6.2.1 排列 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第 六 章 计 数 原 理 6.2.1 排列 2 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 不同点 注意点 完成一件事 每类方案中的每一种方法都能_____完成这件事 每步_________才算完成这件事情（每步中的每一种方法 完成这件事） 类类独立，不重不漏 步步相依，步骤完整 独立 依次完成 不能独立 用来计算“_____________”的方法种数 2 3 问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有几种不同的选法？ 思考：（1）确定要完成的一件事是什么？ 思考：（2）怎样完成这件事？分类 or 分步？ “从____名同学选出____名， ___名参加____的活动，另__名参加___的活动” 问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有几种不同的选法？ 分步 第1步，确定参加上午活动的同学； 甲 乙 丙 根据________________原理， 上午 下午 每种情况均有2种选法 乙 丙 甲 丙 甲 乙 第2步，确定参加下午活动的同学． 3种 选法 相应的选法 不同的选法种数为：____________ 甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙 问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有几种不同的选法？ 甲 乙 丙 上午 下午 每种情况均有2种选法 乙 丙 甲 丙 甲 乙 3种 选法 相应的选法 甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙 甲乙、乙甲是相同的选法吗？ 问题1中的顺序是什么？ 参加活动的顺序 即参加上午的活动在前, 参加下午的活动在后. 不是 思考：如果把问题1中对象“同学”抽象为“元素”.那么还可以怎样叙述问题1? 问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有几种不同的选法？ 从______________中任取____个，然后按_______________，共有多少种_________的______方法 ？ 问题2 从1, 2, 3, 4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数? 请同学们模仿问题1的解答过程完成问题2的解答. 确定要完成的一件事是什么？ 怎样完成这件事？分类 or 分步？ “从____个数字中选出____个，组成一个________ 问题2 从1, 2, 3, 4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数? 根据_________________原理， 第1步，确定百位上的数字 第2步，确定十位上的数字 第3步，确定个位上的数字 共有4种方法 每类有3种方法 每类有2种方法 不同的排法种数为：____________． 分步 树状图 问题2 从1, 2, 3, 4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数? 百位 1 2 3 4 十位 个位 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3 3 4 2 4 1 3 3 4 1 4 1 3 2 4 1 4 1 2 2 3 1 3 1 2 问题2 从1, 2, 3, 4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的 三位数? 百位在前，十位居中，个位在后. 123、132 是相同的选法吗？ 问题2中的顺序是什么？ 百位 1 十位 个位 2 3 4 3 4 2 4 1 3 不是 问题2 从1, 2, 3, 4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数? 从______________中任取____个，然后按_______________，共有多少种_________的______方法 ？ 如果把问题2中对象“数字”抽象为“元素”.那么还可以怎样叙述问题2? 问题1 . 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动,其中1名参加上午的活动,1名参加下午的活动,有哪些不同的排法? 问题2 .从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？ 讨论：上述两个问题的共同特点是？能否推广到一般情形？ 元素 问题1 选出的“同学” 问题2 取出的“数字” 按上午、下午安排选出的2名同学 按百位、十位、个位把取出的3个数字 排成一个三位数 把取出的元素按一定顺序排成一列 从一些__________中取出_________，并按照____________排成 一列的方法. 排列： 不同元素 部分元素 一定的顺序 讨论：上述两个问题的共同特点是？能否推广到一般情形？ 追问（1）：n个元素能相同吗？ 追问（3）：m个元素能相同吗？ 追问（2）：可否重复选取元素？ 不能 不能重复 不能 研究排列问题时，都是从一些不同元素中任取部分不同元素， 既_____________，又没有______________________________ 没有重复元素 重复抽取同一元素的情况 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 排列定义 两个排列相同 ①元素完全相同 ②元素的排列顺序也相同 定义包含两个基本内容： ①取出一部分元素 ②按一定顺序排列 有无顺序是判断一个问题是不是排列问题的重要标志 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 排列定义 例1: 下列问题中哪些是排列问题？ （1）从50名学生中抽2名学生开会 （2）从50名学生中选2名做正、副组长 （3）从1,2,3,5中任取两个数相乘 （4）从1,2,3,5,中任取两个数相除 （5）某条火车路线有10个车站，共需要多少种车票？ （6）某条火车路线有10个车站，共需要多少种票价？ 是 是 是 否 否 否 题型1 排列的概念 方法归纳 排列问题的判断方法 元素的无重复性 元素被安排的有序性 检验它是否有序的依据就是____________________，看结果是否变化， 有变化就是有顺序，无变化就是无顺序． 变换元素的位置 例2 某省中学生足球赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛? 题型2 排列的简单应用 要完成的“一件事”是什么？ a b c d e f 每2队之间 需比赛2场 a→主队，b→客队 a→客队，b→主队 要完成的“一件事”是否与“顺序”有关？ 主队、客队 是否为排列问题？ 是排列 从_____支队中选出_____支， ____支作为______, ____支作为______ 例2 某省中学生足球赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛? 如何用计数原理求出比赛场数？ 题型2 排列的简单应用 6×5=30（场） 练习2： 学校乒乓团体比赛采用5场3胜制(5场单打)，每支球队派3名运动员参赛，前3场比赛 每名运动员各出场1次，其中第1，2位出场的运动员在后2场比赛中还将各出场1次. (1) 从5名运动员中选3名参加比赛，前3场比赛有几种出场情况? (2)甲、乙、丙3名运动员参加比赛，写出所有可能的出场情况. 例3： (1) 一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法? (2) 学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少 种不同的选法? 追问（3）：例3（1）是排列问题吗？ 追问（4）：例3（2）是排列问题吗？ 不满足元素的互异性 追问（1）：这两个问题的不同点是什么？ 题型2 排列的简单应用 追问（2）：是否有重复抽取同一元素的情况？ 是排列 不是排列 例3 (1) 一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法? (2) 学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少 种不同的选法? 题型2 排列的简单应用 追问（5）：如何用计数原理求解？ 解: （1）可以先从这5盘菜中取1盘给同学甲，然后从剩下的4盘菜中取1盘给同学乙，最后从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙. 5×4×3=60. 按分步乘法计数原理, 不同的取法种数为： 例3 (1) 一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法? (2) 学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少 种不同的选法? 题型2 排列的简单应用 解：（2）可以先让同学甲从5种菜中选1种；有5种选法；再让同学乙从5种菜中选1种，也有5种选法；最后让同学丙从5种菜中选1种，同样有5种选法. 按分步乘法计数原理，不同的选法种数为： 5×5×5=125. 练习 ：(1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的取法? (2) 有7种不同的书（每种不少于3本），要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的取法? （1）210；（2）343 解决此类相似问题时，首先要分清楚是不是排列问题，其次使用分步乘法计数原理求排列总数时，要做到步骤完整，步与步之间相互独立，然后把完成每一步的方法数相乘即可得到总数． 方法归纳 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 1. 排列的定义： 注意排列的两个关键要素：元素互异，元素按顺序排列. 2. 排列的简单计算：树状图分析、列举、分步乘法计数原理. Multimedia Cloud Transcode (cloud.baidu.com) Content Adaptive Encoding 3.0 $