精品解析：山东德州市乐陵市八校2025-2026学年八年级数学下学期第一次学情自测

2025－2026学年八年级数学下学期第一次月考 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式需满足两个条件1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．的被开方数含分母，不是最简二次根式； B．的被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式； C．同时满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式； D．，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． 2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 1，2，3 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理，验证两较短边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断能否构成直角三角形． 【详解】解：A选项：，， ，能构成直角三角形，符合题意； B选项：，，， 不能构成直角三角形，不符合题意； C选项：三边长为，，， ，，， 不能构成直角三角形，不符合题意； D选项：，，， 不能构成直角三角形，不符合题意． 3. 已知直角三角形的两条边长分别是和，则它的第三边长为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】题目未说明已知边长中哪条是斜边，需要分两种情况分类讨论计算． 【详解】解：设第三边长为，分两种情况计算． 情况1：当是直角边时，第三边为斜边，根据勾股定理 ，边长为正数 ． 情况2：当是斜边时，第三边为直角边，根据勾股定理 ，边长为正数 ． 因此第三边长为或． 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义，二次根式的加法、乘法运算法则，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、，A错误； B、，B正确； C、与不是同类二次根式，不能合并，运算结果不等于，C错误； D、表示的算术平方根，，D错误． 5. 计算的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】C 【解析】 【分析】先利用二次根式的除法运算法则化简原式，再估算化简后无理数的范围即可得到结果. 【详解】解： 原式 ∵ ，，且 ∴ . 即原式的值在5和6之间. 6. 如图所示，在数轴上点所表示的数为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求出的长，则可得到的长，再用点C表示的数减去的长即可得到a的值． 【详解】解：如图所示，由勾股定理得 ∴， ∴． 7. 若一个三角形的三条边长之比为，周长为，则它的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据边长比例设三边长为，，，结合周长求出，再利用勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，最后计算面积即可． 【详解】解：∵三角形三条边长之比为 ∴设三边长分别为，， ∵三角形周长为 ∴ 解得 ∴三角形三边长分别为，， ∵ ∴该三角形是直角三角形，两条直角边为和 ∴面积为． 8. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（　　） A. 4 B. 4π C. 8π D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理得到AB2＝AC2+BC2，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2＝20， 则阴影部分的面积＝ ＝ ＝4， 故选A． 【点睛】本题考查的是勾股定理、扇形面积计算，掌握勾股定理和扇形面积公式是解题的关键． 9. 如图，正五边形的边，的延长线交于点．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由多边形外角和及正多边形的性质可求得每个外角的度数，再由三角形内角和定理即可求得结果． 【详解】解：在五边形中，， ∴． 10. 实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（ ） A. B. C. b D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，化简绝对值和求一个数的算术平方根，先根据数轴得到，则，据此化简绝对值和计算算术平方根，再根据整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ∴ ， 故选：B． 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若二次根式有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件是被开方数非负，据此列式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴． 12. 若为实数，且，则_____． 【答案】4 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的值，再代入原式求出的值，最后代入计算即可得到结果． 【详解】解：由题意得， 解得， 把代入， 得， 将，代入，得． 13. 《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部尺远．问：原处还有多高的竹子？（丈尺）设竹子折断处离地面尺．可列方程______． 【答案】 【解析】 【分析】设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，然后通过勾股定理即可求解． 【详解】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得：． 14. 如图，分别以的三边为边向外作正方形，其面积分别为、、，若，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与勾股树，掌握好相关知识是关键． 根据直角三角形的三边关系推出、、之间的关系，然后计算即可． 【详解】解：∵在直角中，， 又∵，，， ∴． 故答案为：． 15. 甲、乙两人同时从同一个地点出发，甲往北偏东方向走了3.6公里，乙往北偏西方向走了4.8公里，这时甲、乙两人相距_____公里． 【答案】6 【解析】 【分析】先根据方位角确定两人行走路线的夹角为，构造直角三角形，再利用勾股定理计算斜边长度，即可得到甲、乙两人的距离． 【详解】解：如图，甲往北偏东方向走的距离是，乙往北偏西方向走的距离是， 根据题意可知，，公里，公里， 则（公里）． 16. 如图，学校A前面有一条笔直的公路，学生放学后走两条路可到达公路．经测量，，，现需新修建一条从学校到公路的路，则学校到公路的最短距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由勾股定理逆定理得出，再根据计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 三、解答题：本题共7小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，于E，于F，若． （1）求证：平分； （2）已知，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）9 【解析】 【分析】（1）先根据“斜边直角边”证明，可得，再根据角平分线性质定理的逆定理得出答案； （2）先根据勾股定理求出，再根据可得答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴平分； 【小问2详解】 解：在中，， ∴， ∵， ∴，即， 解得． 19. 如图，四边形的内角的平分线与外角的平分线相交于点． （1）若，，求的度数； （2）已知四边形中，，，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平角的定义和角平分线的定义求出的度数，再由平行线的性质可得答案； （2）根据四边形内角和为360度推出，由平角的定义和角平分线的性质得到，再根据三角形外角的性质可得答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形中，，， ∴， ∴， ∴； ∵四边形的内角的平分线与外角的平分线相交于点， ∴， ∵， ∴． 20. 定义：若两个二次根式、满足，且是有理数，则称与是关于的共轭二次根式． （1）若与是关于4的共轭二次根式，则_____． （2）若与是关于2的共轭二次根式，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据共轭二次根式的定义建立等式，即可得到答案； （2）根据共轭二次根式的定义建立等式，即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵a与是关于4的共轭二次根式， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵与是关于2的共轭二次根式， ∴． ∴． ∴． 21. 如图，数轴上点、、所表示的实数分别为0、、，点到点的距离比点到点的距离多1，设点所表示的实数为． （1）写出实数的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离得出方程，求出解即可； （2）将x值代入代数式计算可得答案． 【小问1详解】 解：∵点O，B，C所表示的数是，且点O到点A的距离比点B到点C的距离多1，点A所表示的数是x， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴． 22. 为增加趣味性，某科技馆计划展出一款恐龙互动模型（图1），为避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡等风险，该模型一条大腿支架与小腿支架需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：，． （1）与垂直吗？请说明理由； （2）据设计人员介绍，支架的比长，求支架的长度． 【答案】（1）垂直，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理逆定理解答即可； （2）根据勾股定理列出方程，求出解即可． 【小问1详解】 解：与垂直，理由如下： ∵， ∴， ∴，即； 【小问2详解】 解：由题意设，则，根据勾股定理，得 ， 即， 解得， 所以． 23. 阅读材料：像，两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 例如． 解答下列问题： （1）与_____互为有理化因式； （2）观察下面的变形规律，请你猜想：_____． （3）利用上面的解法，请化简：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据材料中的定义可以得到解答； （2）根据材料中给出的规律解答； （3）根据（2）得到的规律进行解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴与互为有理化因式； 【小问2详解】 解：通过观察可得： ； 【小问3详解】 解：由（2）可得： = =． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年八年级数学下学期第一次月考 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 1，2，3 3. 已知直角三角形的两条边长分别是和，则它的第三边长为（ ） A. B. C. D. 或 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 计算的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 6. 如图所示，在数轴上点所表示的数为，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 若一个三角形的三条边长之比为，周长为，则它的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（　　） A. 4 B. 4π C. 8π D. 8 9. 如图，正五边形的边，的延长线交于点．则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（ ） A. B. C. b D. 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若二次根式有意义，则的取值范围是_____． 12. 若为实数，且，则_____． 13. 《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部尺远．问：原处还有多高的竹子？（丈尺）设竹子折断处离地面尺．可列方程______． 14. 如图，分别以的三边为边向外作正方形，其面积分别为、、，若，，则_____． 15. 甲、乙两人同时从同一个地点出发，甲往北偏东方向走了3.6公里，乙往北偏西方向走了4.8公里，这时甲、乙两人相距_____公里． 16. 如图，学校A前面有一条笔直的公路，学生放学后走两条路可到达公路．经测量，，，现需新修建一条从学校到公路的路，则学校到公路的最短距离为_____． 三、解答题：本题共7小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1） （2） 18. 如图，于E，于F，若． （1）求证：平分； （2）已知，求的长． 19. 如图，四边形的内角的平分线与外角的平分线相交于点． （1）若，，求的度数； （2）已知四边形中，，，求的度数． 20. 定义：若两个二次根式、满足，且是有理数，则称与是关于的共轭二次根式． （1）若与是关于4的共轭二次根式，则_____． （2）若与是关于2的共轭二次根式，求的值． 21. 如图，数轴上点、、所表示的实数分别为0、、，点到点的距离比点到点的距离多1，设点所表示的实数为． （1）写出实数的值； （2）求的值． 22. 为增加趣味性，某科技馆计划展出一款恐龙互动模型（图1），为避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡等风险，该模型一条大腿支架与小腿支架需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：，． （1）与垂直吗？请说明理由； （2）据设计人员介绍，支架的比长，求支架的长度． 23. 阅读材料：像，两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 例如． 解答下列问题： （1）与_____互为有理化因式； （2）观察下面的变形规律，请你猜想：_____． （3）利用上面的解法，请化简：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $