精品解析：山东省德州市乐陵市朱集镇中学2024-2025学年下学期八年级第二次月考数学试题

2024—2025学年度第二学期第二次阶段性总结八年级数学试题 一：选择题（本题共10个小题，每题4分，共40分．） 1. 下列四个选项中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 邻边相等 D. 对角线平分一组对角 2. 在正比例函数的图象上的点是（ ） A B. C. D. 3. 如图是某市6月份日平均气温统计图，则在日平均气温这组数据中，众数是（ ） A. 20℃ B. 21℃ C. 22℃ D. 23℃ 4. 如图，在中，D、E分别为中点，，则的周长为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 5. 如图是甲、乙两位学生五次数学成绩统计图，则两位学生五次数学成绩的方差（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 如图，将两张对边平行的纸片随意交叉叠放在一起，转动其中一张，使重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 一次函数的与的部分对应值如下表所示： x … 1 3 … y … 7 4 2 … 根据表中数据分析，下列结论正确的是（　　） A. 该函数的图象与x轴的交点坐标是 B. 将该函数的图象向下平移4个单位长度得的图象 C. 若点(均在该函数图象上，则 D. 该函数的图象经过第一、二、三象限 8. 某水果销售商有100千克苹果，当苹果单价为15元/千克时，能全部销售完，市场调查表明苹果单价每提高1元，销售量减少6千克，若苹果单价提高x元，则苹果销售额y关于x的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，直线与相交于点P，若点P横坐标为，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 10. 如图：四边形ABCD是矩形，点F在BC边上，AF平分且垂足为点E，连接BE并延长交CD于点G，连接DF交BG于点H，连接EC交DF于点I，有下列结论： ①；②DF垂直且平分EC；③；④．其中正确的结论有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二：填空题（本题共6个小题，每题4分，共24分．） 11. 在一次芭蕾舞比赛中，甲，乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天我湖》，参加表演的女演员的身高的平均数（单位：）和方差分别为，，，，那么女演员的身高更整齐的是______团．（填“甲”或“乙”） 12. 如图，的对角线交于点O，只需添加一个条件即可证明是菱形，这个条件可以是_______（写出一个即可）． 13. 如图，一次函数的图象与的图象相交于点A，则k的值为______． 14. 小明本学期数学综合实践活动、期中考试和期末考试的成绩分别是88分、90分和90分，若将上述三项成绩按计算，则小明本学期的数学成绩是_______分． 15. 如图，直线交y轴于点A，交x轴于点B，C是直线AB上一动点，过点C作轴于点D，轴于点E，则DE的长度的最小值为________． 16. 如图放置的，，都是边长为2的等边三角形，边在轴上，点，，，，都在直线上，则点的坐标是________． 三：解答题（本题8个大题，共86分． ） 17. 如图，在四边形中，，若平分，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，的周长为18，求菱形的面积 18. 4月14日，某校初三年级学生参加了体育中考，为了解学生的考试情况，从该校初三年级男生、女生中各随机抽取20名同学的体考成绩（满分为50分）进行整理、描述和分析（体考成绩用x表示，且均为整数，共分为四个等级：A．；B．；C．；D．）， 门下面给出了部分信息： 抽取的20名男生体考成绩中A等级包含的所有数据为：50，48，50，49，49，48，50，50，50，50，49，48，48，50． 初三年级抽取的男生、女生体考成绩统计表 性别 男生 女生 平均数 48 中位数 a 49 众数 50 b 满分率 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_______；_______；_______； （2）根据以上数据，你认为该校初三年级男生和女生谁的体育中考成绩更优异？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若该校初三年级共有学生1200人参加体育中考，估计该校初三年级体育中考成绩A等级的学生人数． 19. 如图，直线与轴，轴分别交于，两点，直线与轴相交于点C，与直线相交于点． （1）结合图形求出的解集． （2）求的面积． 20. 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接，． （1）求证：； （2）当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？说明你的理由． 21. 某同学在学习一次函数后，对形如（其中k，m，n为常数，且）的一次函数图象和性质进行了探究，过程如下： 【特例探究】 （1）如图所示，这位同学分别画出了函数，，的图象（网格中每个小方格边长为1）．通过对上述几个函数图象的观察、思考，发现：（k为常数，且）的图象一定会经过的点的坐标是______； 【深入探究】 （2）归纳：函数（其中k，m，n为常数，且）的图象一定会经过的点的坐标是______；（用含m，n的字母表示） 【实践运用】 （3）已知一次函数（k为常数，且）的图象一定会经过点N，且与y轴相交于点M，点O为坐标原点，若的面积为6，求k的值． 22. “雁门清高”苦荞茶，是大同左云的特产，享誉全国，某经销商计划购进甲、乙两种包装的苦荞茶500盒进行销售，这两种茶的进价、售价如下表所示： 进价(元/盒) 售价(元/盒) 甲种 40 48 乙种 106 128 设该经销离购进甲种包装的苦荞茶x盒，总进价为y元． (1)求y与x函数关系式 (2)为满足市场需求，乙种包装苦荞茶的数量不大于甲种包装数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并求出最大利润． 23. 课本再现 我们在学习矩形性质时发现了：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，在中，，若点D是斜边的中点，则． 定理证明 （1）请完成这个定理的证明． 拓展应用 （2）如图2，已知，点E、F分别为、的中点，，．求的长． 24. 平面直角坐标系中，直线与直线交于点． （1）求直线的解析式； （2）点M是直线上一动点，其横坐标为m，过点M作轴，交直线于点N，当时，求点M的坐标； （3）在（2）的条件下，若，点E是x轴上一动点，在直线上是否存在一点Q，使得以M，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期第二次阶段性总结八年级数学试题 一：选择题（本题共10个小题，每题4分，共40分．） 1. 下列四个选项中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 邻边相等 D. 对角线平分一组对角 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质和菱形的性质，熟练掌握矩形的性质和菱形的性质是解题的关键．根据矩形的性质和菱形的性质进行判断即可． 【详解】解：矩形对角线相等，菱形对角线不一定相等， 故矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等． 故选B． 2. 在正比例函数的图象上的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查正比例函数图象上点的坐标特征，根据，只要代入点的横坐标，进行计算结果与纵坐标比较，即可判断． 【详解】解：A、当时，，故选项A不符合题意； B、当时，，故选项B符合题意； C、当时，，故选项C不符合题意； D、当时，，故选项D不符合题意； 故选：B． 3. 如图是某市6月份日平均气温统计图，则在日平均气温这组数据中，众数是（ ） A. 20℃ B. 21℃ C. 22℃ D. 23℃ 【答案】B 【解析】 【分析】根据众数是一组数据中出现次数最多的数值判断即可． 【详解】根据图像可知一共30个数据，其中20℃出现了4次，21℃出现了10次，22℃出现了8次，23℃出现了6次，24℃出现了2次．出现次数最多的是21℃，因此这组数据中众数是21℃． 故选B 【点睛】本题主要考查了众数的概念，掌握众数的概念是解题关键． 4. 如图，在中，D、E分别为的中点，，则的周长为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质及三角形周长公式，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理，三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．根据三角形中位线定理得出，根据直角三角形的性质可得，即可得出答案． 【详解】解：， ， ，分别是，的中点， ，， ， 即的周长为14． 故选：C． 5. 如图是甲、乙两位学生五次数学成绩统计图，则两位学生五次数学成绩的方差（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折线图，方差的运用，理解折线图的含义是关键．根据折线图的波动情况分析即可． 【详解】解：根据图示，甲的折线图的波动小于乙的折线图的波动， ∴， 故选：C． 6. 如图，将两张对边平行的纸片随意交叉叠放在一起，转动其中一张，使重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定方法和其性质是解答本题的关键．根据题意易证四边形是平行四边形，再逐项判断即可． 【详解】解：根据题意可知，， ∴四边形是平行四边形． ∴，， ∴A、B、D正确，不符合题意； ∴不一定等于，与两张纸片的宽度有关，故C符合题意； 故选：C． 7. 一次函数的与的部分对应值如下表所示： x … 1 3 … y … 7 4 2 … 根据表中数据分析，下列结论正确的是（　　） A. 该函数的图象与x轴的交点坐标是 B. 将该函数的图象向下平移4个单位长度得的图象 C. 若点(均在该函数图象上，则 D. 该函数的图象经过第一、二、三象限 【答案】C 【解析】 【分析】先根据条件列出方程求出该一次函数解析式为，把代入函数解析式即可判断A选项，根据一次函数的平移性质求出平移后的图象可判断B选项，最后根据一次函数的图象性质即可直接判断C、D选项． 【详解】解：根据题意得：当时，；当时，； ∴，解得：， ∴该一次函数解析式为， 当时，， ∴图象不经过点，即该函数的图象与x轴的交点坐标不是，故A选项错误； 若将的函数图象向下平移4个单位长度，得到的函数图象为，故B选项错误； ∵，， ∴y随x的增大而减小，故C选项正确；图象经过一、二、四象限，故D选项错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 8. 某水果销售商有100千克苹果，当苹果单价为15元/千克时，能全部销售完，市场调查表明苹果单价每提高1元，销售量减少6千克，若苹果单价提高x元，则苹果销售额y关于x的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设苹果单价提高x元，则销售量为千克，再根据销售额售价数量进行求解即可． 【详解】解：设苹果单价提高x元，则销售量千克， 由题意得，， 故选D． 【点睛】本题主要考查了列函数关系式，正确理解题意是解题的关键． 9. 如图，直线与相交于点P，若点P的横坐标为，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式：观察函数图象可知：当时，的图像在图像的上方，据此即可解答． 【详解】解：由函数图像可知：当时，，即不等式的解集为：． 故选：B． 10. 如图：四边形ABCD是矩形，点F在BC边上，AF平分且垂足为点E，连接BE并延长交CD于点G，连接DF交BG于点H，连接EC交DF于点I，有下列结论： ①；②DF垂直且平分EC；③；④．其中正确的结论有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由矩形的性质可得出AD∥BC，∠BCD=90°，得出∠ADF=∠CFD，由等腰三角形的性质得出∠AFD=∠ADF，故①正确；Rt△DEF≌Rt△DCF（HL），由全等三角形的性质可得出EF=CF，由线段垂直平分线的性质可得出结论；由全等三角形的判定可知③错误，由等腰三角形的性质可判断④． 【详解】解：①∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠BCD=90°， ∴∠ADF=∠CFD， ∵AD=AF， ∴∠AFD=∠ADF， ∴∠AFD=∠CFD， 故①正确； ②∵∠AFD=∠CFD，DE⊥AF，DC⊥BC， ∴DE=DC， ∴D在CE的垂直平分线， 在Rt△DEF和Rt△DCF中， ， ∴Rt△DEF≌Rt△DCF（HL）， ∴EF=CF， ∴点F在CE的垂直平分线， ∴DF垂直且平分EC； 故②正确； ③∵AF平分∠BAD， ∴∠DAF=45°， ∴∠ADE=45°， ∴∠EDC=45°， 又∵ED=DC， ∴△EDC不可能是等边三角形， ∴ED≠EC， ∴△EFC≌△EHD错误； 故③错误； ④∵AB=CD，ED=CD， ∴AB=ED， ∵∠EDG=45°， ∴ED≠EG， ∴AB≠EG． 故④错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，矩形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 二：填空题（本题共6个小题，每题4分，共24分．） 11. 在一次芭蕾舞比赛中，甲，乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天我湖》，参加表演的女演员的身高的平均数（单位：）和方差分别为，，，，那么女演员的身高更整齐的是______团．（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【解析】 【分析】根据方差的意义可作出判断． 【详解】解：∵，，， ∴甲团女演员的身高更整齐， 故答案为：甲． 【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 12. 如图，的对角线交于点O，只需添加一个条件即可证明是菱形，这个条件可以是_______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，掌握菱形的判定定理是解题的关键．根据菱形的判定定理即可得出结论． 【详解】这个条件可以是，依据是对角线互相垂直的平行四边形是菱形．还可以添加的条件有 或 或 或 ，依据是一组邻边相等的平行四边形是菱形． 故答案为：（答案不唯一）． 13. 如图，一次函数的图象与的图象相交于点A，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题是两条直线相交问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 把代入求得A点的纵坐标，然后利用待定系数法即可求得k的值． 【详解】解：把代入，得：， ∴， ∵点A在直线的图象上， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 小明本学期数学综合实践活动、期中考试和期末考试的成绩分别是88分、90分和90分，若将上述三项成绩按计算，则小明本学期的数学成绩是_______分． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求加权平均数，根据加权平均数的计算公式，结合小明的期末考试成绩，求出小明的数学成绩即可． 【详解】解：小明的数学成绩是（分）． 故答案为：． 15. 如图，直线交y轴于点A，交x轴于点B，C是直线AB上一动点，过点C作轴于点D，轴于点E，则DE的长度的最小值为________． 【答案】4.8## 【解析】 【分析】连接OC，易知四边形OECD是矩形，所以OC=DE，当当OC⊥AB时，OC最短，即DE最短，在Rt△ABO中可以利用面积法求解OC最小值． 【详解】解：连接OC， ∵∠CEO=∠EOD=∠ODC， ∴四边形OECD矩形， ∴DE=OC， 当OC⊥AB时，OC最短，即DE最短， ∵直线交y轴于点A（0，8），交x轴于点B（-6，0）， ∴OA=8，OB=6， 在Rt△AOB中，利用勾股定理可得 AB==10， 当OC与AB垂直时， AO×BO=AB×OC，即8×6=10×OC，解得OC=4.8， 所以DE长的最小值为4.8． 故答案为：4.8． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上的点的坐标特征、勾股定理、矩形的判定和性质，解决点到直线的最短距离问题，一般放在三角形中利用面积法求解高． 16. 如图放置的，，都是边长为2的等边三角形，边在轴上，点，，，，都在直线上，则点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查正比例函数图像上点的变化特征．先求出的长度，再用勾股定理求出的坐标，根据和的位置关系即可求出的坐标． 【详解】解：∵，，都是边长为2的等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 设，则 则， 解得， ， ，即， 故答案为：． 三：解答题（本题8个大题，共86分． ） 17. 如图，在四边形中，，若平分，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，的周长为18，求菱形的面积 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键； （1）先证明四边形是平行四边形，平行线的性质结合角平分线的定义，推出，即可得证； （2）根据菱形的性质结合的周长求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，利用菱形的面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 ∵，， ∴四边形 为平行四边形 ∵ ∴， ∵ 平分 ∴ ∴ ， ∴， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 ∵四边形 是菱形 ∴，，，， ∵的周长为18， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 18. 4月14日，某校初三年级学生参加了体育中考，为了解学生的考试情况，从该校初三年级男生、女生中各随机抽取20名同学的体考成绩（满分为50分）进行整理、描述和分析（体考成绩用x表示，且均为整数，共分为四个等级：A．；B．；C．；D．）， 门下面给出了部分信息： 抽取的20名男生体考成绩中A等级包含的所有数据为：50，48，50，49，49，48，50，50，50，50，49，48，48，50． 初三年级抽取的男生、女生体考成绩统计表 性别 男生 女生 平均数 48 中位数 a 49 众数 50 b 满分率 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_______；_______；_______； （2）根据以上数据，你认为该校初三年级男生和女生谁的体育中考成绩更优异？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若该校初三年级共有学生1200人参加体育中考，估计该校初三年级体育中考成绩A等级的学生人数． 【答案】（1），50，10 （2）女生的体育中考成绩更优异，理由见解析 （3）810人 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数及意义，利用样本估计总体，正确找出所需数据是解题关键． （1）有题意可知，抽取20名男生的体考成绩中位数为第10和11名男生成绩分别为、，根据中位数的定义求解的值即可；再根据女生成绩的满分率，得出女生成绩50分的人数，根据众数的定义求解的值即可；求出男生成绩中A等级所占的百分比，即可得到的值； （2）根据平均数和中位数的意义分析即可； （3）用总人数乘以样本中初三年级男生和女生A等级的占比求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，抽取20名男生的体考成绩中位数为第10和11名男生成绩的平均数，且A等级包含14个人， 男生成绩的中位数， 由条形统计图可知，抽取20名女生的体考成绩中A等级有13人， 女生成绩的满分率为， 50分的成绩人数为，人数最多， 女生成绩众数， 男生成绩中A等级所占的百分比为， ； 【小问2详解】 解：女生的体育中考成绩更优异，理由如下： 因为男生和女生成绩的众数相同，但女生成绩的平均数、中位数，满分率均高于男生，所以女生的体育中考成绩更优异； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校初三年级体育中考成绩A等级的学生人数有810人． 19 如图，直线与轴，轴分别交于，两点，直线与轴相交于点C，与直线相交于点． （1）结合图形求出的解集． （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，三角形的面积． （1）先求出交点D的坐标，结合函数图象，写出直线在直线的上方，且都在x轴上方时，所对应的自变量的范围即可； （2）先求出两直线与y轴交点坐标，根据三角形的面积公式计算解答． 【小问1详解】 解方程组得， ∴交点D的坐标为， 根据图象可得直线在直线的上方，且都在x轴上方时，自变量x的取值范围为； 【小问2详解】 令时，， ∴点B的坐标为， 令时，， ∴点C的坐标为， ∴． 20. 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接，． （1）求证：； （2）当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？说明你的理由． 【答案】（1）见解析 （2）菱形，理由见解析 （3）当或时，四边形是正方形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，斜边上的中线，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）证明，进而得到四边形是平行四边形，即可得证； （2）中点得到，证明四边形是平行四边形，斜边上的中线得到，得到四边形是菱形； （3）根据有一个角是直角的菱形时正方形，得到当或时，四边形是正方形，即可． 【小问1详解】 证明：∵， ， ， ， ， ，即， 四边形是平行四边形， ； 【小问2详解】 解：四边形是菱形， 理由如下：∵为中点， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， 为中点， ， ∴四边形是菱形； 【小问3详解】 解：当或时，四边形是正方形， 理由：∵，， ， 由（2）可知，四边形是菱形， ， ， ∴四边形是正方形． 或：当时，∵， ∴， 由（2）可知，四边形是菱形， ， ， ∴四边形是正方形． 21. 某同学在学习一次函数后，对形如（其中k，m，n为常数，且）的一次函数图象和性质进行了探究，过程如下： 【特例探究】 （1）如图所示，这位同学分别画出了函数，，的图象（网格中每个小方格边长为1）．通过对上述几个函数图象的观察、思考，发现：（k为常数，且）的图象一定会经过的点的坐标是______； 【深入探究】 （2）归纳：函数（其中k，m，n为常数，且）的图象一定会经过的点的坐标是______；（用含m，n的字母表示） 【实践运用】 （3）已知一次函数（k为常数，且）的图象一定会经过点N，且与y轴相交于点M，点O为坐标原点，若的面积为6，求k的值． 【答案】（1）；（2）；（3）或． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象和性质，三角形的面积 （1）观察图象即可得到结论； （2）根据（1）的规律即可求得经过； （3）求得定点坐标与y轴的交点M，然后利用三角形面积即可得到关于k的方程，解方程即可． 【详解】解：（1）通过对上述几个函数图象的观察、思考，发现为常数，且的图象一定会经过的点的坐标是， 故答案为：； （2）函数其中k、m、n为常数，且的图象一定会经过的点的坐标是（m,n）， 故答案为：； （3）将代入得， ∴点N坐标为， 将代入得， ∴点M坐标为， ∴， ∴， ∴， 解得，或． ∴k的值为或． 22. “雁门清高”苦荞茶，是大同左云的特产，享誉全国，某经销商计划购进甲、乙两种包装的苦荞茶500盒进行销售，这两种茶的进价、售价如下表所示： 进价(元/盒) 售价(元/盒) 甲种 40 48 乙种 106 128 设该经销离购进甲种包装的苦荞茶x盒，总进价为y元． (1)求y与x的函数关系式 (2)为满足市场需求，乙种包装苦荞茶的数量不大于甲种包装数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并求出最大利润． 【答案】(1) y=-66x+53000；(2)购进甲种包装的苦荞茶100盒，购进乙种包装的苦荞茶400盒时，所获利润最大，最大利润为9600元 【解析】 【分析】（1）根据总进价=进价×数量列出函数关系式； （2）根据题意可以得到利润和购买甲种商品数量的函数关系式，再根据乙种包装苦荞茶的数量不大于甲种包装数量的4倍和一次函数的性质即可解答本题． 【详解】(1)由题可得 y=40x+106(500-x)=-66x+53000 (2)设总利润为w元 由题可得：500-x≤4x ∴x≥100. ∴w=(48-40)x+(128-106)(500-x) =8x+22(500-x) =-14x+11000 ∵k=-14<0 ∴w随x的增大而减小 ∴x=100时，w最大=-14×100+11000=9600 此时500-x=400 答：购进甲种包装的苦荞茶100盒，购进乙种包装的苦荞茶400盒时，所获利润最大，最大利润为9600元. 【点睛】考查一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 23. 课本再现 我们在学习矩形的性质时发现了：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，在中，，若点D是斜边的中点，则． 定理证明 （1）请完成这个定理的证明． 拓展应用 （2）如图2，已知，点E、F分别为、的中点，，．求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定及性质，直角三角形的特征，勾股定理等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． （1）延长到E使得，连接，，由矩形的判定方法得四边形为矩形，即可得证； （2）连接、，由直角三角形的特征得，，由勾股定理得，即可求解； 【详解】（1）如图1，延长到E使得，连接，， 图1 D为中点， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形， ， ； （2）解：如图2，连接、， 图2 ，点E是的中点，， ， 点F是中点， ，， ． 24. 平面直角坐标系中，直线与直线交于点． （1）求直线的解析式； （2）点M是直线上一动点，其横坐标为m，过点M作轴，交直线于点N，当时，求点M的坐标； （3）在（2）的条件下，若，点E是x轴上一动点，在直线上是否存在一点Q，使得以M，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）， （3），， 【解析】 【分析】本题考查了一次函数综合，涉及待定系数法求解析式，交点坐标，平行四边形的存在性问题； （1）先将点代入求出a的值，再将P点坐标代入求出b的值即可得直线的解析式； （2）根据已知可得，，再根据得，解绝对值方程，进而可求得点M的坐标； （3）在（2）的条件下，若，则，设点，，再根据为边或对角线分情况讨论，利用平移和中点公式求坐标即可． 【小问1详解】 解：将点代入得，， 将代入得，， 解得， ∴直线的解析式为：； 【小问2详解】 解：∵点M是直线上一动点，其横坐标为m， ∴， ∵过点M作轴，交直线于点N， ∴， ∵， ∴， 解得或， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上所述，点M的坐标或； 【小问3详解】 解：在（2）的条件下，若，则， ∵点E是x轴上一动点，直线上一点Q， ∴设点，， ∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形， 当是边时，则，，则对边对应点的平移方式一致， ∵向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到， ∴向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到，或向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到， 若向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到即为，则，解得，此时； 若向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到即为，则，解得，此时； 当是对角线时，则平行四边形的对角线和互相平分，即对角线和的中点是同一个点， ∵对角线的中点是，对角线的中点是， ∴，解得，此时， 综上所述，存在一点Q，使得以M，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $