湖北省武汉市第三中学2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷

2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷 （测试内容：三角函数、平面向量及其应用、复数） 1、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．若z＝1+i，则|z2﹣2z|＝（　　） A．0 B．1 C． D．3 2．（　　） A． B． C． D． 3．在△ABC中，其中三个内角分别为A，B，C，并且所对的边分别为a，b，c，其中a：b：c＝2：3：4，则sinA：sinB：sinC＝（　　） A．2：3：4 B．4：9：16 C．4：3：2 D．16：9：4 4．已知向量，，．若与垂直，则实数λ的值为（　　） A． B． C．3 D． 5．如图所示，点E为△ABC的边AC的中点，F为线段BE上靠近点B的三等分点，则（　　） A． B． C． D． 6．若非零向量，满足||||，且（）⊥（32），则与的夹角为（　　） A． B． C． D．π 7．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论错误的是（　　） A． 函数的解析式可以为 B．函数f（x）在上单调递减 C．函数y＝f（x）的图像关于直线对称 D．函数y＝f（x）的图像关于点对称 8．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，S为△ABC的面积，a＝4，且2S＝a2﹣（b﹣c）2，则△ABC的周长的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列等式成立的是（　　） A．sin26°﹣cos26°＝cos12° B． C． D． 10．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列四个命题中正确的是（　　） A．若a2+b2﹣c2＞0，则△ABC一定是锐角三角形 B．若acosA＝bcosB，则△ABC一定是等腰三角形 C．若acosC+ccosB＝b，则△ABC一定是等腰三角形 D．若，则△ABC一定是等边三角形 11．某校举行了春季运动会，运动会上有同学报名了实心球项目，其中实心球项目的比赛场地是一个扇形．类似一把折扇，经过数学组老师的实地测量，得到比赛场地的平面图如图2的扇形AOB，其中∠AOB＝150°，OA＝2OC＝2OD＝2，点F在弧AB上，且∠BOF＝120°，点E在弧CD上运动．则下列结论正确的有（　　） A． B．，则 C．在方向上的投影向量为 D．的最大值是﹣1 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．复数为纯虚数，则实数a为　 　 ． 13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2+c2﹣b2＝4，则 　 　 ． 14．德国机械学家莱洛设计的莱洛三角形在工业领域应用广泛．如图，分别以等边三角形ABC的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形．若该等边三角形ABC的边长为1，P为弧AB上的一个动点，则的最小值为 　 　 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）已知复数z满足z+i和均为实数． （1）求复数z； （2）若在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围． 16．（本小题满分15分）设，为两个不共线的向量，若λ，2． （1）若（）∥共线，求实数λ的值； （2）若，是夹角为的单位向量，且⊥，求实数λ的值． 17．（本小题满分15分）已知向量，函数f（x）（ω＞0），函数f（x）图像相邻对称轴之间的距离为． （1）求f（x）的单调递减区间； （2）将函数f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得g（x）的图象，若关于x的方程g（x）＝m在上只有一个解，求实数m的取值范围． 18．（本小题满分17分）已知△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，且． （1）求tanA； （2）若△ABC的面积为； ①E为BC的中点，求△ABC底边BC上中线AE长的最小值； ②求内角A的角平分线AD长的最大值． 19．（本小题满分17分）定义非零向量的“相伴函数”为f（x）＝asinx+bcosx（x∈R），向量称为函数f（x）＝asinx+bcosx（x∈R）的“相伴向量”（其中O为坐标原点）． （1）设（x∈R），写出函数h（x）的相伴向量； （2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，记向量的相伴函数f（x），若f（2B）＝1且，求a+c的取值范围； （3）已知D（﹣2，3），E（2，6），f（x）为（2）中函数，，请问在y＝φ（x）的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷 （测试内容：三角函数、平面向量及其应用、复数） 1、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．若z＝1+i，则|z2﹣2z|＝（　C　） A．0 B．1 C． D．3 【解析】 若z＝1+i，则z2﹣2z＝（1+i）2﹣2（1+i）＝2i﹣2﹣2i＝﹣2，则|z2﹣2z|＝|﹣2|＝2 2．（　D　） A． B． C． D． 【解析】 cos（2）＝cos． 3．在△ABC中，其中三个内角分别为A，B，C，并且所对的边分别为a，b，c，其中a：b：c＝2：3：4，则sinA：sinB：sinC＝（　A　） A．2：3：4 B．4：9：16 C．4：3：2 D．16：9：4 【解析】 由正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，（R为三角形外接圆半径），所以a：b：c＝2RsinA：2RsinB：2RsinC＝sinA：sinB：sinC＝2：3：4，又a：b：c＝2：3：4，所以sinA：sinB：sinC＝2：3：4． 4．已知向量，，．若与垂直，则实数λ的值为（　A　） A． B． C．3 D． 【解析】 因为，，所以， 又且与垂直，所以，解得． 5．如图所示，点E为△ABC的边AC的中点，F为线段BE上靠近点B的三等分点，则（　C　） A． B． C． D． 【解析】 ． 6．若非零向量，满足||||，且（）⊥（32），则与的夹角为（　B　） A． B． C． D．π 【解析】 ∵（）⊥（32），∴（）•（32）＝0，即32﹣22•0，即•32﹣22，∵||||，∴22，即•32﹣22222，∴cos，，即， 7．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论错误的是（　B　） A． 函数的解析式可以为 B．函数f（x）在上单调递减 C．函数y＝f（x）的图像关于直线对称 D．函数y＝f（x）的图像关于点对称 【解析】 由题意得，A＝2，T＝4（）＝π，所以ω＝2，f（x）＝2sin（2x+φ），因为φ2kπ，k∈Z，因为|φ|，所以，f（x）＝2sin（2x），A正确；当时，，此时f（x）不单调，B错误；因为2，此时f（x）取得最小值，C正确；因为f（）＝2sin0＝0，D正确． 8．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，S为△ABC的面积，a＝4，且2S＝a2﹣（b﹣c）2，则△ABC的周长的取值范围是（　D　） A． B． C． D． 【解析】 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，a＝4，且2S＝a2﹣（b﹣c）2，则2S＝a2﹣（b﹣c）2＝a2﹣b2﹣c2+2bc＝2bc﹣2bccosA，所以S＝bc﹣bccosAbcsinA， 所以1﹣cosAsinA，即2sin2sincos，又A为锐角，所以可得tan，tanA，sinA，cosA，又a＝4，由正弦定理可得5，所以b+c＝5[sinB+sin（A+B）] ＝5（sinBcosBsinB）＝4cosB+8sinB＝4sin（B+φ），其中tanφ，φ，因为△ABC为锐角三角形，所以A，则，所以cossin（B+φ）≤1，又cos，∴8＜4sin（B+φ）≤4，即b+c∈（8，4]，故△ABC的周长的取值范围是（12，44]． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列等式成立的是（　BC　） A．sin26°﹣cos26°＝cos12° B． C． D． 【解析】 sin26°﹣cos26°＝﹣cos12°，A错误；sin600°＝sin（﹣120°）＝﹣sin60°， 即B正确；sin6°﹣cos6°，C正确；tan（60°﹣15°）＝1，D错误． 10．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列四个命题中正确的是（　CD　） A．若a2+b2﹣c2＞0，则△ABC一定是锐角三角形 B．若acosA＝bcosB，则△ABC一定是等腰三角形 C．若acosC+ccosB＝b，则△ABC一定是等腰三角形 D．若，则△ABC一定是等边三角形 【解析】 若a2+b2﹣c2＞0，整理得，故C为锐角，但是不能保证A和B为锐角，故A错误；由于acosA＝bcosB，整理得：sin2A＝sin2B，故A＝B或A+B，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故B错误；由于acosC+ccosB＝b，利用正弦定理：sinAcosC+sinCcosB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，故sinCcosB＝sinCcosA，由于0＜C＜π，整理得：A＝B，整理得a＝b，所以△ABC为等腰三角形，故C正确；由于，整理得，故tanA＝tanB＝tanC，由于A、B、C∈（0，π），所以A＝B＝C，故△ABC为等边三角形． 11．某校举行了春季运动会，运动会上有同学报名了实心球项目，其中实心球项目的比赛场地是一个扇形．类似一把折扇，经过数学组老师的实地测量，得到比赛场地的平面图如图2的扇形AOB，其中∠AOB＝150°，OA＝2OC＝2OD＝2，点F在弧AB上，且∠BOF＝120°，点E在弧CD上运动．则下列结论正确的有（　BCD　） A． B．，则 C．在方向上的投影向量为 D．的最大值是﹣1 【解析】 依题意，以O为坐标原点，OB为x轴建立平面直角坐标系，如图所示：因为∠AOB＝150°，OA＝2OC＝2OD＝2，∠BOF＝120°，所以，设，对于A，，故A错误；对于B，由，得，即，解得，所以，故B正确；对于C，，所以在方向上的投影向量为，故C正确；对于D， ，因为，所以，当，即时，取得最大值为﹣1，所以的最大值是﹣1．故D正确． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．复数为纯虚数，则实数a为　 　 ．2 【解析】 因为，是纯虚数，所以a＝2． 13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2+c2﹣b2＝4，则 　 ．﹣2 【解析】 由a2+c2﹣b2＝4，根据余弦定理得2accosB＝4，accosB＝2，所以accos（π﹣B）＝﹣accosB＝﹣2． 14．德国机械学家莱洛设计的莱洛三角形在工业领域应用广泛．如图，分别以等边三角形ABC的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形．若该等边三角形ABC的边长为1，P为弧AB上的一个动点，则的最小值为 　　 ． 【解析】 设∠PCB＝θ，，则：，其中，∴，∴，∴时，取最小值． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）已知复数z满足z+i和均为实数． （1）求复数z； （2）若在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围． 【解析】 （1）设z＝a+bi（a，b∈R），则z+i＝a+（b+1）i，， ∵z+i和均为实数，∴，解得a＝2，b＝﹣1，故z＝2﹣i； （2）z1（m2+m﹣3）i＝2+i（m2+m﹣3）i＝2（m2+m﹣2）i，∵复数z1（m2+m﹣3）i在复平面内对应的点位于第四象限，∴，解得﹣2＜m或0＜m＜1，即实数m的取值范围为（﹣2，）∪（0，1）． 16．（本小题满分15分）设，为两个不共线的向量，若λ，2． （1）若（）∥共线，求实数λ的值； （2）若，是夹角为的单位向量，且⊥，求实数λ的值． 【解析】 （1）根据题意，λ，2．则3（λ﹣1），若（）∥，则设（）＝k，即3（λ﹣1）k（2），则有，解可得λ； （2）根据题意，，是夹角为的单位向量，则•；若⊥，则•（λ）•（2）＝22﹣λ2+（2λ﹣1）•2﹣2λ0，解可得λ；故实数λ的值为． 17．（本小题满分15分）已知向量，函数f（x）（ω＞0），函数f（x）图像相邻对称轴之间的距离为． （1）求f（x）的单调递减区间； （2）将函数f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得g（x）的图象，若关于x的方程g（x）＝m在上只有一个解，求实数m的取值范围． 【解析】 （1），因为f（x）相邻的对称轴之间的距离为，所以f（x）的最小正周期为π，所以，解得ω＝1，所以，令，则，所以f（x）的单调递减区间为，k∈Z； （2）由（1）知，，将f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数，再向左平移个单位得：，令，，则，所以，因为在上只有一个解，如图所示 由y＝2sint的图象可得，或，所以m的取值范围是． 18．（本小题满分17分）已知△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，且． （1）求tanA； （2）若△ABC的面积为； ①E为BC的中点，求△ABC底边BC上中线AE长的最小值； ②求内角A的角平分线AD长的最大值． 【解析】 （1）因为，由正弦定理，得，整理可得：c2+b2﹣a2bc， 由余弦定理可得：c2+b2﹣a2＝2bccosA，所以cosA0，所以，所以，所以； （2）①由（1）知，因为△ABC的面积为，所以，解得bc＝8， 由于，所以，当且仅当b＝c时，等号取得到，所以； ②因为AD为角A的角平分线，由于SΔADB+SΔADC＝SΔABC，所以，由于sin0，所以，由于cosA＝2cos21，又bc＝8，所以，由于，当且仅当b＝c时，等号取得到，故，所以AD． 19．（本小题满分17分）定义非零向量的“相伴函数”为f（x）＝asinx+bcosx（x∈R），向量称为函数f（x）＝asinx+bcosx（x∈R）的“相伴向量”（其中O为坐标原点）． （1）设（x∈R），写出函数h（x）的相伴向量； （2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，记向量的相伴函数f（x），若f（2B）＝1且，求a+c的取值范围； （3）已知D（﹣2，3），E（2，6），f（x）为（2）中函数，，请问在y＝φ（x）的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由． 【解析】 （1），所以函数h（x）的相伴向量； （2）由题知，由f（2B）＝1，得．又因为，即，所以．又因为，由正弦定理，得a＝2sinA，c＝2sinC，即．因为，所以，所以，所以，即a+c的取值范围为； （3）由（2）知，，所以，设，因为D（﹣2，3），E（2，6），所以，，又因为，所以，所以，即，所以．因为，所以，所以，又因为，所以当且仅当x＝0时，和同时等于，所以在y＝f（x）图像上存在点P（0，2），使得． 声明：试题解析著作权属所 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $