专题03平行四边形专项训练 (13大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题03平行四边形专项训练 题型01.利用平行四边形性质求解 题型02.利用平行四边形性质证明 题型03.平行四边形性质的应用 题型04.证明四边形是平行四边形 题型05.平行四边形判定与补条件 题型06.利用平行四边形判定与性质求解 题型07.平行四边形性质和判定的应用 题型08.平行四边形与动点问题 题型09.平行四边形与折叠问题 题型10.平行四边形存在性问题 题型11.平行四边形与最值问题 题型12.平行四边形与三角形全等综合 题型13.平行四边形的实际应用问题 解答题5题 知识点 01. 平行四边形的定义及表示 定义：两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。 表示：用符号□表示，平行四边形ABCD记作□ABCD，读作 “平行四边形ABCD”。 平行四边形基本元素：边、角、对角线。 知识点02:平行四边形核心性质(必考.知平行四边形推边角特征) 维度 性质 几何语言 边 对边平行且相等 AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，AD=BC 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分 AO=OC，BO=OD 面积 S=底×对应高（S=ah） 同底等高的平行四边形面积相等 知识点03:平行四边形的判定定理（核心，知边角特征推平行四边形） 判定方法 文字条件 几何语言 定义法 两组对边分别平行 ∵AB∥CD, AD∥BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 两组对边分别相等 两组对边分别相等 ∵AB=CD, AD=BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 一组对边平行且相等 一组对边平行且相等 ∵AB∥CD 且 AB=CD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 对角线互相平分 对角线互相平分 ∵OA=OC, OB=OD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 高频雷区（避坑 = 提分，一眼避开） 1.混淆性质：平行四边形对角线互相平分≠相等（矩形才具备对角线相等） 2.对称性误区：是中心对称，不是轴对称，无对称轴 3.书写漏洞：用性质前必须先写 “四边形 ABCD 是平行四边形”，做到有据可依 4.计算陷阱：求边长 / 对角线时，结合 “三角形三边关系” 验证，避免取值无效 解题核心思路（一招破题，直击要害） 见平行四边形，必想三件事： 1 对边平行且相等（边的关系优先用） 2 对角相等 / 邻角互补（角度计算直接套） 3 对角线互相平分（遇对角线交点，立刻标相等线段） 题型01.利用平行四边形性质求解 1．在中，，则（   ） A． B． C． D． 2．在中，已知的度数是的5倍，那么______度． 3．如图，在中，对角线、相交于点O，直线经过O点，若，，，则图中阴影部分的面积之和是____ ． 4．如图，在中，平分交于点E，平分交于点F，若，，，求为（    ） A．6 B．7 C．5 D．8 题型02.利用平行四边形性质证明 5．在平行四边形中，对角线和相交于点，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，E和是对角线上的两点，并且，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，对角线相交于点，过点作交于点，若，则的长为（   ） A． B．6 C． D．8 8．如图，在中，，，是的平分线．有下列结论：①；②是的平分线；③．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型03.平行四边形性质的应用 9．下列说法正确的是（  ） A．有两组对边分别平行的图形是平行四边形 B．平行四边形的对角线相等 C．平行四边形的对角互补，邻角相等 D．平行四边形的对边平行且相等 10．如图，在中，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 11．如图，面积为的三角形沿方向平移至三角形的位置，平移的距离是边的2倍，则图中四边形的面积为（    ）    A． B． C． D． 题型04.证明四边形是平行四边形 12．两个全等的不等边三角形，可以拼成（不许重叠）形状不同的平行四边形的个数最多为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 13．下列四组条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 14．如图，在综合实践课上，小明画出，利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形．小明这一作法判定四边形为平行四边形的直接依据是（    ） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 15．两个完全相同的三角板如图所示摆放，已知，，，点F是边中点，则下列结论：①是等边三角形，②，③，④四边形是平行四边形，其中正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型05.平行四边形判定与补条件 16．给出下列说法：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；④一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形．其中，错误的说法是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 17．如图是不完整的推理过程，为保证推理成立，需在四边形中添加条件．对于嘉嘉和淇淇添加的条件判断正确的是（    ） 嘉嘉：；淇淇： A．只有嘉嘉的正确 B．只有淇淇的正确 C．两人的都正确 D．两人的都不正确 18．在四边形中，若，则添加下列条件，仍不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 19．依据所标数据，下列四边形一定为平行四边形的是 （   ） A． B． C． D． 20．下列给出的条件中，能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B．， C．， D．， 21．在四边形中，已知，添加以下条件不能证明四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 题型06.利用平行四边形判定与性质求解 22．如图，在四边形中，，，E为的中点，连接，．若四边形的面积为20，则的面积为______． 23．如图，在等边中，于，．点分别为上的两个定点且，点为线段上一动点，连接，则的最小值为___． 24．如图，在中，点是对角线上一点，过点作分别交于点，于点，连接、，若．则下列面积一定可以求得结果的是（   ） A． B． C． D． 题型07.平行四边形性质和判定的应用 25．如图，中，过对角线上一点作，，图中面积分别相等的四边形共有________对． 26．如图，在平面直角坐标系中，已知点，．若平移点到点，使四边形是平行四边形，则点的坐标是____． 27．如图所示，线段与线段相交于点，连接，．若，，，则的最小值是________． 题型08.平行四边形与动点问题 28．如图，在四边形中，，，，E是的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间t秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为______． 29．如图，平行四边形中，，，，动点P从点A出发沿折线运动，到达点C停止运动．在运动过程中，过点P作于点H，设点P的运动路程为x，记为，的图象与的图象有1个公共点时m的取值范围_______． 30．如图1，在中，，E为边上一点．动点从点出发以的速度沿匀速运动，运动到点时停止．点的运动时间为，线段的长为与的函数图象如图2所示，则的面积()为（   ） A．4 B． C． D．16 31．如图，在中，，，点P从点A出发，沿向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿运动，它们的速度均为每秒个单位长度，点P到达终点时，P、Q同时停止运动，当点P不与点A、C重合时，过点P作于点N，连接，以、为邻边作．设与重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为秒． (1)①的长为 ； ②的长用含t的代数式表示为 ． (2)用代数式表示S； (3)当过点P且平行于的直线经过一边中点时，直接写出t的值． 题型09.平行四边形与折叠问题 32．如图，将折叠，使点与重合，折痕为．若，，，则的长为______． 33．如图，在中，点E在边上，以为折痕，将向上翻折，使点A恰好落在边上的点F处．若的周长为8，的周长为32，则的周长为 ______． 34．如图，将沿对角线折叠，使点落在点处，交于点．若的周长为12，则的周长是（   ） A．3 B．6 C．8 D．12 35．问题情景：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，在中，，垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明； (1)独立思考：请解答老师提出的问题； (2)实践探究：梦之队小组受此问题的启发，将沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为C'，连接DC'并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明； (3)问题解决：智慧小组突发奇想，将沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点A′，使于点H，连接，交CD于点N，若此的面积为20，边长AB=5，BC=，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积． 题型10.平行四边形存在性问题 36．如图，在平行四边形中，已知两条对角线相交于点O，E，F，G，H分别为的中点，以图中的点（包括平行四边形的四个顶点）为顶点，最多可以画出___________个平行四边形（平行四边形除外），它们分别是___________． 37．已知，在平行四边形中，一动点P在边上以的运动速度从点A向终点D运动． (1)如图①，若，运动过程中，当平分时，判断的形状并说明理由； (2)如图②，在（1）的条件下，连接并延长，交的延长线于点F，连接，若长为，的面积为______； (3)如图③，另一个动点Q在边上，以的速度从C点出发，在间进行往返运动，当点P运动停止时，点Q也随之停止．若长为，请直接写出t为何值时，以A、P、B、Q为顶点的四边形是平行四边形． 38．如图，在梯形中，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，同时点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿往复运动，当点到达端点时，点随之停止运动．设点，的运动时间为，在此运动过程中当四边形为平行四边形时，的值为___________． 39．如图，在中，，是的平分线，点从点出发，沿方向以的速度向点运动，点从点出发，沿射线方向以的速度运动．当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为． (1)求的长． (2)是否存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 题型11.平行四边形与最值问题 40．如图，中，，，点D在边上，以，为邻边作，则长度的最小值是______． 41．如图，在中，，，，对角线与交于点O，将直线l绕点O按顺时针方向旋转，分别交、于点E、F，则四边形周长的最小值是_______． 42．如图，中，对角线AC与BD相交于点E，，，将沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B的落点记为，恰好，若点F为BC上一点，则的最短距离是（    ） A．1 B． C． D． 43．如图，在平行四边形中，，平行四边形的面积为，动点在边上从点向点运动，连接，将沿着翻折成，点的对应点为． (1)点到的距离为________； (2)①判断的形状，并证明． ②在点的运动过程中，点在内部时，长度的取值范围是________． (3)①在点的运动过程中，直线交边于点时，长度的最小值为________； ②连接和，当是等腰三角形时，请直接写出此时的长度． 题型12.平行四边形与三角形全等综合 44．如图，在平行四边形中，和交于点，过点的直线分别与、交于点、，若的面积为3，则四边形的面积等于____________． 45．如图，过平行四边形对角线的交点，交于点，交于点，若平行四边形的周长为，且四边形的周长为，则的长是_________． 46．如图，在中，对角线，交于点O，EF过点O．下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 47．如图1，在中，O是对角线的中点，过点O的直线分别与，交于点E，F，将四边形沿折叠得到四边形，点M在上方，交线段于点T，交线段于点H，交线段于点G，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，若，求、的长． 题型13.平行四边形的实际应用问题 48．如图，某公园计划在一块面积为的平行四边形草坪中修建一条宽为的小道，已知，现需采购铺小道的石板（不考虑损耗），则需购买石板 _______． 49．新情境  王师傅加工了一批如图所示的平行四边形零件，交付验收时需要检查该零件是否为平行四边形，下列检查方法错误的是（    ） A．， B．， C．， D．， 50．图①是小蒲周末学做的小蛋糕，每一块小蛋糕的上表面可看作是四边形ABCD，小蒲沿小蛋糕的对角线划了一个十字花（如图②）．已知AC与BD互相平分且交于点O，，，，则一块小蛋糕的上表面ABCD的面积为________． 51．兄弟俩共同承包一块平行四边形的土地，现要进行平均划分，由于在这块地里有一口水井P，如图所示，为了兄弟俩都能方便使用这口井，兄弟俩在划分时犯难了，聪明的你能帮他们解决这个问题吗？请作图说明． 52．某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花，如果有，，那么下列说法中错误的是（  ）    A．红花、绿花种植面积一定相等 B．紫花、橙花种植面积一定相等 C．红花、蓝花种植面积一定相等 D．蓝花、黄花种植面积一定相等 53．如图1是某一遮阳蓬支架从闭合到完全展开的一个过程，当遮阳蓬支架完全闭合时，支架的若干支杆可看作共线．图2是遮阳蓬支架完全展开时的一个示意图，支杆固定在垂直于地面的墙壁上，支杆与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中四边形始终是平行四边形． (1)若遮阳蓬完全展开时，长2米，在与水平地面呈的太阳光照射下，在地面的影子有______米（影子完全落在地面） (2)长支杆与短支杆的长度比（即与的长度比）是______． 解答题 54．如图，以的顶点为圆心，以的长为半径作弧，再以顶点为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点，分别连接，． (1)根据题意直接写出图中相等的线段； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)在（2）的条件下，若，，，求四边形的面积． 55．如图，在平行四边形中，、是对角线上的两点，且，求证：． 56．已知，在下列网格中，每个小正方形的边长都为1． (1)在图1中，画一个斜边长为，面积为的直角三角形； (2)在图2中，画一个有一条边长为，面积为的平行四边形． 57．已知：如图，在梯形中，，平分，，的延长线交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若的周长为，，求梯形的面积． 58．在一次数学活动课上，小明把两块完全相同且含角的直角三角板和按如图的位置放置，三角板的边长． (1)四边形是平行四边形吗？请说明理由． (2)小明在上放置一动点P，点P从A点出发，沿方向以的速度在射线上运动． ①P点运动几秒时，是等腰三角形？ ②的面积之和记作S，设P点运动了． a．当时， S的大小会随着P点运动而改变吗？若会改变，请说明理由，若不会改变，请求出S的值． b．当时， S的大小会随着P点运动而改变吗？若不会改变，请说明理由，若会改变，请写出S随 t变化的函数关系式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03平行四边形专项训练 题型01.利用平行四边形性质求解 题型02.利用平行四边形性质证明 题型03.平行四边形性质的应用 题型04.证明四边形是平行四边形 题型05.平行四边形判定与补条件 题型06.利用平行四边形判定与性质求解 题型07.平行四边形性质和判定的应用 题型08.平行四边形与动点问题 题型09.平行四边形与折叠问题 题型10.平行四边形存在性问题 题型11.平行四边形与最值问题 题型12.平行四边形与三角形全等综合 题型13.平行四边形的实际应用问题 解答题5题 知识点 01. 平行四边形的定义及表示 定义：两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。 表示：用符号□表示，平行四边形ABCD记作□ABCD，读作 “平行四边形ABCD”。 平行四边形基本元素：边、角、对角线。 知识点02:平行四边形核心性质(必考.知平行四边形推边角特征) 维度 性质 几何语言 边 对边平行且相等 AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，AD=BC 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分 AO=OC，BO=OD 面积 S=底×对应高（S=ah） 同底等高的平行四边形面积相等 知识点03:平行四边形的判定定理（核心，知边角特征推平行四边形） 判定方法 文字条件 几何语言 定义法 两组对边分别平行 ∵AB∥CD, AD∥BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 两组对边分别相等 两组对边分别相等 ∵AB=CD, AD=BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 一组对边平行且相等 一组对边平行且相等 ∵AB∥CD 且 AB=CD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 对角线互相平分 对角线互相平分 ∵OA=OC, OB=OD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 高频雷区（避坑 = 提分，一眼避开） 1.混淆性质：平行四边形对角线互相平分≠相等（矩形才具备对角线相等） 2.对称性误区：是中心对称，不是轴对称，无对称轴 3.书写漏洞：用性质前必须先写 “四边形 ABCD 是平行四边形”，做到有据可依 4.计算陷阱：求边长 / 对角线时，结合 “三角形三边关系” 验证，避免取值无效 解题核心思路（一招破题，直击要害） 见平行四边形，必想三件事： 1 对边平行且相等（边的关系优先用） 2 对角相等 / 邻角互补（角度计算直接套） 3 对角线互相平分（遇对角线交点，立刻标相等线段） 题型01.利用平行四边形性质求解 1．在中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行四边形邻角互补、对角相等的性质，结合已知角度关系即可求解 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ ∵ ∴ 即 解得 ∴ 2．在中，已知的度数是的5倍，那么______度． 【答案】 【分析】由平行四边形得到，，则，结合已知条件得到,求出，即可求解和的度数． 【详解】解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵的度数是的5倍， ∴, 解得， ∴． 3．如图，在中，对角线、相交于点O，直线经过O点，若，，，则图中阴影部分的面积之和是____ ． 【答案】3 【分析】作于点E，则，先求出，得出，根据勾股定理得出，求出，证明，得出，即可解答． 【详解】解：作于点E，则， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，对角线、相交于点O， ∴，，，， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． 4．如图，在中，平分交于点E，平分交于点F，若，，，求为（    ） A．6 B．7 C．5 D．8 【答案】C 【分析】根据已知条件证明，，过点作交延长线于点，证明，再利用勾股定理可得的长，进而可得的长． 【详解】如图，过点作交延长线于点， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 同理可证：， ， ， 平分，平分， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 在中，，，根据勾股定理，得 ， ，，， ， ， ． 题型02.利用平行四边形性质证明 5．在平行四边形中，对角线和相交于点，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，牢记平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分是解题的关键． 由平行四边形的性质逐一判断，即可得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 故选项符合题意， 与不一定相等，与不一定相等，与不一定相等， 故选项，，不符合题意， 故选：． 6．如图，在中，E和是对角线上的两点，并且，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，平行线的判定与性质以及全等三角形的判定与性质， 直接利用平行四边形的性质得出，再结合平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质可以判断B，C，D选项不符合题意，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，故D选项不符合题意， ， ∵， ∴，故C选项不符合题意， ∴， ∴， ∴，故B选项不符合题意， 无法证明，故A选项符合题意， 故选：A． 7．如图，在中，对角线相交于点，过点作交于点，若，则的长为（   ） A． B．6 C． D．8 【答案】C 【分析】连接，由平行四边形的性质得，因为交于点，所以垂直平分，则，而，则，所以，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， 四边形是平行四边形，，对角线相交于点， ， 交于点， 垂直平分， ， ， ， 是直角三角形，且， ， ． 8．如图，在中，，，是的平分线．有下列结论：①；②是的平分线；③．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键，即①平行四边形的对边平行且相等，②平行四边形的对角相等，③平行四边形的对角线互相平分． 可证明四边形为平行四边形，可求得，可判断①；结合角平分线的定义和条件可证明、为等边三角形，可判断②③，即可得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，． 又， 四边形是平行四边形， ，， ， ，故结论①正确． 平分， ． 又， ， ， ， ． ， ， 是等边三角形， ． 又， ， 是等边三角形， ， 是的平分线，，故结论②③正确． 综上所述，其中正确的个数是． 故选：D． 题型03.平行四边形性质的应用 9．下列说法正确的是（  ） A．有两组对边分别平行的图形是平行四边形 B．平行四边形的对角线相等 C．平行四边形的对角互补，邻角相等 D．平行四边形的对边平行且相等 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定和性质，对选项进行判断，即可． 【详解】A、有两组对边分别平行的图形可能不是四边形，如正六边形，故错误； B、平行四边形的对角线只有互相平分这一性质，不一定相等，错误； C、平行四边形的对角相等，邻角互补，错误； D、平行四边形的对边平行且相等，这是平行四边形的性质，正确． 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的知识，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质． 10．如图，在中，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质，逐一判断选项，即可． 【详解】∵在中， ∴，， ∵AD//BC， ∴， 无法得出∠1=∠3， ∴A，B，C正确，D错误， 故选D． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对边互相平行且相等，对角线互相平分，是解题的关键． 11．如图，面积为的三角形沿方向平移至三角形的位置，平移的距离是边的2倍，则图中四边形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质及三角形面积的计算，推出四边形的面积是的4倍是解本题的关键． 根据平移的性质得出四边形是平行四边形，用表示出、，设点A到的距离为h，然后根据三角形的面积公式与平行四边形的面积公式列式进行计算即可． 【详解】面积为的沿方向平移至的位置，平移的距离是边的2倍， ，即， ，， 四边形为平行四边形， 设点A到的距离为h， ， ∴四边形的面积为： 故选：C． 题型04.证明四边形是平行四边形 12．两个全等的不等边三角形，可以拼成（不许重叠）形状不同的平行四边形的个数最多为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由题意得可知只需要将对应边放在一起即可得到对应的平行四边形，因此当三角形三边都不相等的时候可以拼接的平行四边形最多． 【详解】解：由题意得，当三角形三边都不相等的时候，只需要将对应边重合放在一起，即可拼接成对应的平行四边形， ∴最多可以拼接成形状不同的平行四边形有3个， 故选B． 【点睛】本题主要考查了图形的拼接，熟知两个全等三角形对应边重合放在一起即可拼接成平行四边形是解题的关键． 13．下列四组条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定定理即可求解． 【详解】解：如图， A、，，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故不合题意； B、，，可以证明，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故不合题意； C、，，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故不合题意； D、，，一组对边平行，另一组对边相等，不能判定平行四边形，故符合题意； 故选：D． 14．如图，在综合实践课上，小明画出，利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形．小明这一作法判定四边形为平行四边形的直接依据是（    ） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】C 【分析】本题考查作图复杂作图、平行四边形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由作图痕迹可知，，，可得四边形为平行四边形，进而可得答案． 【详解】解：由作图痕迹可知，，， 四边形为平行四边形， 判定四边形为平行四边形的直接依据是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 故选：C． 15．两个完全相同的三角板如图所示摆放，已知，，，点F是边中点，则下列结论：①是等边三角形，②，③，④四边形是平行四边形，其中正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】①根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可判定； ②利用“直角三角形中所对的直角边是斜边的一半”和中点的定义，即可判断； ③利用勾股定理，可得，再根据线段之间的关系，代换即可； ④利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，即可判定． 【详解】解：由题可知，，则， ， 是等边三角形，故①正确； ，， ， 点F是边中点， ， ，故②正确； 在中，， 则，即， 是等边三角形，点F是边中点，， ，， ，故③正确； ，， ，即， ，， ，则， ， ， ， ， 在中，点F是边中点， ， ， ，则， 又， 四边形是平行四边形，故④正确； 故选：A． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质和判定，含的特殊直角三角形等知识，正确掌握相关知识是解题的关键． 题型05.平行四边形判定与补条件 16．给出下列说法：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；④一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形．其中，错误的说法是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法．根据平行四边形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，故①不符合题意； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故②不符合题意； ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故③不符合题意； ④一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，故④符合题意； 故选：D． 17．如图是不完整的推理过程，为保证推理成立，需在四边形中添加条件．对于嘉嘉和淇淇添加的条件判断正确的是（    ） 嘉嘉：；淇淇： A．只有嘉嘉的正确 B．只有淇淇的正确 C．两人的都正确 D．两人的都不正确 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形以及两组对边分别平行的四边形是平行四边形，进行判断即可． 【详解】解：根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以添加； 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以添加； 故两人的都正确； 故选C． 18．在四边形中，若，则添加下列条件，仍不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据题意利用平行四边形的判定定理逐一对选项分析，即可得到答案． 【详解】解：A、由不能判定四边形是平行四边形，符合题意； B、由知：，结合得到：，则，由此推知四边形为平行四边形（两组对边互相平行的四边形是平行四边形），不符合题意； C、由知：，结合得到：，则，由此推知四边形为平行四边形（两组对边互相平行的四边形是平行四边形），不符合题意； D、已知，若，即可证明四边形为平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形），所以添加D选项能判定四边形为平行四边形； 故选：A． 19．依据所标数据，下列四边形一定为平行四边形的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据平行四边形的判定定理分别判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴一组对边平行，另一组对边不平行， ∴图中的四边形一定不是平行四边形，故A不符合题意； B、∵，， ∴一组对边平行，另一组对边相等， ∴图中四边形不一定是平行四边形，故B不符合题意； C、∵， ∴一组对边相等， ∴图中的四边形不一定是平行四边形，故C不符合题意； D、∵，， ∴一组对边平行且相等， ∴图中的四边形是平行四边形，故D符合题意． 故选：D． 20．下列给出的条件中，能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理（①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形）进行判断即可． 【详解】解：A.，则，， ，， ，但， 与不平行，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； B.，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； C.，，两组对边分别相等，可以判定四边形为平行四边形，故本项符合题意； D.，，且，可得， ，只有一组对边平行，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意． 故选：C． 21．在四边形中，已知，添加以下条件不能证明四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平行四边形的判定定理逐项验证即可． 【详解】解：在四边形中，， A、当时，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可判定四边形是平行四边形，不符合题意； B、当时，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可判定四边形是平行四边形，不符合题意； C、， ， 又， ， 则表明， 由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可判定四边形是平行四边形，不符合题意； D、当时，必有，这是已知条件推导得到的必然结论，该条件没有提供新的有效信息，无法推出另一组对边平行或，即不能判定四边形是平行四边形，符合题意． 题型06.利用平行四边形判定与性质求解 22．如图，在四边形中，，，E为的中点，连接，．若四边形的面积为20，则的面积为______． 【答案】5 【分析】本题考查的是三角形的中线的性质，平行四边形的判定与性质．先证明四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质与三角形的中线等分三角形的面积可得答案． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形； ∵四边形的面积为20， ∴； ∵点E为的中点， ∴， 故答案为：5． 23．如图，在等边中，于，．点分别为上的两个定点且，点为线段上一动点，连接，则的最小值为___． 【答案】5 【分析】如图所示，作点关于的对称点，且点在上，则，当在同一条直线上时，有最小值，证明四边形是平行四边形，，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点， ∵是等边三角形，， ∴， ∴点在上， ∴，则，当在同一条直线上时，有最小值， ∵点关于的对称点，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形，即， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查动点与等边三角形，对称—最短路径，平行四边形的判定和性质的综合，理解并掌握等边三角形的性质，对称—最短路径的计算方法，平行四边形的判定和性质是解题的关键． 24．如图，在中，点是对角线上一点，过点作分别交于点，于点，连接、，若．则下列面积一定可以求得结果的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，过点作交于，交于，由是平行四边形可得，；进而得到四边形是平行四边形、四边形是平行四边形、四边形是平行四边形、四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质以及三角形面积间的关系即可解答． 【详解】解：如图，过点作交于，交于， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ，， ∵ ， ， ． 题型07.平行四边形性质和判定的应用 25．如图，中，过对角线上一点作，，图中面积分别相等的四边形共有________对． 【答案】5 【分析】本题考查了平行四边形的性质；平行四边形的对角线将平行四边形分成两个面积相等的三角形．所以三角形的面积等于三角形的面积．三角形的面积等于的面积，三角形的面积等于三角形的面积，从而可得到5对四边形的面积分别相等． 【详解】解：为平行四边形，为对角线， 的面积等于的面积， 同理三角形的面积等于三角形的面积，从而可得到的面积等于的面积， 四边形和的面积相等，四边形和四边形的面积相等，四边形和四边形的面积相等，四边形和四边形的面积相等， 共5对， 故答案为：5． 26．如图，在平面直角坐标系中，已知点，．若平移点到点，使四边形是平行四边形，则点的坐标是____． 【答案】 【分析】根据平行四边形的判定得到需将点向右平移的长度得到点． 【详解】解：∵， ∴， ∴要使四边形是平行四边形，需将点向右平移的长度得到点， ∴点的坐标是． 27．如图所示，线段与线段相交于点，连接，．若，，，则的最小值是________． 【答案】 【分析】过点B作，过点D作，与交于点F，连接，则四边形是平行四边形，推出，，当C，D，F三点共线时，的长最小，即最小，过点C作于点H，求出，得到，勾股定理求出，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：过点B作，过点D作，与交于点F，连接，则四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当C，D，F三点共线时，的长最小，即最小， 过点C作于点H， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，直角三角形30度角的性质，熟练掌握各性质是解题的关键． 题型08.平行四边形与动点问题 28．如图，在四边形中，，，，E是的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间t秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为______． 【答案】2秒或秒 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的判定方法、进行分类讨论是解题的关键． 由，则时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况讨论：①当Q运动到E和C之间时，设运动时间为t，则得：，解方程即可；②当Q运动到E和B之间时，设运动时间为t，则得：，解方程即可． 【详解】解：∵E是的中点， ∴， ∵， ∴时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形， ①当Q运动到E和C之间时，设运动时间为t， 则，， ∴，， ∵， ∴，解得； ②当Q运动到E和B之间时，设运动时间为t， 则，， ∴，， ∵， ∴，解得； 综上，当运动时间t为2秒或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形， 故答案为：2秒或秒． 29．如图，平行四边形中，，，，动点P从点A出发沿折线运动，到达点C停止运动．在运动过程中，过点P作于点H，设点P的运动路程为x，记为，的图象与的图象有1个公共点时m的取值范围_______． 【答案】或 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到函数作图、一次函数的性质，分类求解和数形结合是解题的关键．当点P在上时，过点A作于点M，利用等面积法求出，再由，即可求解；当点P在上时，同理可解；描点、连线绘制图象，再观察函数图象即可求解；图象过和、时，为符合题意的临界点，即可求解． 【详解】解：当点P在上时，则， 过点A作于点M， 在平行四边形中，，，， 则， 则， 即， 则， 则； 当点P在上时，则， 则， 在平行四边形中，， ∴， ∴， ∴， 即， 当时，，当时，，当时，， 根据上述3点坐标描点、连线绘制图象如下： 的图象是方向固定的一条直线，m为其与y轴的交点的纵坐标， 当图象过时，则， 当图象过时，则，则， 当图象过时，则，则， 通过平移直线，可知的图象与的图象有1个公共点时m的取值范围为或， 故答案为：或． 30．如图1，在中，，E为边上一点．动点从点出发以的速度沿匀速运动，运动到点时停止．点的运动时间为，线段的长为与的函数图象如图2所示，则的面积()为（   ） A．4 B． C． D．16 【答案】B 【分析】本题考查动点的函数图象，平行四边形的性质，勾股定理等，正确理解题意，从函数图象获取相关信息是解题的关键； 由图象可知，当点P与A重合时，，当点P与C重合时，， 连接，过点C作交延长线于F，利用平行四边形的性质和勾股定理求出和的长，再利用平行四边形的面积公式进行求解即可． 【详解】由图2可知，当点P与A重合时，即时，， 当点P与C重合时，， 如图3，连接，过点C作交延长线于F，则， 四边形是平行四边形，， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， 平行四边形的面积， 故选：B． 31．如图，在中，，，点P从点A出发，沿向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿运动，它们的速度均为每秒个单位长度，点P到达终点时，P、Q同时停止运动，当点P不与点A、C重合时，过点P作于点N，连接，以、为邻边作．设与重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为秒． (1)①的长为 ； ②的长用含t的代数式表示为 ． (2)用代数式表示S； (3)当过点P且平行于的直线经过一边中点时，直接写出t的值． 【答案】(1)①；② (2) (3)或 【分析】（1）①由勾股定理计算即可得出结果；②由等腰直角三角形的性质可得，由题意可得，结合， 为等腰直角三角形，再由勾股定理计算即可得出结果； （2）先求出当为矩形时，，再分两种情况：当时，在内部，重叠部分图形为，延长交于点；当时，与重叠部分图形为梯形；分别计算即可得出结果； （3）由（2）可得，，，，，分两种情况：当点经过平行于的直线，且经过的边中点时，如图，，与交于点，为中点，过点作；，与交于点，为中点，过点作；分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：①∵在中，，， ∴； ②∵在中，，， ∴， 由题意可得：， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，当为矩形时，则，， ， 由题意可得：，， ∵， ∴、均为直角三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 即当为矩形时，， 如图，当时，在内部，重叠部分图形为，延长交于点， ， 此时，， ∴， ∴此时与重叠部分图形的面积为； 如图，当时，与重叠部分图形为梯形， ， 此时，， ∴， ∴此时与重叠部分图形的面积为； 综上所述，； （3）解：由（2）可得，，，，， 当点经过平行于的直线，且经过的边中点时，如图，，与交于点，为中点，过点作， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：； 如图，，与交于点，为中点，过点作， ， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵为中点，， ∴， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，当或时，过点P且平行于的直线经过一边中点． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，列代数式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 题型09.平行四边形与折叠问题 32．如图，将折叠，使点与重合，折痕为．若，，，则的长为______． 【答案】 【分析】过点作交的延长线于点，根据平行四边形的性质可得，然后求出，根据直角三角形的性质以及勾股定理求出，设，则由折叠可得，再对运用勾股定理求解． 【详解】解：过点作交的延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则由折叠可得， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的长为． 33．如图，在中，点E在边上，以为折痕，将向上翻折，使点A恰好落在边上的点F处．若的周长为8，的周长为32，则的周长为 ______． 【答案】40 【分析】本题考查了平行四边形的性质及图形翻折的性质．利用平行四边形的性质和折叠的性质，分别找出、与平行四边形边长的关系，进而求出平行四边形的周长． 【详解】解：由题意知， ，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵由翻折得到， ∴，， ∴，， ∴， 即平行四边形的周长为40． 故答案为：40． 34．如图，将沿对角线折叠，使点落在点处，交于点．若的周长为12，则的周长是（   ） A．3 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，图形的周长，熟练掌握性质是解题的关键．根据平行四边形的性质，得，结合折叠的性质，得，继而证明，根据图形的周长定义计算即可． 【详解】解：， ， ， 根据折叠的性质，得， ， ， 又的周长是， 故的周长是， 的周长为12， ， 故的周长是6， 故选：B． 35．问题情景：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，在中，，垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明； (1)独立思考：请解答老师提出的问题； (2)实践探究：梦之队小组受此问题的启发，将沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为C'，连接DC'并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明； (3)问题解决：智慧小组突发奇想，将沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点A′，使于点H，连接，交CD于点N，若此的面积为20，边长AB=5，BC=，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积． 【答案】(1)，见解析； (2)，证明见解析； (3)图中阴影部分的面积为． 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，矩形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，翻折变换，平行线分线段成比例定理，解直角三角形．解题核心是利用平行四边形对边平行且相等的特性，结合折叠的“全等性”转化线段与角度关系，再通过勾股定理、三角函数等工具计算线段长度与面积． （1） 要确定 与 的数量关系，可通过构造辅助线，结合平行四边形对边平行且相等、直角三角形斜边中线性质来推导； （2） 判断 与 的数量关系，需利用折叠性质（对应边、角相等），结合平行四边形对边平行且相等，证明相关四边形为平行四边形或三角形为等腰三角形； （3） 求阴影部分面积，先由平行四边形面积公式求高，再通过勾股定理、三角函数、折叠性质确定各线段长度，进而计算三角形面积差得到阴影面积． 【详解】（1）（1）解：． 证明：如图中，过点作交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）（2）解：． 证明：如图中，连接， ∵是由翻折得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）（3）如图中，过点作于，过点作于． ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， 设则 ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 题型10.平行四边形存在性问题 36．如图，在平行四边形中，已知两条对角线相交于点O，E，F，G，H分别为的中点，以图中的点（包括平行四边形的四个顶点）为顶点，最多可以画出___________个平行四边形（平行四边形除外），它们分别是___________． 【答案】 3 平行四边形，平行四边形，平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定画出图形即可解答． 【详解】解：如图： 即平行四边形，平行四边形，平行四边形； 故答案为：3；平行四边形，平行四边形，平行四边形． 37．已知，在平行四边形中，一动点P在边上以的运动速度从点A向终点D运动． (1)如图①，若，运动过程中，当平分时，判断的形状并说明理由； (2)如图②，在（1）的条件下，连接并延长，交的延长线于点F，连接，若长为，的面积为______； (3)如图③，另一个动点Q在边上，以的速度从C点出发，在间进行往返运动，当点P运动停止时，点Q也随之停止．若长为，请直接写出t为何值时，以A、P、B、Q为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】(1)为等边三角形，理由见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据平行四边形的性质，得到，，角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边推出，即可得出结论； （2）如图②中，由四边形是平行四边形，推出，推出，推出，推出，可得由此即可解决问题； （3）分和，两种情况进行讨论求解即可； 【详解】（1）解：为等边三角形，理由如下： ∵平行四边形，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形； （2）解：如图中，过作于点， 由（1）可知，， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ； （3）∵平行四边形， ∴， ∴， ∴当时，四边形为平行四边形， 点的运动时间为，点从点运动到点所用时间为， ①当时，，故， ∴，解得； ②当时，， ∴，解得； 综上：或． 38．如图，在梯形中，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，同时点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿往复运动，当点到达端点时，点随之停止运动．设点，的运动时间为，在此运动过程中当四边形为平行四边形时，的值为___________． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定是解题的关键．设点，的运动时间为，根据题意，得，，，然后分类计算即可． 【详解】解：设点，的运动时间为，根据题意，得，，， 当点P到达点D时所用时间为， 根据题意，得， 当时，四边形为平行四边形，此时， 解得； 当Q第一次越过点B返回向点C运动时，此时， 根据四边形为平行四边形，此时， 解得； 当Q第一次越过点C返回向点B运动时，此时， 根据四边形为平行四边形，此时， 解得； 当Q第二次越过点B返回向点C运动时，此时， 根据四边形为平行四边形，此时， 解得，大于，舍去， 故答案为：或或． 39．如图，在中，，是的平分线，点从点出发，沿方向以的速度向点运动，点从点出发，沿射线方向以的速度运动．当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为． (1)求的长． (2)是否存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，当的值为或2时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【分析】（1）利用平行四边形的性质得出，再利用角平分线的定义得出，即可得出结论； （2）利用平行四边形的性质即可得出，再分两种情况讨论计算即可得出结论． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， ． 是的平分线， ， ， ． ， ． （2）解：存在．由（1）可知，，． 由题意可知，，（）． ，要使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，只要满足即可． 分以下两种情况讨论： ①当点在边上时，， ，解得； ②当点在边的延长线上时，， ，解得． 综上，当的值为或2时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题是平行四边形的综合题，主要考查了平行四边形的性质和判定，角平分线的定义，熟练掌握是关键． 题型11.平行四边形与最值问题 40．如图，中，，，点D在边上，以，为邻边作，则长度的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形性质，垂线段最短，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，解题的关键在于根据题意找出长度最小时所在位置． 过点作于点，根据平行四边形性质和垂线段最短，推出当与重合时， 的长度最小，再利用勾股定理，以及直角三角形性质求解，即可解题． 【详解】解：点D在边上，四边形为平行四边形， 为的中点，， ， 要使的长度最小，即的长度最小， 过点作于点， 当与重合时，据垂线段最短可知，此时的长度最小， ，， ， ， ， ， ， ， 长度的最小值是； 故答案为：． 41．如图，在中，，，，对角线与交于点O，将直线l绕点O按顺时针方向旋转，分别交、于点E、F，则四边形周长的最小值是_______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，线段的最值问题，全等三角形的判定与性质，解题关键是利用三角形全等的性质转换线段之间的关系表示出周长．过点A作，垂足为，求出的值，进而求出的值，根据证明，得到，即可推出四边形周长，当的值最小时，即可得到四边形的周长的最小值，利用垂线段最短即时，求出最小值，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，过点作，垂足为， ∴， ∵， ∴， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， ，， 四边形的周长， 当的值最小时，四边形的周长最小， ∴当时，有最小值，此时， 四边形的周长最小值为， 故答案为：． 42．如图，中，对角线AC与BD相交于点E，，，将沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B的落点记为，恰好，若点F为BC上一点，则的最短距离是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】由折叠的性质，可得，，，由和，可得，由平行四边形和折叠的性质可求得，连接，易知是等边三角形，继而可得，然后根据平行四边形和折叠的性质可求得，利用勾股定理可求得，由垂线段最短可知，当时，最短，然后根据勾股定理即可求得答案. 【详解】解：由折叠的性质，可得：，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD//BC， ∴， ∴， 如图，连接，作， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， 在中，， ∴， 由垂线段最短可知，当时，最短， 在中，，， ∴， ∴. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短等，熟练掌握相关定理是解题的关键. 43．如图，在平行四边形中，，平行四边形的面积为，动点在边上从点向点运动，连接，将沿着翻折成，点的对应点为． (1)点到的距离为________； (2)①判断的形状，并证明． ②在点的运动过程中，点在内部时，长度的取值范围是________． (3)①在点的运动过程中，直线交边于点时，长度的最小值为________； ②连接和，当是等腰三角形时，请直接写出此时的长度． 【答案】(1) (2)①直角三角形② (3)①②或 【分析】（1）根据面积及一边长即可求得结果； （2）①求出各边长，利用勾股定理的逆定理可得；②分别求出点落在边上时，的长，则取值范围可得； （3）①当时，值最小；②分类讨论三边两两相等时的位置，进而求得的长． 【详解】（1）解：过点A作于， ∵，， ∴， 点到的距离为：； 故答案为：． （2）①解：是直角三角形；理由如下， 连接，过点A作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：是直角三角形． ②解：∵是直角三角形，， ∴， ∴， 当在边上时，如图所示， ∵， ∴是等边三角形，， ∴； 当在边上时， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：， （3）解：①由（1）可知，在直角三角形中， ∵， ∴， ∴， 由折叠可知： ∵在中，，， ∴由垂线段最短可得：当时，有最小值， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； ②如图所示：分别以为圆心，为半径作圆， ∵， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上； 当时，是的交点，因此在上，是等边三角形，；或在上，是等边三角形，； 当时，是与垂直平分线的交点，因此在上，是等边三角形，； 当时，是与的交点，因此在上，是等边三角形，； 综上所述：或．     【点睛】本题考查了图形变换——翻折、平行四边形的性质、勾股定理及其逆定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，关键是灵活应用知识点解题． 题型12.平行四边形与三角形全等综合 44．如图，在平行四边形中，和交于点，过点的直线分别与、交于点、，若的面积为3，则四边形的面积等于____________． 【答案】 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 的面积的面积， 的面积为6， ∴平行四边形的面积为12． 平行四边形是中心对称图形， ∴四边形的面积平行四边形的面积． 45．如图，过平行四边形对角线的交点，交于点，交于点，若平行四边形的周长为，且四边形的周长为，则的长是_________． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形全等的判定，周长的转化计算，通过证明三角形全等实现边的等量代换是解题关键． 利用平行四边形性质结合证，得，再结合平行四边形周长求出，然后将四边形周长转化为，进而解得． 【详解】解： 四边形为平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， 平行四边形的周长为， ，即， 四边形的周长为， ． 故答案为：． 46．如图，在中，对角线，交于点O，EF过点O．下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、面积转化，掌握利用平行四边形的对角线性质和全等三角形证明线段与面积关系是解题的关键． 逐一分析四个结论，结合平行四边形性质与全等三角形判定判断正误． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，． 在中： ∴， ∴，．故①②正确． ∵，， ∴， 即，故④正确． 无法确定，故③不正确． 综上所述，正确结论的个数为． 故选：C． 47．如图1，在中，O是对角线的中点，过点O的直线分别与，交于点E，F，将四边形沿折叠得到四边形，点M在上方，交线段于点T，交线段于点H，交线段于点G，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，若，求、的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4； 【分析】（1）根据平行四边形的性质，证明，得到．根据折叠性质，得到．等量代换即可得证． （2）根据平行四边形的性质，折叠的性质，证明，，继而证明，延长交的延长线于点K，延长交的延长线于点L，证明，得到，，根据等腰三角形的三线合一性质即可证明． （3）过点H作交的延长线于点Q，过点O作于点R，连接，过点C作于点K，得到，根据折叠的性质，勾股定理等证明是等腰直角三角形，再利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：， ∴，， ∴．， 在和中， ∵， ∴， ∴． ∵四边形沿折叠得到四边形， ∴． ∴． （2）证明：∵四边形沿折叠得到四边形， ∴，，，， ， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 延长交的延长线于点K，延长交的延长线于点L， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． （3）解：过点H作交的延长线于点Q，过点O作于点R，连接， ，， ， ， ， ， ， ， ， 过点C作于点K， ，， ， ， 根据折叠的性质，得， ； ，， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， .，， ， ， ， 根据（2）证明，得， ， ， ． 题型13.平行四边形的实际应用问题 48．如图，某公园计划在一块面积为的平行四边形草坪中修建一条宽为的小道，已知，现需采购铺小道的石板（不考虑损耗），则需购买石板 _______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，平行四边形的性质，设平行四边形草坪中边上的高为，则小道的面积为，由题意得，求解即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设平行四边形草坪中边上的高为，则小道的面积为， 由题意得：， 解得：， ∴， 即需购买石板， 故答案为：． 49．新情境  王师傅加工了一批如图所示的平行四边形零件，交付验收时需要检查该零件是否为平行四边形，下列检查方法错误的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据平行四边形的证明方法逐项判断即可． 【详解】解：A、，，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形； B、，，一组对边平行，另一组对边相等，不能得到四边形是平行四边形； C、，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形； D、，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形． 50．图①是小蒲周末学做的小蛋糕，每一块小蛋糕的上表面可看作是四边形ABCD，小蒲沿小蛋糕的对角线划了一个十字花（如图②）．已知AC与BD互相平分且交于点O，，，，则一块小蛋糕的上表面ABCD的面积为________． 【答案】24 【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质，三角形的面积，解题的关键利用勾股逆定理证明三角形为直角三角形． 根据平行四边形对角线互相平分可知，，，又，根据勾股定理逆定理可知三角形为直角三角形，面积为，又平行四边形中对角线把它分成面积相等的部分，由此可求出平行四边形的面积． 【详解】解：与互相平分， ∴四边形是平行四边形， ． ，，， ， 为直角三角形，， ， ∴ ∴四边形的面积为． 故答案为：． 51．兄弟俩共同承包一块平行四边形的土地，现要进行平均划分，由于在这块地里有一口水井P，如图所示，为了兄弟俩都能方便使用这口井，兄弟俩在划分时犯难了，聪明的你能帮他们解决这个问题吗？请作图说明． 【答案】见解析 【分析】关键是掌握平行四边形是中心对称图形．先找出平行四边形的对称中心，过中心和P作直线即可． 【详解】解：如图所示 连接、相交于点O，则点O是平行四边形的对称中心。 过O、P作直线分别交、于E、F，则一人分四边形，另一人分四边形． 52．某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花，如果有，，那么下列说法中错误的是（  ）    A．红花、绿花种植面积一定相等 B．紫花、橙花种植面积一定相等 C．红花、蓝花种植面积一定相等 D．蓝花、黄花种植面积一定相等 【答案】C 【分析】由题意得出四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形，得出的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积，得出四边形的面积四边形的面积，即可得出结论． 【详解】解：如图所示：   ，， 四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形， 的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积，故A，D选项正确 四边形的面积四边形的面积，故B选项正确 ∴A、B、D正确，C不正确； 故选：C． 【点睛】此题考查平行四边形的性质，利用平行四边形性质比较三角形面积大小，结合图形解题较为简便． 53．如图1是某一遮阳蓬支架从闭合到完全展开的一个过程，当遮阳蓬支架完全闭合时，支架的若干支杆可看作共线．图2是遮阳蓬支架完全展开时的一个示意图，支杆固定在垂直于地面的墙壁上，支杆与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中四边形始终是平行四边形． (1)若遮阳蓬完全展开时，长2米，在与水平地面呈的太阳光照射下，在地面的影子有______米（影子完全落在地面） (2)长支杆与短支杆的长度比（即与的长度比）是______． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）过C作与水平地面呈的直线交的延长线于K，分别过K、E作，，可得四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质求得的长即可； （2）由题意可知：支杆的竖直长度都一样，且竖直的支点为长支杆的中点，即G为的中点、B为的中点，然后说明的长度为长支杆的一半即可． 【详解】（1）解：过C作与水平地面呈的直线交的延长线于K，分别过K、E作，， ∴四边形是平行四边形， ∴，即在地面上影子的长为2米； 故答案为：2； （2）解：由题意可知：支杆的竖直长度都一样，且竖直的支点为长支杆的中点，即G为的中点、B为的中点， 当遮阳棚完全闭合后，每根杆的长度都一样，即的长度为长支杆的一半， ∵为长支杆的长度，为短支杆的长度．∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、折叠的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 解答题 54．如图，以的顶点为圆心，以的长为半径作弧，再以顶点为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点，分别连接，． (1)根据题意直接写出图中相等的线段； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)在（2）的条件下，若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)， (2)证明过程见解析 (3) 【分析】（1）根据作图提示解答即可； （2）根据平行四边形的判定条件判断即可； （3）根据已知条件，证明是直角三角形，计算面积即可； 【详解】（1）解：以的顶点为圆心，以的长为半径作弧，再以顶点为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点， ，； （2）证明：，， 四边形是平行四边形； （3）解：四边形是平行四边形， ， 又，， ， 是直角三角形，， 四边形的面积为． 55．如图，在平行四边形中，、是对角线上的两点，且，求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】根据平行四边形的性质，结合平行线的性质得出，，即可证明，根据全等三角形的性质即可得出． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 56．已知，在下列网格中，每个小正方形的边长都为1． (1)在图1中，画一个斜边长为，面积为的直角三角形； (2)在图2中，画一个有一条边长为，面积为的平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）取格点、、，连接、、即可； （2）取格点、、、，连接、、、即可； 【详解】（1）解：如图，即为所求； 由图可知，，，， ∴，的面积为； （2）解：如图，四边形即为所求． 由图及勾股定理可知，，， ∴四边形是平行四边形， ∵的底，边上的高为 ∴的面积为． 57．已知：如图，在梯形中，，平分，，的延长线交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若的周长为，，求梯形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用边角边论证三角形全等； （2）延长交于，则四边形为平行四边形，进而论证，利用等量代换即可得到结论； （3）通过论证是直角三角形得到梯形的高为，利用梯形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）证明：延长交于， ∵， ∴四边形为平行四边形． ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴，即：， ∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 又∵， 在中 ∵， ∴， ∴， ∴ ． 【点评】本题考查了梯形性质的应用，求梯形的面积时关键是证明为直角三角形． 58．在一次数学活动课上，小明把两块完全相同且含角的直角三角板和按如图的位置放置，三角板的边长． (1)四边形是平行四边形吗？请说明理由． (2)小明在上放置一动点P，点P从A点出发，沿方向以的速度在射线上运动． ①P点运动几秒时，是等腰三角形？ ②的面积之和记作S，设P点运动了． a．当时， S的大小会随着P点运动而改变吗？若会改变，请说明理由，若不会改变，请求出S的值． b．当时， S的大小会随着P点运动而改变吗？若不会改变，请说明理由，若会改变，请写出S随 t变化的函数关系式． 【答案】(1)四边形是平行四边形．理由见解析 (2)①P点运动或时，是等腰三角形；②a．不会改变，；b．会改变， 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理解答即可； （2）①根据直角三角形的性质可得，，然后分两种情况：当点P在线段上时，当点P在线段的延长线上时，即可解答；②a． 当时，此时点P在线段上根据题意可得，可得到；b． 当时，此时点P在线段的延长线上，，根据，即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形． 理由： 根据题意得：， ∴四边形是平行四边形． （2）解：①在中，， ∴， ∴， ∵是等腰三角形，， ∴， 当点P在线段上时，， ∴点P的运动时间为； 当点P在线段的延长线上时，， ∴点P的运动时间为； 综上所述，P点运动或时，是等腰三角形； ②a．如图：当时， S的大小不会随着P点运动而改变． 此时点P在线段上， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； b． 如图：当时， S的大小会随着P点运动而改变． 此时点P在线段的延长线上，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $