精品解析：广东佛山市南海区大沥镇伯奇学校2025-2026学年八年级数学第二学期3月份诊断性评价

伯奇学校2025-2026学年八年级数学第二学期3月份诊断性评价 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，根据不等号两边都是整式，含有一个未知数且未知数的最高次数为1的不等式是一元一次不等式直接判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 含有2次，不符合题意， 是一元一次不等式，符合题意， 不是整式不等式，不符合题意， 含有2次，不符合题意， 故选：B． 2. 若，则下列变形正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，根据不等式的性质：不等式两边同时加或减同一个数，不等号方向不变；不等式两边同时乘或除同一个正数，不等号方向不变；不等式两边同时乘或除同一个负数，不等号方向改变． 【详解】解：A选项：，根据不等式的基本性质一，可得：，故A选项正确； B选项： ，且 ，根据不等式的基本性质三，可得：，但选项为 ，故B选项错误； C选项： ，且 ，根据不等式的基本性质二，可得：，但选项为 ，故C选项错误； D选项：，且 ，根据不等式的基本性质二，可得：，根据不等式的基本性质一，可得：，但选项为 ，故D选项错误． 故选：A． 3. 如图，如果想在，，三地之间建立一个货物中转仓，使其到三地的距离相等，则货物中转仓的位置应选在的（ ） A. 三边中线的交点处 B. 三条角平分线的交点处 C. 三边垂直平分线的交点处 D. 三边高线的交点处 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，到三地距离相等的点在三边垂直平分线的交点． 【详解】解：∵货物中转仓到三地的距离相等， ∴货物中转仓的位置应选在的三边垂直平分线的交点处， 故选：C ． 4. 如图，在中，直线，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由平行线的性质求出，再利用三角形内角和即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 5. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 对顶角相等 C. 等边三角形的三个内角都等于 D. 如果两个有理数相等，那么它们的平方相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查命题与逆命题的概念，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，准确写出逆命题是解题关键． 先写出各选项命题的逆命题，再依据全等三角形、对顶角、等边三角形的判定及有理数的性质，判断逆命题的真假，进而选出正确选项． 【详解】解：选项：原命题的逆命题为对应角相等的三角形是全等三角形， ∵对应角相等的三角形可能是相似三角形，不一定全等， ∴该逆命题是假命题； 选项：原命题的逆命题为相等的角是对顶角， ∵相等的角可能是同位角、内错角等，不一定是对顶角， ∴该逆命题是假命题； 选项：原命题的逆命题为如果一个三角形的三个内角都等于，那么它是等边三角形， ∵三个内角都相等的三角形是等边三角形， ∴该逆命题是真命题； 选项：原命题的逆命题为如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等， ∵互为相反数的两个有理数平方相等，但本身不相等， ∴该逆命题是假命题． 综上，逆命题为真命题的是选项． 故选：． 6. 在中，，，的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判定方法，涉及三角形内角和定理及勾股定理的逆定理，直角三角形的判定需满足一个角为或三边满足勾股定理，通过三角形内角和定理或勾股定理验证每个选项是否能判定直角三角形． 【详解】解：∵三角形内角和为， A项：由，代入得，解得，∴为直角三角形； B项：设，，，则，解得 ，得出，，，无角，∴不是直角三角形； C项：，符合勾股定理，∴为直角三角形，； D项：设，，，则，，∴，为直角三角形，， 综上所述，不能判定的是B， 故选：B． 7. 如图，已知中，，，，的垂直平分线分别交，于，，连接，则的长为（　　）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，由垂直平分线的性质可得，由勾股定理的逆定理可判断出．在直角中，利用勾股定理构造方程，并解出的值即可． 【详解】解：设， ∵，，， ∴， ∴是以为斜边的直角三角形， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， 解得， ∴． 8. 如图，在中，，是的平分线，已知，，则的长为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到并且平分，利用勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：在中，，是的平分线， 并且平分， 在中，， ． 9. 如图，在中，点D是上的点，，将沿翻折得到，若，则等于（ ） A. 20° B. 30° C. 35° D. 40° 【答案】D 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质得，再根据三角形的内角和定理求出，进而求出，然后根据翻折的性质得，最后根据得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 根据翻折的性质得， ∴． 10. 众所周知，玉露香梨的果肉如羊脂般白嫩，肉质纯净似雪，轻咬一口，香甜滋味瞬间在味蕾绽放，深受人们的喜爱．某超市购进玉露香梨的价格为80元/箱，出售时的标价为120元/箱，后来应广大客户的要求，商店决定让利打折出售，但要保证每箱的利润率不低于，则至多可以打几折？若设打x折销售，则可列不等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，涉及利润率的计算，理解题意是解题关键．根据利润率不低于的条件，正确表示打折后的售价并建立不等式即可． 【详解】解：设打折销售，则实际售价为元， 由题意得， 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的求解，按照一元一次不等式的求解步骤计算，注意系数化为1时，若系数为负数，需改变不等号的方向即可得到解集． 【详解】解：∵， ∴移项，得， ∴系数化为，得． 12. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和定理，掌握多边形内角和公式与外角和的性质是解题的关键，设多边形的边数为，根据内角和是外角和的2倍建立方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∴， 解得， 故答案为：． 13. 如图中，，是腰的垂直平分线，且的周长为，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质得，继而得到，再根据三角形周长的定义得，可得答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴． 14. 公共汽车上有个座位，车上已有人坐在座位上，在某站又上来人，有一部分人无座位，则可列不等式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列不等式．根据题意，空座位数为，上来人后，若有人无座位，则大于空座位数，进而列出不等式． 【详解】解：公共汽车上座位总数为，已有人占用座位，又上来人，则空座位数为，若有一部分人无座位，则表明上来的人数大于空座位数，即． 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，轴，若，则的面积为 _______ ． 【答案】12 【解析】 【分析】过点A作于点D，根据等腰三角形的性质推出，再根据坐标与图形的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点A作于点D， ∵，轴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解不等式： （1）解不等式，并在给出的数轴上表示其解集； （2）解不等式，并在给出的数轴上表示其解集； 【答案】（1） ，数轴表示如下所示： （2）， 数轴表示如下所示： 【解析】 【小问1详解】 解：， 两边同除以，得， 两边同加上，得． 【小问2详解】 解： ， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 17. 某次数学测验，共有18道选择题，评分方法是答对一题得5分，不答或答错一题扣2分，某同学要想得分为60分以上，他至少应该答对多少道题？ 【答案】他至少应该答对14道题 【解析】 【分析】设该同学答对x道题，则不答或答错道题，根据“评分方法是答对一题得5分，不答或答错一题扣2分”建立一元一次不等式求解即可． 【详解】解：设该同学答对x道题，则不答或答错道题， 依题意得：． 解得： ∵x取整数 ∴x最小值为14 答：他至少应该答对14道题． 18. 尺规作图是理论上接近完美的作图方式，乐乐很喜欢用尺规画出要求的图形如图，在中，， （1）请在图中用尺规作图的方法作出的垂直平分线交于点，交于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑） （2）连接，求证：是等边三角形． 【答案】（1） 如图所示：即为所求： （2） 证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】（1）根据作一条线段垂直平分线的方法进行作图即可； （2）根据垂直平分线的性质，得出，根据等边对等角得出，求出，即可证明是等边三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了基本作图，等边三角形的判定，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握基本的判定和性质． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在中，D是的中点，，，垂足分别为E，F，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是的中点， ∴． ∵，， ∴． 在和中： ∴， ∴； （2）的长为2 【解析】 【分析】（1）根据是的中点，可得，证明，进而即可得证； （2）由（1）可得，则是等边三角形，再求出，最后根据含的直角三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴． 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． ∵是中点， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 20. 某中学计划购买一批篮球和足球供学生使用，已知篮球的单价比足球的单价贵18元，且用购买2个篮球的钱可以购买3个足球． （1）求篮球和足球的单价各是多少元？ （2）由于近期篮球价格上涨（足球价格不变），若此时购买篮球3个，足球2个，则花费资金至少为246元，求涨价后篮球的单价至少为多少元？ 【答案】（1）篮球单价为54元，足球单价为36元 （2）涨价后篮球价格至少为58元 【解析】 【分析】（1）设篮球单价为x元，足球单价为y元，根据“篮球的单价比足球的单价贵18元，且用购买2个篮球的钱可以购买3个足球”列出方程组，求解即可； （2）设篮球涨价后价格为n元，根据“花费资金至少为246元”列出不等式，求解即可． 【小问1详解】 解：设篮球单价为x元，足球单价为y元． 解，得： 答：篮球单价为54元，足球单价为36元． 【小问2详解】 解：设篮球涨价后价格为n元． 答：涨价后篮球价格至少为58元． 21. 如图， 在中，平分， 过线段上一点作，交于点，交延长线于点． （1）求证：为等腰三角形； （2）若，， 求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质可得，，，由角平分线的性质可得，，从而得到，命题得证； （2）先根据角平分线的性质，计算出，再根据平行线的性质计算得．由对顶角相等可得，，根据等腰三角形的性质可得，，最后根据三角形内角和定理求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握相关知识是解题关键． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分） 22. 已知如图1，在等边中，点E是上一点，延长到点D，使，． （1）若E是的中点，试判断的形状及的长； 拓展应用：当点E是上的任意一点时（不与A，B重合）（如图2）． （2）证明； （3）猜想、、三边关系，并说明理由． 【答案】（1）等腰三角形，12 （2） 证明：过点E作交AC于点F，如图 ，． 在等边三角形中，， ， ∴在中，， ． ， ， 在和中， ， ， ． （3） 猜想：，理由如下： 由（1）知，， 是等边三角形， ． 又， ， ． 【解析】 【分析】（1）先推导出，得到，则，推导出是等腰三角形，进而得到，则，即可解答； （2）过点E作交AC于点F，得到，，推导出，，进而证明，则，即可解答； （3）先推导出是等边三角形，得到，进而证明，则，即可解答． 【小问1详解】 解：是等边三角形，E是的中点， 平分，， ， ， ． 是的外角， ， ， 是等腰三角形 在等边三角形中，，E是的中点， ，， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 已知：在中，，点，点分别在，上，连接，，交于点，，． （1）如图1，证明为等边三角形； （2）如图2，过点作于点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过点作交延长线于点，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形； （2） 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）先证，再证，进而为等边三角形； （2）先证，再证，进而； （3）在上取一点，使，求得，再证为等边三角形，再证，进而. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在上取一点，使， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 伯奇学校2025-2026学年八年级数学第二学期3月份诊断性评价 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列变形正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，如果想在，，三地之间建立一个货物中转仓，使其到三地的距离相等，则货物中转仓的位置应选在的（ ） A. 三边中线的交点处 B. 三条角平分线的交点处 C. 三边垂直平分线的交点处 D. 三边高线的交点处 4. 如图，在中，直线，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 对顶角相等 C. 等边三角形的三个内角都等于 D. 如果两个有理数相等，那么它们的平方相等 6. 在中，，，的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知中，，，，的垂直平分线分别交，于，，连接，则的长为（　　）． A. B. C. D. 8. 如图，在中，，是的平分线，已知，，则的长为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 9. 如图，在中，点D是上的点，，将沿翻折得到，若，则等于（ ） A. 20° B. 30° C. 35° D. 40° 10. 众所周知，玉露香梨的果肉如羊脂般白嫩，肉质纯净似雪，轻咬一口，香甜滋味瞬间在味蕾绽放，深受人们的喜爱．某超市购进玉露香梨的价格为80元/箱，出售时的标价为120元/箱，后来应广大客户的要求，商店决定让利打折出售，但要保证每箱的利润率不低于，则至多可以打几折？若设打x折销售，则可列不等式为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 不等式的解集是______． 12. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为______． 13. 如图中，，是腰的垂直平分线，且的周长为，则___________． 14. 公共汽车上有个座位，车上已有人坐在座位上，在某站又上来人，有一部分人无座位，则可列不等式为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，轴，若，则的面积为 _______ ． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解不等式： （1）解不等式，并在给出的数轴上表示其解集； （2）解不等式，并在给出的数轴上表示其解集； 17. 某次数学测验，共有18道选择题，评分方法是答对一题得5分，不答或答错一题扣2分，某同学要想得分为60分以上，他至少应该答对多少道题？ 18. 尺规作图是理论上接近完美的作图方式，乐乐很喜欢用尺规画出要求的图形如图，在中，， （1）请在图中用尺规作图的方法作出的垂直平分线交于点，交于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑） （2）连接，求证：是等边三角形． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在中，D是的中点，，，垂足分别为E，F，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 20. 某中学计划购买一批篮球和足球供学生使用，已知篮球的单价比足球的单价贵18元，且用购买2个篮球的钱可以购买3个足球． （1）求篮球和足球的单价各是多少元？ （2）由于近期篮球价格上涨（足球价格不变），若此时购买篮球3个，足球2个，则花费资金至少为246元，求涨价后篮球的单价至少为多少元？ 21. 如图， 在中，平分， 过线段上一点作，交于点，交延长线于点． （1）求证：为等腰三角形； （2）若，， 求的度数． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分） 22. 已知如图1，在等边中，点E是上一点，延长到点D，使，． （1）若E是的中点，试判断的形状及的长； 拓展应用：当点E是上的任意一点时（不与A，B重合）（如图2）． （2）证明； （3）猜想、、三边关系，并说明理由． 23. 已知：在中，，点，点分别在，上，连接，，交于点，，． （1）如图1，证明为等边三角形； （2）如图2，过点作于点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过点作交延长线于点，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $