江苏苏州市昆山震川高级中学2025-2026学年高一下学期期中数学模拟练习卷1

震川中学2025-2026学年高一下学期期中数学模拟练习卷1 一、单项选择题：本大题共2小题，共16分。 1.在梯形ABCD中，，AC与BD交于点O，记，，则     A. B. C. D. 2.已知G为的重心，过G的直线与AB，AC边分别交于M，N点，若，，则的最大值为     A. 2 B. C. 4 D. 二、多项选择题：本大题共5小题，共40分。 3.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是     A. 若，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若，则是直角三角形 D. 若为锐角三角形，则 4.在中，角的对边分别为，则     A. 若，则解此三角形有两解 B. 若，则此三角形为等腰直角三角形 C. 若为锐角三角形，则 D. 的充要条件是 5.下列说法错误的是(    ) A. 若，，则 B. 若且，则 C. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，是的充要条件 D. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则是等腰三角形 6.以下是真命题的是(    ) A. 已知为非零向量，若，则与的夹角为锐角 B. 已知为两两非共线向量，若，则 C. 在三角形ABC中，若，则三角形ABC是等腰三角形 D. 已知为单位向量，且与平行，则 7.已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是     A. 若，则 B. 若，则为钝角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，则的最大角是 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分。 8.如图，等边的边长为1，点分别为的中点，连接并延长DE到点F，使得，则          .  9.已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P，已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，则点P坐标为      . 四、解答题：本题共6小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 10.本小题13分 已知的内角的对边为，且 求C； 若，求证： 11.本小题13分 在中，角的对边分别为，已知， 求角C的值； 求的最大值； 若AB边上的中线CD长为，求的面积. 12.本小题13分 在平面几何中，三角形的“莱莫恩点”是一个具有优美性质的特殊点，其定义如下：记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，平面内一点K到三边BC，CA，AB的距离，，满足，称点K为的“莱莫恩点”． 若在中，，，，求常数k的值； 求证：； 若，试判断的形状，并说明理由． 13.本小题13分 如图，在中，点D是BC中点，点E、F分别在边AB、AC上，，设， 用向量、表示； 若，，，求向量、夹角的余弦值. 14.本小题13分 如图所示，已知梯形ABCD中，，，E为线段BC的中点，且线段BD与AE的交点为F，设， 用，表示； 求的值； 若，点G在线段CD上运动，设，求的取值范围． 15.本小题13分 如图，设 Ox、Oy是平面内相交成的两条射线，、分别为Ox、Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记 在仿射坐标系中，若，求 在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求 如图所示，在仿射坐标系中，B、C分别在x轴、y轴正半轴上，，，E、F分别为BD、BC中点，求的最大值. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：因为在梯形ABCD中，，AC与BD交于点O，且，， 所以， 可得， 所以， 由于，， 可得 故选： 2.【答案】C  【解析】【分析】利用三点共线得到的关系式，再代入，利用导数求得函数最值即可. 【详解】因为G为的重心， 所以， 又因为，， 所以， 又因为三点共线， 所以， 因为M在线段AB上，所以与同向且， 于是，同理， 结合得 目标函数为， 记，， 求导，得：， 所以在上单调递增， 故选：C 3.【答案】AD  【解析】解：对于A：若，转换为：， 利用正弦定理：，则，故A正确； 对于B项，因为 ， 所以由正弦定理得： ，即： ， 所以 或 ，所以 或 ， 所以为等腰三角形或直角三角形，故B项错误； 对于C：根据三角函数性质，时， 在三角形内角范围，内，有两种可能： 情况一：，则，，此时是直角三角形； 情况二：如，，， 满足，但，不是直角三角形； 综上，仅由不能得出定是直角三角形， C错误； 对于D：当为锐角三角形时，，，  ，可得成立，故D正确． 4.【答案】ACD  【解析】【分析】利用余弦定理求解可判断A；利用正弦定理边化角可得或，可判断B，利用锐角三角形的定义以及诱导公式计算可判断C；由正弦定理可判断 【详解】对于A，由余弦定理可得， 即，解得或，故三角形有两解，故A正确； 对于B，因为， 所以由正弦定理可得， 所以，因为，， 所以或，所以或， 所以三角形ABC为等腰三角形或直角三角形，故B错误； 对于C，因为为锐角三角形，所以，所以，， 所以，， 所以，故C正确； 对于D，充分性，若，则，所以，故充分性成立， 必要性，若，则，所以，故必要性成立， 所以的充要条件是，故D正确. 故选： 5.【答案】ABD  【解析】解：对于A：当时，共线不成立，故A错误； 对于B：若且，并不能说明，故B错误； 对于C：根据大边对大角，故C正确； 对于D：由于，则，故或，故D错误． 故选： 直接利用向量的共线，向量的数量积运算，正弦定理，三角形形状的判定求出结果． 本题考查的知识点：向量的共线，向量的数量积运算，正弦定理，三角形形状的判定，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 6.【答案】BD  【解析】【分析】根据向量数量积的定义及运算律可计算并判断A，B；利用正弦定理将边化角，结合二倍角公式可计算并判断C；利用单位向量和共线向量的定义可判断 【详解】对于A，由可得，即， 所以，即，所以所以与的夹角为锐角或零角，故A错误； 对于B，因为，所以，又因为为两两非共线向量，则，所以，故B正确； 对于C，因为，则有，即， 所以或，即或，所以三角形ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误； 对于D，为单位向量，若与同向共线，则；若与反向共线，则故D正确. 故选： 7.【答案】ABD  【解析】【分析】利用正弦定理判断A，利用余弦定理判断B，利用正弦定理将边化角，再由二倍角公式判断C；根据正弦定理及题设可得，易得C最大，进而结合余弦定理求解判断 【详解】对于A，因为，由正弦定理可得，所以，故A正确； 对于B，由余弦定理，可知C为钝角， 即为钝角三角形，故B正确； 对于C，因为，所以，即， 又，所以，， 所以或， 即或，即为等腰三角形或直角三角形，故C错误； 对于D，由，根据正弦定理的， 显然c最大，则C最大，设，， 则， 又，所以，故D正确. 故选： 8.【答案】  【解析】解：因为点D，E分别是边AB，BC的中点，所以  ， 因为  ，所以  ， 所以  . 因为  ，  ，  ， 所以   . 故答案为 9.【答案】  【解析】解：平面内点，点， ， 把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P， 即等同于点B绕点A沿逆时针方向旋转后得到点P， ， 又，解得 故答案为： 根据新定义求出向量的坐标，进而求得点P的坐标． 本题考查平面向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 10.【答案】由正弦定理可得，化简可得， 故，因为，所以； 因为，所以， 由正弦定理得，易知，所以， 因为，所以， 所以，故   【解析】根据已知得，再应用余弦边角关系求角； 根据已知及得，应用正弦边角关系易得，再应用三角形内角关系及和角正弦公式可得，变形整理即可证. 11.【答案】【详解】因为， 由正弦定理可得， 整理可得， 由余弦定理得，所以，所以 又因为，所以 因为，由正弦定理得， 可得，， 因为，所以， 则， 又，则， 当，即时，取得最大值为 由题意知：， 由知，即， 因为CD为AB边上的中线，所以， 两边平方得， 所以， 联立方程组，解得，所以， 所以的面积   【解析】【分析】由正弦定理得到，再由余弦定理，求得，即可求解； 根据正弦定理，得到，，化简得到，进而结合正弦函数的性质即可求解； 由得到，再由CD为AB边上的中线，利用，得到，联立方程组，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 12.【答案】解：因为，，，所以，所以， 连接KA，KB，KC，将分割为，，根据“莱莫恩点”的定义， 点K到三边的距离分别为，， 所以 代入已知数据，得，故 由可知， 如图，延长AK交BC于点D，根据面积法可知， 所以 另一方面，因为与同底，所以K，A到BC的距离之比等于三角形面积之比， 即，所以， 所以 为等腰三角形或直角三角形. 由可知， 由知，所以， 展开得， 又因为，，所以 因为b，，所以有以下两种情况： ，即，此时为等腰三角形; ，即，此时为直角三角形. 综上所述，为等腰三角形或直角三角形.  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 13.【答案】解：由题意可得 解法一：由得 ， 因为D为BC的中点，所以， 从而， ， 所以， 故向量、夹角的余弦值为 . 解法二：因为， 又因为，所以， 所以为等腰直角三角形， 如图，以C为原点，的方向为x轴的正方向，的方向为y轴的正方向，建立平面直角坐标系. 可得、、、、， 则，， 所以， 故向量、夹角的余弦值为 . 解法三：因为， 又因为，所以， 所以为等腰直角三角形， 如图，以A为原点，的方向为x轴的正方向，建立平面直角坐标系. 可得、、、、、 ， 从而，， 所以， 故向量、夹角的余弦值为   【解析】【分析】利用平面向量的减法可得出关于、的表达式； 解法一：利用平面向量数量积的运算性质可求得向量、夹角的余弦值； 解法二：推导出为等腰直角三角形，然后以C为原点，的方向为x轴的正方向，的方向为y轴的正方向建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标表示可求得结果； 解法三：推导出为等腰直角三角形，然后以C为原点，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可求得结果. 14.【答案】解：因为，， 所以， ， 因为E为线段BC的中点， 所以， 设，则，， ， 又共线， 所以存在一个实数，使得， 则， 两式相除可得，即BF：： 设，； ，，， 因为， 所以， 可得，解得， 所以， 由对勾函数的性质可得时，  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 15.【答案】解：由题意可知，、的夹角为， 由平面向量数量积的定义可得， 因为，则， 则，所以； 由，，得，， 且， 所以，， ， 则， ， 因为与的夹角为，则，解得 又，，所以 依题意设、， 且，，， 因为F为BC的中点， 则， 因为E为BD中点，同理可得， 所以，， 由题意可知，，， 则， 由得，所以， 代入上式得， 由可求得取最大值为， 则  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $