精品解析：江苏宿迁市沭阳县部分学校2025～2026学年八年级第二学期第一次学情调研数学试卷

2025～2026学年度初二年级第二学期第一次学情调研 数学试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分） 1. 3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础，某县某初中为了解全校720名八年级学生的睡眠时间，从16个班级中随机抽取100名学生进行调查，下列说法不正确的是（ ） A. 720名八年级学生的睡眠时间是总体 B. 100是样本容量 C. 16个班级是抽取的一个样本 D. 每名八年级学生的睡眠时间是个体 2. 下列调查中，适用抽样调查的是（ ） A. 企业招聘，对应聘人员进行面试 B. 检查“神舟二十一号”载人飞船仪器设备的情况 C. 了解某班学生的视力情况 D. 调查市民想去中华麋鹿园旅游的情况 3. 成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴，下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（ ） A. 水中捞月 B. 旭日东升 C. 水涨船高 D. 一箭双雕 4. 如图，在中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 某次体能测试，学校抽取了部分同学的成绩（得分为整数），整理制成如图所示的频数分布直方图，根据图示信息描述不正确的是（ ） A. 频数分布直方图中组距是分 B. 本次抽样样本容量是 C. 这次测试优秀率为 D. 这一分数段的频数为 6. 物理学中“力的合成”遵循平行四边形法则，即和的合力是以这两个力为邻边构成的平行四边形的对角线所表示的力．如图，设两个共点力的合力为，现保持两个力的夹角不变，若其中一个力减小，另一个力不变，则合力（ ） A. 一定增大 B. 保持不变 C. 可能增大，也可能减小 D. 一定减小 7. 如图，在平行四边形中，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接．若，则平行四边形的面积为（ ） A. 64 B. 132 C. 128 D. 60 8. 矩形中，，，P为边上的一点，沿直线将翻折至（点A落到点E处）．如图与相交于点O，且，则的长为（ ） A. B. C. 1 D. 二、填空题（共10小题，每小题3分，计30分） 9. 鸡蛋中含有丰富的营养成分，其中水分约占，蛋白质约占，脂肪约占，维生素和矿物质等其它成分共约占，对增强人体免疫力，促进大脑发育，保护视力等方面发挥重要的作用．为直观地表示出各成分在总体中所占的百分比，最合适的统计图是________．（填“频数直方图”“折线图”或“扇形图”中的一种） 10. 在同样条件下对一批新进草莓进行甜度检测，统计甜度达标的草莓数，获得如下频数表： 检测草莓数量n（颗） 100 200 300 500 800 1000 甜度达标频数m 92 188 279 455 728 910 甜度达标频率 0.92 0.94 0.93 0.91 0.91 0.91 根据表中数据，估计2000颗该种草莓中，甜度达标的草莓约为___颗． 11. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线、相交于原点O．若点A的坐标是，则点C的坐标是________． 12. 将一副三角板在平行四边形中按如图所示位置摆放，如果，那么的度数是_________ 13. 已知在一个样本中，将100个数据分成4组，并列出频率分布表，其中第一组的频数是15，第二组与第三组的频率之和是0.6，那么第四组的频数是_______． 14. 如图，小驰用四根木条钉成一个木框，推动得到．现测得，，则的度数为__________． 15. 如图，中，对角线，相交于点，交于点，连接，若的周长为，则的周长为______． 16. 在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中白球可能有_____个． 17. 如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°），若∠1=110°，则∠α=_____． 18. 如图，在平行四边形中，，点E为射线上的动点，连接，并将绕点B逆时针旋转得到，连接，若的最小值为3，则______． 三、解答题（共10题，共96分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 如图，在平行四边形中，点E，F在AB，CD边上，且．求证：． 20. 已知，如图，在矩形ABCD中，点E，F在边AD上，且AE=DF，求证：BF=CE． 21. 为了让学生看到中国科技如何惊艳破圈，某校筹备“科技赋能，为祖国点赞”主题活动． 【收集数据】为了解学生的兴趣和爱好，随机抽取的部分学生中下发调查问卷． “科技赋能，为祖国点赞”主题学生领域意向调查问卷 请选择您感兴趣的领域，并在其后“”内打“√”（每名同学必选且只能选择其中一项） A．卫星太空加油 B．华为鸿蒙系统 C．DeepSeek的接入 D．《哪吒2》层级渲染 E．宇树机器人 【整理数据】根据调查数据绘制成两幅不完整的统计图． 【分析数据】请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）求本次调查所抽取的学生人数，并补全条形统计图； （2）求扇形统计图中领域“E”对应扇形的圆心角的度数； （3）学校有600名学生参加本次活动，其中选择聆听B、D的报告学生共有多少？ 22. 一只不透明的袋子中有个红球、个黄球和个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出个球． （1）___________（填“能”或“不能”）事先确定摸到的这个球的颜色； （2）你认为摸到哪种颜色的球的可能性最大：___________； （3）怎样改变袋子中的红球、黄球、白球的个数，使摸到这三种球的颜色的球的概率相等？（要求：只能从袋子中拿出球，且拿出球的总数量最小） 23. 如图，在中，O是边的中点，且，求证：四边形是矩形． 24. 如图，在平行四边形中，点E在边上，且，F为线段上一点，且． （1）求证：； （2）若，平分，求的长． 25. 如图，四边形的对角线与相交于点O，，，有下列条件： ①，②． （1）请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是矩形； （2）在（1）的条件下，若，，求四边形的面积． 26. 在中，，点在边所在的直线上，过点作交直线于点，交直线于点． （1）当点在边上时，如图，求证：； （2）当点在边的延长线上时，请直接写出图中，，之间的数量关系______； （3）若，，则______． 27. 如图，在中，，是的角平分线，是的外角的平分线，，垂足为． （1）求证：四边形是矩形． （2）连接，若，，求的长． （3）仅用无刻度的直尺画出将面积平分的射线． 28. 已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，动点在射线上以每秒个单位长的速度运动．设动点的运动时间为秒． （1）点在运动过程中，______；（用含的代数式表示）； （2）当为何值时，以、、、为顶点的四边形为平行四边形； （3）在线段上有一点，且，当四边形的周长最小，求的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度初二年级第二学期第一次学情调研 数学试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分） 1. 3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础，某县某初中为了解全校720名八年级学生的睡眠时间，从16个班级中随机抽取100名学生进行调查，下列说法不正确的是（ ） A. 720名八年级学生的睡眠时间是总体 B. 100是样本容量 C. 16个班级是抽取的一个样本 D. 每名八年级学生的睡眠时间是个体 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量的定义，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 根据总体、个体、样本、样本容量的定义念逐一分析选项正误即可． 【详解】解：720名八年级学生的睡眠时间是总体，A选项正确； 抽取了100名学生，故样本容量为100，B选项正确； 抽取的样本是100名学生的睡眠时间，而非16个班级，C选项错误； 每名八年级学生的睡眠时间是个体，D正确； 故选：C． 2. 下列调查中，适用抽样调查的是（ ） A. 企业招聘，对应聘人员进行面试 B. 检查“神舟二十一号”载人飞船仪器设备的情况 C. 了解某班学生的视力情况 D. 调查市民想去中华麋鹿园旅游的情况 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查判断全面调查与抽样调查， 需区分全面调查与抽样调查的适用场景，全面调查适用于范围小、要求精准或事关重大的调查，抽样调查适用于范围广、难以全面调查的情况．据此逐项判断即可． 【详解】解：A选项企业招聘需对每位应聘人员面试，属于全面调查； B选项飞船仪器设备检查事关安全，需全面排查，属于全面调查； C选项班级学生人数少，可全面统计视力，属于全面调查； D选项市民群体范围广，难以全面调查，适合抽样调查； 故选：D． 3. 成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴，下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（ ） A. 水中捞月 B. 旭日东升 C. 水涨船高 D. 一箭双雕 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据随机事件的定义判断即可． 【详解】解：水中捞月是不可能发生的事件，属于不可能事件，A不符合题意； 旭日东升是一定会发生的事件，属于必然事件，B不符合题意； 水涨船高是一定会发生的事件，属于必然事件，C不符合题意； 一箭双雕是可能发生也可能不发生的事件，属于随机事件，D符合题意； 故选：D． 4. 如图，在中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行四边形“对角相等”的性质，得出，再根据“邻角互补”的性质，计算出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，， ∴． 5. 某次体能测试，学校抽取了部分同学的成绩（得分为整数），整理制成如图所示的频数分布直方图，根据图示信息描述不正确的是（ ） A. 频数分布直方图中组距是分 B. 本次抽样样本容量是 C. 这次测试优秀率为 D. 这一分数段的频数为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图，根据数据描述求频数，样本容量．从频数分布直方图中获取正确的信息是解题的关键． 由题意知，频数分布直方图中组距是分，可判断A的正误；样本容量是，计算求解可判断B的正误；这次测试优秀率为，计算求解可判断C的正误；这一分数段的频数为，可判断D的正误． 【详解】解：由题意知，频数分布直方图中组距是分，A正确，故不符合要求； 本次抽样样本容量是，B正确，故不符合要求； 这次测试优秀率为，C错误，故符合要求； 这一分数段的频数为，D正确，故不符合要求； 故选：C． 6. 物理学中“力的合成”遵循平行四边形法则，即和的合力是以这两个力为邻边构成的平行四边形的对角线所表示的力．如图，设两个共点力的合力为，现保持两个力的夹角不变，若其中一个力减小，另一个力不变，则合力（ ） A. 一定增大 B. 保持不变 C. 可能增大，也可能减小 D. 一定减小 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质即可得到答案． 【详解】解：已知两边及其夹角，可以确定一个平行四边形，即其对角线也确定， 而两边夹角不变，某一边不变，另一边减少时，平行四边形的对角线也在减少， 两力的夹角不变，如果其中一个力减小，另一个力不变，则合力F一定减小． 7. 如图，在平行四边形中，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接．若，则平行四边形的面积为（ ） A. 64 B. 132 C. 128 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定和勾股定理．利用基本作图得到，再根据平行四边形的性质得到，，，再证明，则，接着根据利用勾股定理求得长，然后利用平行四边形的面积公式求得答案即可． 【详解】解：由作法得平分， ， 四边形为平行四边形， ，，， ， ， ， ， ， 在中，， 的面积为， 故选：C． 8. 矩形中，，，P为边上的一点，沿直线将翻折至（点A落到点E处）．如图与相交于点O，且，则的长为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形与折叠可证，，，得到，设，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：矩形中，，， ，，， 由折叠的性质可知，，，， 在和中， ， ， ，， ， 设，则， ，， 在中，， ， 解得：，即的长为． 二、填空题（共10小题，每小题3分，计30分） 9. 鸡蛋中含有丰富的营养成分，其中水分约占，蛋白质约占，脂肪约占，维生素和矿物质等其它成分共约占，对增强人体免疫力，促进大脑发育，保护视力等方面发挥重要的作用．为直观地表示出各成分在总体中所占的百分比，最合适的统计图是________．（填“频数直方图”“折线图”或“扇形图”中的一种） 【答案】扇形图 【解析】 【分析】本题考查了统计图的选择，选择统计图需根据数据特点：扇形图能直观显示各部分在整体中的百分比，符合本题要求． 【详解】解：由于需要表示各成分在总体中所占的百分比，扇形图能清晰反映部分与整体的关系，而频数直方图适用于频数分布，折线图适用于变化趋势，故最合适的统计图是扇形图． 故答案为：扇形图． 10. 在同样条件下对一批新进草莓进行甜度检测，统计甜度达标的草莓数，获得如下频数表： 检测草莓数量n（颗） 100 200 300 500 800 1000 甜度达标频数m 92 188 279 455 728 910 甜度达标频率 0.92 0.94 0.93 0.91 0.91 0.91 根据表中数据，估计2000颗该种草莓中，甜度达标的草莓约为___颗． 【答案】1820 【解析】 【分析】本题主要考查频率估算概率，根据频率的稳定性，当试验次数足够大时，频率趋于概率，表中数据显示频率稳定在附近，因此用作为概率估计值． 【详解】解：从频数表可知，当检测草莓数量较大时，甜度达标的频率均稳定在附近， 因此概率估计值为， ∴对于2000颗草莓，甜度达标的数量约为颗． 故答案为：1820． 11. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线、相交于原点O．若点A的坐标是，则点C的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，坐标与图形，轴对称图形．根据矩形性质：点A和点C关于原点对称，得点C的坐标． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴点A和点C关于原点对称， ∵点A的坐标是， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 12. 将一副三角板在平行四边形中按如图所示位置摆放，如果，那么的度数是_________ 【答案】75度## 【解析】 【分析】本题考查平行四边形性质与平行线性质的综合运用，解题关键是作辅助线构造平行关系，利用平行线性质和三角板角度计算角度． 过点作，利用平行线的性质，结合三角板已知角度，逐步推导求出答案． 【详解】解析：如图，过点作，     ， 由题意得∶， ， 四边形是平行四边形， ， ， ． 故答案为：． 13. 已知在一个样本中，将100个数据分成4组，并列出频率分布表，其中第一组的频数是15，第二组与第三组的频率之和是0.6，那么第四组的频数是_______． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查了频数与频率，熟记频率的计算公式是解题关键． 根据第四组的频数等于总数减去第一组与第二组、第三组的频数计算，由此即可得． 【详解】解：第四组的频数是． 故答案为：25． 14. 如图，小驰用四根木条钉成一个木框，推动得到．现测得，，则的度数为__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质结合题意得到，由，代入计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 15. 如图，中，对角线，相交于点，交于点，连接，若的周长为，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得，从而可得垂直平分，由垂直平分线的性质结合三角形的周长等量代换可得的长，从而得解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 垂直平分， ， 的周长为， ， ，即， 的周长为． 16. 在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中白球可能有_____个． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识点，解题的关键是根据摸到红球的频率稳定值确定其概率，再结合概率公式列出方程求解白球的数量． 设口袋中白球的个数为x，根据红球的频率稳定在附近，可知摸到红球的概率为；利用概率公式"红球个数除以总球数等于红球概率"列出方程，求解得出白球个数． 【详解】解：设口袋中白球的个数为x个． ∵摸到红球的频率稳定在附近， ∴摸到红球的概率为． 根据概率公式可得： 等式两边同乘得： 展开得： 移项化简得： 解得． 故答案为：． 17. 如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°），若∠1=110°，则∠α=_____． 【答案】． 【解析】 【详解】试题分析：根据矩形的性质得∠B=∠D=∠BAD=90°，根据旋转的性质得∠D′=∠D=90°，∠4=α，利用对顶角相等得到∠1=∠2=110°，再根据四边形的内角和为360°可计算出∠3=70°，然后利用互余即可得到∠α的度数． 解：如图， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠B=∠D=∠BAD=90°， ∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AB′C′D′， ∴∠D′=∠D=90°，∠4=α， ∵∠1=∠2=110°， ∴∠3=360°﹣90°﹣90°﹣110°=70°， ∴∠4=90°﹣70°=20°， ∴∠α=20°． 故答案为20°． 18. 如图，在平行四边形中，，点E为射线上的动点，连接，并将绕点B逆时针旋转得到，连接，若的最小值为3，则______． 【答案】 【解析】 【分析】在上取点，使得，连接，过点作于点，根据旋转的性质证明，得到，由垂线段最短可知，当时，有最小值，此时有最小值，则当时，，由平行线间距离相等，可得，再在中，求解即可． 【详解】解：如图，在上取点，使得，连接，过点作于点， 由旋转的性质可知，，， ， ，即， 在和中， ， ， ， 由垂线段最短可知，当时，有最小值，此时有最小值， 的最小值为3， 当时，， 平行线间距离相等， ， 在中，， ， ， ， ． 三、解答题（共10题，共96分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 如图，在平行四边形中，点E，F在AB，CD边上，且．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题考查平行四边形的性质和全等三角形的性质和判定，关键是根据平行四边形的性质得出解答． 根据平行四边形的性质得出，进而利用证明和全等，利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】略 20. 已知，如图，在矩形ABCD中，点E，F在边AD上，且AE=DF，求证：BF=CE． 【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠D=90°，AB=DC，AD=BC， ∵AE=DF， ∴AF=DE， 在△ABF和△DCE中， ∵AB=DC，∠A=∠D，AF=DE， ∴△ABF≌△DCE（SAS）， ∴BF=CE． 【解析】 【分析】由ABCD是矩形得出∠A=∠D=90°，AB=DC，再证出AF=DE，由SAS证明△ABF≌△DCE，得出对应边相等即可． 【详解】略 21. 为了让学生看到中国科技如何惊艳破圈，某校筹备“科技赋能，为祖国点赞”主题活动． 【收集数据】为了解学生的兴趣和爱好，随机抽取的部分学生中下发调查问卷． “科技赋能，为祖国点赞”主题学生领域意向调查问卷 请选择您感兴趣的领域，并在其后“”内打“√”（每名同学必选且只能选择其中一项） A．卫星太空加油 B．华为鸿蒙系统 C．DeepSeek的接入 D．《哪吒2》层级渲染 E．宇树机器人 【整理数据】根据调查数据绘制成两幅不完整的统计图． 【分析数据】请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）求本次调查所抽取的学生人数，并补全条形统计图； （2）求扇形统计图中领域“E”对应扇形的圆心角的度数； （3）学校有600名学生参加本次活动，其中选择聆听B、D的报告学生共有多少？ 【答案】（1） 40人， 补全条形图如图： （2） （3）选择聆听B、D的报告学生共有270人． 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图和用样本估计总体，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提． （1）用选择A的学生人数除以所占的比例求出调查的总人数，进而求出选择D的学生人数补全条形图即可； （2）用360度乘以选择E的学生人数所占的比例进行求解即可； （3）利用样本估计总体的思想，进行求解即可． 【小问1详解】 解：本次调查所抽取的学生人数为：（人）； 选择D的学生人数为：； 【小问2详解】 解：领域“E”对应扇形的圆心角的度数为：； 【小问3详解】 解：选择聆听B报告学生有：（人）； 选择聆听D报告学生有：（人）． （人）； 答：选择聆听B、D的报告学生共有270人． 22. 一只不透明的袋子中有个红球、个黄球和个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出个球． （1）___________（填“能”或“不能”）事先确定摸到的这个球的颜色； （2）你认为摸到哪种颜色的球的可能性最大：___________； （3）怎样改变袋子中的红球、黄球、白球的个数，使摸到这三种球的颜色的球的概率相等？（要求：只能从袋子中拿出球，且拿出球的总数量最小） 【答案】（1）不能； （2）白球； （3）拿出个黄球和个白球． 【解析】 【分析】本题主要考查了事件发生的可能性大小，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由于袋子里有三种不同颜色的球，所以无法事先确定摸到球的颜色； （）可能性大小与球的数量有关，数量越多摸到的可能性越大，据此可判断摸到哪种球的可能性最大； （）要使摸到三种球的概率相等，需三种球的数量相同，在只能拿出球且总数量最小的前提下，调整三种球的数量至相等即可． 【小问1详解】 解：∵袋子中有红球、黄球、白球三种不同颜色的球， ∴从中任意摸出个球，事先不能确定摸到的这个球的颜色， 故答案为：不能； 【小问2详解】 解：∵袋子中白球有个，黄球有个，红球有个，， ∴摸到白球的可能性最大， 故答案为：白球； 【小问3详解】 解：要使摸到三种球的概率相等，需三种球的数量相同， ∵现有红球个，黄球个，白球个， ∴黄球比红球多（个），白球比红球多（个）， ∴拿出个黄球和个白球后，三种球的数量均为个， 此时摸到三种球的概率相等且拿出球的总数量为个，是满足条件的最小总数量， 答：拿出个黄球和个白球后摸到这三种球的颜色的球的概率相等． 23. 如图，在中，O是边的中点，且，求证：四边形是矩形． 【答案】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵O是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】证明，得到，进一步得到，即可证明结论． 【详解】略 24. 如图，在平行四边形中，点E在边上，且，F为线段上一点，且． （1）求证：； （2）若，平分，求的长． 【答案】（1） 证明：在平行四边形中，， ∴； ∵，， ∴； （2）3 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，掌握这些知识是解题的关键； （1）由平行四边形的性质得，再结合，，即可证明； （2）由平行四边形的性质得；由平分，得，由（1）知，则，可得，由即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在平行四边形中，； ∵平分， ∴； 由（1）知， ∴， ∴， ∴． 25. 如图，四边形的对角线与相交于点O，，，有下列条件： ①，②． （1）请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是矩形； （2）在（1）的条件下，若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 选择①， 证明：∵，， ∴是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； 选择②， 证明：∵，， ∴是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，勾股定理，掌握矩形的判定定理是解题的关键． （1）先根据条件利用两组对边平行或一组对边平行且相等证明是平行四边形，然后根据矩形的定义得到结论即可； （2）利用勾股定理得到长，然后利用矩形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴矩形的面积为． 26. 在中，，点在边所在的直线上，过点作交直线于点，交直线于点． （1）当点在边上时，如图，求证：； （2）当点在边的延长线上时，请直接写出图中，，之间的数量关系______； （3）若，，则______． 【答案】（1） 证明：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）证明四边形是平行四边形， 由平行四边形的性质得到，根据等腰三角形的性质和判定结合平行线的性质，证明， 等量代换即可得结论； （2）证明四边形是平行四边形， 由平行四边形的性质得到，根据等腰三角形的性质和判定结合平行线的性质，证明， 等量代换即可得结论； （3）分三种情况讨论，当点在边上时，当点在边的延长线上时，当点在边的反向延长线上时，结合所证结论即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即； 【小问3详解】 解：当点在边上时，由（1）可知：， ，， ； 当点在边的延长线上时，由（2）可知：， ； 当点在边的反向延长线上时，如图， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ，， 此情况不存在； 综上，或． 27. 如图，在中，，是的角平分线，是的外角的平分线，，垂足为． （1）求证：四边形是矩形． （2）连接，若，，求的长． （3）仅用无刻度的直尺画出将面积平分的射线． 【答案】（1） 证明：，是的角平分线， ，，， 是的外角的平分线， ， ， ， ， 四边形是矩形； （2） （3） 射线即为所求： 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一得到，，然后根据角平分线的定义得到， ，进而得到，根据三个角都是直角的四边形是矩形即可证明结论； （2）根据勾股定理求出长，然后根据矩形的性质得到，然后根据勾股定理求出长解答即可； （3）取的中点即可，连接与交于点，根据矩形的对角线互相平分即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， 四边形是矩形， ，， ． 【小问3详解】 解：如图所示，连接与交于点，连接， 四边形是矩形， ，即是的中点， 是的中线， 平分面积． 28. 已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，动点在射线上以每秒个单位长的速度运动．设动点的运动时间为秒． （1）点在运动过程中，______；（用含的代数式表示）； （2）当为何值时，以、、、为顶点的四边形为平行四边形； （3）在线段上有一点，且，当四边形的周长最小，求的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据速度时间距离即可得解； （2）根据矩形的性质可得，， ，从而可得，，从而由平行四边形的性质得到，再对当在点左侧运动时和当在上点右侧运动时，建立方程即可得解； （3）先证明四边形是平行四边形， 得到，从而可判断出四边形周长最小，得出最小，即可确定出点的位置，再用三角形的中位线得出，进而求出，即可得出结论． 【小问1详解】 解：动点在射线上以每秒个单位长的速度运动，动点的运动时间为秒， ； 【小问2详解】 解：四边形为矩形，，， ，， ， 点是的中点， ， 以、、、为顶点的四边形为平行四边形， ， ， ， 当在点左侧运动时，此时， ， ； 当在点右侧运动时，此时， ∴， ∴， ∴综上，当或时，以、、、为顶点的四边形为平行四边形 【小问3详解】 解：由（2）知，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形的周长为， 当最小时，四边形的周长最小， 如图，作点关于的对称点，连接交于， ， ， ， ，， ， ， ， 是的中位线， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $