专题08 平行四边形、矩形、菱形、正方形中新定义型问题（4大题型）（专项训练）数学新教材人教版八年级下册

专题08 平行四边形、矩形、菱形、正方形中新定义型问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、平行四边形中新定义型问题 1 题型二、矩形中新定义型问题 8 题型三、菱形中新定义型问题 13 题型四、正方形中新定义型问题 18 B综合攻坚・能力跃升 题型一、平行四边形中新定义型问题 1．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）定义：作的一组邻角的角平分线，设交点为P，P与这组邻角的公共边组成的三角形为的“伴侣三角形”，△PBC为平行四边形的伴侣三角形．AB＝m，BC＝4，连接AP并延长交直线CD于点Q，若Q点落在线段CD上（包括端点C、D），则m的取值范围 ． 【答案】2≤m≤4 【分析】找到Q点的两个边界点，利用平行四边形的性质和全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】在平行四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD＝180°， ∵BP平分∠ABC，PC平分∠BCD， ∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠BCD， ∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠BCD）＝90°， ∴∠BPC＝90°， 当点Q与点C重合时，如图所示： ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠CBP， ∵∠BPC＝90°， ∴∠APB＝∠BPC＝90°， ∵BP＝BP， ∴△ABP≌△CBP（ASA）， ∴AB＝BC， ∵BC＝4， ∴m＝4， 当点Q与点D重合时，如图所示： 延长CP交BA的延长线于点K， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠CBP， ∵∠BPC＝90°， ∴∠KPB＝∠BPC＝90°， ∵BP＝BP， ∴△KBP≌△CBP（ASA）， ∴BK＝BC，KP＝CP， ∵ABCD， ∴∠K＝∠DCP， 又∵∠KPA＝∠CPD， ∴△KPA≌△CPD（ASA）， ∴CD＝AK， ∵AB＝CD， ∴BC＝2AB＝4， ∴AB＝2， ∴m＝2， 综上所述：当点Q落在线段CD上时，m的取值范围是2≤m≤4， 故答案为：2≤m≤4． 2．（25-26九年级上·贵州六盘水·期中）定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形． (1)如图1，在任意四边形中，点E，F，G，H分别为边，，，的中点，则中点四边形的形状是______． (2)在图1中，试判断与的关系，并说明理由． (3)如图2，点P是四边形内一点，且满足，，，点E，F，G，H分别为边，，，的中点．猜想中点四边形的形状，并证明你的猜想． 【答案】(1)平行四边形 (2)，理由见解析 (3)四边形是菱形，证明见解析 【分析】（1）连接，根据三角形中位线定理可得，据此可得，即可得证； （2）作于点，交于点，设交分别于点，推出四边形为平行四边形，取的中点，连接，证明重合，得到，根据三角形和平行四边形的面积公式得到，同理得到，即可得出结论； （3）连接，证得，由知，结合四边形是平行四边形即可得证． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵点E、H分别为边的中点， ∴， ∵点F、G、分别为的中点， ∴， ∴， ∴中点四边形是平行四边形； （2），理由如下： 如图，作于点，交于点，设交分别于点， 由（1）可知：四边形是平行四边形，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 取的中点，连接，则， ∴， ∴重合， ∴， ∴， 同理：， ∴，即：； （3）解：四边形是菱形，理由如下： 如图2，连接， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点E，F，G分别为边的中点， ∴， 由（1）得：四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 3．（24-25八年级下·江西赣州·期中）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形． (1)如图1，在邻余四边形中，，则________； (2)如图2，在中，，，垂直平分交于点，垂足为，且，，为上一点，求证：四边形是邻余四边形； (3)如图3、图4，在邻余四边形中，为中点，， ①如图3，当时，判断四边形的形状并证明你的结论； ②如图4，当，时，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)15 【分析】（1）根据邻余四边形的定义即可作答； （2）垂直平分，根据勾股定理逆定理，，即可证明； （3）①四边形是邻余四边形，，进而推出，，四边形是平行四边形，进而即可证明； ②延长到点F，使得，连接，推出，，则，进而作答即可． 【详解】（1）解：∵邻余四边形，为锐角， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是邻余四边形； （3）解：①四边形为平行四边形， ∵四边形是邻余四边形， ∴， ∵， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵E是中点， ∴， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵A、E、B三点共线且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵E是中点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵A、E、B三点共线，， ∴， ∴四边形是平行四边形； ②如图，延长到点F，使得，连接， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是邻余四边形， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴的长为15． 题型二、矩形中新定义型问题 4．（25-26九年级上·河南·月考）定义：有一个内角的度数是另一个内角度数的的钝角三角形叫做“半钝三角形”．如图，在矩形中，，，E为对角线的中点，F是射线上一动点．若是“半钝三角形”，且不是其最小的内角，则的长为 ． 【答案】或 【分析】由题意四边形是矩形可得，从而求得，由是“半钝三角形”，且不是其最小的内角，可分或两种情况来讨论，分别过点F作于点G，在上取点H，连接，使，连接，再通过三角形内角和证明求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， ， 为对角线的中点， ， 是“半钝三角形”，且不是其最小的内角， 最小的内角度数为，故分或两种情况来讨论； 当时，如图（1），过点F作于点G，在上取点H，连接，使，则，， ， ， 设，则， ，解得：，即 ； 当时，如图（2），连接，则， ，， ， ； 综上可知，的长为或． 故答案为：或． 5．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）定义：一组邻边相等，另一组邻边也相等的凸四边形叫做“筝形”．如图，在矩形中，，“筝形”的顶点是的中点，点分别在上，且，则对角线的长 ． 【答案】或 【分析】①根据矩形的判定与性质可知，，再根据全等三角形的判定与性质解答即可； ②根据矩形的判定与性质可知，再根据勾股定理可知即可解答． 本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，根据题意画出图形是解题的关键． 【详解】解：①如图，，， ∵点是的中点，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图，，， 过点作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点是的中点，， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 故答案为或． 6．（25-26九年级上·辽宁沈阳·开学考试）定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形． 了解性质：如图1：已知四边形中，．垂足为，则有：； 性质应用： （1）如图1，四边形是垂美四边形，若，则___________； 性质变式： （2）如图2，图3，是矩形所在平面内任意一点，则有以下重要结论：．请以图2为例将此重要结论证明出来． 应用变式： （3）①如图4，在矩形中，为对角线交点，为中点，则___________； ②如图5，在中，是内一点，且，则的最小值是___________． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）①10；② 【分析】本题主要考查了新定义“垂美”四边形、直角三角形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，理解“垂美”四边形的性质是解题的关键． （1）将代入计算即可； （2）如图：过于，交的延长线于，由（1）性质可知：，即，再结合勾股定理可得；同理可得：，则，进而证明结论； （3）如图：以、为边作矩形，连接、，则，由题意得，再结合题中数据可得；C、D、E三点共线时，最小，最后根据矩形的对角线相等即可解答． 【详解】（1）解：如图1，四边形是垂美四边形， ， ， ， ． （2）证明：如图：过于，交的延长线于， 由（1）性质可知：， 即： ， 又 ， ，即． （3）解：①设，则， 由（2）可得， ， ； ②如图：以、为边作矩形，连接、，则， 由题意得：，即，解得：， 当、、三点共线时，最小， 的最小值的最小值． 题型三、菱形中新定义型问题 7．（24-25八年级下·福建莆田·期末）定义：平面上一点与某个图形所有点相连的线段中最短的线段长度叫做点与该图形之间的距离，记为．如图，已知菱形，，，平面内一动点菱形外部到菱形的距离为，则点运动轨迹的长度为 【答案】/ 【分析】本题考查了菱形的性质，圆的周长公式，根据新定义可得点运动轨迹的长度为菱形的边长加上一个圆的周长，即可求解． 【详解】解：如图所示，依题意点运动轨迹的长度为菱形的边长加上一个圆的周长， 依题意， 点运动轨迹的长度为， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）阅读下列材料：“鹞形”在数学中是一种四边形．我们把有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形叫做鹞形．如图1，四边形中，若垂直平分，那么四边形称为鹞形． (1)写出图1所示鹞形的两个性质（定义除外）：①_______；②_______； (2)如图2，在平行四边形中，E、F分别在边和上，且四边形是鹞形（垂直平分），求证平行四边形是菱形． (3)如图3，在（2）的条件下，连接、，若，，，则的长度为________． 【答案】(1)鹞形的一条对角线平分一组对角；鹞形的一组对角相等； (2)见解析 (3) 【分析】（1）在和中，即可得出结论； （2）连接相交于点，由（1）可得，由四边形是平行四边形，可得．再证出，然后得出平行四边形是菱形即可； （3）连接与相交于点，设相交于点，由勾股定理得出，再求出，再求出，再由面积法求出，即可求解． 【详解】（1）解：垂直平分， ， 在和中， ， ， ，， 即：鹞形的一条对角线平分一组对角，鹞形的一组对角相等； 故答案为：鹞形的一条对角线平分一组对角；鹞形的一组对角相等； （2）证明：如图，连接相交于点， 由（1）可得， 四边形是平行四边形， ． ． ， 四边形是菱形； （3）解：如图，连接与相交于点，设相交于点， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 9．（24-25八年级下·江苏南京·期末）定义：如果四边形的一条对角线的中点到另外两个顶点的距离都等于这条对角线长的一半，那么我们称这样的四边形为“等距四边形”． (1)在下列图形中：①平行四边形、②矩形、③菱形，一定是“等距四边形”的是______；（填序号） (2)如图1，在菱形中，，，于点，点是菱形边上的一点，顺次连接、、、，若四边形为“等距四边形”，求线段的长； (3)如图2，在等边中，，点是内任意一点，在、、上是否分别存在点，使得这些点与点的连线将恰好分割成三个“等距四边形”，若存在，请直接写出这三个“等距四边形”的周长和，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)② (2)或 (3)存在，周长和为 【分析】（1）根据等距四边形的定义即可得出结论； （2）根据等距四边形的定义，分两种情况，利用菱形的性质和含30度的直角三角形，即可得出结论； （3）先判断出四边形，四边形，四边形是等距四边形，再利用三角形的面积求出，即可得出结论． 【详解】（1）解：①平行四边形对角线互相平分，一条对角线的中点到另外两个顶点的距离不等于另一条对角线长的一半，不符合题意； ②矩形的对角线相等且互相平分，一条对角线的中点到另外两个顶点的距离等于这条对角线的一半，符合题意； ③菱形的对角线互相平分，对角线不一定相等，因此一条对角线的中点到另外两个顶点的距离不等于另一条对角线的一半，不符合题意； 故答案为：②； （2）解：根据等距四边形的定义， 当点在上且时，四边形是等距四边形，如图1， 取的中点，连接，，， ，， ， ， 四边形是等距四边形， 在菱形中，，，， ，， ， ， 根据菱形的对称性得，， 是等边三角形， 在中，， ， 根据勾股定理得，， ， 当点在上且时，四边形是等距四边形，如图2， 连接，，交于点， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，在菱形中，，， ， ； （3）解：存在； 过点分别作于，于，于，连接、、如图3， 同（2）的方法得，四边形，四边形，四边形是等距四边形，过点作于， 在中，，， ， ， 根据勾股定理得，， ， ， ， ， 四边形，四边形，四边形的周长的和为． 题型四、正方形中新定义型问题 10．（2025·江苏无锡·一模）定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”． 如图①，四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，，则图中的“等垂四边形”是 ； 如图②，四边形ABCD是“等垂四边形”，，，则边AB长的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图：延长交于点H，先证可得，．结合可得，即，从而得到四边形是“等垂四边形”； 如图②，延长交于点H，分别取的中点E、F、G，连接，然后根据中位线的定义可得，再，根据平行线的性质可得，由角的和差可得，由勾股定理可得；如图③：延长交于点H，分别取的中点E，F．连接，由, 由勾股定理可得即可解答． 【详解】解：如图①，延长交于点H， ∵四边形与四边形都为正方形， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴，即， ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是“等垂四边形”； 如图②，延长交于点H，分别取的中点E、F、G，连接 ∴ ∴． ∴ ∴, ∴． 延长交于点H，分别取的中点E，F．连接， 则， ∴ 故答案为：，． 11．（2025·广西崇左·二模）筝形的定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形． (1)根据筝形的定义，写出一种学过的满足筝形的定义的四边形：______； (2)如图1，在正方形中，E是对角线延长线上一点，连接．求证：四边形是筝形： (3)小明学习筝形后对筝形非常感兴趣，购买了一只风筝，通过测量它的主体（如图2）得，，发现它是一个筝形，还得到，，，求筝形的面积． 【答案】(1)菱形，正方形 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据筝形的定义结合所学知识可得答案； （2）根据正方形的性质利用证明，得到，再由，即可证明四边形是筝形： （3）如图所示，过点A作交延长线于E，连接，先证明，推出，求出，得到，进而求出，利用三角形面积公式求出，则． 【详解】（1）解：由题意得，菱形和正方形都是筝形， 故答案为：菱形，正方形； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是筝形： （3）解：如图所示，过点A作交延长线于E，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．（24-25八年级下·湖南长沙·月考）定义：若四边形有一组对角互补，有一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形定义为“郡外四边形”．    (1)如下：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形，一定是“郡外四边形”的是：______． (2)如图点P是正方形对角线上一点，点O是线段中点，点E是射线上一点，且，连接． ①如图1，当点P在线段上时，求证：四边形为“郡外四边形”； ②如图2，当点P在线段上时，试用等式来表示的数量关系，并证明． 【答案】(1)正方形 (2)①见解析；② 【分析】（1）根据“郡外四边形”定义求解即可； （2）①通过证明可得，由得出，证出即可；②从两方面分析：当点E与点C重合时，点P恰好在中点处，此时，；当点E在的延长线上时，连接，由，得，由正方形性质可得，利用勾股定理即可证明． 【详解】（1）解：平行四边形：相等邻边的夹角不是直角，故平行四边形不是“郡外四边形”； 矩形：没有一组邻边相等，故矩形不是“郡外四边形”； 菱形：相等邻边的夹角不是直角，故菱形不是“郡外四边形”； 正方形：有一组对角互补，有一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，故正方形是“郡外四边形”； （2）证明：①∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由四边形内角和为， ∴， ∵， ∴， ∴且， ∴四边形为“郡外四边形”； 证明：② ； ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （i）当点E与点C重合时，点P恰好在中点处，此时，， 则由勾股定理有：； （ii）当点E在的延长线上时，如图，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 连接，如图，    ∵且， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴； 综上，有． 一、单选题 1．（25-26九年级上·山西晋中·月考）如图矩形与正方形的形状有差异，我们将矩形与正方形的接近程度称为矩形的“接近度”，已知矩形的对角线、相交于点O，我们将矩形的“接近度”定义为，若时，则矩形的“接近度”为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质，易证是等边三角形，进而得出，再利用勾股定理，求得，即可得到矩形的“接近度”． 【详解】解：矩形， ，，， ， 是等边三角形， ， ， 在中，， 矩形的“接近度”为， 故选：B． 二、填空题 2．（25-26九年级上·河南郑州·期末）定义：若有一组邻边相等，且另一组邻边也相等的凸四边形，我们把这类四边形叫做筝形．如图，矩形中，，，点为的中点，点在上，且，点，，分别为，上一个动点，连接，，，，，若四边形为筝形，则的长为 ． 【答案】9或 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理的运用，掌握以上知识是关键，根据筝形的定义，分类讨论，结合矩形，勾股定理列式求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵四边形为筝形， ∴①当时，，则， 设，则， ∴，即， 整理得，， 解得，， ∴， ∴， ∴此时，符合题意， 如图所示，过点作于点， ∴， ∴， ∴； ②当时，，如图所示， ∴， 设，则， ∴，即， 解得，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是矩形， ∴； 综上所述，四边形为筝形，的长为或， 故答案为：或 ． 三、解答题 3．（2025八年级下·全国·专题练习）定义：若一个四边形满足三个条件①有一组对角互补，②一组邻边相等，③相等邻边的夹角为直角，则称这样的四边形为“直角等邻对补”四边形，简称为“直等补”四边形．根据以上定义，解答下列问题． (1)如图1，四边形是正方形，点E在边上，点F在边的延长线上，且，连接，，请根据定义判断四边形是否是“直等补”四边形，并说明理由． (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，若，，求的长． 【答案】(1)四边形是“直等补”四边形，理由见解析． (2)28． 【分析】（1）本题考查了对于“直等补”四边形定义的理解，要判断四边形是否是“直等补”四边形，关键在于根据定义，找到满足定义的三个条件即可．根据已知可证，由此可得到，，，即证明四边形是“直等补”四边形． （2）本题同样考查了“直等补”四边形定义的理解，作辅助线构造直角三角形是解决问题的关键．根据“直等补”四边形定义，可得到，然后利用勾股定理即可求得的长． 【详解】（1）解： 四边形是正方形， ，， ， 在与中， （）， ，， ， ， ， 四边形满足三个条件：①一组对角和互补，②一组邻边，③相等邻边夹角． 故四边形是“直等补”四边形； （2）连接，如下图所示 四边形是“直等补”四边形，， ， ， ， ， ， ， ． 故的长为28． 4．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）类比于等腰三角形的定义，我们定义：有组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． (1)如图1，四边形的顶点、、在网格格点上，请你在的正方形网格中分别画出3个不同形状的等邻边四边形，要求顶点在网格格点上； (2)如图2，在平行四边形中，是上一点，是上一点，，，请说明四边形是“等邻边四边形”； (3)如图3，在平行四边形中，，平分，交于点，，，是线段上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，请求出的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或或． 【分析】（1）根据勾股定理和“等邻边四边形”的定义求解即可； （2）根据题意证明出，得到，进而求解即可； （3）如图所示，过点B作交于点G，首先求出，得到，求出，然后根据题意分3种情况讨论，然后分别根据勾股定理和等边三角形的性质求解即可． 【详解】（1）如图所示， 图（甲）和图（乙）中，； 图（丙）中； ∴四边形是等邻边四边形； （2）∵四边形是平行四边形 ∴，， ∴ ∵，， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴四边形是“等邻边四边形”； （3）如图所示，过点B作交于点G ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平分 ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴当四边形是“等邻边四边形”，且时， ∴； 如图所示，当时，过点F作交于点H，连接 ∴ ∵， ∴， ∵，即 ∴ ∴， ∴ ∴此时四边形是“等邻边四边形”； ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∴， 如图所示，当时，过点M作交于点M ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 综上所述，当四边形是“等邻边四边形”时，的长度为或或． 5．（24-25八年级下·河南南阳·期末）定义：有一组邻边相等，且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形． (1)请在你学习过的四边形中，写出一个符合等腰直角四边形定义的特殊四边形； (2)如图1，等腰直角四边形中，，．若，，请利用如图2的辅助线，求的长； (3)如图3，在矩形中，，，点P是对角线的中点，过点P作直线分别交边、于点E、F．当四边形是等腰直角四边形时，直接写出四边形的面积． 【答案】(1)正方形 (2) (3)或 【分析】（1）根据等腰直角四边形定义求解即可； （2）如图所示，过点C作交于点D，证明出，得到，，证明出是等腰直角三角形，求出，得到，进而求解即可； （3）分，，，四种情形讨论求解即可． 【详解】（1）解：符合等腰直角四边形定义的特殊四边形可以为正方形； （2）解：如图所示，过点C作交于点D， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵四边形是矩形， ∴，，，， 如图，连接，当时，四边形是等腰直角四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴四边形的面积； 如图，连接，当时，四边形是等腰直角四边形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴四边形的面积； 如图，连接，当时， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴此时，四边形不是等腰直角四边形， 同理可得当时，四边形不是等腰直角四边形； 综上可得，四边形的面积为或． 6．（24-25八年级下·江西宜春·期末）定义引入： 定义：如果一个四边形的两条对角线互相垂直，那么我们称这个四边形为“对垂”四边形． （1）问题1：举例：写一个你学过的特殊四边形是“对垂”四边形的图形的名称：______； 猜想与验证： （2）①如图1，在四边形中，对角线于点，下列结论正确的是（    ）． A．         B．      C． ②证明①中正确的结论： 拓展思考： （3）如图2，正方形和正方形的边长分别是和，连接，且，的面积和的面积会相等吗？如果会，请证明并求的面积，如果不会，请说明理由． 【答案】（1）菱形或正方形；（2）①B；②证明见解析；（3）会，面积为： 【分析】（1）由“对垂”四边形定义，结合菱形、正方形性质即可得到答案； （2）①由“对垂”四边形定义，根据勾股定理、三角形面积公式求解即可得到答案；②由“对垂”四边形定义，即可证明； （3）连接，连接交于点，过点作于点，过点作交延长线于点，如图所示，由三角形全等的判定与性质得到，进而由三角形面积公式即可得到的面积和的面积相等，代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1）菱形的对角线相互垂直， 菱形是“对垂”四边形； 正方形的对角线相互垂直， 正方形是“对垂”四边形； 故答案为：菱形或正方形； （2）①A、， 在中，由勾股定理可得；在中，由勾股定理可得； ； 在中，由勾股定理可得；在中，由勾股定理可得； ； 当时，； 而题中并未明确与是否相等，该选项不一定正确，不符合题意； B、，选项正确，符合题意； C、由题中四边形的任意性，无法保证，选项错误，不符合题意； 故选：B； ②证明如下：， ； （3）的面积和的面积相等， 证明如下： ∵正方形和正方形的边长分别是和， ， 连接，连接交于点，过点作于点，过点作交延长线于点，如图所示： ， ，即， 又， ， ， 又，， 的面积和的面积相等； ， 即， 又， ， ， 又， ， ， ∴四边形AECG是“对垂”四边形， ， 又， ， ， 的面积为． 7．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题： (1)如图1，以菱形的一边为边向外作正方形，、分别是菱形和正方形的对角线交点，连接．    求证：四边形是“直等补”四边形． ②若，求四边形的面积． (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，其中，，过点作于点且，连接，若点是线段上的动点，请你直接写出周长的最小值．    【答案】(1)①详见解析；②1 (2)周长的最小值： 【分析】（1）①由正方形的性质和菱形的性质可得，，，即可解答； ②过点作于点，交的延长线于点，“”可证，所以，即，由正方形的面积公式，即可解答； （2）先证四边形是正方形，利用勾股定理求出，，即可解答． 【详解】（1）证明：①如图1中，   四边形是菱形， ，， 四边形是正方形， ，， ，， 又， 四边形是“直等补”四边形； ②如图1中，过点作于点，交的延长线于点， ， 四边形是矩形， ， 即， ， 在和中，， ， ，， 四边形是正方形， ； （2）周长的最小值：； 延长到点，过作于点，   四边形是“直等补”四边形，，， ， ，即， ，， ，， 四边形是矩形， ， 又，， ， 在和中，， ， ， 矩形是正方形， ，； ∵， 即当点C、P、三点共线时，的最小值是， 在中，，， ，； 在中，，， ， 周长的最小值为：； 8．（2025·河南·模拟预测）【定义学习】 定义：如果四边形有一组对角为直角，那么我们称这样的四边形为“对直四边形”． 【判断尝试】 （1）在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“对直四边形”的是______；（填序号） （2）如图1，四边形是对直四边形，若，，，，则边的长是______； 【操作探究】 如图2，在菱形ABCD中，，，于点E，请在边上找一点F，使得以点A、E、C、F组成的四边形为“对直四边形”，画出示意图，并直接写出的长是______； 【拓展延伸】 如图3，在正方形中，，点E、F、G分别从点B、B、C同时出发，并分别以每秒1、1、2个单位长度的速度，分别沿正方形的边、、方向运动（保持），再分别过点E、F作、的垂线交于点H，连接、．试说明：四边形为对直四边形． 【实践应用】 某加工厂有一批四边形板材，形状如图4所示，其中米，米，，．现根据客户要求，需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个“对直四边形”板材，且这两个等腰三角形的腰长相等，要求材料充分利用无剩余．请直接写出分割后得到的等腰三角形的腰长是______． 【答案】（1）②④；（2）；操作探究：；拓展延伸：见解析；实践应用：或4． 【分析】（1）矩形和正方形的对角是直角； （2）连接，根据勾股定理求得结果； 操作探究：连接，则，是等边三角形，故取的中点，进而得出结果； 拓展延伸：延长，交于，可证得，从而，进而得出，进一步得出结论； 实践应用：作于，作于，可得四边形是矩形，和是腰长相等的等腰直角三角形；另一种情形：作，同上可知：四边形是“对直四边形”，和是腰长相等的等腰直角三角形． 【详解】解：（1）∵矩形和正方形的四个角都是直角， ∴矩形和正方形是“对直四边形”， 故答案为：； （2）如图， 连接，， ， ， ， 故答案为：； 操作探究：解：如图， 取的中点，连接， 则四边形是“对直四边形”，， 故答案为：； 拓展延伸 （1）证明：如图， 延长，交于， 四边形是正方形， ，， ，， ， 四边形是矩形， 点、、分别从点、、同时出发，并分别以每秒、、个单位长度的速度运动， ， 四边形 是正方形， ， ， 同理可得：四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， 四边形为对直四边形； 实践应用：解：如图， 作于，作于， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 四边形是“对直四边形”，和是腰长相等的等腰三角形， ， 如图， 作于，作于， 同上可知：，四边形是“对直四边形”，和是腰长相等的等腰三角形，， 综上所述：等腰三角形的腰长为：或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题08平行四边形、矩形、菱形、正方形中新定义型问题 月录 A题型建模·专项突破 题型一、平行四边形中新定义型问题 1 题型二、矩形中新定义型问题… .8 题型三、菱形中新定义型问题。 …13 题型四、正方形中新定义型问题 ...18 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、平行四边形中新定义型问题 1.(24-25八年级下江苏泰州期末)定义：作▣ABCD的一组邻角的角平分线，设交点为P,P与这组邻角 的公共边组成的三角形为口ABCD的伴侣三角形”，△PBC为平行四边形的伴侣三角形.AB=m,BC=4, 连接AP并延长交直线CD于点Q,若Q点落在线段CD上（包括端点C、D),则m的取值范围一， A D B 2.(25-26九年级上，贵州六盘水期中)定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四 边形 H 9 图1 图2 (I)如图1，在任意四边形ABCD中，点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点，则中点四边形 EFGH的形状是 (2)在图1中，试判断S四边形EFGH与S四边形ABcD的关系，并说明理由. (3)如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB,PC=PD,LAPB=∠CPD,点E,F,G,H分 别为边AB,BC,CD,DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想， 3.(24-25八年级下·江西赣州期中)定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形. 1/9 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B B E 图1 图2 图3 图4 (I)如图1，在邻余四边形ABCD中，∠B=38,则LC= (2)如图2，在ABC中，AC=8√5，BC=8,DE垂直平分AC交AB于点E,垂足为D,且DE=2√5， BE=6,F为BC上一点，求证：四边形AEFC是邻余四边形； (3)如图3、图4，在邻余四边形ABCD中，E为AB中点，∠DEC=90, ①如图3，当DE⊥AD时，判断四边形BCDE的形状并证明你的结论； ②如图4，当AD=9,BC=12时，求CD的长. 题型二、矩形中新定义型问题 4.（25-26九年级上河南月考)定义：有一个内角的度数是另一个内角度数的，的钝角三角形叫做“半钝三 角形”.如图，在矩形ABCD中，BC=√5+1，AC=2√3+2，E为对角线AC的中点，F是射线CD上一动 点.若△CEF是“半钝三角形”，且∠ECF不是其最小的内角，则CF的长为 B 5.(24-25八年级下·浙江湖州期末)定义：一组邻边相等，另一组邻边也相等的凸四边形叫做“筝形”.如 图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=7,“筝形”EFGH的顶点E是AB的中点，点F,G,H分别在 BC,CD,AD上，且EF=5,则对角线EG的长 D E B 6.（25-26九年级上·辽宁沈阳·开学考试)定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形. 了解性质：如图1：己知四边形ABCD中，AC1BD.垂足为O,则有：AB2+CD2=AD2+BC2: 2/9 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A B 图1 图2 图3 性质应用： (1)如图1，四边形ABCD是垂美四边形，若AD=2,BC=5,CD=4,则AB= 性质变式： (2)如图2，图3，P是矩形ABCD所在平面内任意一点，则有以下重要结论：AP2+CP2=BP2+DP2.请 以图2为例将此重要结论证明出来 图4 图5 应用变式： (3)①如图4，在矩形ABCD中，0为对角线交点，P为B0中点，则P4+PC PB2 ②如图5，在ABC中，CA=4,CB=6,D是ABC内一点，且CD=L,∠ADB=90°，则AB的最小值是 题型三、菱形中新定义型问题 7.(24-25八年级下·福建莆田·期末)定义：平面上一点与某个图形所有点相连的线段中最短的线段长度叫 做点与该图形之间的距离，记为d.如图，己知菱形ABCD,∠ABC=60°，AB=3,平面内一动点P(菱形 外部)到菱形ABCD的距离为d=1,则点P运动轨迹的长度为 B A 8.(24-25八年级下·江苏镇江·期中)阅读下列材料：“鹞形”在数学中是一种四边形.我们把有一条对角线垂 直平分另一条对角线的四边形叫做鹞形.如图1，四边形ABCD中，若AC垂直平分BD,那么四边形 ABCD称为鹞形. 3/9 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B C C 图1 图2 图3 ()写出图1所示鹞形的两个性质（定义除外）：① ；② (2)如图2，在平行四边形ABCD中，E、F分别在边BC和CD上，且四边形AECF是鹞形(AC垂直平分 EF),求证平行四边形ABCD是菱形. (3)如图3，在(2)的条件下，连接AC、EF,若AC=12,AB=10,DF=4,则EF的长度为 9.(24-25八年级下·江苏南京·期末)定义：如果四边形的一条对角线的中点到另外两个顶点的距离都等于 这条对角线长的一半，那么我们称这样的四边形为等距四边形. B 图1 图2 (I)在下列图形中：①平行四边形、②矩形、③菱形，一定是“等距四边形”的是 ；(填序号) (2)如图1，在菱形ABCD中，AB=4,∠A=60°，BE⊥CD于点E,点F是菱形ABCD边上的一点，顺次 连接B、E、D、F,若四边形BEDF为“等距四边形”，求线段EF的长； (3)如图2，在等边ABC中，AB=4,点P是ABC内任意一点，在AB、BC、CA上是否分别存在点， 使得这些点与点P的连线将ABC恰好分割成三个“等距四边形”，若存在，请直接写出这三个“等距四边形” 的周长和，若不存在，请说明理由. 题型四、正方形中新定义型问题 10.(2025江苏无锡一模)定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四 边形”. G B 图① 图② 如图①，四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，135°<LAEB<180°，则图中的等垂四边形”是 4/9 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 如图②，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD=4,BC=10,则边AB长的最小值为一· 11.(2025广西崇左·二模)筝形的定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形. E B D 图1 图2 (1)根据筝形的定义，写出一种学过的满足筝形的定义的四边形： (2)如图1，在正方形ABCD中，E是对角线BD延长线上一点，连接AE,CE·求证：四边形ABCE是筝形： (3)小明学习筝形后对筝形非常感兴趣，购买了一只风筝，通过测量它的主体（如图2）得AB=AD, BC=DC,发现它是一个筝形，还得到AB=18cm,BC=40cm,∠ABC=120°，求筝形ABCD的面积. 12.(24-25八年级下·湖南长沙月考)定义：若四边形有一组对角互补，有一组邻边相等，且相等邻边的夹 角为直角，像这样的图形定义为“郡外四边形” 图1 图2 (1)如下：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形，一定是“郡外四边形的是： (②)如图点P是正方形ABCD对角线AC上一点，点O是线段AC中点，点E是射线BC上一点，且PE=PB, 连接PD, ①如图1，当点P在线段A0上时，求证：四边形PECD为“郡外四边形”； ②如图2，当点P在线段CO上时，试用等式来表示PB,BC,CE的数量关系，并证明. B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(25-26九年级上山西晋中，月考)如图矩形与正方形的形状有差异，我们将矩形与正方形的接近程度称 5/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 为矩形的接近度”，已知矩形A8CD的对角线AC、BD相交于点O,我们将矩形的接近度"定义为4 BC2 若∠B0C=60°时，则矩形的接近度为() D 0 B A B.3 D.5 二、填空题 2.(25-26九年级上河南郑州·期末)定义：若有一组邻边相等，且另一组邻边也相等的凸四边形，我们把 这类四边形叫做筝形.如图，矩形ABCD中，AD=8,AB=9,点M为AD的中点，点N在AB上，且 AN=5,点P,Q,分别为BC,CD上一个动点，连接MN,NP,PQ,MQ,MP,若四边形MWPQ为 筝形，则MP的长为」 D B 三、解答题 3.(2025八年级下·全国·专题练习)定义：若一个四边形满足三个条件①有一组对角互补，②一组邻边相等， ③相等邻边的夹角为直角，则称这样的四边形为“直角等邻对补”四边形，简称为“直等补”四边形.根据以上 定义，解答下列问题。 B 图1 图2 (I)如图1，四边形ABCD是正方形，点E在CD边上，点F在CB边的延长线上，且DE=BF,连接AE, AF,请根据定义判断四边形AFCE是否是“直等补”四边形，并说明理由 (2)如图2，己知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB=AD，,若AB=20,CD=4,求BC的长。 4.(24-25八年级下·浙江舟山期中)类比于等腰三角形的定义，我们定义：有组邻边相等的凸四边形叫做“等 邻边四边形”. 6/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图1 B 图2 图3 备用图 (1)如图1，四边形ABCD的顶点A、B、C在网格格点上，请你在5×7的正方形网格中分别画出3个不同 形状的等邻边四边形ABCD,要求顶点D在网格格点上； (②)如图2，在平行四边形ABCD中，E是BC上一点，F是AE上一点，AD=AE,∠DFE=LC,请说明 四边形DCEF是“等邻边四边形”； (3)如图3，在平行四边形ABCD中，∠C=60°，AE平分∠DAB,交BC于点E,AB=4,CE=2,F是线 段AE上一点，当四边形DCEF是“等邻边四边形时，请求出AF的长度， 5.(24-25八年级下·河南南阳·期末)定义：有一组邻边相等，且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直 角四边形， A D B B 图1 图2 图3 ()请在你学习过的四边形中，写出一个符合等腰直角四边形定义的特殊四边形： (2)如图1，等腰直角四边形ABCD中，AB=BC=1,∠ABC=90°.若AD=DC,∠ADC=45°，请利用如 图2的辅助线，求BD的长； (3)如图3，在矩形ABCD中，AB=5,BC=9,点P是对角线BD的中点，过点P作直线分别交边AD、 BC于点E、F.当四边形ABFE是等腰直角四边形时，直接写出四边形DPFC的面积， 6.(24-25八年级下·江西宜春.期末)定义引入： 定义：如果一个四边形的两条对角线互相垂直，那么我们称这个四边形为“对垂”四边形. (1)问题1：举例：写一个你学过的特殊四边形是“对垂”四边形的图形的名称：一； 猜想与验证： (2)①如图1，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD于点O,下列结论正确的是(). A.AB2+BC2=CD2+AD2 B.5LCD= AC×BDC.ABxCD=BCxAD 2 7/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②证明①中正确的结论： 拓展思考： (3)如图2，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别是3cm和5cm,连接AE,AG,CE,且AE=7cm, △ADG的面积和△DCE的面积会相等吗？如果会，请证明并求△DCE的面积，如果不会，请说明理由. D 图1 图2 7.(24-25八年级下·江苏连云港期末)定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹 角为直角，像这样的图形称为“角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形.根据以上定义，解决下列问题： (I)如图1，以菱形ABCD的一边CD为边向外作正方形CDEF,M、N分别是菱形和正方形的对角线交点， 连接MN. B 图1 求证：四边形DMCN是“直等补”四边形 ②若MN=√2，求四边形DMCN的面积. (2)如图2，己知四边形ABCD是“直等补”四边形，其中AB=BC=5,CD>AB,过点B作BE⊥CD于点E且 BE=4,连接BD,若点P是线段BD上的动点，请你直接写出aPEC周长的最小值. 图2 8.(2025河南模拟预测)【定义学习】 定义：如果四边形有一组对角为直角，那么我们称这样的四边形为“对直四边形” 【判断尝试】 (1)在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“对直四边形”的是：（填序号） (2)如图1，四边形ABCD是对直四边形，若LA=90°，AB=√5，AD=2,CD=1,则边BC的长是； 8/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【操作探究】 如图2，在菱形ABCD中，AB=6,∠B=60°，AE⊥BC于点E,请在边CD上找一点F,使得以点A、E、 C、F组成的四边形为“对直四边形”，画出示意图，并直接写出EF的长是； 【拓展延伸】 如图3，在正方形ABCD中，AB=6,点E、F、G分别从点B、B、C同时出发，并分别以每秒1、1、2个 单位长度的速度，分别沿正方形的边BA、BC、CD方向运动（保持CG≤CD),再分别过点E、F作AB、 BC的垂线交于点H,连接AH、HG,试说明：四边形AHGD为对直四边形 【实践应用】 某加工厂有一批四边形板材，形状如图4所示，其中AB=2米，BC=6米，∠B=∠C=90°，∠D=45°.现根 据客户要求，需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个“对直四边形”板材，且这两个等 腰三角形的腰长相等，要求材料充分利用无剩余.请直接写出分割后得到的等腰三角形的腰长是 图1 ☒2 3 图4 备用图 9/9