精品解析：浙江台州市2026年九年级教学质量评估试题 数学

台州市2026年九年级教学质量评估试题 数学 考生注意： 1.本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分120分，考试时间120分钟． 2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在答题纸规定的位置上． 3.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 4.本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 5.本试题卷中“连接”与“连结”同义． 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 下列四个数中最小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 将一块含角的直角三角板和一把直尺按如图所示的方式摆放，若，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，．将向右平移得到，点B，，C，在同一直线上，边与边交于点G．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 5 7. 已知点，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 某篮球队原来有10名队员，他们的身高（单位：）数据如下：163，164，166，166，172，172，174，176，180，190．后来招收了一名新队员，其身高数据也被纳入到原来队员的身高数据中．对比前后两组数据，下列统计量一定保持不变的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数 9. 一条鱼的销售方式有两种：①整鱼销售；②分割成鱼头和鱼身两部分销售（不计分割损耗）．已知整鱼、鱼头部分、鱼身部分的单价分别为24元/千克、36元/千克、16元/千克．若分割销售的总额不少于整鱼销售额，则分割时鱼头部分的质量占整鱼质量的百分比至少为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在圆内接四边形中，是圆的直径，过点C作于点E，连接．若， ，，则的面积为（ ） A. 16 B. 15 C. 12 D. 10 非选择题部分 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：__________． 12. 使代数式有意义的的取值范围是______． 13. 从甲、乙、丙三人中随机选取2人参加学校举办的“水资源保护”知识竞赛活动，则甲被选中的概率为______． 14. 如图是笔直杠杆的示意图．已知，支点离水平地面的高度为．当杠杆的端点落到地面时，端点离地面的高度为，则的长度为_______． 15. 如图，在平行四边形中，过点作于点，连接．若，，则的值为______． 16. 逢k进一的数称为k进制数，k为大于1的整数．k进制的n位数可以表示为，其中n为正整数，均为小于k的自然数，且 ．k进制数可以化为常见的十进制数，公式如下：．例如，十六进制的两位数，二进制的三位数．已知，则y关于x的函数关系式是______； 的最小值为______． 三、解答题（本题有8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解方程组：． 19. 如图，在中，点，分别是 ，中点，连接，的平分线交于点． （1）求证： ． （2）若，，求的长． 20. 某校为了解七、八年级学生对“航空航天”知识的掌握情况，在两个年级中随机抽取了部分学生进行测试．现将测试成绩（单位：分）按级（测试成绩）、级（测试成绩）、级（测试成绩）三个等级进行整理与分析． 七年级学生测试成绩：68，68，72，73，74，82，82，85，85，85，92，92； 八年级学生测试成绩：60，69，69，77，79，82，84，84，84，88，90，90，93，93，94． 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全七年级学生测试成绩条形统计图． （2）求八年级学生测试成绩扇形统计图中级所对应的圆心角的度数． （3）已知该校七年级有名学生，八年级有名学生，估计全校七年级和八年级总共有多少名学生测试成绩能够达到A级． 21. 综合实践活动：求甲、乙两个圆形薄板的直径（已知甲的直径小于乙的直径）．工具：自制的矩形直尺（边长 ，边从点A至点D标有刻度）．小明的做法：如图1，将矩形直尺放置在圆形薄板甲上，使点A，B都恰好落在薄板的边缘，边分别交薄板的边缘于点E，F，从直尺刻度中读出 ．小明认为线段就是圆形薄板甲的一条直径，接着通过计算求出长度．如图2，将矩形直尺放置在圆形薄板乙上，点A恰好落在薄板的边缘，边与薄板的边缘交于点M，边与薄板的边缘相切于点G，从直尺刻度中读出．接着添加辅助线，通过推理和计算求出圆形薄板乙的直径长度． （1）请你帮助小明说出图1中是圆形薄板甲的直径的理由，并求出的长度． （2）按照小明的做法，请你在图2中添加辅助线，通过推理和计算求出圆形薄板乙的直径长度． 22. 为顺利完成某条直道上的光缆铺设工程，甲、乙两个工程队计划分别以直道两端为开工起点，各自以预定速度同时相向铺设光缆，直至工程完工．开工几天后，甲队有若干名工人因故离队，造成施工速度下降，导致整个工程工期延长．设铺设光缆时间为x（单位：天），此时，工程队铺设光缆的地点到甲队开工起点的距离为y（单位：米），甲、乙两队y关于x的函数关系分别如图所示． （1）完成这个光缆铺设工程用了多少天? （2）求乙队y关于x的函数关系式． （3）甲队若干名工人离队导致工期比原计划延长了多少天? 23. 已知点在二次函数（a为常数，且）的图象上． （1）求a的值． （2）点，均在二次函数的图象上． ①当点B与点A重合时，求点C的坐标； ②当时，函数值的范围是，求k的最大值． 24. 如图，在正方形中，点E，F分别是边上的动点（不包含端点）， 于点G， 于点M， ． （1）如图1，求证： ． （2）如图2，过点E作 分别交 于点H，N． ①求证：四边形 为正方形； ②求证： ； ③若，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 台州市2026年九年级教学质量评估试题 数学 考生注意： 1.本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分120分，考试时间120分钟． 2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在答题纸规定的位置上． 3.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 4.本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 5.本试题卷中“连接”与“连结”同义． 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 下列四个数中最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据有理数大小比较规则：正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，比较即可得到答案． 【详解】解：∵ ，，， ∴ ， 又∵ 所有负数都小于正数， ∴ ， ∴ 四个数中最小的数是． 2. 如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，根据主视图是从正面看到的图形求解即可． 【详解】解：该几何体的主视图为， 故选：A． 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式乘法法则，分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的积作为积的分母，再约去公因式即可． 【详解】解：． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的基本运算，需运用合并同类项法则，同底数幂的乘除法则，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵ 与不是同类项，不能合并， ∴ 选项A、B均错误； ∵ 根据同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得 ， ∴ 选项C正确； ∵ 根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得 ， ∴ 选项D错误． 5. 将一块含角的直角三角板和一把直尺按如图所示的方式摆放，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：如图，由题意得，， ∴， ∵， ∴． 6. 如图，在中，．将向右平移得到，点B，，C，在同一直线上，边与边交于点G．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移的性质求得四边形是矩形，，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由平移的性质得，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴． 7. 已知点，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质逐项判断即可． 【详解】解： ，在反比例函数的图象上，且， ，符号相同， ，符号相同， ． 8. 某篮球队原来有10名队员，他们的身高（单位：）数据如下：163，164，166，166，172，172，174，176，180，190．后来招收了一名新队员，其身高数据也被纳入到原来队员的身高数据中．对比前后两组数据，下列统计量一定保持不变的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数 【答案】B 【解析】 【分析】分别根据各统计量的定义，对比加入新数据前后的变化，判断一定不变的统计量即可. 【详解】解：原数据已按从小到大排序，共10个数据，原中位数为第5个和第6个数据的平均数， ∵第5个数据为，第6个数据为，∴原中位数为. 加入1个新数据后，总数据共11个，中位数为第6个数据： 若新队员身高，排序后该身高数据在新数据列的第6位或之前，此时新数据列的第6个数据必为172； 若新队员身高，插入原数据第7位及之后，前6个数据不变，第6个数据仍为； 因此新数据的中位数仍为，中位数一定不变； 对其他选项分析： A 平均数受每个数据影响，新队员身高不确定，平均数不一定不变，A错误； C 方差反映数据波动程度，数据改变后方差不一定发生变化，C错误； D 原众数为和，若新队员身高为，新众数仅为，众数改变，D错误． 9. 一条鱼的销售方式有两种：①整鱼销售；②分割成鱼头和鱼身两部分销售（不计分割损耗）．已知整鱼、鱼头部分、鱼身部分的单价分别为24元/千克、36元/千克、16元/千克．若分割销售的总额不少于整鱼销售额，则分割时鱼头部分的质量占整鱼质量的百分比至少为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设整鱼总质量为，鱼头质量占整鱼质量的百分比为，则鱼头质量为，鱼身质量为.，根据题意列不等式求解即可得到结果． 【详解】解：设整鱼总质量为，鱼头质量占整鱼质量的百分比为，则鱼头质量为，鱼身质量为， ∵分割销售的总额不少于整鱼销售额， ∴可得不等式 ， ∵，两边同时除以得 ， 展开整理得 ， 解得 ， 因此鱼头部分的质量占整鱼质量的百分比至少为． 10. 如图，在圆内接四边形中，是圆的直径，过点C作于点E，连接．若， ，，则的面积为（ ） A. 16 B. 15 C. 12 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】过点作 ，交的延长线于点，证明，求出 ，分别证明，得出 ， ，得出，根据三角形面积公式可求出． 【详解】解：过点作 ，交的延长线于点，如图， ∵是的直径， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ，， ∴， ∴ （负值舍去）， ∵， ∴ ， ∵， ， ∴； 在 和中， ， ∴， ∴； 在和 中， ， ∴ ∴， ∴， ∴． 非选择题部分 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式是解题关键． 使用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 使代数式有意义的的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出一元一次不等式求解，即可得到的取值范围． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数为非负数，可得， 解得． 13. 从甲、乙、丙三人中随机选取2人参加学校举办的“水资源保护”知识竞赛活动，则甲被选中的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】先列举出从三人中随机选取2人的所有等可能结果，再找出甲被选中的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：从甲、乙、丙三人中随机选取2人，所有等可能的结果为：甲乙，甲丙，乙丙，共种， 其中甲被选中的结果有甲乙，甲丙，共种， 根据概率公式，可得甲被选中的概率． 14. 如图是笔直杠杆的示意图．已知，支点离水平地面的高度为．当杠杆的端点落到地面时，端点离地面的高度为，则的长度为_______． 【答案】120 【解析】 【分析】利用相似三角形的判定和性质计算即可． 【详解】解：如图，作水平地面于点 ， ， ， ， ， ，，， ， ． 15. 如图，在平行四边形中，过点作于点 ，连接 ．若，，则 的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】过作 于点，则，由四边形是平行四边形，得，，证明，所以，，然后代入即可求解． 【详解】解：如图，过作 于点，则， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 16. 逢k进一的数称为k进制数，k为大于1的整数．k进制的n位数可以表示为，其中n为正整数，均为小于k的自然数，且 ．k进制数可以化为常见的十进制数，公式如下：．例如，十六进制的两位数，二进制的三位数．已知，则y关于x的函数关系式是______； 的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 13 【解析】 【分析】先根据k进制数化为十进制数的公式，分别将、、转化为十进制数，再根据等式关系求出y关于的函数关系式，最后根据、y的取值范围求出 的最小值． 【详解】解：根据公式得： ； ； ； ∵ ∴， , ， ∴； 由可得 ， 因为且x为整数，所以x的最小值为7， 当时，，不满足，舍去； 当时，，满足； ∴此时 的最小值为． 综上，y关于x的函数关系式是； 的最小值为13． 三、解答题（本题有8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】通过立方根定义，绝对值的意义，负整数指数幂进行计算即可． 【详解】解： ． 18. 解方程组：． 【答案】． 【解析】 【分析】根据加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， 得： 得：， 把，代入，得， 所以原方程组的解为． 19. 如图，在中，点 ， 分别是 ，中点，连接，的平分线交于点． （1）求证： ． （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵平分， ∴， ∵点 ， 分别是 ，中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴ ； （2） 【解析】 【分析】（1）先由角平分线得，再用三角形中位线定理证 ，得，通过等量代换即可得证； （2）先用中位线定理求出的长，由 算出，再结合第一问的等角对等边得出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点 ， 分别是 ，中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴ ， ∵ ， ∴． 20. 某校为了解七、八年级学生对“航空航天”知识的掌握情况，在两个年级中随机抽取了部分学生进行测试．现将测试成绩（单位：分）按级（测试成绩）、级（测试成绩）、级（测试成绩）三个等级进行整理与分析． 七年级学生测试成绩：68，68，72，73，74，82，82，85，85，85，92，92； 八年级学生测试成绩：60，69，69，77，79，82，84，84，84，88，90，90，93，93，94． 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全七年级学生测试成绩条形统计图． （2）求八年级学生测试成绩扇形统计图中级所对应的圆心角的度数． （3）已知该校七年级有名学生，八年级有名学生，估计全校七年级和八年级总共有多少名学生测试成绩能够达到A级． 【答案】（1） 补全七年级学生测试成绩条形统计图如图， （2）； （3）名． 【解析】 【分析】（ ）先求出七年级级人数为人，然后补全统计图即可； （）根据八年级等级的人数和调查的总人数，可以计算出扇形统计图中“”对应扇形的圆心角的度数； （）利用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：七年级级人数为：（人）， 图略； 【小问2详解】 解：， 答：八年级学生测试成绩扇形统计图中级所对应的圆心角的度数为； 【小问3详解】 解：由样本估计总体得，（人）， 答：估计全校七年级和八年级总共有名学生测试成绩能够达到级． 21. 综合实践活动：求甲、乙两个圆形薄板的直径（已知甲的直径小于乙的直径）．工具：自制的矩形直尺（边长 ，边从点A至点D标有刻度）．小明的做法：如图1，将矩形直尺放置在圆形薄板甲上，使点A，B都恰好落在薄板的边缘，边分别交薄板的边缘于点E，F，从直尺刻度中读出 ．小明认为线段就是圆形薄板甲的一条直径，接着通过计算求出长度．如图2，将矩形直尺放置在圆形薄板乙上，点A恰好落在薄板的边缘，边与薄板的边缘交于点M，边 与薄板的边缘相切于点G，从直尺刻度中读出．接着添加辅助线，通过推理和计算求出圆形薄板乙的直径长度． （1）请你帮助小明说出图1中是圆形薄板甲的直径的理由，并求出的长度． （2）按照小明的做法，请你在图2中添加辅助线，通过推理和计算求出圆形薄板乙的直径长度． 【答案】（1） 解：理由：的圆周角所对的弦是直径． 因为矩形直尺， 所以， 所以. 又因为，， 所以． （2）圆形薄板乙的直径为10cm 【解析】 【分析】（1）根据的圆周角所对的弦是直径解答；再根据勾股定理求出解即可； （2）设圆心为O，连结，圆形薄板半径为，先根据切线的性质得，进而得出 ，再根据垂径定理得，然后根据勾股定理求出半径，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设圆心为O，连结，圆形薄板半径为 . 因为 与相切于点G， 所以． 又因为矩形直尺对边平行， 所以 ， 所以， 所以. 解得， 即圆形薄板乙的直径为10cm． 22. 为顺利完成某条直道上的光缆铺设工程，甲、乙两个工程队计划分别以直道两端为开工起点，各自以预定速度同时相向铺设光缆，直至工程完工．开工几天后，甲队有若干名工人因故离队，造成施工速度下降，导致整个工程工期延长．设铺设光缆时间为x（单位：天），此时，工程队铺设光缆的地点到甲队开工起点的距离为y（单位：米），甲、乙两队y关于x的函数关系分别如图所示． （1）完成这个光缆铺设工程用了多少天? （2）求乙队y关于x的函数关系式． （3）甲队若干名工人离队导致工期比原计划延长了多少天? 【答案】（1）14天 （2） （3）2天 【解析】 【分析】（1）由函数图象即可得到答案； （2）用待定系数法求函数解析式即可； （3）由原计划甲队y关于x的函数解析式，得到，求出，计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：由图象得完成这个光缆铺设工程用了天； 【小问2详解】 解：设乙队y关于x的函数关系式为， 把，代入得， 解得， 则乙队y关于x的函数解析式； 【小问3详解】 解：， 原计划甲队y关于x的函数解析式， 甲、乙两队完成光缆工程需满足， 解得， （天）， 答：甲队工人离队导致工期比原计划延长了2天． 23. 已知点在二次函数（a为常数，且）的图象上． （1）求a的值． （2）点，均在二次函数的图象上． ①当点B与点A重合时，求点C的坐标； ②当时，函数值的范围是，求k的最大值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）把代入可求出； （2）①由点B与点A重合得，，表示出点C的坐标为，代入函数解析式可得，解方程求出的值，从而确定点C的坐标； ②求出抛物线的对称轴是直线 ，由当时，函数值的范围是得出，由，在图象上求出，从而可得出结论． 【小问1详解】 解：把代入，得， 解得； 【小问2详解】 解：①∵， ∴； ∵点B与点A重合， ∴，， ∴点C的坐标为， ∴， 解得或， ∵ ， ∴， ∴点C的坐标为； ②∵， ∴抛物线的对称轴是直线 ， ∵当时，函数值的范围是， ∴； ∵，在图象上， ∴， 解得， ∴， ∴，即， 所以k的最大值为2．. 24. 如图，在正方形中，点E，F分别是边上的动点（不包含端点）， 于点G， 于点M， ． （1）如图1，求证： ． （2）如图2，过点E作 分别交 于点H，N． ①求证：四边形 为正方形； ②求证： ； ③若，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） 解：∵正方形， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 在 和 中， ∴； （2） ①证明：∵ ， ， ∴ ， ∴四边形 为矩形， ∵四边形为正方形， ∴ ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∴四边形 为正方形； ②证明：延长 交 于点K， ∵四边形为正方形， ∴ ． 又∵四边形 为正方形， ∴ ． ∵四边形 为矩形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴ ； ③ 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质及垂直的性质得到 ，根据等角的补角相等得到 ，根据即可证明 ； （2）①根据 ， 得到 ，根据正方形的性质得到 ，根据 得到 ，进而得到 ，即可证明四边形 为正方形； ②延长 交 于点K，根据正方形的性质得到 ， ，根据矩形的性质得到 ， ，根据全等三角形的性质得到 ， ，进而得到 ，证明 ，得到 ，即可证明 ； ③取中点O，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到 ，延长交于P，则四边形 是矩形，得到 ， ，根据正方形的性质得到 ，进而得到 ，证明，得到 ，可知 ，根据 得到，即可得到的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②略 ③解：取中点O，连接， ∵ ∴ 延长交于P， ∴四边形 是矩形， ∴ ， ， ∵四边形 为正方形， ∴ ∴ ∵ ， ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴， ∴ ， ∴ ∴ ∵ ， ∴ ∴ ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $