精品解析：河南省平顶山市2026年中招学科第一次调研试卷 九年级数学

2026年中招学科第一次调研试卷 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 四个城市某日的平均气温如表所示，其中平均气温最低的城市是（ ） 城市 甲 乙 丙 丁 平均气温 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 2. 榫卯结构是中国传统建筑文化的瑰宝，如图是一种卯，其主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 据报道，我国某科研团队近期成功研制出一种新闪存器件，其快速擦写速度全球领先．已知1皮秒等于秒，该器件执行一次擦写需要400皮秒，用科学记数法表示400皮秒为（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 4. 某市为尽快了解义务教育阶段劳动课程开设及实施的情况，现面向全市义务教育阶段的学校进行抽样调查，下列抽样方式较合适的是（ ） A. 随机抽取城区三分之一的学校 B. 随机抽取乡村三分之一的学校 C. 调查全体学校 D. 随机抽取三分之一的学校 5. 某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，对角线与相交于点O，点E，F分别在，上，且，已知，，则的长为（ ） A. B. 3 C. D. 4 8. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ） A. B. C. D. 9. 在中，，，以点O为圆心作，与边相切于点C，且交边于点D，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 某品牌储水机的容量是升，当加水加满时，储水机会自动停止加水．已知加冷水后储水机内的水量（升）和时间（分钟）的图象如图所示，加水过程中，水的温度（摄氏度）和（分钟）的关系为：．下列结论错误的是（ ） A. 加冷水前，储水机内的水量为升 B. 加冷水前，储水机内水的温度为 C. 储水机中的水加满时，储水机内水的温度为 D. 当储水机内水的温度达到时，加冷水量为升 二、填空题：（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个系数为，次数为的单项式：_______． 12. 不等式组的解集为_______． 13. 为了丰富学生的课余生活，某校准备举行趣味运动会，共设A，B，C三种项目．规定每人只能参加一个项目，学校利用计算机软件随机分配，则小萌和小聪被分配到同一项目组的概率为_______． 14. 如图，已知是矩形的一条对角线，，．以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，则的长为_______．（结果保留π） 15. 如图，点P是正方形边上的一动点，连接，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接．若，当时，线段的长为_______． 三、解答题：（本大题共8道小题，满分75分） 16. 计算 （1）计算：． （2）化简：． 17. 每年的6月6日是全国爱眼日，某校为了解八年级学生的视力健康状况，从该年级学生今年的体检结果中随机抽取了m名学生的视力数据，将所得视力数据进行整理、描述、分析，部分信息如下．分为5组：①组：；②组：；③组：；④组：；⑤组：． 请根据所给信息，解答下列问题： （1）填空：_______，这m名学生视力的中位数落在第_______组； （2）补全频数统计图； （3）该校八年级共有600名学生． ①该校八年级学生的视力在范围内的人数约为_______名； ②从去年同期这600名学生的体检结果中可知，视力在范围内的人数320人．请说明这600名学生今年和去年视力在范围内的人数变化情况，并提一条保护学生视力的合理化建议． 18. 如图，内接于，，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若（1）中所作的角平分线与相交于点，与相交于另一个点，连接．求证：． 19. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，边经过原点O，点A，B关于y轴对称，交y轴于点E，交x轴于点G，连接，交x轴于点F，反比例函数的图象经过点B，C．已知点A的坐标为． （1）求反比例函数的表达式； （2）求图中阴影部分的面积； （3）将向上平移，当点D落在反比例函数的图象上时，平移的距离为_______． 20. 如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点O，景点A，B分别在道路a，b上．为了方便游客，景区管委会在道路b上修建了一个休息区C．经测得景点A位于休息区C的西偏南方向上，景点B位于景点A北偏东方向上，已知． （1）的度数为_______； （2）求景点B到休息区C之间的距离．（参考数据：，结果精确到） 21. 某公司计划采购一批智能机器人，共有，两款．如果购买5台款机器人和4台款机器人，则一共花费22万元；如果购买3台款机器人和8台款机器人，则一共花费30万元． （1），两款机器人的单价分别为多少? （2）如果该公司计划购买，两款机器人共15台（两款都要买），且购买款的数量不超过款的两倍，那么最省钱的购买方案是什么?最省钱的购买方案需要多少资金? 22. 现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以为坐标原点，所在的直线为轴，过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点到的距离为． （1）求满足设计要求的抛物线的表达式； （2）现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在抛物线上的点，处分别安装照明灯（点，到路面的距离相等），规定：照明灯距离路面的高度的取值范围是．师傅安装完照明灯后，测得两点，间的距离为，请你判断是否符合规定?说明理由． 23. 在四边形中，，，且，．点P是线段上一动点（点P不与点A重合），连接，作关于直线的对称，点A的对应点为点E． （1）观察猜想：如图1，_______，连接，当点P为的中点时，的形状是_______； （2）探究证明：如图2，设与的延长线相交于点F，连接，当时，判断四边形的形状，并说明理由； （3）拓展延伸：已知，当与四边形的边垂直时，直接写的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中招学科第一次调研试卷 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 四个城市某日的平均气温如表所示，其中平均气温最低的城市是（ ） 城市 甲 乙 丙 丁 平均气温 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查有理数的大小比较，根据有理数大小比较法则比较四个城市的平均气温，即可找出气温最低的城市． 【详解】根据有理数大小比较法则比较四个温度： ∵负数小于，小于正数，两个负数比较大小，绝对值更大的数更小．，，， ∴． ∴可得四个温度的大小关系为， ∴平均气温最低为，对应城市丁． 2. 榫卯结构是中国传统建筑文化的瑰宝，如图是一种卯，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据主视图的特征可得卯的主视图是． 3. 据报道，我国某科研团队近期成功研制出一种新闪存器件，其快速擦写速度全球领先．已知1皮秒等于秒，该器件执行一次擦写需要400皮秒，用科学记数法表示400皮秒为（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，需先根据单位换算得到400皮秒对应的秒数，再整理为符合要求的科学记数法，科学记数法的表示形式为，其中，为整数． 【详解】解：∵皮秒秒， ∴皮秒秒， 秒． 4. 某市为尽快了解义务教育阶段劳动课程开设及实施的情况，现面向全市义务教育阶段的学校进行抽样调查，下列抽样方式较合适的是（ ） A. 随机抽取城区三分之一的学校 B. 随机抽取乡村三分之一的学校 C. 调查全体学校 D. 随机抽取三分之一的学校 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查的可靠性，样本具有代表性是指抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现．如果抽取的样本得当，就能很好地反映总体的情况，否则抽样调查的结果会偏离总体情况． 【详解】解：A、随机抽取城区三分之一的学校，调查不具代表性，故本选项不符合题意； B、随机抽取乡村三分之一的学校，调查不具广泛性，故本选项不符合题意； C、调查全体学校，虽全面，但耗时耗力，不符合“尽快”要求，故本选项不符合题意； D、随机抽取三分之一的学校，调查具有广泛性、代表性，故本选项符合题意； 故选：D． 5. 某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质得到，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选：B． 6. 《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，属于相遇问题，需根据两者相向而行，相遇时路程之和为全程（即1），再建立方程即可. 【详解】解：设相遇时间为天，野鸭从南海到北海需7天，故其速度为（全程/天）； 大雁从北海到南海需9天，故其速度为（全程/天）， ∴方程为， 故选：A 7. 如图，在中，对角线与相交于点O，点E，F分别在，上，且，已知，，则的长为（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意判断，由相似三角形的性质得到，即可得到答案． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， ， ． 8. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式，先列出需满足的条件：二次项系数不为0，且判别式，求出的取值范围，再逐一验证选项，选出符合条件的答案． 【详解】解： 方程是一元二次方程，且有两个不相等的实数根 ， ， ， 即的取值范围是且， 选项A： ，，且，满足取值范围， A项正确，符合题意； 选项B：， ，不满足， B项错误，不符合题意； 选项C：， ，不满足， C项错误，不符合题意； 选项D： ，，不满足 ， D项错误，不符合题意． 9. 在中，，，以点O为圆心作，与边相切于点C，且交边于点D，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据题意得到，由相切得到，根据，证明，故，再由即可得到答案． 【详解】解：连接， ，， ， 与相切， ，即， ， ， ， ， ， ． 10. 某品牌储水机的容量是升，当加水加满时，储水机会自动停止加水．已知加冷水后储水机内的水量（升）和时间（分钟）的图象如图所示，加水过程中，水的温度（摄氏度）和（分钟）的关系为：．下列结论错误的是（ ） A. 加冷水前，储水机内的水量为升 B. 加冷水前，储水机内水的温度为 C. 储水机中的水加满时，储水机内水的温度为 D. 当储水机内水的温度达到时，加冷水量为升 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象可判断A选项；在中，当时，，可判断B选项；设加冷水后储水机内的水量（升）和时间（分钟）的关系为，代入，，可得，当时，，代入，可得，可判断C选项；由，可得，代入，可得，减去加冷水前的水量，可得加冷水量，可判断D选项． 【详解】解：由加冷水后储水机内的水量（升）和时间（分钟）的图象可知， 当时，， ∴加冷水前，储水机内的水量为升， ∴选项A正确，不符合题意； 加水过程中，水的温度（摄氏度）和（分钟）的关系为：， 当时，， ∴加冷水前，储水机内水的温度为， ∴选项B正确，不符合题意； 设加冷水后储水机内的水量（升）和时间（分钟）的关系为：， 代入，， 可得， 解得， ∴， ∵储水机的容量是升， ∴当加水加满时，， ∴， 解得， 将，代入， 可得， ∴储水机中的水加满时，储水机内水的温度为， ∴选项C正确，不符合题意； 当储水机内水的温度达到时，， 解得， 将，代入， 可得， （升）， ∴当储水机内水的温度达到时，加冷水量为升， ∴选项D错误，符合题意． 二、填空题：（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个系数为，次数为的单项式：_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据单项式系数与次数的定义求解，满足单项式系数为，次数为即可，答案不唯一． 【详解】解：系数为，次数为的单项式可以写为． 12. 不等式组的解集为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求解两个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集． 【详解】解∶解不等式，得， ∴不等式组的解集为． 13. 为了丰富学生的课余生活，某校准备举行趣味运动会，共设A，B，C三种项目．规定每人只能参加一个项目，学校利用计算机软件随机分配，则小萌和小聪被分配到同一项目组的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】首先确定小萌和小聪分配项目的所有可能结果，再找出两人分配到同一项目组的结果数，最后根据概率公式（为总结果数，为符合条件的结果数）计算概率． 【详解】解：用列表法列出所有可能的分配情况： 小萌/小聪 总结果数， 其中小萌和小聪被分配到同一项目组的结果有，共种， ∴． 14. 如图，已知是矩形的一条对角线，，．以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，则的长为_______．（结果保留π） 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质得到，求出，根据题意得到，，求出，再利用弧长公式进行计算即可． 【详解】解：矩形，， ， ， ， 以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E， ， ， ， ． 15. 如图，点P是正方形边上的一动点，连接，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接．若，当时，线段的长为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况讨论：①当点P在边上时，过点E作，交的延长线于点F，则．根据正方形的性质得到，，根据旋转的性质得到，，因此，证得，得到，，，根据勾股定理在中求出即可．②当点P在边上时，与①同理可求解． 【详解】解∶分两种情况讨论： ①当点P在边上时，过点E作，交的延长线于点F，则． ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∵线段绕点P逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴在中，． ②当点P在边上时，过点E作，交的延长线于点G，则． ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∵线段绕点P逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴在中，． 综上所述，线段的长为或． 三、解答题：（本大题共8道小题，满分75分） 16. 计算 （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）原式先化简绝对值、算术平方根以及负整数指数幂，再算乘法，最后进行加减运算即可； （2）原式先算分式的除法，再算同分母分式的减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 每年的6月6日是全国爱眼日，某校为了解八年级学生的视力健康状况，从该年级学生今年的体检结果中随机抽取了m名学生的视力数据，将所得视力数据进行整理、描述、分析，部分信息如下．分为5组：①组：；②组：；③组：；④组：；⑤组：． 请根据所给信息，解答下列问题： （1）填空：_______，这m名学生视力的中位数落在第_______组； （2）补全频数统计图； （3）该校八年级共有600名学生． ①该校八年级学生的视力在范围内的人数约为_______名； ②从去年同期这600名学生的体检结果中可知，视力在范围内的人数320人．请说明这600名学生今年和去年视力在范围内的人数变化情况，并提一条保护学生视力的合理化建议． 【答案】（1）40；③ （2） 补全统计图如下： （3）①240； ②今年学生视力在范围内的人数相比去年减少较多， ∵， ∴今年视力在范围内的人数相比去年减少较多，建议： 读书时，坐姿要端正，不要在光线不好的地方看书；保证充足的睡眠，饮食均衡；减少电子产品的使用（合理即可）． 【解析】 【分析】（1）用第③组的人数除以其人数占比可求出m的值，再根据中位数的定义求解即可； （2）根据（1）所求求出第④组的人数，进而补全统计图即可； （3）①用600乘以样本中视力在范围内的人数占比即可得到答案；②比较数据发现今年学生视力在范围内的人数相比去年减少较多，据此提出合理的建议即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴第②组的人数为名， 把这40名学生的视力按照从低到高的顺序排列，中位数为第20个数据和第21个数据的平均数， ∵， ∴第20个数据和第21个数据都在第③组， ∴这m名学生视力的中位数落在第③组； 【小问2详解】 解：由（1）得第②组的人数为8名， ∴第④组的人数为（名）， 补全统计图略 【小问3详解】 解：①（名）， ∴该校八年级学生的视力在范围内的人数约为240名； ②略 18. 如图，内接于，，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若（1）中所作的角平分线与相交于点，与相交于另一个点，连接．求证：． 【答案】（1）如图，射线即为所求； （2）证明：，， ， 平分， ， ，， 所对的圆周角，所对的圆周角， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的尺规作图方法，以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧交于一点，过点与该交点作射线，即为的平分线． （2）先根据等腰三角形性质和三角形内角和求出各内角的度数，再结合角平分线的定义、圆周角定理，证明弧与弧相等，进而根据等弧对等弦证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，边经过原点O，点A，B关于y轴对称，交y轴于点E，交x轴于点G，连接，交x轴于点F，反比例函数的图象经过点B，C．已知点A的坐标为． （1）求反比例函数的表达式； （2）求图中阴影部分的面积； （3）将向上平移，当点D落在反比例函数的图象上时，平移的距离为_______． 【答案】（1） （2）6 （3）2 【解析】 【分析】（1）利用轴对称的性质求得点B的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）证明，推出，根据阴影部分的面积，据此计算即可求解； （3）设将向上平移个单位，点D落在反比例函数的图象上，即点落在反比例函数的图象上，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵点，B关于y轴对称， ∴点B的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点B， ∴， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵反比例函数的图象经过点B，C， ∴点C，B关于原点对称， ∴点C的坐标为， ∵点A的坐标为， ∴点A，C关于x轴对称， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴阴影部分的面积； 【小问3详解】 解：由（2）得点D的坐标为， 设将向上平移个单位，点D落在反比例函数的图象上， 即点落在反比例函数的图象上， ∴， 解得． 即将向上平移2个单位，点D落在反比例函数的图象上． 20. 如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点O，景点A，B分别在道路a，b上．为了方便游客，景区管委会在道路b上修建了一个休息区C．经测得景点A位于休息区C的西偏南方向上，景点B位于景点A北偏东方向上，已知． （1）的度数为_______； （2）求景点B到休息区C之间的距离．（参考数据：，结果精确到） 【答案】（1）15° （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得：，，由可得结果； （2）解得，解得，求出即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：，， ∴； 【小问2详解】 解：在中，，， ∴， ∴， ∴； 在中，，，， ∴， ∴, ∴， ∴ 21. 某公司计划采购一批智能机器人，共有，两款．如果购买5台款机器人和4台款机器人，则一共花费22万元；如果购买3台款机器人和8台款机器人，则一共花费30万元． （1），两款机器人的单价分别为多少? （2）如果该公司计划购买，两款机器人共15台（两款都要买），且购买款的数量不超过款的两倍，那么最省钱的购买方案是什么?最省钱的购买方案需要多少资金? 【答案】（1）款机器人的单价为2万元，款机器人的单价3万元 （2）购买10台款机器人，5台款机器人最省钱，最省钱费用为35万元 【解析】 【分析】（1）设款机器人的单价为万元，款机器人的单价为万元，利用购买的价格购买的价格购买总价，列出方程组解答即可； （2）设购买款机器人台，则购买款机器人台，总费用为万元，利用总费用购买的价格购买的价格列出表达式，再根据购买款的数量不超过款的两倍，得出取值范围即可解答． 【小问1详解】 解：设款机器人的单价为万元，款机器人的单价为万元． 则， 解得：， 答：款机器人的单价为2万元，款机器人的单价3万元． 【小问2详解】 设购买款机器人台，则购买款机器人台，总费用为万元， 由题意得：， 又， 解得， ∵小于， ∴随着的增大而减小，故当时，有最小值，此时最小值为，此时， 答：购买10台款机器人，5台款机器人最省钱，最省钱费用为35万元． 22. 现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以为坐标原点，所在的直线为轴，过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点到的距离为． （1）求满足设计要求的抛物线的表达式； （2）现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在抛物线上的点，处分别安装照明灯（点，到路面的距离相等），规定：照明灯距离路面的高度的取值范围是．师傅安装完照明灯后，测得两点，间的距离为，请你判断是否符合规定?说明理由． 【答案】（1） （2）解：符合规定，理由如下： 由题意可知，点，之间的距离为，且点与点关于对称轴对称， 因为，， 所以点的横坐标为， 把代入得：． 因为， 所以师傅安装的照明灯符合规定． 【解析】 【分析】（1）利用抛物线顶点式设出表达式，结合图像过原点的坐标特征，代入求解系数确定抛物线解析式； （2）根据A、B间距及对称轴性质确定A点横坐标，代入解析式求高度，结合高度取值范围判断是否符合规定． 【小问1详解】 解：由题意可知，抛物线的顶点的坐标为， 可设抛物线的表达式为：， 又经过原点，代入，得， 解得：， ∴抛物线的表达式为：． 【小问2详解】 略 23. 在四边形中，，，且，．点P是线段上一动点（点P不与点A重合），连接，作关于直线的对称，点A的对应点为点E． （1）观察猜想：如图1，_______，连接，当点P为的中点时，的形状是_______； （2）探究证明：如图2，设与的延长线相交于点F，连接，当时，判断四边形的形状，并说明理由； （3）拓展延伸：已知，当与四边形的边垂直时，直接写的长． 【答案】（1）30，直角三角形 （2） 解：四边形为菱形，理由如下： 由（1）知 ， 由折叠的性质得 ，， ∵， ∴， ∵即， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （3）2或 【解析】 【分析】（1）过点作于点，根据平行线间距离处处相等得到，结合已知可得，即可求解；再根据折叠的性质结合等边对等角，利用三角形内角和定理求出，即可得到的形状； （2）由（1）知，由折叠的性质得，，易证，，得到；证明是等边三角形，得到，进而证明四边形是平行四边形，结合即可得出结论； （3）根据题意先求出，当时，则，，由折叠的性质可得，求出，，，由即可求解；当时，则与重合，由折叠的性质可得，过点作于点，易证是等腰直角三角形，设，则，，利用勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：猜想，的形状是直角三角形； 过点作于点， 则， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点P为的中点时，则， 由折叠的性质得， ∴， ∴， ∵，即， ∴，即， ∴的形状是直角三角形； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴， 当时，如图，设交于点， 则， ∴，， 由折叠的性质可得， ∴，， ∴； 当时，则与重合，如图， 由折叠的性质可得， 过点作于点，则， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 综上，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $