精品解析：四川省德阳市广汉市2024～2025学年下学期九年级质量检测（一）数学试卷

2024—2025学年度下期九年级质量监测（一） 数学试卷 试卷说明：1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题．全卷共6页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效，考试结束后，将试卷及答题卡交回． 2．本试卷满分150分，答题时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共36分） 一、选择题（本大题有12个小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将正确答案用2B铅笔填涂在答题卡上） 1. 下列各数中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 投掷一枚质地均匀的硬币20次，正面朝上的次数一定是10次 B. 13名同学中，至少有两人的出生月份相同是必然事件 C. 概率很小的事情不可能发生 D. 守株待兔是不可能事件 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 一副直角三角板如图放置，点在的延长线上，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 已知一组数据的唯一众数是，中位数是，则这组数据的平均数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是圆的直径，点，分别在直径所对的两个半圆上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 若关于x 的不等式组无解，则a 的值可以是（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 9. 如图，在正八边形中，连接对角线，已知，则的面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 10. 黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱．摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形的底边取中点E，以E为圆心，线段为半径作圆，其与底边的延长线交于点F，这样就把正方形延伸为矩形，称其为黄金矩形．若，则（ ） A. B. C. D. 11. 幻方是中国古代传统游戏，多见于官府、学堂．如图有一个类似于幻方的“幻圆”，将，0，3，5，7，9分别填入图中的圈内，使横、竖，以及内、外圈上的4个数字之和都相等．现已完成了部分填数，则图中的值是（　　） A. B. 5 C. D. 5或 12. 张院士的动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道，长度为的金属滑块在上面做往返滑动．如图，滑块首先沿方向从左向右匀速滑动，滑动速度为，滑动开始前滑块左端与点重合，当滑块右端到达点时，滑块停顿，然后再以小于的速度匀速返回，直到滑块的左端与点重合，滑动停止．设时间为时，滑块左端离点的距离为，右端离点的距离为，记，与具有函数关系．已知滑块在从左向右滑动过程中，当和时，与之对应的的两个值互为相反数：滑块从点出发到最后返回点，整个过程总用时（含停顿时间）．若在整个往返过程中，，则（ ）． A. 6或9 B. 18 C. 6或18 D. 9或18 第Ⅱ卷（非选择题，共114分） 二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，满分24分，请把答案填在答题卡对应的位置上） 13. 已知，，则______． 14. 甲，乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，现有以下三个推断： ①甲的成绩更稳定； ②乙的平均成绩更高； ③每人再射击一次，乙的成绩一定比甲高．其中正确的是______．（填序号） 15. 如图所示的是一个简单的数值运算程序．当输入的值是64时，输出的值是_______． 16. 如图，两条宽度分别为2和4方形纸条交叉放置，重叠部分为四边形ABCD，若，则四边形的面积是________． 17. 如图，直线与轴、轴分别相交于，两点，是该直线上的任一点，过点向以为圆心，为半径的作两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最小值为____． 18. 在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之差的绝对值为奇数的取法种数进行了探究．发现：当时，仅有一种取法，即；当时，有两种取法，即；当时，可得；若，则的值为______；若，则的值为______． 三、解答题（本大题有7个小题，满分90分，解答应写出文字说明证明过程或推演步骤） 19. （）计算： （）解方程： 20. 春节期间，人工智能题材新闻密集发酵，广受关注，相关话题讨论持续火热，海内外模型、机器人都已获得显著的技术突破，目前人工智能市场分为：决策类人工智能；：人工智能机器人；：语音类人工智能；：视觉类人工智能四大类型．为了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某公司就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如图统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）①此次共调查了______人，扇形统计图中类对应的圆心角度数为______； ②请将条形统计图补充完整； （2）将四个类型的图标依次制成、、、四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率． 21. 如图，在矩形中，，相交于点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，则四边形的面积为 ． 22. 如图1，反比例函数与一次函数（）的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接，，求的面积； （3）如图2，点是反比例函数图象上点左侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标． 23. 每年的4月23日为世界读书日．某网上图书销售平台计划在今年世界读书日前购进甲、乙两类图书共1200册，这两类图书的进价、售价如下表： 进价/（元/册） 售价/（元/册） 甲类图书 25 30 乙类图书 45 60 （1）分别购进甲、乙两类图书多少册时进货款恰好为46000元？ （2）分别购进甲、乙两类图书多少册时，该平台获利最多且总利润不超过总进货款的30%（假设甲、 乙两类图书全部售完）？此时总利润为多少元？ 24. 如图，在中，点为圆周的四等分点，为切线，连接，并延长交于点，连接交于点． （1）求证：平分； （2）求证：； （3）若，求的值． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点、点，与轴交于点．点是第一象限的抛物线上一动点． （1）求抛物线的表达式； （2）如左图，连接，当时，求点的坐标； （3）如右图，过点作于点，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度下期九年级质量监测（一） 数学试卷 试卷说明：1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题．全卷共6页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效，考试结束后，将试卷及答题卡交回． 2．本试卷满分150分，答题时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共36分） 一、选择题（本大题有12个小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将正确答案用2B铅笔填涂在答题卡上） 1. 下列各数中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数，无限不循环小数是无理数，据此判断即可求解，掌握无理数的定义是解题的关键． 【详解】解：、是有限小数，是有理数，该选项不合题意； 、，是整数，是有理数，该选项不合题意； 、无理数，该选项符合题意； 、是有限小数，是有理数，该选项不合题意； 故选：． 2. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，据此判断即可求解，熟练掌握以上定义是解题的关键． 【详解】、是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项不合题意； 、是中心对称图形，不是轴对称图形，该选项不合题意； 、是轴对称图形，又是中心对称图形，该选项符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项不合题意； 故选：． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 投掷一枚质地均匀的硬币20次，正面朝上的次数一定是10次 B. 13名同学中，至少有两人的出生月份相同是必然事件 C. 概率很小的事情不可能发生 D. 守株待兔是不可能事件 【答案】B 【解析】 【分析】根据事件的分类方法逐一判断即可：在一定条件下不可能发生的事件是不可能事件，在一定条件下一定会发生的事件是必然事件，在一定条件下可能发生也可能不发生的事件是随机事件．本题主要考查了概率意义的理解，事件的分类，熟知必然事件，不可能事件和随机事件的定义是解题的关键． 【详解】解：A、投掷一枚质地均匀的硬币20次，正面朝上的次数不一定是10次，原说法错误，不符合题意； B、13名同学中，至少有两人的出生月份相同是必然事件，原说法正确，符合题意； C、概率很小的事情有可能发生，原说法错误，不符合题意； D、守株待兔是随机事件，原说法错误，不符合题意； 故选B 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式分别运算即可判断求解，掌握以上运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 故选：． 5. 一副直角三角板如图放置，点在的延长线上，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据得，结合，，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 6. 已知一组数据的唯一众数是，中位数是，则这组数据的平均数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数和平均数，由题意可得这组数据为，，，，，进而即可求解，掌握众数和中位数的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，这组数据为，，，，， ∴这组数据的平均数为， 故选：． 7. 如图，是圆的直径，点，分别在直径所对的两个半圆上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，由圆周角定理可得，进而根据角的和差即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵是圆的直径， ∴， ∵， ∴， 故选：． 8. 若关于x 的不等式组无解，则a 的值可以是（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解不等式得，解不等式得，根据不等式组无解，即可得出答案，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键． 【详解】解： 解不等式得：， 解不等式得：， ∵不等式组无解， ∴， 故选：A． 9. 如图，在正八边形中，连接对角线，已知，则的面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形的性质，掌握正多边形内角和定理，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 根据正多边形的性质得到每个内角的度数均为，由多边形的每条边都相等得到，，则有，由此得到是等腰直角三角形，根据三角形的面积的计算公式计算即可求解． 【详解】解：∵正八边形的一个内角度数为， ∵， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：B． 10. 黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱．摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形的底边取中点E，以E为圆心，线段为半径作圆，其与底边的延长线交于点F，这样就把正方形延伸为矩形，称其为黄金矩形．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割点、正方形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 设，根据题意得出，在中，由勾股定理，可得，代入数值并求解，即可获得答案． 【详解】解：设， ∵四边形是正方形， ， ∵点为中点， ， 又∵， ， ∴在中，由勾股定理，可得， 即， 整理可得， 解得：(舍去)， ， 故选：D． 11. 幻方是中国古代传统游戏，多见于官府、学堂．如图有一个类似于幻方的“幻圆”，将，0，3，5，7，9分别填入图中的圈内，使横、竖，以及内、外圈上的4个数字之和都相等．现已完成了部分填数，则图中的值是（　　） A. B. 5 C. D. 5或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用和有理数的四则混合运算，由横、竖，以及内、外两圈上的4个数字之和都相等，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，结合横、竖两列的数相等及八个数分别为可求出内圆上最左边的数，结合八个空填写不同的八个数，可得出的值，再将其代入中，即可求出结论，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解决此题的关键． 【详解】解：根据题意得：,解得：, 又横、竖以及内、外两圈上的个数字之和都相等，且这个数总和为， 横、竖以及内、外两圈上的个数字之和为， , 在”幻圆”中填上部分数，如图所示： 可以为或， 当时，， 当时，， 的值为或， 故选：． 12. 张院士的动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道，长度为的金属滑块在上面做往返滑动．如图，滑块首先沿方向从左向右匀速滑动，滑动速度为，滑动开始前滑块左端与点重合，当滑块右端到达点时，滑块停顿，然后再以小于的速度匀速返回，直到滑块的左端与点重合，滑动停止．设时间为时，滑块左端离点的距离为，右端离点的距离为，记，与具有函数关系．已知滑块在从左向右滑动过程中，当和时，与之对应的的两个值互为相反数：滑块从点出发到最后返回点，整个过程总用时（含停顿时间）．若在整个往返过程中，，则（ ）． A. 6或9 B. 18 C. 6或18 D. 9或18 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，分析得出，并求得往返过程中的解析式是解题的关键．设轨道的长为，根据已知条件得出，则，根据当和时，与之对应的的两个值互为相反数；则时，，得出，继而求得滑块返回的速度为，得出，代入求得d关于t的函数，进而①当时，②当时，分别令，进而即可求解． 【详解】解：设轨道的长为，当滑块从左向右滑动时， ∵， ∴， ∴， ∴是的一次函数， ∵当和时，与之对应的的两个值互为相反数； ∴当时，， ∴， ∴， ∴滑块从点到点所用的时间为， 当， 时，， 解得：； ∵整个过程总用时（含停顿时间）．当滑块右端到达点时，滑块停顿， ∴滑块从点到点的滑动时间为， ∴滑块返回的速度为， ∴， ∴， ∴， ∴与的函数表达式为， 当，时， ， 解得：， 综上所述，当或时，． 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题，共114分） 二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，满分24分，请把答案填在答题卡对应的位置上） 13. 已知，，则______． 【答案】24 【解析】 【分析】根据平方差公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：24． 【点睛】本题考查因式分解的应用，先根据平方差公式进行因式分解再整体代入求值是解题的关键． 14. 甲，乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，现有以下三个推断： ①甲的成绩更稳定； ②乙的平均成绩更高； ③每人再射击一次，乙的成绩一定比甲高．其中正确的是______．（填序号） 【答案】①②##②① 【解析】 【分析】本题考查了平均数、方差的意义．解答本题的关键是掌握它们的定义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据方差、平均数的意义进行判断即可求出答案． 【详解】解：根据图象可知甲的波动比乙小，则甲的成绩更加稳定，故①正确；根据图象可知甲的平均成绩稳定在5以下，而乙的平均成绩稳定在7.5左右，则乙的平均成绩更高，故②正确；如果每人再射击一次，但乙的成绩不一定比甲高，只能是可能性较大，因为乙的平均成绩更高，但是波动较大，故③错误． 故答案为：①②． 15. 如图所示的是一个简单的数值运算程序．当输入的值是64时，输出的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键熟练掌握实数的运算法则．首先求出64的平方根，然后再计算出其立方根即可． 【详解】解：由题意得当输入x的值是64时， ，， ， 故答案为：． 16. 如图，两条宽度分别为2和4方形纸条交叉放置，重叠部分为四边形ABCD，若，则四边形的面积是________． 【答案】12 【解析】 【分析】根据题意判定四边形是平行四边形．如图，过点A作于点E，过点A作于点F，利用面积法求得与的数量关系，从而求得该平行四边形的面积． 【详解】解：依题意得：，，则四边形是平行四边形． 如图，过点A作于点E，过点A作于点F， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴四边形的面积； 答案为：9 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质．根据面积法求得是解题的关键，另外，注意解题过程中辅助线的作法． 17. 如图，直线与轴、轴分别相交于，两点，是该直线上的任一点，过点向以为圆心，为半径的作两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最小值为____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据直线与坐标轴的交点，得出A，B的坐标，求出的长，即可得出的半径，证，可得四边形面积，当时，四边形的面积最小，利用三角函数求出的长，即可求得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点， 当时，，当时，， ∴，， ∴， ∵过点向以P为圆心，为半径的作两条切线，切点分别为E、F， ∴，， ∵，， ∴， ∵的半径为， ∴， 当时，最小，从而最小，此时， ∵四边形面积， ∴四边形面积的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，全等三角形的判定，三角函数的应用等，熟练掌握相关内容是解题的关键． 18. 在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之差的绝对值为奇数的取法种数进行了探究．发现：当时，仅有一种取法，即；当时，有两种取法，即；当时，可得；若，则的值为______；若，则的值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律变化问题，由定义可得若，有六种取法，即可解答①；根据前几个值所对应的值，可得当为偶数时，，当为奇数时，，进而即可解答②，找到数字的变化寻找规律是解题的关键． 【详解】解：若，有六种取法，即， 故答案为：； ∵当时，仅有一种取法，即； 当时，有两种取法，即； 当时，有四种取法，即； 当，有六种取法，即， ， ∴当为偶数时，；当为奇数时，， ∴当时，， 故答案为：． 三、解答题（本大题有7个小题，满分90分，解答应写出文字说明证明过程或推演步骤） 19. （）计算： （）解方程： 【答案】（）；（） 【解析】 【分析】（）利用绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、立方根的定义分别运算，再合并即可求解； （）根据解分式方程的步骤解答即可求解； 本题考查了实数的混合运算，解分式方程，正确计算是解题的关键． 【详解】解：（）原式 ； （）方程两边乘以，得， 整理得，， ∴， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 20. 春节期间，人工智能题材新闻密集发酵，广受关注，相关话题讨论持续火热，海内外模型、机器人都已获得显著的技术突破，目前人工智能市场分为：决策类人工智能；：人工智能机器人；：语音类人工智能；：视觉类人工智能四大类型．为了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某公司就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如图统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）①此次共调查了______人，扇形统计图中类对应的圆心角度数为______； ②请将条形统计图补充完整； （2）将四个类型的图标依次制成、、、四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率． 【答案】（1）①；； ②补全条形统计图如图所示： （2） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联、用列表法或树状图法求概率、求扇形统计图圆心角度数，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）①用类的人数除以所占的百分比即可得出总人数，用乘以类所占的比例即可得出圆心角度数；②求出类的人数，再补全条形统计图即可； （2）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：①此次共调查了人，扇形统计图中C类对应的圆心角度数为； ②类的人数为（人）， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：画出树状图如下： ， 由树状图可得，共有种等可能出现的结果，其中抽取到的两张卡片内容一致的情况有， ∴抽取到的两张卡片内容一致的概率为． 21. 如图，在矩形中，，相交于点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，则四边形的面积为 ． 【答案】（1） 证明：，， 四边形是平行四边形， 在矩形中，，相交于点， ，，， ， 平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据，，可得四边形是平行四边形，根据矩形的性质可推出，即可得证； （2）连接，交于点，根据四边形是菱形，可得，，，再根据勾股定理求出，进而得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接，交于点， 四边形是菱形， ，，， ， ， ， 菱形的面积为：， 故答案为：． 22. 如图1，反比例函数与一次函数（）的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接，，求的面积； （3）如图2，点是反比例函数图象上点左侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标． 【答案】（1）一次函数的解析式式为，反比例函数的解析式式为； （2）； （3）点 【解析】 【分析】（1）将代入反比例函数的解析式求得m的值，再将代入，再把点A和点B的坐标代入求解即可； （2）先求出点的坐标为，然后利用即可求解； （3）过点作轴的平行线，作于点，作于点，设，则，，由旋转的性质得，，证明得，，求出点，然后代入反比例函数解析式即可． 【小问1详解】 解：因为点在的图象上，所以． 所以反比例函数的解析式式为， 因为点在的图象上，所以． 因为点，在的图象上， 所以， 所以， 所以一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：令，则， 则点的坐标为． 所以． 【小问3详解】 解：如图，过点作轴的平行线，作于点，作于点， 设， ∵点， ∴，． ∵线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点． ∵点恰好也落在这个反比例函数的图象上， ∴， 解得：（舍去），， ∴点． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，利用待定系数法确定反比例函数与一次函数的解析式，数形结合是解题的关键． 23. 每年的4月23日为世界读书日．某网上图书销售平台计划在今年世界读书日前购进甲、乙两类图书共1200册，这两类图书的进价、售价如下表： 进价/（元/册） 售价/（元/册） 甲类图书 25 30 乙类图书 45 60 （1）分别购进甲、乙两类图书多少册时进货款恰好为46000元？ （2）分别购进甲、乙两类图书多少册时，该平台获利最多且总利润不超过总进货款的30%（假设甲、 乙两类图书全部售完）？此时总利润为多少元？ 【答案】（1）网上图书销售平台购进甲类图书400册，乙类图书800册时，进货款恰好为46000元 （2）网上图书销售平台购进甲类图书450册，购进乙类图书750册时的最大利润为13500元 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，一元一次不等式和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程，不等式和一次函数解析式． （1）设购进甲类图书x册，乙类图书册，根据进货款恰好为46000元列方程求解即可； （2）设网上图书销售平台应购进甲图书m只，根据题意列出函数解析式,运用一次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设购进甲类图书x册，乙类图书册，根据题意得， ， 解得， 所以乙类图书数为：（册）， 答：网上图书销售平台购进甲类图书400册，乙类图书800册时，进货款恰好为46000元； 【小问2详解】 解：设网上图书销售平台应购进甲类图书数为m册，平台销售完这批图书可获利w元． 根据题意得， ∵网上图书销售平台销售完图书时获利最多且不超过进货价的， ∴， ∴． ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴时，w最大元． ∴网上图书销售平台购进甲类图书450册，购进乙类图书750册时的最大利润为13500元． 24. 如图，在中，点为圆周的四等分点，为切线，连接，并延长交于点，连接交于点． （1）求证：平分； （2）求证：； （3）若，求的值． 【答案】（1） 证明：连接， ∵点为圆周的四等分点， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴， 即平分； （2） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（）利用圆周四等分点得到，即得，再根据切线的性质得到，即得，即可求证； （）由圆周角定理可得，根据圆内接四边形的性质可证，再根据弧弦圆心角的关系可得，即可求证； （）过点作于点，由全等三角形的性质得，即得，，进而得的半径为，即得，利用勾股定理得，过点作于点，由等腰直角三角形的性质得，最后根据正弦的定义计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的半径为， ∴， 在中，， 过点作于点， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了弧弦圆心角的关系，切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，锐角三角函数等，正确作出辅助线是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点、点，与轴交于点．点是第一象限的抛物线上一动点． （1）求抛物线的表达式； （2）如左图，连接，当时，求点的坐标； （3）如右图，过点作于点，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）过点作，则，过点作于点，，则，则，设，则，，根据，解方程，即可求解； （3）过点作轴于点，交于点，作于点，设，得出，设点，则点，进而分别表示出，根据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：， 则，则， 抛物线解析式为：； 【小问2详解】 过点作，则，过点作于点， 当，则， 则，则 ，则， 又，则， 则 设，则， ， 解得：舍去或 当时， ； 【小问3详解】 过点作轴于点，交于点，作于点， 设，， ， 设直线的表达式为，代入， ， 解得： 直线的表达式为， 设点，则点 则 又 ，当时，有最大值， 的最大值为． 【点睛】主要考查了二次函数综合，解直角三角形，勾股定理．解题的关键是利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $