精品解析：重庆市巴蜀中学校2025-2026学年高一下学期4月阶段检测数学试题

高一数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚． 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试卷上作答无效． 3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存．满分150分，考试用时120分钟． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分、每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1. 已知复数，则z的虚部为（ ） A. 2 B. 2i C. 4 D. 4i 【答案】C 【解析】 【详解】，所以z的虚部为4． 2. 下列各式中，化简后结果不是零向量的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，，故A错误． 对于B，，故B错误． 对于C，，故C错误． 对于D，，故D正确． 3. 已知，，，则“”是“向量，共线”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 充要条件 【答案】C 【解析】 【详解】若，则，，此时，所以向量，共线． 所以“”是“向量，共线”的充分条件． 若向量，共线，则，解得或． 所以“”不是“向量，共线”的必要条件． 因此“”是“向量，共线”的充分不必要条件． 4. 已知复数，满足，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的几何意义，模长即为对应向量模长，即可求解. 【详解】在复平面中，设，分别与向量，对应， 由题意可得，， 因为， 即， 解得，即． 5. 在平行四边形中，点为的中点，与的交点为.设，，则向量等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过三角形相似得到与的比例关系，再用表示，最终即可求出. 【详解】因为，所以，则有，所以． 又因为，且，，所以． 从而. 6. 在中，，且，．点在线段上，满足，点为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，根据共线定理及中点坐标公式求出的坐标，然后根据数量积的坐标公式求解. 【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系． 由，，得，，． 因为，且点满足， 所以，从而． 又点为的中点，所以． 因此，， 故． 7. 奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．已知O是的内心，且．设的内切圆半径为，外接圆半径为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得到，再结合为内心，得到，即可求解. 【详解】由题意可得． 又因为为三角形内心时，，，， 所以． 故可设，，，， 故三角形为直角三角形．为直角边，为斜边， 由三角形面积 得，又． 故． 8. 在山区道路建设中经常需要开凿山体下方的通风廊道．如图，点A，D，E，B，C依次在同一直线上，点P为山顶某观测点．从P处测得点A，B，C的俯角分别为，，．现需沿直线AC修建廊道DE．若，，，则廊道DE的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作的垂线，垂足为，设，得到，，，结合，列出方程，求得的值，进而求得的长度. 【详解】过点作的垂线，垂足为，由图可知点H在线段DE上． 在直角中，，所以， 在直角中，，所以， 在直角中，，所以， 设，则，，． 因为点B，C在点H的右侧，可得， 由，可得，解得． 所以． 则． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，，是复数，则下列命题中的真命题是（ ） A. B. 若，则 C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，设，， 则， 而． 所以，故A正确． 对于B，取，，，则，但，故B错误． 对于C，设，， 则．所以． 又 因此．故C正确． 对于D，取，则，，所以．故D错误．故选AC． 10. 设的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，则下列说法正确的有（ ） A. 若，，，则三角形有两解 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则为锐角三角形 D. 若是锐角三角形，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用正弦定理，得到，结合即可判断；对于B，利用正弦定理结合恒等变形可得，即；对于C，由正切和角公式可得，结合三角形角的范围可得，，中不存在负数即可判断；对于D，在锐角三角形中，，进而得到，同理可得，再相加即可判断． 【详解】对A，由，则，故．又，故． 而，故A只可能有一解，因此三角形有唯一解，故A错误； 对B，由，结合正弦定理，可得． 所以，于是，故是等腰三角形，所以B正确； 对C，， 整理得， 又中至多一个角大于，故，，至多有一个负数， 因此，，中不存在负数，故是锐角三角形，所以C正确； 对D，若是锐角三角形，则， 所以，于是， 同理可得，故，故D正确． 11. 设平面向量，，满足，，．则下列命题中正确的是（ ） A. B. C. 若，则的最大值为 D. 的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量和的模的性质判断A，根据列举法判断B，根据条件建立坐标系，利用坐标法求解C，根据向量加减的几何意义，结合向量相减的模的几何意义构造几何图形，再根据向量数量积的几何意义判断D. 【详解】对于A，由三角不等式可得，又．所以．故A正确． 对于B，由，只能说明点C的轨迹是一个以对应点为圆心、为半径的圆，不能推出． 例如取，，，则，， 且，．满足题意，但，故B错误． 对于C，若，不妨取，，． 由条件，得， 即． 设，，．则， 所以． 代入得． 因此， 当时取等号．故．所以C正确． 对于D，作平行四边形OADB，使，，． 则，．由题设， 可知点C的轨迹是以点D为圆心、为半径的圆． 又因为，，所以四边形OADB为菱形． 设，则，． 因为，所以等于在上的投影向量模长的2倍． 如图，过点C向直线OA作垂线，垂足为F． 当C为图中两条切线的切点时，取得最大值、最小值． 因此 ，当时取等号． 同理，，当时取等号． 所以．故D正确． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知向量，，则向量在上的投影向量的坐标为______． 【答案】 【解析】 【详解】因为，， 所以向量在上的投影向量为． 13. 在中，，，，的平分线AD交BC于点D，则______． 【答案】 【解析】 【详解】由余弦定理，， 所以. 解得（舍去负根）． 因为AD平分，所以． 由， 得， 即． 整理得． 14. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】化简已知等式可得，即得，设， 并化简得，设，于是，再结合函数的单调性求函数的值的取值范围，即可得答案. 【详解】由，即． 由正弦定理可得， 即，所以． 因为，故，所以， 又，故， 从而，即，则， 设， 所以 ． 由，，得． 故设，则，于是． 根据双勾函数性质知：函数在上单调递减，在上单调递增． 所以，当且仅当时取等号． 而，即， 故的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，． （1）若，的夹角为，求； （2）若，求与的夹角θ的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的平方与向量模的关系可求向量的模； （2）由已知可得，计算可求得. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以 【小问2详解】 若，则，即，所以， 即，所以． 16. 已知复数z满足：为实数，且为纯虚数． （1）求z； （2）设，若在第二象限，求实数t的取值范围； （3）若复数z是方程的一个根，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，利用已知求得，可得z； （2）结合（1），利用在第二象限，可得t所满足的条件，进而求得实数t的取值范围； （3）利用实系数方程的根的性质可得，计算可求得的值． 【小问1详解】 设． 因为为实数，所以，故， 又， 因为它是纯虚数，所以其实部为0，即，故． 【小问2详解】 由（1）知，所以其共轭复数为． 因此． 因为在第二象限，所以 由，得． 由，得，得． 综上，． 【小问3详解】 因为方程系数为实数，所以另一个根为． 于是． 故，，所以． 17. 为打造具有重庆“山城步道”特色的文旅景观，某景区拟开发一块四边形区域．其中，区域规划为“巴渝文化展示区”，区域规划为“观景休闲区”，对角线修建为空中连廊．已知，． （1）若“巴渝文化展示区”的面积为，且为钝角三角形，求空中连廊的长度； （2）在（1）的条件下，求“观景休闲区”面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用三角形的面积，结合三角形的形状，确定，再利用余弦定理求的长度. （2）法1：利用余弦定理探索边，的长度关系，再结合基本不等式求面积的最大值. 法2：利用正弦定理表示出，的长度，结合三角形的内角和定理和三角函数的恒等变换，表示出面积，再利用三角函数的值域求面积的最大值. 【小问1详解】 设． 由三角形面积公式，得，解得． 因为为钝角三角形，所以． 在中，由余弦定理，得． 即． 故. 【小问2详解】 在（1）的条件下，，， 解法一：设，． 在中，由余弦定理，． 因此．即． 所以， 当且仅当时等号成立． 所以“观景休闲区”面积的最大值为． 解法二：设，，则． 在中，由正弦定理，． 所以，． 于是 ． 因此． 当且仅当时，即，时等号成立． 所以“观景休闲区”面积的最大值为． 18. 如图，在一块三角形观景架MNP中，点Q为底边NP的中点，点O为支撑杆MQ的中点．过点O的拉索分别与边MN，MP交于点R，S．设，． （1）若，求的值； （2）求的最小值； （3）若是边长为2的等边三角形，求的最小值． 【答案】（1）； （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，得到的值，即可求解； （2）由（1）得，根据三点共线，得到，结合基本不等式，即可求解； （3）设，利用向量的运算法则，根据，化简得到，且，利用二次函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 因为Q为NP的中点，所以， 又因为O为MQ的中点，所以， 因为，所以，，所以． 【小问2详解】 由（1）得：， 因为三点共线，所以，即， 因， 当且仅当,即，时取等号，所以的最小值为4． 【小问3详解】 设，则，． 因为，所以， ， 可得， ， 所以． 由（2）知，，即， 因为， 则 ， 又由，解得，当且仅当时取等号． 故当时，取得最小值，最小值为． 19. 对于一个向量组，，，…，（，且），记．若存在，使得（其中），则称为该向量组的“k衡向量”． （1）设，．若是向量组，，的“1衡向量”，求实数x的取值范围； （2）若，，判断向量组，，…，是否存在“衡向量”；若存在，求出所有满足条件的正整数t；若不存在，请说明理由； （3）已知，，都是向量组，，的“1衡向量”，且，，，其中A是的内角，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角平分线AD交BC于点D，且．若，求的取值范围，并指出λ取得最大值时的形状． 【答案】（1） （2）存在“衡向量”，且“衡向量”为，，，理由见解析 （3），且当λ取得最大值时，为等边三角形． 【解析】 【分析】（1）根据向量模长公式以及已知的向量关系列出不等式求解； （2）先求出向量模长，再根据“ 衡向量”的定义列出不等式，结合三角函数的值域求解． （3）据向量模长关系得到不等式，三式相加化简得出，进而求出，再通过向量数量积求出角，然后利用正弦定理得到，结合角的范围求出的范围． 【小问1详解】 由题意可得：，，，， 则， 则， 两边平方，整理得，所以． 【小问2详解】 存在“衡向量”，且“衡向量”为，，，理由如下： 由题意可得， 若存在“衡向量”，只需使． 因为，，，，，，， 所以， 故只需使， 整理得， 即． 所以，， 解得，， 当时，，故当或4或5时，符合要求， 当k为其他整数时，均不合要求， 故存在“衡向量”，且“衡向量”为，，． 【小问3详解】 由题意，得，，， 三式平方后相加，得，所以， 故， 又，得，即， 因为，所以， 在中，由正弦定理可得， 所以， 同理，在中，． 故，且， 又，所以，由，得， 于是， 设，由，得， 又 ， 所以， 因此， 设，， 故，从而． 当且仅当时，取到最大值， 即，所以，得，从而， 故此时为等边三角形． 综上，，且当λ取得最大值时，为等边三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚． 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试卷上作答无效． 3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存．满分150分，考试用时120分钟． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分、每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1. 已知复数，则z的虚部为（ ） A. 2 B. 2i C. 4 D. 4i 2. 下列各式中，化简后结果不是零向量的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，则“”是“向量，共线”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 充要条件 4. 已知复数，满足，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 5. 在平行四边形中，点为的中点，与的交点为.设，，则向量等于（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，且，．点在线段上，满足，点为的中点，则（ ） A. B. C. D. 7. 奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．已知O是的内心，且．设的内切圆半径为，外接圆半径为，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 在山区道路建设中经常需要开凿山体下方的通风廊道．如图，点A，D，E，B，C依次在同一直线上，点P为山顶某观测点．从P处测得点A，B，C的俯角分别为，，．现需沿直线AC修建廊道DE．若，，，则廊道DE的长度为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，，是复数，则下列命题中的真命题是（ ） A. B. 若，则 C. D. 10. 设的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，则下列说法正确的有（ ） A. 若，，，则三角形有两解 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则为锐角三角形 D. 若是锐角三角形，则 11. 设平面向量，，满足，，．则下列命题中正确的是（ ） A. B. C. 若，则的最大值为 D. 的取值范围是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知向量，，则向量在上的投影向量的坐标为______． 13. 在中，，，，的平分线AD交BC于点D，则______． 14. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，． （1）若，的夹角为，求； （2）若，求与的夹角θ的余弦值． 16. 已知复数z满足：为实数，且为纯虚数． （1）求z； （2）设，若在第二象限，求实数t的取值范围； （3）若复数z是方程的一个根，求的值． 17. 为打造具有重庆“山城步道”特色的文旅景观，某景区拟开发一块四边形区域．其中，区域规划为“巴渝文化展示区”，区域规划为“观景休闲区”，对角线修建为空中连廊．已知，． （1）若“巴渝文化展示区”的面积为，且为钝角三角形，求空中连廊的长度； （2）在（1）的条件下，求“观景休闲区”面积的最大值． 18. 如图，在一块三角形观景架MNP中，点Q为底边NP的中点，点O为支撑杆MQ的中点．过点O的拉索分别与边MN，MP交于点R，S．设，． （1）若，求的值； （2）求的最小值； （3）若是边长为2的等边三角形，求的最小值． 19. 对于一个向量组，，，…，（，且），记．若存在，使得（其中），则称为该向量组的“k衡向量”． （1）设，．若是向量组，，的“1衡向量”，求实数x的取值范围； （2）若，，判断向量组，，…，是否存在“衡向量”；若存在，求出所有满足条件的正整数t；若不存在，请说明理由； （3）已知，，都是向量组，，的“1衡向量”，且，，，其中A是的内角，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角平分线AD交BC于点D，且．若，求的取值范围，并指出λ取得最大值时的形状． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $