精品解析：四川德阳市广汉市2025-2026学年度下期九年级第一次模拟考试数学试卷

2025-2026学年度下期九年级第一次模拟考试 数学试卷 试卷说明：1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题．全卷共6页，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效，考试结束后，将试卷及答题卡交回． 2．本试卷满分150分，答题时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 2. 下列每个选项中，几何体的主视图和左视图可能不相同的是（ ） A. B. C. D. 3. 某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯、绿灯、黄灯．小亮爸爸由南往北开车到达该路口，下面说法正确的是（ ）． A. 小亮爸爸遇到红灯是必然事件 B. 小亮爸爸遇到红灯的概率是 C. 小亮爸爸遇到黄灯是不可能事件 D. 小亮爸爸遇到绿灯的概率大于他遇到红灯的概率 4. 小红同学从作业本上撕下一条上、下边线分别为，的纸条，为了判断线段，是否平行，她采取了以下四种不同的折叠方式，折痕均为，通过测量相关角度来判断，则不一定能判断线段的是（ ） A. 如图1，展开后测得 B. 如图2，测得 C. 如图3，展开后测得 D. 如图4，展开后测得 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若点在第二象限，那么的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 7. 已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，O是矩形的对角线的中点，E为的中点．若，，则的周长为（　　） A. 10 B. C. D. 14 9. 如图，内接于为的直径，点D，E分别为上的动点（不与点A，点B，点C重合），且，F为的中点，分别连接，若，则的最大值为（　　） A. 3 B. 4 C. 4.5 D. 5 10. 如图，分别为正六边形各边上的动点（不与顶点重合），且六边形也是正六边形，它们的中心都是点，连接交于点．当时，给出下面四个结论： ①； ②的最小值为； ③； ④的最大值为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②④ 第Ⅱ卷（非选择题，共110分） 二、填空题（本大题有5个小题，每小题4分，满分20分，请把答案填在答题卡对应的位置上） 11. 因式分解：_____． 12. 初二年级评选“三好文明寝室”，对寝室的清洁、纪律和学习氛围三个方面打分．某宿舍三项得分分别是80分、90分、85分，若按的比例计算总评分，则该寝室的总评分为_____分． 13. 如图，在中，是斜边上的高，于点，除自身外，图中与相似的三角形的个数是 ____ 14. 在图1所示的三角形数阵中，在图所示的三角形数阵中．按照这样的规则，若在图3所示的三角形数阵中，则______． 15. 在平行四边形中，，，，点，分别在边，上运动，且，以为边作等边，且使点在四边形的内部或边上．当的面积最大时，的长为_________． 三、解答题（本大题有7个小题，满分90分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16. 计算、化简求值： （1）； （2），其中． 17. 百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析，评分分数用表示，分为四个等级：（A：，B：，C：，D：）．下面给出了部分信息，甲款评分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100．乙款评分数据中C组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90． 甲、乙款评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 甲 86 a 乙 86 b 87 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中____________，____________． （2）计算乙款聊天机器人的评分扇形统计图中D组对应的圆心角； （3）（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评，请用列表法或树状图法列出所有可能的结果，求出两人中至少有一人选择的概率． 18. 已知、两点是一次函数和反比例函数的图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式： （2）求的面积． （3）观察图象，直接写出不等式的解集． 19. 小明买了一个风筝进行试放，如图，牵风筝线的手到地面的距离为，假设牵风筝线的手的位置高度不变的情况下，测得人站立的位置与风筝的水平距离为，手与风筝之间的距离为，已知点、、、在同一平面内． （1）求风筝离地面的垂直高度； （2）在余线剩的情况下，如图，若想要让风筝的离地高度再上升至处，请判断小明能否成功，并说明理由． 20. 材料一：为庆祝建国76周年，某纪念币加工厂生产了A，B两款国庆纪念币，已知生产A款纪念币20枚，B款纪念币10枚，需成本（含材料、人工、机器损耗等，下同）1000元；生产A款纪念币50枚，B款纪念币80枚，需成本3600元． 材料二：该纪念币加工厂每天生产A，B两款纪念币共1000枚，并且当天生产的纪念币都能销售完． 材料三：该纪念币加工厂在网上销售这两款纪念币，规定A款纪念币的售价为元/枚，B款纪念币的售价为A款纪念币售价的一半，且A款纪念币每天的销量y（枚）与售价x（元/枚）满足关系式，用w表示该加工厂每天销售两款纪念币的总利润（单位：元）． （1）求A，B两款纪念币成本分别为多少元/枚？ （2）求w关于x的函数表达式，并求当A款纪念币售价x为多少时，总利润w最大，求出此时总利润w的最大值 21. 如图，内接正方形与交于点是的劣弧上的任意一点，连接，，延长至，使． （1）的度数为___________； （2）求证：直线是的切线； （3）当，时，求线段的长度． 22. 如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线相交于点M，连接． （1）求该抛物线的解析式； （2）在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得与的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下期九年级第一次模拟考试 数学试卷 试卷说明：1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题．全卷共6页，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效，考试结束后，将试卷及答题卡交回． 2．本试卷满分150分，答题时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 下列每个选项中，几何体的主视图和左视图可能不相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据选项中的几何体得到其主视图与左视图，并判断其主视图与左视图是否相同，即可解题． 【详解】解：A、圆柱的主视图为长方形，左视图为一样的长方形，主视图与左视图相同，不符合题意； B、球的主视图为圆，左视图为一样的圆，主视图与左视图相同，不符合题意； C、圆锥的主视图为三角形，左视图为一样的三角形，主视图与左视图相同，不符合题意； D、三棱柱的主视图为长方形或正方形，左视图为长方形或正方形，主视图与左视图可能不同，符合题意． 3. 某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯、绿灯、黄灯．小亮爸爸由南往北开车到达该路口，下面说法正确的是（ ）． A. 小亮爸爸遇到红灯是必然事件 B. 小亮爸爸遇到红灯的概率是 C. 小亮爸爸遇到黄灯是不可能事件 D. 小亮爸爸遇到绿灯的概率大于他遇到红灯的概率 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了概率计算，事件分类，需先明确必然事件、不可能事件、随机事件的概念，再计算各灯亮的概率，逐一判断选项． 【详解】解：∵红绿灯一个周期的总时间为 ∴遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为，遇到黄灯的概率为， ∵必然事件是一定会发生的事件，不可能事件是一定不会发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件， ∴A选项中遇到红灯是随机事件，不是必然事件，故A错误； B选项中遇到红灯的概率是≠，故B错误； C选项中遇到黄灯是随机事件，不是不可能事件，故C错误； D选项中>，即遇到绿灯的概率大于遇到红灯的概率，故D正确． 故选：D． 4. 小红同学从作业本上撕下一条上、下边线分别为，的纸条，为了判断线段，是否平行，她采取了以下四种不同的折叠方式，折痕均为，通过测量相关角度来判断，则不一定能判断线段的是（ ） A. 如图1，展开后测得 B. 如图2，测得 C. 如图3，展开后测得 D. 如图4，展开后测得 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，根据内错角相等，两直线平行，能够得到，不符合题意； B、，根据同位角相等，两直线平行，能够得到，不符合题意； C、，根据同旁内角互补，两直线平行，能够得到，不符合题意； D、，无法得出，符合题意； 故选：D． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂的乘方、单项式乘法、同底数幂除法法则，以及同类项的合并规则逐一判断选项正误. 【详解】解：A、，计算正确； B、，计算错误； C、，计算错误； D、不是同类项，无法合并为，计算错误. 6. 若点在第二象限，那么的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据第二象限的点的横坐标为负，纵坐标为正列出不等式组即可求解． 【详解】∵点在第二象限， ∴， 解得：， 综上，． 7. 已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，掌握函数各项系数与函数图象之间的关系是解题的关键． 首先根据二次函数图象得到，再根据反比例函数与一次函数的图象与系数的关系，即可求解． 【详解】解：二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴，且对称轴在y轴的右侧， ， ， 反比例函数的图象在第二、四象限；一次函数的图象经过第一、三、四象限， 选项A符合题目要求． 故选：A． 8. 如图所示，O是矩形的对角线的中点，E为的中点．若，，则的周长为（　　） A. 10 B. C. D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】由点O是的中点，E为的中点可得，在中，利用勾股定理求得，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得，即可得的周长． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵点O是的中点，E为的中点， ∴，， 在中，，， 根据勾股定理得，， 在中，根据勾股定理得，． ∵四边形是矩形， ∴， ∵点O是的中点， ∴． ∴的周长为． 9. 如图，内接于为的直径，点D，E分别为上的动点（不与点A，点B，点C重合），且，F为的中点，分别连接，若，则的最大值为（　　） A. 3 B. 4 C. 4.5 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】如图1，过点作于，以点为圆心，以为半径作圆，由勾股定理得：，为的中位线，当点，在上运动时，点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，根据“两点之间线段最短”得：，如图2：此时，即的最大值为4，由此即可求解． 【详解】解：如图1，过点作于，以点为圆心，以为半径作圆， ∵为的直径， ∴， 在中，，，由勾股定理得：， ∴， ∵，， ∴为的中位线， ∴，即弦的弦心距， ∵点为的中点， ∴为弦的弦心距， ∵， ∴， ∴当点，在上运动时，点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，根据“两点之间线段最短”得：， ∴当点在的延长线上时，为最大， 如图2：此时，即的最大值为4， 故选：B． 10. 如图，分别为正六边形各边上的动点（不与顶点重合），且六边形也是正六边形，它们的中心都是点，连接交于点．当时，给出下面四个结论： ①； ②的最小值为； ③； ④的最大值为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 先用正六边形的性质以及三角形的外角的性质证明可得，再根据线段的和差可判断①；如图：连接、、，则是等边三角形，由等边三角形的性质可得，，如图：过O作，根据三线合一和勾股定理可得、，再根据垂线段定理可判断②；根据三角形的外角以及三角形内角和可知，，结合可判断③；证明可得，要使最大，则需最小，即最小，由的最小值为，进而求得的最小值，最后求得的最大值． 【详解】解： ∵正六边形和正六边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即①正确； 如图：连接、、，则是等边三角形， ∴，， 如图：过O作， ∴， ∴， 由垂线段最短可知：，即的最小值为， ∴的最小值为，即②错误； ∵，， ∵， ∴， ∴，即③错误． 由题意可知：， ∵， ∴， ∴，则， 要使最大，则需最小，即最小， ∵的最小值为， ∴的最小值为， ∴的最大值为，即④正确． 综上，①④正确． 故选C． 第Ⅱ卷（非选择题，共110分） 二、填空题（本大题有5个小题，每小题4分，满分20分，请把答案填在答题卡对应的位置上） 11. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：原式 ． 12. 初二年级评选“三好文明寝室”，对寝室的清洁、纪律和学习氛围三个方面打分．某宿舍三项得分分别是80分、90分、85分，若按的比例计算总评分，则该寝室的总评分为_____分． 【答案】85 【解析】 【分析】本题考查了求加权平均数． 根据三项得分的比例，计算加权平均分即可． 【详解】解：∵若按的比例计算总评分， ∴清洁得分80分权重为2，纪律得分90分权重为2，学习氛围得分85分权重为1，权重总和为， ∴总评分为分． 故答案为：85． 13. 如图，在中，是斜边上的高，于点，除自身外，图中与相似的三角形的个数是 ____ 【答案】 【解析】 【分析】根据是斜边上的高，于点，得，，再根据相似三角形的判定，即可． 【详解】解：∵是斜边上的高，于点， ∴，， 在和中， ∵， ∴； 在和中， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； ∴图中与相似的三角形有个． 14. 在图1所示的三角形数阵中，在图所示的三角形数阵中．按照这样的规则，若在图3所示的三角形数阵中，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，理解题意是解题的关键． 根据题意可得， ，，即可得到，根据，即可求解． 【详解】解：∵三角形数阵， ， ∴， ，， ∴， 又∵， 即， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 在平行四边形中，，，，点，分别在边，上运动，且，以为边作等边，且使点在四边形的内部或边上．当的面积最大时，的长为_________． 【答案】##2.5 【解析】 【分析】在平行四边形中，由，可得出，根据是等边三角形，可得，，连接，作的平分线交于点，证明点在上运动，由，可得当取最大值时，的面积最大，由，，可得，可得，则可得，，则与重合时，最大，再证明是等边三角形，可得，则，即可求得的长． 【详解】解：如图，连接，作的平分线交于点， ∵在平行四边形中，，则， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴平分， ∵平分， ∴与重合，即点在上运动， ∵是等边三角形， ∴， ∴当取最大值时，的面积最大， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴, ∴, ∴, ∴最大时，最大， ∵点在四边形的内部或边上， ∴当与重合时，最大， ∵，， ∴是等边三角形， ∴ ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本大题有7个小题，满分90分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16. 计算、化简求值： （1）； （2），其中． 【答案】（1） （2） 化简结果为，值为 【解析】 【分析】（1）根据运算法则进行计算即可； （2）根据分式的运算法则把分式化简，再把字母的值代入化简后的分式中计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， 当时， 可得：原式． 17. 百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析，评分分数用表示，分为四个等级：（A：，B：，C：，D：）．下面给出了部分信息，甲款评分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100．乙款评分数据中C组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90． 甲、乙款评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 甲 86 a 乙 86 b 87 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中____________，____________． （2）计算乙款聊天机器人的评分扇形统计图中D组对应的圆心角； （3）（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评，请用列表法或树状图法列出所有可能的结果，求出两人中至少有一人选择的概率． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先找出甲款评分中出现次数最多的数得到众数，再根据乙款各等级人数确定中位数位置，取第10、11个数的平均数得到； （2）先算出乙款D组人数占样本的比例，再用乘以该比例得到对应圆心角； （3）用树状图列出所有种等可能结果，数出至少一人选丙的种情况，用符合条件的结果数除以总结果数得到概率． 【小问1详解】 解：根据题意可知，甲款满意度的众数为85，故； 乙款A、B组共有个数据， 则乙组的中位数为第10个、第11个数的平均数，即，故； 【小问2详解】 解：根据（1）可知，乙款C组人数为人，则D组人数为人， 则其对应圆心角：； 【小问3详解】 解：画树状图列出所有可能的结果为： 共有种等可能的结果数，其中两人中至少有一人选择的结果数为种， 故两人中至少有一人选择的概率为． 18. 已知、两点是一次函数和反比例函数的图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式： （2）求的面积． （3）观察图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 （2） （3）或． 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数的图象及性质： （1）采用待定系数法求解即可； （2）； （3）根据函数图象即可求得答案． 【小问1详解】 解：因为反比例函数的图象过点， 所以．解得． 反比例函数的解析式为． 因为反比例函数的图象过点， 所以．解得． 点的坐标为． 因为一次函数的图象过点，， 所以，解得， 一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：当时，， 所以点的坐标为． ． 【小问3详解】 解：将不等式变形，得， 根据函数图象可知或． 19. 小明买了一个风筝进行试放，如图，牵风筝线的手到地面的距离为，假设牵风筝线的手的位置高度不变的情况下，测得人站立的位置与风筝的水平距离为，手与风筝之间的距离为，已知点、、、在同一平面内． （1）求风筝离地面的垂直高度； （2）在余线剩的情况下，如图，若想要让风筝的离地高度再上升至处，请判断小明能否成功，并说明理由． 【答案】（1）风筝离地面的垂直高度为； （2）风筝的离地高度能再上升至处， 假设风筝的离地高度能再上升至处， 此时， ， 中，， ， ， 即， 故在余线剩的情况下，风筝的离地高度能再上升至处． 【解析】 【分析】（1）作交于点，证明四边形是矩形，由矩形性质得出，，再结合勾股定理即可得解 （2）假设风筝的离地高度能再上升至处，利用勾股定理求出，再结合无理数的估算即可判断该情况能否成立． 【小问1详解】 解：作交于点， 由题意得， 四边形是矩形， ，， 中，， ， 故风筝离地面的垂直高度为； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的知识点是矩形的判定与性质、勾股定理的实际应用、无理数的估算，解题关键是熟练掌握勾股定理的实际应用． 20. 材料一：为庆祝建国76周年，某纪念币加工厂生产了A，B两款国庆纪念币，已知生产A款纪念币20枚，B款纪念币10枚，需成本（含材料、人工、机器损耗等，下同）1000元；生产A款纪念币50枚，B款纪念币80枚，需成本3600元． 材料二：该纪念币加工厂每天生产A，B两款纪念币共1000枚，并且当天生产的纪念币都能销售完． 材料三：该纪念币加工厂在网上销售这两款纪念币，规定A款纪念币的售价为元/枚，B款纪念币的售价为A款纪念币售价的一半，且A款纪念币每天的销量y（枚）与售价x（元/枚）满足关系式，用w表示该加工厂每天销售两款纪念币的总利润（单位：元）． （1）求A，B两款纪念币成本分别为多少元/枚？ （2）求w关于x的函数表达式，并求当A款纪念币售价x为多少时，总利润w最大，求出此时总利润w的最大值 【答案】（1）A款纪念币成本为40元/枚，B款纪念币成本为20元/枚； （2）；当A款纪念币售价x为70元/枚时，总利润w的最大值为18900元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二次函数的应用，理解题意是解题的关键． （1）设A款纪念币成本为a元/枚，B款纪念币成本价为b元/枚，根据题意列出方程组，求出的值即可解答； （2）根据题意列出w关于x的函数表达式，再根据二次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：设A款纪念币成本为a元/枚，B款纪念币成本价为b元/枚， 由题意得， 解得， 答：A款纪念币成本为40元/枚，B款纪念币成本为20元/枚； 【小问2详解】 解： ， ， 抛物线开口向下，当时，w随x的增大而增大， ， 当时，w有最大值，最大值为（元）． 答：当A款纪念币售价x为70元/枚时，总利润w的最大值为18900元． 21. 如图，内接正方形与交于点是的劣弧上的任意一点，连接，，延长至，使． （1）的度数为___________； （2）求证：直线是的切线； （3）当，时，求线段的长度． 【答案】（1） （2） 证明：在正方形中，， ． ， ， ， ． 是的半径， 是的切线． （3） 【解析】 【分析】本题考查圆内接正方形的性质、圆周角定理(圆周角等于对应圆心角的一半)、圆周角定理的推论、切线的判定定理、全等三角形的判定()与性质等知识． （1）先利用圆内接正方形的性质得到圆心角；再根据圆周角定理，直接计算出的度数； （2）先结合与得到，可推出；又因为是的半径，满足“直线垂直于半径外端”的切线判定条件，从而证明是的切线； （3）延长至，使，连接；利用圆内接正方形的性质和圆内接四边形的性质，根据判定定理可证；由全等三角形的性质得、，进而推出，即是等腰直角三角形，结合等腰直角三角形斜边与直角边的关系，可算出；再根据直径所对的圆周角，在中，设，则，结合，利用勾股定理列方程，解得或；最后结合在劣弧上的位置特征，以及正方形边长(由对角线推导)，可知，排除，最终确定． 【小问1详解】 解：，∵内接正方形 ∴， ∴． 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，延长至，使，连接，则． 四边形是正方形， ． 四边形是圆内接四边形， ． ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 设，则． 为的直径， ， 在Rt中，， 即，解得， ， 等腰中，， 是的劣弧上的任意一点， ， ． 22. 如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线相交于点M，连接． （1）求该抛物线的解析式； （2）在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得与的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）根据二次函数解析式求出顶点P，利用待定系数法求出直线的解析式，从而求出点，进而求出，过点Q作x轴的垂线，交于点F，设，，可求，再根据，可得，解方程求出m的值，代入解析式求出点的纵坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线过点、， ，解得， 该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：存在点Q，使得与的面积相等， ， 顶点， 当时，，则， 设直线的解析式为， 过点，， ，解得， 直线的解析式为， 当时，，则， ， 与的面积相等， ， 如图，过点Q作x轴的垂线，交于点F， 设，则， ， ， ，即， 或， 解得或2或或， ， 舍去， 当时，； 当时，； 当时，； 或或． 【点睛】注意用“铅垂法”求三角形的面积，Q、F两点之间的数值距离是两点纵坐标差的绝对值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $