第11章 因式分解 单元测试 2025—2026学年青岛版数学七年级下册

第11章 因式分解 单元测试 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1.下列由左边到右边的变形，是因式分解的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意； B、，不是整式乘积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； C、，是因式分解，故本选项符合题意； D、不是多项式，不是因式分解，故本选项不符合题意． 2.多项式中各项的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：多项式中各项的公因式是， 3. 若多项式能因式分解为，则的值是（   ） A． B．1 C． D．6 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴； 4已知，，则的值为（   ） A．12 B．7 C．4 D．3 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴， 5.若8×10×12，则k＝（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【解答】解：方程两边都乘以k，得 （92﹣1）（112﹣1）＝8×10×12k， ∴（9+1）（9﹣1）（11+1）（11﹣1）＝8×10×12k， ∴80×120＝8×10×12k， ∴k＝10． 经检验k＝10是原方程的解． 6. 将a3b﹣ab进行因式分解，正确的是（　　） A．a（a2b﹣b） B．ab（a﹣1）2 C．ab（a+1）（a﹣1） D．ab（a2﹣1） 【答案】C 【解答】解：a3b﹣ab＝ab（a2﹣1）＝ab（a+1）（a﹣1）， 7.将多项式进行因式分解，结论正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 8. 已知，，则的值为（   ） A．10 B． C．7 D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴， 9.已知，，则整式的值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】解：因为，， ∴ ， 将，代入得： ， 10.已知，，则的最小值是（   ） A．14 B．5 C．9 D．不存在 【答案】B 【详解】解：根据题意可得 ， 故的最小值是5， 2、 填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.多项式的公因式是______． 【答案】 【详解】解：多项式的公因式是； 12.将多项式进行因式分解得到，则的值为 ． 【答案】13 【详解】解：依题意， 因为多项式进行因式分解得到， 所以 那么，， 故，， 所以， 13.分解因式： ． 【答案】 【详解】解： ， 14.已知，则代数式的值为 【答案】 【详解】解：∵， ∴ 15.如图，把，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则．当，，，时，求得的值是 ． 【答案】220 【详解】解：∵，，，， ∴ ． 16.分解因式 ． 【答案】 【详解】解：原式 ． 三、解答题：本题共7小题，其中17-20题每题9分，21-23每题12分，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.因式分解： （1）4m2n﹣8mn2﹣2mn （2）m2（m+1）﹣（m+1） （3）4x2y+12xy+9y （4）（x2﹣6）2+2（x2﹣6）﹣15． 【解答】解：（1）4m2n﹣8mn2﹣2mn＝2mn（2m﹣4n﹣1）； （2）m2（m+1）﹣（m+1） ＝（m+1）（m2﹣1） ＝（m+1）2（m﹣1）； （3）4x2y+12xy+9y ＝y（4x2+12x+9） ＝y（2x+3）2； （4）（x2﹣6）2+2（x2﹣6）﹣15 ＝（x2﹣6﹣3）（x2﹣6+5） ＝（x2﹣9）（x2﹣1） ＝（x+3）（x﹣3）（x+1）（x﹣1）． 18先阅读下面的内容，再解决问题． 例题：若，求和的值． 解：， ． ． ． ． 问题：已知，求的值． 【答案】． 【详解】解：， ， ， ， ， 解得：． 19.阅读下列材料：某校数学社团小组的同学在分解因式时，发现可以将这个多项式进行重新分组，先利用完全平方公式，然后再利用平方差公式对这个多项式进行了分解．过程如下： 像这样．将一个多项式适当分组后，利用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组分解法． 请你在这种方法的启发下．解决以下问题： (1)分解因式：； (2)已知，，分别是三边的长，且，求的周长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2） ∵， ∴． ∴，，， ∴，，， ∴的周长． 20.【阅读理解】用“十字相乘法”分解因式． Ⅰ．次项系数． Ⅱ．常数项，验算：“交叉相乘之和” ①，②， ③，④． Ⅲ．发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数， 即， 则． 像这样分解因式的方法叫做十字相乘法． 【迁移运用】仿照此方法，分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 21.从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是________（填字母）． A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：； ③计算：． 【答案】(1)B (2)①3；②；③2 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故选：B； （2）解：①，即，而， ； ②原式 ； ③原式 ． 22.若一个正整数x能表示成（a，b是正整数，且）的形式，则称这个数为“优美数”，a与b是x的一个平方差分解． 例如：因为，所以5是“优美数”，3与2是5的平方差分解； 再如：也是“优美数”．∵（其中x，y是正整数），所以M也是“优美数”， 与y是M的一个平方差分解． (1)判断：27是否是“优美数”，如果是，请写出27的所有平方差分解；如果不是，请说明理由． (2)设两个连续正奇数为和（其中n是正整数），由它们构成的“优美数”能被8整除吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举例说明． (3)已知（x，y是正整数，k是常数，且），要使N是“优美数”，请写出一个符合条件的一个k值________． 【答案】(1)27是“优美数”， 14与13，6与3都是27的平方差分解 (2)能，见解析 (3) 【详解】（1）解：27是“完美数”， ∵， ， ∴27是“完美数”，14与13，6与3都是27的平方差分解； （2）解： ， ∵能被8整除， ∴由它们构成的“优美数”能被8整除； （3）解：∵ ； ∴当时，为“优美数”，此时， 故当时，N为“优美数”． 23.【阅读材料】“配方法”是数学中一种重要的思想方法，它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例1．用配方法分解因式： 解：原式 例2．已知，用配方法求的值． 解：原方程可化为，，即 ，， ，， ． 【问题解决】 (1)用配方法分解因式：； (2)若与，请判断M、N的大小关系并说明理由； (3)如图，长方形的长，宽．点P从点A开始以的速度向点B运动，与此同时，点Q从点B开始以的速度向点C运动，当其中任何一点到达终点时停止运动．设运动时间为t（s），的面积为S（）． ①用含有t的代数式表示S，并直接写出t的取值范围； ②用上面的方法，求t为何值时S的值最大，最大值是多少？ 【答案】(1)； (2)； (3)①；②时，S的值最大，最大值是9． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2），， ， ， ， ， ，， ， ； （3）①由题意，，， ， t的取值范围是：， ； ②， ，当时，它的最大值是0， 的最大值是9， 即时，S的值最大，最大值是9． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11章 因式分解 单元测试 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1.下列由左边到右边的变形，是因式分解的为（    ） A． B． C． D． 2.多项式中各项的公因式是（    ） A． B． C． D． 3. 若多项式能因式分解为，则的值是（   ） A． B．1 C． D．6 4已知，，则的值为（   ） A．12 B．7 C．4 D．3 5.若8×10×12，则k＝（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 6. 将a3b﹣ab进行因式分解，正确的是（　　） A．a（a2b﹣b） B．ab（a﹣1）2 C．ab（a+1）（a﹣1） D．ab（a2﹣1） 7.将多项式进行因式分解，结论正确的为（    ） A． B． C． D． 8. 已知，，则的值为（   ） A．10 B． C．7 D． 9.已知，，则整式的值为（   ） A． B． C． D．3 10.已知，，则的最小值是（   ） A．14 B．5 C．9 D．不存在 2、 填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.多项式的公因式是______． 12.将多项式进行因式分解得到，则的值为 ． 13.分解因式： ． 14.已知，则代数式的值为 15.如图，把，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则．当，，，时，求得的值是 ． 16.分解因式 ． 三、解答题：本题共7小题，其中17-20题每题9分，21-23每题12分，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.因式分解： （1）4m2n﹣8mn2﹣2mn （2）m2（m+1）﹣（m+1） （3）4x2y+12xy+9y （4）（x2﹣6）2+2（x2﹣6）﹣15． 18先阅读下面的内容，再解决问题． 例题：若，求和的值． 解：， ． ． ． ． 问题：已知，求的值． 19.阅读下列材料：某校数学社团小组的同学在分解因式时，发现可以将这个多项式进行重新分组，先利用完全平方公式，然后再利用平方差公式对这个多项式进行了分解．过程如下： 像这样．将一个多项式适当分组后，利用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组分解法． 请你在这种方法的启发下．解决以下问题： (1)分解因式：； (2)已知，，分别是三边的长，且，求的周长． 20.【阅读理解】用“十字相乘法”分解因式． Ⅰ．次项系数． Ⅱ．常数项，验算：“交叉相乘之和” ①，②， ③，④． Ⅲ．发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数， 即， 则． 像这样分解因式的方法叫做十字相乘法． 【迁移运用】仿照此方法，分解因式： (1)； (2)． 21.从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是________（填字母）． A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：； ③计算：． 22.若一个正整数x能表示成（a，b是正整数，且）的形式，则称这个数为“优美数”，a与b是x的一个平方差分解． 例如：因为，所以5是“优美数”，3与2是5的平方差分解； 再如：也是“优美数”．∵（其中x，y是正整数），所以M也是“优美数”， 与y是M的一个平方差分解． (1)判断：27是否是“优美数”，如果是，请写出27的所有平方差分解；如果不是，请说明理由． (2)设两个连续正奇数为和（其中n是正整数），由它们构成的“优美数”能被8整除吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举例说明． (3)已知（x，y是正整数，k是常数，且），要使N是“优美数”，请写出一个符合条件的一个k值________． 23.【阅读材料】“配方法”是数学中一种重要的思想方法，它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例1．用配方法分解因式： 解：原式 例2．已知，用配方法求的值． 解：原方程可化为，，即 ，， ，， ． 【问题解决】 (1)用配方法分解因式：； (2)若与，请判断M、N的大小关系并说明理由； (3)如图，长方形的长，宽．点P从点A开始以的速度向点B运动，与此同时，点Q从点B开始以的速度向点C运动，当其中任何一点到达终点时停止运动．设运动时间为t（s），的面积为S（）． ①用含有t的代数式表示S，并直接写出t的取值范围； ②用上面的方法，求t为何值时S的值最大，最大值是多少？ —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $