精品解析：河北邢台市卓越联盟2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试题

邢台市卓越联盟2025-2026学年下学期第一次月考 高二数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择必修第二册第五章和选择必修第三册第六章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 甲、乙、丙、丁四人去旅游，每人在邢台市、南昌市和北京市三个城市中任选一个，则不同的选法种数为（ ） A. 12 B. 24 C. 64 D. 81 3. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的导函数的图象如图所示，现给出下列四个结论：①在区间上单调递减；②在区间上单调递增；③在区间上单调递减；④有2个极值点．其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 某演讲比赛结束后，2名男同学、3名女同学和2位老师站成一排拍照留念，则2位老师相邻，且3名女同学不相邻的站法有（ ） A. 264种 B. 288种 C. 312种 D. 336种 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在处有极小值，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 记函数的导函数为，已知，且，，若关于的不等式在上有解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. 展开式中第5项与第7项的二项式系数相等 C. D. 10. 运动会期间，将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到A，B，C三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能被安排去一个场地，每个场地至少需要一名志愿者．下列结论正确的是（ ） A. 不同的安排方法数为240 B. 若甲、乙被安排去同一个场地，则不同的安排方法数为36 C. 若A场地只需要两名志愿者，则不同的安排方法数为180 D. 若甲被安排到A场地，则不同的安排方法数为50 11. 已知函数，是函数的导函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 过点只能作一条切线与曲线相切 D. 若直线与曲线交于，，三点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 展开式中的常数项为_____．（用数字作答） 13. 已知函数，则不等式的解集为_____． 14. 若函数恰有4个零点，则的取值范围为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，且直线是曲线的切线． （1）求的值； （2）求的单调区间． 16. 从0，2，4中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字． （1）一共可以组成多少个没有重复数字的四位数？ （2）一共可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？ （3）一共可以组成多少个没有重复数字且大于4000的四位数？ 17. （1）求的展开式中各项系数之和； （2）求的展开式中奇数项二项式系数之和； （3）求的展开式中系数最大的项． 18. 已知函数． （1）若函数在上单调递增，求的取值范围； （2）讨论函数的单调性； （3）若，且在上恒成立，求的最小值． 19. 设函数． （1）若有两个极值点，求的取值范围． （2）若有极大值，证明：． （3）若存在，使得，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邢台市卓越联盟2025-2026学年下学期第一次月考 高二数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择必修第二册第五章和选择必修第三册第六章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数公式及复合函数的求导法则即可求解. 【详解】由基本初等函数的导数公式，有，，， AB选项错误，C选项正确； 由复合函数的求导法则，有，D选项错误． 2. 甲、乙、丙、丁四人去旅游，每人在邢台市、南昌市和北京市三个城市中任选一个，则不同的选法种数为（ ） A. 12 B. 24 C. 64 D. 81 【答案】D 【解析】 【详解】不同的选法有种． 3. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义及导数的四则运算求解即可. 【详解】由题意得，所以曲线在处的切线斜率为， 又切点坐标为，所以所求的切线方程为． 4. 已知函数的导函数的图象如图所示，现给出下列四个结论：①在区间上单调递减；②在区间上单调递增；③在区间上单调递减；④有2个极值点．其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】由图象可知，在区间和上单调递减，在区间上单调递增， 故②③正确； 在上单调递增，故①错误； 在处取极小值，在处取极大值，共2个极值点，故④正确． 综上，共3个结论正确． 5. 某演讲比赛结束后，2名男同学、3名女同学和2位老师站成一排拍照留念，则2位老师相邻，且3名女同学不相邻的站法有（ ） A. 264种 B. 288种 C. 312种 D. 336种 【答案】B 【解析】 【分析】首先2名老师捆绑为一个元素和2名男同学全排列，再让女同学插空排列. 【详解】将2名老师作为一个元素和2名男男同学共3个元素全排列，共有种方法， 再让3名女同学插空，有种方法，所以满足条件的站法有种. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，根据导数与单调性关系即可证出，再根据对数函数单调性得到，即可得证. 【详解】令，则，而， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增． 故在上恒成立，即， 令，则，故，． 综上，． 7. 已知函数在处有极小值，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得， 由题可知，解得或． 当时，， 当时，或，当时，， 即在和上单调递增，在上单调递减. 此时在处取得极大值，不符合题意； 当时，， 当时，或，当时，， 即在和上单调递增，在上单调递减.， 此时在处取得极小值，符合题意. 8. 记函数的导函数为，已知，且，，若关于的不等式在上有解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性，结合能成立求出范围. 【详解】令，则，单调递减， 由，可得，， 即， 所以当时，有解，即有解，所以， 故的取值范围为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. 展开式中第5项与第7项的二项式系数相等 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于B，展开式中第5项与第7项的二项式系数分别为，，又，所以B正确； 对于C，令，得， 令，得， 相减可得，，故C不正确； 对于D，令，得，所以，故D正确． 10. 运动会期间，将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到A，B，C三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能被安排去一个场地，每个场地至少需要一名志愿者．下列结论正确的是（ ） A. 不同的安排方法数为240 B. 若甲、乙被安排去同一个场地，则不同的安排方法数为36 C. 若A场地只需要两名志愿者，则不同的安排方法数为180 D. 若甲被安排到A场地，则不同的安排方法数为50 【答案】BD 【解析】 【详解】A，五人分成三组，可以是3，1，1和2，2，1，所以不同的安排方法数为，A错误． B，甲、乙看成一个人，所以不同的安排方法数为，B正确． C，若A场地只需要两名志愿者，则不同的安排方法数为，C错误． D，方法一： 第一种情况，A场地需要一名志愿者，剩下四人安排到B，C两个场地，则不同的安排方法数为； 第二种情况，A场地需要两名志愿者，剩下四人先安排一人到A场地，剩下三人再安排到B，C两个场地，则不同的安排方法数为； 第三种情况，A场地需要三名志愿者，则不同的安排方法数为． 综上，若甲安排到A场地，则不同的安排方法数为50． 方法二：甲被安排到A，B，C三个场地的概率相等，所以不同的安排方法数为，D正确． 11. 已知函数，是函数的导函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 过点只能作一条切线与曲线相切 D. 若直线与曲线交于，，三点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先求函数的解析式，再判断函数的单调性和极值点，判断选项AB，根据导数的几何意义求过点的切线方程，根据方程根的个数判断切线的条数，判断C，根据条件设出函数的解析式为，再分别求，即可判断D. 【详解】令，得，即，① ，令，得， 即，②，由①②解得，， 所以，， ，得或， ，得或，，得， 则在和上单调递增，在上单调递减，所以是的极大值点，A错误； 当时，，则，B正确； 设切点为，切线方程为， 点在切线上，所以， 化简可得，即，解得，故过点只能作一条切线与曲线相切，C正确； ，，是的三个解，所以， 故，，， 所以，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 展开式中的常数项为_____．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得二项展开式的通项，结合通项，进而求得展开式中的常数项. 【详解】由二项式展开式的通项为， 令，可得，故展开式中的常数项为． 13. 已知函数，则不等式的解集为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到是定义在上的单调递增的奇函数，转化为，结合单调性，即可求解. 【详解】由，可得， 又由，当且仅当时，等号成立， 所以是定义在上的单调递增的奇函数， 因为，可得，则，解得， 所以不等式的解集为． 14. 若函数恰有4个零点，则的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数零点的定义，利用构造法，把问题转化为一元二次方程有两个不同的实数根，结合导数的性质判断新函数的性质，结合数形结合思想进行求解即可. 【详解】函数的定义域为全体正实数， 令，可得， 令，得， 设 函数， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，当时，，作出的大致图象，如图所示， 所以方程有两个实根，，且， 故，解得，故的取值范围为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，且直线是曲线的切线． （1）求的值； （2）求的单调区间． 【答案】（1） （2）单调递增区间，单调递减区间． 【解析】 【小问1详解】 ，设直线与曲线相切于点，， 所以，解得． 将代入切线方程，可得，所以切点坐标为， 因为切点在曲线上，所以，解得． 【小问2详解】 的定义域为，， 令，解得；令，解得， 所以单调递增区间为，单调递减区间为． 16. 从0，2，4中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字． （1）一共可以组成多少个没有重复数字的四位数？ （2）一共可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？ （3）一共可以组成多少个没有重复数字且大于4000的四位数？ 【答案】（1）180 （2）96 （3）72 【解析】 【分析】（1）利用排除法，先从0，2，4中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，求出这样的四个数的全排列，再去掉首位是0的情况，从而得到所求； （2）按照数字0是否存在进行讨论求解，在含有0这个数字时，按照数字0在末尾和不在末尾讨论求解； （3）按照4在首位和 5在首位分别讨论求解. 【小问1详解】 从0，2，4中任取2个数字有种情况，从1，3，5中任取2个数字有种情况， 四个数全排列有种情况，其中首位是0的情况有种， 所以一共可以组成个没有重复数字的四位数． 【小问2详解】 这个四位数不含有0，有种情况， 这个四位数含有0，且0在末尾，有种情况， 这个四位数含有0，且0不在末尾，且首位不为0，且末尾数字为非零偶数， 有种情况， 所以一共可以组成个没有重复数字的四位偶数． 【小问3详解】 4在首位，有种情况，5在首位，有种情况， 所以一共可以组成个没有重复数字且大于4000的四位数． 17. （1）求的展开式中各项系数之和； （2）求的展开式中奇数项二项式系数之和； （3）求的展开式中系数最大的项． 【答案】（1）729；（2）32；（3） 【解析】 【分析】（1）令即可求出展开式中各项系数之和； （2）利用二项式系数之和的性质即可求出； （3）设第项的系数最大，列式计算即可. 【详解】（1）令，，所以的展开式中各项系数之和为729． （2）的展开式中奇数项二项式系数之和为． （3）由通项可得第项为． 设第项的系数最大，则 即 解得． 因为，所以，所以展开式中系数最大的项为． 18. 已知函数． （1）若函数在上单调递增，求的取值范围； （2）讨论函数的单调性； （3）若，且在上恒成立，求的最小值． 【答案】（1）； （2）当时， 在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）． 【解析】 【分析】（1）由在上单调递增，得到在上恒成立，即，求出范围内的的最小值即可得到的取值范围． （2）求出，由分别按照和分别讨论求解，利用导数法求出的单调性． （3）由时，在上恒成立得到只需，结合单调性得到，通过计算得到，从而得到，构造函数，利用导数法求出的单调性，得到，即可得到的最小值． 【小问1详解】 ，， ， 在上单调递增， 在上恒成立， ，， ，，，， 又，的取值范围为． 【小问2详解】 ，， ． ， 当时，则当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增； 当时，则当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增． 【小问3详解】 当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上恒成立， 只需， ， 令，则， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故，即的最小值为． 19. 设函数． （1）若有两个极值点，求的取值范围． （2）若有极大值，证明：． （3）若存在，使得，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，把极值点问题转化为方程根问题，构造新函数并求导，利用函数单调性结合交点情况构造不等式求解； （2）对进行分情况讨论，结合导数分析单调性求极大值，进而证明结论； （3）根据已知条件转化证明结论，构造函数并求导，利用导数分析函数单调性，进而证明结论． 【小问1详解】 ，令， 已知函数有两个极值点，即方程有两个不相等的根， 当时，方程，即不是方程的根， 原方程有两个不相等的根，可转化为有两个不相等的根， 不妨令（），则， 在，上单调递减；在上单调递增， ，且当时，； 方程有两个不相等的根， （）的图象与直线有两个不同的交点， 只需满足，即，故的取值范围为． 【小问2详解】 证明：当时，单调递增，有极小值，无极大值； 当时，单调递增，无极值； 当时，由（1）可知，时，有两个极值点，其中极大值点满足，， ， 令，，， 在上单调递增， 则，即，故． 【小问3详解】 证明：， ，，两边同时取自然对数得： ，， 两式相减得：，即， 要证，只需证明， 令，只需证明①，构造函数（）， 求导得， 函数在上单调递增， ，故不等式①成立， 原不等式成立，命题得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $