湖北武汉市武钢三中2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷

2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷 （测试内容：三角函数、平面向量及其应用、复数） 1、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．若cos（α），则sin2α＝（　　） A． B． C． D． 2．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（　　） A． B． C． D． 3．已知（1，），（2，0），则在上的投影向量为（　　） A． B． C． D．（1，0） 4．已知非零向量，满足||＝2||，且（）⊥，则与的夹角为（　　） A． B． C． D． 5．一半径为4m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟按逆时针方向转动3圈，当水轮上点P从水中浮现时开始计时，即从图中点P0开始计算时间．将点P距离水面的高度h（单位：m）表示为时间t（单位：s）的函数，则此函数表达式为（　　） A． B． C． D． 6．已知△ABC的三条边a、b、c和与之对应的三个角A、B、C满足等式acosB+bcosC+ccosA＝bcosA+ccosB+acosC，则此三角形的形状是（　　） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 7．已知平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，4，点P在线段CD上（不包含端点），则的取值范围是（　　） A．[﹣1，8） B．（0，8） C．[1，10） D．（0，10） 8．已知锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，且（b2﹣c2）•sinB＝2S，若a＝kc，则k的取值范围是（　　） A．（1，2） B．（0，3） C．（1，3） D．（0，2） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知z1，z2都是复数，下列选项中正确的是（　　） A．若z1z2＝0，则z1＝0或z2＝0 B．若，则z1＝z2 C．若，则z1+z2是实数 D．若，则|z1|＝|z2| 10．已知函数f（x）＝sin2x+2sinxcosx﹣cos2x，x∈R，则（　　） A．﹣2≤f（x）≤2 B．f（x）在区间（0，π）上只有1个零点C．f（x）的最小正周期为π D．为f（x）图象的一条对称轴 11．已知△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，O为△ABC的外心，b＝4，c＝5，△ABC的面积S满足．若，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．设0＜θ，向量（sin2θ，cosθ），（cosθ，1），若∥，则tanθ＝　 　 ． 13．函数f（x）＝sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为　 　 ． 14．在△ABC中，点D满足，当E点在线段AD上移动时，若，则t＝（λ﹣1）2+μ2的最小值是 　 　 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）已知平面向量． （1）若，且，求的坐标； （2）若与的夹角为锐角，求实数λ的取值范围． 16．（本小题满分15分）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|）的部分图象如图所示． （1）求函数y＝f（x）的解析式； （2）求f（x）的对称轴以及在[﹣π，0]上的单调递减区间。 17．（本小题满分15分）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a+c＝3，． （1）求角B的大小； （2）若a＜b，b＝2，求cos（A）的值． 18．（本小题满分17分）设向量，，． （1）若∥，求sin2x﹣3cos2x+1的值； （2）若，函数，m∈R，f（x）的最大值为﹣1，求m的值； （3）在第（2）问的条件下，若关于x的不等式有解，求实数λ的取值范围． 19．（本小题满分17分）我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对（z1，z2）（z1，z2∈C）视为一个向量，记作．两个复向量，的线性运算定义为：，（m，n∈R）；两个复向量，的积记作，定义为；复向量的模定义为；若复向量与满足，则称复向量与平行． （1）设，，求以及； （2）对于实数m，判断与能否平行，若能求出m的值，若不能，说明理由； （3）设，，z∈C，且复向量与平行，求复数z． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷 （测试内容：三角函数、平面向量及其应用、复数） 1、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．若cos（α），则sin2α＝（　D　） A． B． C． D． 【解析】 ∵cos（α），∴sin2α＝cos（2α）＝cos2（α）＝2cos2（α）﹣1＝21 2．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（　A　） A． B． C． D． 【解析】 在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点， （） 3．已知（1，），（2，0），则在上的投影向量为（　D　） A． B． C． D．（1，0） 【解析】 根据题意，可得||＝2，1×20＝2，所以在上的投影向量为•（1，0）． 4．已知非零向量，满足||＝2||，且（）⊥，则与的夹角为（　B　） A． B． C． D． 【解析】 ∵（）⊥，∴ ，∴ ，∵，∴。 5．一半径为4m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟按逆时针方向转动3圈，当水轮上点P从水中浮现时开始计时，即从图中点P0开始计算时间．将点P距离水面的高度h（单位：m）表示为时间t（单位：s）的函数，则此函数表达式为（　C　） A． B． C． D． 【解析】 依题意，设函数表达式为y＝Asin（ωx+φ）+2，水轮半径为4m，所以振幅A＝4，水轮每分钟按逆时针方向转动3圈故角速度为ω，水轮上点P从水中浮现时开始计时，所以4sin（φ）+2＝0，解得，φ，所以则此函数表达式为y＝4sin（）+2 6．已知△ABC的三条边a、b、c和与之对应的三个角A、B、C满足等式acosB+bcosC+ccosA＝bcosA+ccosB+acosC，则此三角形的形状是（　B　） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 【解析】 由于acosB+bcosC+ccosA＝bcosA+ccosB+acosC，利用正弦定理：sinAcosB+sinBcosC+sinCcosA＝sinBcosA+sinCcosB+sinAcosC，整理得：sin（A﹣B）+sin（B﹣C）﹣sin（A﹣C）＝0，故，所以，故，故A＝B或B＝C或A＝C；所以△ABC为等腰三角形． 7．已知平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，4，点P在线段CD上（不包含端点），则的取值范围是（　C　） A．（0，8） B．（0，10） C．[﹣1，8） D．[1，10） 【解析】 如图所示，设（0＜x＜1），则，∴，，且AB＝4，AD＝2，4，∴16（x2﹣x）+4+4（2x﹣1），∴，的取值范围为[﹣1，8）． 8．已知锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，且（b2﹣c2）•sinB＝2S，若a＝kc，则k的取值范围是（　A　） A．（1，2） B．（0，3） C．（1，3） D．（0，2） 【解析】 因为（b2﹣c2）•sinB＝2S，且SacsinB，所以（b2﹣c2）•sinB＝2•acsinB＝acsinB，因为sinB＞0，所以b2﹣c2＝ac，即b，又a＝kc，所以bc，因为△ABC为锐角三角形，所以，即，解得，所以1＜k＜2． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知z1，z2都是复数，下列选项中正确的是（　ACD　） A．若z1z2＝0，则z1＝0或z2＝0 B．若，则z1＝z2 C．若，则z1+z2是实数 D．若，则|z1|＝|z2| 【解析】 若z1z2＝0，则|z1z2|＝0，可得|z1|＝0或|z2|＝0，所以z1＝0或z2＝0，故A正确；设，则1，但是z1≠z2，故B 错误；设z1a+bi（a，b为实数），则z2＝a﹣bi，可得z1+z2＝2a为实数，故C 正确；设，则，即，可得，，即，所以，可得|z1|＝|z2|，故D正确． 10．已知函数f（x）＝sin2x+2sinxcosx﹣cos2x，x∈R，则（　AC　） A．﹣2≤f（x）≤2 B．f（x）在区间（0，π）上只有1个零点 C．f（x）的最小正周期为π D．为f（x）图象的一条对称轴 【解析】 f（x）＝sin2x+2sinxcosx﹣cos2x sin2x﹣cos2x ＝2sin（2x），结合正弦函数的性质可知，﹣2≤f（x）≤2，A正确；令f（x）＝0可得2xkπ，则x，k∈Z，f（x）在区间（0，π）上的零点，，B错误；由周期公式可知，T＝π，C正确；当x时，f（x）没有取得最值，不符合对称轴的条件，D错误． 11．已知△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，O为△ABC的外心，b＝4，c＝5，△ABC的面积S满足．若，则下列结论正确的是（　ACD　） A． B． C． D． 【解析】 对于A，由余弦定理知，b2+c2﹣a2＝2bc•cosA，∵（b+c）2﹣a2＝4S，∴b2+2bc+c2﹣a2＝4•bcsinA，∴2bc•cosA+2bc＝2bcsinA，即1+cosAsinA，∴sin（A），∵A∈（0，π），∴A，∴A，∴A正确；对于B，SbcsinA4×55，∴B错误；对于C，∵O为△ABC的外心，∴•||•||•cos∠OABc2，同理•b2＝8，∴••（）＝8，∴C正确；对于D，∵•（λμ）•λμ•25λ+μ×5×425λ+10μ ①，•（λμ）•μλ•16μ+λ×5×416μ+10λ＝8 ②，由①②得，λ，μ，∴λ+μ，∴D正确． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．设0＜θ，向量（sin2θ，cosθ），（cosθ，1），若∥，则tanθ＝　　 ． 【解析】 ∵∥，向量（sin2θ，cosθ），（cosθ，1），∴sin2θ﹣cos2θ＝0，∴2sinθcosθ＝cos2θ， ∵0＜θ，∴cosθ≠0．∴2tanθ＝1，∴tanθ． 13．函数f（x）＝sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为　　 ．1 【解析】函数f（x）＝sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）＝sin[（x+φ）+φ]﹣2sinφcos（x+φ）＝sin（x+φ）cosφ+cos（x+φ）sinφ﹣2sinφcos（x+φ）＝sin（x+φ）cosφ﹣cos（x+φ）sinφ＝sin[（x+φ）﹣φ]＝sinx， 故函数f（x）的最大值为1。 14．在△ABC中，点D满足，当E点在线段AD上移动时，若，则t＝（λ﹣1）2+μ2的最小值是 　　 ． 【解析】 如图所示，E在线段AD上，所以存在实数k使得； ；则∴，∴ ，∴时，t取最小值． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）已知平面向量． （1）若，且，求的坐标； （2）若与的夹角为锐角，求实数λ的取值范围． 【解析】 （1）设，，且，∴， ∴x＝2y，且，∴x2+y2＝4y2+y2＝5y2＝5，解得y＝±1，∴或，∴或（2，1）； （2），∵与的夹角为锐角，∴，且与不共线，∴，解得且λ≠0，∴λ的取值范围为． 16．（本小题满分15分）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|）的部分图象如图所示． （1）求函数y＝f（x）的解析式； （2）求f（x）的对称轴以及在[﹣π，0]上的单调递减区间． 【解析】 （1）由图可知，A＝2，周期T，，故， ∵|φ|，∴，故f（x）； （2） 令，k∈Z，解得，k∈Z，令k＝﹣1，则，故f（x）在[﹣π，0]上的单调递减区间为，令，k∈Z，解得x，故f（x）的对称轴为x． 17．（本小题满分15分）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a+c＝3，． （1）求角B的大小； （2）若a＜b，b＝2，求cos（A）的值． 【解析】 （1）由，可得bcosC＝2acosB﹣ccosB，由正弦定理可得，sinBcosC+sinCcosB＝2sinAcosB，所以sin（B+C）＝2sinAcosB＝sinA，因为sinA≠0，所以cosB，可得B． （2）由正弦定理可得，asinA，csinC，∴3＝a+csinAsinC[sinA+sin（A）]（sinAsinAcosA）（sinAcosA）＝4sin（A），整理可得，sin（A），由a＜b可得A，故A，所以cos（A）． 18．（本小题满分17分）设向量，，． （1）若∥，求sin2x﹣3cos2x+1的值； （2）若，函数，m∈R，f（x）的最大值为﹣1，求m的值； （3）在第（2）问的条件下，若关于x的不等式有解，求实数λ的取值范围． 【解析】 （1）因为，，若∥，则sinx＝cosx，所以tanx＝1，所以sin2x﹣3cos2x+1＝2sinxcosx﹣6cos2x+3+1442； （2）由，，，得，所以f（x）＝m（sinx+cosx）﹣sinxcosx﹣1，令，则，因为，，则，所以，，当m≤1时，函数在上单调递减，则f（x）的最大值为，解得m＝0，当时，则f（x）的最大值为，无解；当时，函数在上单调递增，则f（x）的最大值为，解得，不合题意，综上m＝0； （3）由（2）可知，，因为，所以2x∈[0，π]，所以sin2x∈[0，1]，则f（x）的最小值为，因为不等式有解，所以，即3λ2﹣λ﹣3≤0，解得，即实数λ的取值范围为． 19．（本小题满分17分）我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对（z1，z2）（z1，z2∈C）视为一个向量，记作．两个复向量，的线性运算定义为：，（m，n∈R）；两个复向量，的积记作，定义为；复向量的模定义为；若复向量与满足，则称复向量与平行． （1）设，，求以及； （2）对于实数m，判断与能否平行，若能求出m的值，若不能，说明理由； （3）设，，z∈C，且复向量与平行，求复数z． 【解析】 （1）因为，，所以3（1+i）+4•（﹣i）＝3﹣i，． （2）因为，，所以（1+i）（﹣i）+（2﹣i）m＝﹣i﹣i2+2m﹣mi＝（2m+1）﹣（m+1）i，，，所以||，若与平行，则，所以•，化简得2m2﹣6m+5＝0，因为Δ＝（﹣6）2﹣4×2×5＜0，所以方程2m2﹣6m+5＝0无解，故与不可能平行． （3）设z＝a+bi，则a﹣bi，因为，，所以（1+i）（﹣i）+（2﹣i）（a﹣bi）＝﹣i﹣i2+2a﹣2bi﹣ai+bi2＝（2a﹣b+1）﹣（a+2b+1）i，，，所以||，因为复向量与平行，所以•，化简整理得， 所以a，b，所以zi． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/2/10 12:34:22；用户：15972902576；邮箱：15972902576；学号：21498003 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $