故共有(种)放法. （方法2）恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有种选法， 第二步在小球之间的3个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，有种方法， 由分步计数原理得，共有(种)放法. 16．设函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若为的导函数，求的极值． 【答案】(1) (2)在处取极小值0，无极大值 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求解即可； （2）令，求导，根据导数计算即可求解. 【详解】（1）因为， 所以，， 故切线方程为； （2）令 求导得， 因为时，，所以在上单调递增， 因为时，，所以在上单调递减， 故，故在处取极小值0，无极大值． 17．已知曲线在点处的切线的斜率为3，且当时，函数取得极值． (1)求函数的解析式，并求在点处的切线方程； (2)若存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由题意可得，，求得函数的解析式，进而计算可得切线方程； （2）根据（1）的结果求函数的最值，不等式可得，即可求解的取值范围. 【详解】（1），由导数的几何意义可知，， 且，得， 所以，，符合题意； ，又 于是在点处的切线方程为，即. （2）由，得或， ，得或，，得， 所以的增区间是和，减区间是. 于是在区间单调递增，在区间单调递减，， 所以在区间的最大值为，最小值为， 若存在，使得不等式成立， 则当时，，所以，即. 18．已知． (1)若函数在处取到极值，求的值； (2)设，，若，函数恰有三个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）导数在处为即可求解，并检验导数在的左右正负符号是否发生变化. （2）考察函数的单调性，关键在于导数正负的判断，因式分解判断各个因式的正负，从而得到原函数的单调性，通过极值的符号得出不等关系进行求解. 【详解】（1）已知，求导得， 因为函数在处取到极值，所以， 解得. 检验，当，此时 当，则，所以 . 当，则，所以 所以 （2）因为，所以，求导得， 令，解得或者 当，此时，所以，那么单调递增 当，此时，所以，那么单调递减. 当，此时，所以，那么单调递增. 又因为，，且，， 所以为使函数恰有三个零点， 则有， 解得 19．已知函数. (1)当时，求的单调区间 (2)讨论的单调性； (3)当时，证明. 【答案】(1)在单调递增，在单调递减 (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）当时，求出导函数，解不等式求的单调区间即可； （2）分、情况讨论与的大小关系可得结论； （3）利用函数的单调性把所证不等式转化成，构造函数，利用导数求函数最值即可证明. 【详解】（1）当时，，的定义域为， 则， 故当时，；当时，. 故在单调递增，在单调递减； （2）的定义域为，． 若，则当时，，故在单调递增， 若，则当时，；当时，. 故在单调递增，在单调递减； （3）由（1）知，当时，在取得最大值，最大值为， 所以等价于，即， 设，则，当时，，当时， 所以在单调递增，在单调递减， 故当时，取得最大值，最大值为，所以当时，， 从而当时，，即. 试卷第10页，共13页 试卷第11页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $