精品解析：安徽马鞍山市当涂县部分学校2026年中考一模九年级数学试卷

2026年中考一模九年级数学试卷 注意事项：1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．请在答题卡上答题，否则无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 的相反数是（　　） A. B. C. D. 4 2. 据安徽省汽车办消息，2025年上半年，安徽汽车产量达万辆，位居全国第一．数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 计算结果为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是一个几何体的三视图，这个几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 我国无人机产业专利申请占全球以上，占据绝对优势．某型号无人机在测试中，从竖直高度向下降落，无人机高度（单位：m）随降落时间（单位：s）的变化规律如图所示（不考虑外界环境对速度的影响）．则无人机下降高度从变化到所用的时间是（ ） A. B. C. D. 6. 把一根长的钢管截成长和长两种规格的钢管．为了不造成浪费，可能截得钢管的总根数不可能是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 如图，一块砖的三个面的面积比是．则将面分别向下，地面所受压强比为（ ） A. B. C. D. 8. 甲，乙，丙，丁四位同学和老师共五人站在一起拍照，老师站在中间处（如图所示），其余位置同学随机站在处，则甲，乙两名同学相邻的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 若实数满足，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若中只有两个数相等，则 10. 如图，正方形中，分别为上两动点（不与正方形端点重合），且满足，分别过点作，交于点，记矩形，矩形，矩形，矩形，面积依次为，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 分解因式_____． 12. 自行车是绿色环保的交通工具，图①是某自行车的传动结构，图②是该结构的示意图，其中的半径是，的半径是，．当顺时针转动1周时，上的点随之旋转，则的值为______． 13. 我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，则的值为______． 14. 设二次函数（为常数，）经过点和． （1）若，则的值是______； （2）当时，的取值范围是______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 小红家准备购买一台冰箱，在购买时，共有两种优惠方案：选择用“国补”或“以旧换新”，如果用“国补”，则可获得的补贴（补贴金额最高不超过2000元）；如果用“以旧换新”，则可在原价基础上优惠580元，两种方案不能同时享受．若选择“国补”方案比“以旧换新”方案多优惠60元，那么这台冰箱原价是多少元？ 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 项目式学习：“增强学生体质、促进全面发展”． 某校以“增强学生体质、促进全面发展”为目标，在大课间推出5项体育活动，要求每名学生必选一项参与．为摸清学生参与大课间体育活动的具体情况，工作人员随机选取50名学生开展调查工作，以下是调查基本信息． 一、调查基本信息 调查目的：了解学生大课间5项体育活动的参与分布，为优化活动设置、提升学生参与积极性提供参考． 调查对象：随机抽取该校年级共50名学生（每个年级约人，覆盖初中全学段）． 调查项目：跳绳、篮球基础、趣味足球、踢毽子、健身操． 二、调查数据不完全统计 序号 大课间体育活动项目 抽样调查参与人数（人） 1 跳绳 15 2 篮球基础 10 3 趣味足球 4 踢毽子 12 5 健身操 5 － 合计 50 （1）表格中的值为______； （2）在选择篮球基础的选项中，男生占比为，若该校有1000名学生，请估计该校参加篮球基础活动的男生人数； （3）基于健身操调查的数据，提炼出一条信息，并提出相应的优化建议． 18. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的端点均为格点（网格线的交点），点为线段上任一点，仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图． （1）以为边长，在网格中画一个正方形； （2）在上找一点，使得（保留画图痕迹）． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 口袋公园拓展了公共绿色空间，让居民能够更便捷地亲近自然．截至2024年底，我国已建设口袋公园万多个．在比例尺为的地图上，某口袋公园平面示意图可看成如图所示的四边形，其中，与水平面的夹角，点在点的东北方向，求该公园的实际面积．（结果用科学记数法表示，参考数据：结果精确到个位） 20. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数沿轴向上平移个单位后得到一次函数，与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图像交于点，轴于点，且是中点． （1）求的值； （2）当时，比较和大小关系． 六、（本题满分12分） 21. 数学兴趣小组展开了“当与大小关系”的数学探究． （1）【感知】①；②；③_____（填“”“”或“”）． （2）【猜想】当，猜想_____（填“”“”或“”）． （3）【证明】数学小组从代数变形和数形结合给出了两种思路，分别如下： 思路一：∵．∴ 思路二：如图，已知，为直径，点为圆上一点，过点作于点，连接．设．∵为直径，∴．∵，∴，∴，∴ 任选一种补充证明． （4）【应用】如果，直接写出的最小值为_____． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在四边形中，为中点，延长线交于点，为中点，连接， ． （1）求证：； （2）若，求的长； （3）如图2，当，求． 八、（本题满分14分） 23. 已知二次函数同时经过点和． （1）求的值； （2）已知二次函数的最大值为． ①求抛物线表达式； ②点是二次函数图像不重合的两点，且满足，若且都是正整数，是否存在满足上述条件的值，如果存在，求出和的值；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考一模九年级数学试卷 注意事项：1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．请在答题卡上答题，否则无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 的相反数是（　　） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义．根据相反数的定义，一个数的相反数是符号不同的数，解答即可． 【详解】解：∵ 相反数的定义是：数的相反数为， ∴ ， ∴的相反数是， 故选：B． 2. 据安徽省汽车办消息，2025年上半年，安徽汽车产量达万辆，位居全国第一．数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将万表示成形式为的形式，其中，n为整数，确定a、n的值即可解答． 【详解】解：∵1万， ∴万，即选项C符合题意． 3. 计算结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用同底数幂的乘除运算法则进行计算即可解答． 【详解】解： ． 4. 如图是一个几何体的三视图，这个几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质以及勾股定理求解高，再由圆锥的体积公式求解即可． 【详解】解：由三视图可得该几何体为圆锥，如图， 由题意得， ∴ ∴， ∴这个几何体的体积为． 5. 我国无人机产业专利申请占全球以上，占据绝对优势．某型号无人机在测试中，从竖直高度向下降落，无人机高度（单位：m）随降落时间（单位：s）的变化规律如图所示（不考虑外界环境对速度的影响）．则无人机下降高度从变化到所用的时间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用待定系数法求得y与t的函数解析式，再求出当时，t的取值即可解答． 【详解】解：由函数图像可得：该函数是过点， 设该函数解析式为， 则，解得：， 所以该函数解析式为， 当时，，解得：， 所以无人机下降高度从变化到所用的时间是． 6. 把一根长的钢管截成长和长两种规格的钢管．为了不造成浪费，可能截得钢管的总根数不可能是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】判断出长和长两种规格的钢管可能的对应数量，即可得出总根数的可能取值． 【详解】解：总长，假设长和长两种规格的钢管数量分别为，， 则， 得， ∴的可能取值为、、，对应的取值为，，， ∴的可能取值为..， 故总根数不可能为． 7. 如图，一块砖的三个面的面积比是．则将面分别向下，地面所受压强比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设长方体砖块的重力为，面的面积为，面的面积为，面的面积为，根据压强公式求出地面受到的压强，求出比即可求解． 【详解】解：设长方体砖块的重力为， ∵两个面的面积比是， ∴可设面的面积为，面的面积为，面的面积为， 由压强公式得，当面向下放在水平地面 上，压强， 当面向下放在水平地面上，压强， 当面向下放在水平地面上，压强， ∴． 8. 甲，乙，丙，丁四位同学和老师共五人站在一起拍照，老师站在中间处（如图所示），其余位置同学随机站在处，则甲，乙两名同学相邻的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出树状图，根据概率公式计算即可． 【详解】解：画出树状图如下： 可知共12种情况，其中甲，乙两名同学相邻的情况有4种， ∴甲，乙两名同学相邻的概率是． 9. 若实数满足，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若中只有两个数相等，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得、是方程的两个实数根，根据一元二次方程根的判别式得出或．再根据各选项的选项进行判断即可． 【详解】解：∵实数满足， ∴、是方程的两个实数根， ∴， 解得或， ∵， ∴或． A、∵， ∴不成立，故A错误； B、∵ ， ∴ ， 由题意知  或 ， 当  时，，此时 ，所以该结论不一定成立，故B错误； C、当时，由得；由得， ∴， 解得：， ∴， ∴，故C正确； D、分三种情况讨论“只有两个数相等”： ①： 由得； 由得， 解得：（不合题意，舍去）或， ∴，， ∴； ②： 由得； 由得，则，与矛盾，舍去； ③： 由得； 由得，则，与矛盾，舍去． 因此，中只有两个数相等，则，故D错误． 10. 如图，正方形中，分别为上两动点（不与正方形端点重合），且满足，分别过点作，交于点，记矩形，矩形，矩形，矩形，面积依次为，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将绕点顺时针旋转，连接，由半角模型，可证得，设，则，由勾股定理得 ，可得出，再用、、表示，以此判断各选项即可． 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转，连接， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 设， 则， ∵， ∴， 化简可得， ∴， ， ， ， ∵， ， ∴，故选项A错误； ∵， ， 仅时，，故选项B错误； ∵，， 故与不一定满足，故选项C错误； ∵，， ∴，故选项D正确． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 分解因式_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接提取公因式即可完成分解． 【详解】解：． 12. 自行车是绿色环保的交通工具，图①是某自行车的传动结构，图②是该结构的示意图，其中的半径是，的半径是，．当顺时针转动1周时，上的点随之旋转，则的值为______． 【答案】144 【解析】 【分析】由顺时针转动1周，转动的长度是，上的点随之旋转，点转动的长度是，得到，即可求解． 【详解】解：顺时针转动1周，转动的长度是， ∵上的点随之旋转， ∴点转动的长度是， ∵， ∴， ∵顺时针转动1周转动的长度等于上的点旋转转动的长度， ∴， 解得，． 13. 我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】直接将代入公式，再根据实数的运算法则、二次根式的性质求解即可． 【详解】解：将代入可得： ． 14. 设二次函数（为常数，）经过点和． （1）若，则的值是______； （2）当时，的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）代入和得，，，根据求出，代入，得，求得函数解析式，代入可得的值； （2）由得，结合可推导出，从而得出的取值范围． 【详解】解：（1）∵二次函数（为常数，）经过点和， ∴，，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为， 代入，得． （2）∵， ∴， ∴． 又∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的取值范围是． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后将代入计算即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 16. 小红家准备购买一台冰箱，在购买时，共有两种优惠方案：选择用“国补”或“以旧换新”，如果用“国补”，则可获得的补贴（补贴金额最高不超过2000元）；如果用“以旧换新”，则可在原价基础上优惠580元，两种方案不能同时享受．若选择“国补”方案比“以旧换新”方案多优惠60元，那么这台冰箱原价是多少元？ 【答案】这台冰箱原价是3200元 【解析】 【分析】设这台冰箱原价是x元，再根据选择“国补”方案比“以旧换新”方案多优惠60元列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这台冰箱原价是x元， 由题意得，解得． 检验：当时，补贴金额为元， 因为，所以符合题意． 答：这台冰箱原价是3200元． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 项目式学习：“增强学生体质、促进全面发展”． 某校以“增强学生体质、促进全面发展”为目标，在大课间推出5项体育活动，要求每名学生必选一项参与．为摸清学生参与大课间体育活动的具体情况，工作人员随机选取50名学生开展调查工作，以下是调查基本信息． 一、调查基本信息 调查目的：了解学生大课间5项体育活动的参与分布，为优化活动设置、提升学生参与积极性提供参考． 调查对象：随机抽取该校年级共50名学生（每个年级约人，覆盖初中全学段）． 调查项目：跳绳、篮球基础、趣味足球、踢毽子、健身操． 二、调查数据不完全统计 序号 大课间体育活动项目 抽样调查参与人数（人） 1 跳绳 15 2 篮球基础 10 3 趣味足球 4 踢毽子 12 5 健身操 5 － 合计 50 （1）表格中的值为______； （2）在选择篮球基础的选项中，男生占比为，若该校有1000名学生，请估计该校参加篮球基础活动的男生人数； （3）基于健身操调查的数据，提炼出一条信息，并提出相应的优化建议． 【答案】（1）8 （2）该校参加篮球基础活动的男生人数为180人 （3）健身操人数最少，可考虑增加“动作趣味性”“分组竞赛”等形式，提升吸引力．（答案合理即可） 【解析】 【分析】本题考查了用样本估计总体的统计思想及条形统计图的分析，解题的关键是利用总人数求出未知量，用样本比例估计总体数据． （1）中各项活动人数之和等于总人数50，列方程即可求出a的值； （2）先根据样本中篮球基础的人数占比估计全校参加人数，再结合样本中男生占比估计全校篮球基础男生人数； （3）根据各项目参与人数对比，找出参与度最低的项目，提出合理的改进建议． 【小问1详解】 解：由题意，得， ， ， 故答案为：8； 【小问2详解】 解：由样本数据，篮球基础有10人，占， 估计全校1000名学生中参加篮球基础的人数为（人）， 由样本中篮球基础男生占， 估计男生人数为（人）， 【小问3详解】 解：健身操人数最少，可考虑增加“动作趣味性”“分组竞赛”等形式，提升吸引力．（答案合理即可）． 18. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的端点均为格点（网格线的交点），点为线段上任一点，仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图． （1）以为边长，在网格中画一个正方形； （2）在上找一点，使得（保留画图痕迹）． 【答案】（1） 如图：正方形即为所求． （2） 如图：连接，连接，交于点，延长交于点，则点即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理和网格的特点作图即可； （2）如图：连接相交于点O，连接并延长交于F． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴点F即为所求． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 口袋公园拓展了公共绿色空间，让居民能够更便捷地亲近自然．截至2024年底，我国已建设口袋公园万多个．在比例尺为的地图上，某口袋公园平面示意图可看成如图所示的四边形，其中，与水平面的夹角，点在点的东北方向，求该公园的实际面积．（结果用科学记数法表示，参考数据：结果精确到个位） 【答案】该公园的实际面积为 【解析】 【分析】过点作于G．过点作于H．解直角三角形可得；设，则，根据题意可列方程，解得，即，，，最后根据四边形的面积是两个三角形和一个矩形面积的和即可解答． 【详解】解：如图，过点作于G．过点作于H． ∵， ∴． 设，则， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴，，． ∴， ∵比例尺为的地图上， ∴该公园的实际面积． 答：该公园的实际面积为． 20. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数沿轴向上平移个单位后得到一次函数，与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图像交于点，轴于点，且是中点． （1）求的值； （2）当时，比较和大小关系． 【答案】（1） （2）当，当时，；当时， 【解析】 【分析】（1）由题意可知．当时，．易证，，即点坐标为，再代入并结合图像即可解答； （2）先确定点坐标为，再根据函数图像可得和大小关系． 【小问1详解】 解：由题意可知．当时，． ∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点坐标为， 将代入，得，解得． 又∵， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）可知点坐标为， 由图像可得，当， 当时，； 当时，． 六、（本题满分12分） 21. 数学兴趣小组展开了“当与大小关系”的数学探究． （1）【感知】①；②；③_____（填“”“”或“”）． （2）【猜想】当，猜想_____（填“”“”或“”）． （3）【证明】数学小组从代数变形和数形结合给出了两种思路，分别如下： 思路一：∵．∴ 思路二：如图，已知，为直径，点为圆上一点，过点作于点，连接．设．∵为直径，∴．∵，∴，∴，∴ 任选一种补充证明． （4）【应用】如果，直接写出的最小值为_____． 【答案】（1） （2） （3）思路一：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 思路二：如图，已知，为直径，点为圆上一点，过点作于点，连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， ∵， ∴； （4） 【解析】 【分析】（）根据二次根式的乘法法则计算即可求解； （）根据（）的结果猜想即可； （）根据思路补充完整证明过程即可； （）把代数式转化为，利用猜想求出的取值，进而即可求解； 本题考查了二次根式的运算，完全平方公式，圆周角定理等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：①；②；③， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当，猜想， 故答案为：； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴的最小值为． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在四边形中，为中点，延长线交于点，为中点，连接， ． （1）求证：； （2）若，求的长； （3）如图2，当，求． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． 又∵分别为中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由三角形外角的性质以及等量代换可得，再说明是的中位线，即可得，再根据两种对应角相等的三角形相似即可证明结论； （2）先说明是的中位线，即．设，则，由（1）可知，利用相似三角形的性质可得，即，最后根据求解即可； （3）设，则．由（1）可知，利用相似三角形的性质可得，再根据正切的定义可得进而完成解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵分别为中点，， ∴是的中位线，即． 设，则， 由（1）可知，， ∴，即，解得∶（负值舍去）， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：设，则． 由（1）可知，， ∴，即，整理得：，解得：（已舍去负值）， ∴． 八、（本题满分14分） 23. 已知二次函数同时经过点和． （1）求的值； （2）已知二次函数的最大值为． ①求抛物线表达式； ②点是二次函数图像不重合的两点，且满足，若且都是正整数，是否存在满足上述条件的值，如果存在，求出和的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①抛物线表达式为； ②不存在满足所有条件的正整数．理由如下： 当，分式无意义，即 ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴， ∴，且是12的正因数， ∴可能的值为4，6，12． 当，则两点重合，不符合题意，舍去． 又∵函数最大值为4， ∴当或也不成立． 综上所述，不存在满足所有条件的正整数． 【解析】 【分析】（1）由对称性可得函数图像对称轴为直线，再根据二次函数的性质可得二次函数的对称轴公式为，即，进而完成解答； （2）①由（1）可得：二次函数的对称轴为直线，进而得到．解得或．再结合函数有最大值，即可得到，进而确定b的值，从而确定函数解析式；②先化简并结合可得，从而得到，，易得、，进而确定可能的值为4，6，12．再逐个排除即可解答． 【小问1详解】 解：∵二次函数经过点和， ∴函数图像对称轴为直线． ∵二次函数的对称轴公式为， ∴，解得． 【小问2详解】 解：①由（1）可得：二次函数的对称轴为直线，， ∴ ∴顶点横坐标为，代入函数得最大值． ∵二次函数的最大值为， ∴．解得或． ∵函数有最大值， ∴抛物线开口向下，即． ∴，此时． ∴抛物线表达式为． ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $