精品解析：河北邢台市第一中学2025-2026学年第二学期第一次月考高二年级数学试题

邢台一中2025-2026学年第二学期第一次月考 高二年级数学试题 考试范围：选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章和第七章第一节 高考研究中心 命题人：秦翠敏 一审：胡文灵 二审：高俊花 说明：1．本试卷共4页，满分150分. 2．请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知三地的位置及其间修筑的道路如图所示，则从地到地不同路线的条数是（ ） A. 5 B. C. 7 D. 8 2. 对图中个区域涂色，有种不同的颜色可供选择（不一定每种颜色都使用），要求每个区域涂种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 3. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 4. 用这九个数字，可以组成没有重复数字的三位奇数的个数为（ ） A. B. C. D. 5. 现有6张分别标有数字的不同卡片，从中有放回地取3次，每次取1张，将3次取到的卡片上的数字分别记为，若这三个数中的最大数与最小数之差恰好等于3，则抽取卡片的所有不同方法种数为（ ） A. 32 B. 48 C. 54 D. 72 6. 已知函数与的图象如图所示，则函数（ ） A. 在区间上是减函数 B. 在区间上是减函数 C. 在区间上是减函数 D. 在区间上是减函数 7. 某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（ ） A. 35 B. 36 C. 42 D. 50 8. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ） A. 在第10行中第5个数最大 B. 第2023行中第1011个数和第1012个数相等 C. D. 第6行的第7个数､第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. B. 已知函数在上可导，若，则 C. 已知函数，若，则 D. 设函数的导函数为，且，则 10. 在下列关于二项式的命题中，正确的是（ ） A. 若二项式的展开式中，第3项的二项式系数最大，则 B. 若，则 C. 在的展开式中，常数项为60 D. 的展开式中，的系数为5 11. 设且，若，则下列大小关系可能成立的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两位游客准备分别从古汉台、拜将台、兴汉胜境、石门栈道风景区4个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择古汉台”，事件“两位游客选择的景点不同”，则______． 13. 将个相同的小球放入编号为的个盒子中，共有_______种放法（数字作答） 14. 已知函数,,若对任意都存在使成立,则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若，求的最大值与最小值． 16. 某中学组织运动会，入场式每个班都按排方阵进场，要求每排六个人，某班级第一排6名学生中有2名是班长，其余4名是普通学生.回答下列问题： （1）该班班主任要求两名班长必须站在队列的最左端和最右端，其余4个学生站在中间，问有多少种不同的排法？ （2）入场式结束后从这6名学生中选出4名参加校运会志愿者活动，要求至多1名班长被选中，问有多少种不同的选法？ （3）若已知选派参加校运会志愿者有两男两女，派两人去沙坑处维持秩序，抽签决定，问在第1次抽到男生的条件下，第2次抽到女生的概率. 17. 有3台机床加工同一型号的零件，第1台加工零件的次品率为4%，第2，3台加工零件的次品率均为6%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台机床加工的零件数分别占总数的25%，35%，40%．记为“零件为第台机床加工”． （1）任取一个零件，计算它是次品的概率； （2）如果取到的一个零件是次品，分别计算它是第1，2台机床加工的概率． 18. 已知函数 （1）若，求在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）讨论函数的零点个数. 19. 设函数的定义域为，导函数为，对于实数，若存在，使得成立，则称函数具有性质． （1）若函数，请判断该函数是否具有性质，并说明理由； （2）设，若函数具有性质，且的值恰有三个，求的取值范围； （3）若函数具有性质，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邢台一中2025-2026学年第二学期第一次月考 高二年级数学试题 考试范围：选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章和第七章第一节 高考研究中心 命题人：秦翠敏 一审：胡文灵 二审：高俊花 说明：1．本试卷共4页，满分150分. 2．请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知三地的位置及其间修筑的道路如图所示，则从地到地不同路线的条数是（ ） A. 5 B. C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据分类加法和分步乘法计数原理可得. 【详解】由图知，从地到地的道路有2条，从地到地的道路有3条，由分步乘法计数原理可知，从地经过地到地不同的路线共有条； 从地不经过地到地的路线有1条. 根据分类加法计数原理可得，从地到地不同的路线共条. 故选：C. 2. 对图中个区域涂色，有种不同的颜色可供选择（不一定每种颜色都使用），要求每个区域涂种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】先涂区域，有种选择，再涂区域、、、，各有种选择，结合分步乘法计数原理可得结果. 【详解】先涂区域，有种选择，再涂区域、、、，各有种选择， 故不同的涂色方法有种. 故选：B. 3. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出二项展开式，令，解出然后回代入二项展开式系数即可得解. 【详解】的二项展开式为， 令，解得， 故所求即为. 故选：A. 4. 用这九个数字，可以组成没有重复数字的三位奇数的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】第一步：确定个位数字， 要组成三位奇数，个位必须是奇数，即从这个数字中选个，有种选择； 第二步：确定百位数字， 个位已经用了个数字，剩下个数字可选，但百位不能为（这里数字范围是，所以只需排除已用的个数字），因此有种选择； 第三步：确定十位数字， 个位和百位各用了个数字，剩下个数字可选，有种选择， 所以，根据分步乘法计数原理，总个数为：． 5. 现有6张分别标有数字的不同卡片，从中有放回地取3次，每次取1张，将3次取到的卡片上的数字分别记为，若这三个数中的最大数与最小数之差恰好等于3，则抽取卡片的所有不同方法种数为（ ） A. 32 B. 48 C. 54 D. 72 【答案】C 【解析】 【详解】最大数与最小数的组合有， 以最大数为4，最小数为1为例，抽出的3个数字的组合可能为， 对应的排列数分别为种，种，种，种， 故此种情况共有种，总方法数为种. 6. 已知函数与的图象如图所示，则函数（ ） A. 在区间上是减函数 B. 在区间上是减函数 C. 在区间上是减函数 D. 在区间上是减函数 【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导，结合图象判断与的大小关系，从而得出函数的单调性，进而可得出结果. 【详解】由得， 由题中图象可知，当时，，所以，则函数单调递增； 当时，，所以，则函数单调递减； 当时，，所以，则函数单调递增； 当时，，所以，则函数单调递减； 故ACD都错，B正确， 故选：B 7. 某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（ ） A. 35 B. 36 C. 42 D. 50 【答案】D 【解析】 【分析】以舱的人数为分类依据，将 5 人分配到 A、B、C 三个舱中，分别计算各类分组与排列的方法数，最后求和得到总安排数. 【详解】有四类不同的安排情形： ①甲单独在舱，其余四人分成两组，一组1人，一组3人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ②甲单独在舱，其余四人平均分成两组每组人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ③舱安排人，其余三人分成两组，一组人，一组人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ④舱安排人，其余二人分成两组，安排在舱， 有种不同的安排方法； 综上，不同的安排方法共有种. 【点睛】本题是分类加法计数原理 + 分组分配问题，核心方法是按特殊元素或位置分类，结合均匀 或不均匀分组与排列计算. 8. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ） A. 在第10行中第5个数最大 B. 第2023行中第1011个数和第1012个数相等 C. D. 第6行的第7个数､第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 【答案】D 【解析】 【分析】根据杨辉三角每一行的数字与组合数的对应关系，结合组合数的运算性质，依次判断选项. 【详解】对于A，因“杨辉三角”的第10行中第5个数是，又，故A错误； 对于B，因“杨辉三角”的第2023行中第1011个数和第1012个数分别为和， 因，故，故B错误； 对于C，因， ……… 则，故C错误； 对于D，因，而，故D正确. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. B. 已知函数在上可导，若，则 C. 已知函数，若，则 D. 设函数的导函数为，且，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据导数基本公式可判断A；根据导数定义可判断B；根据导数求导法则可判断CD. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，由导数定义知，B正确； 对于C，，则， 由，得，解得或(舍去)，C正确； 对于D，由，得， 故，D错误， 故选：BC 10. 在下列关于二项式的命题中，正确的是（ ） A. 若二项式的展开式中，第3项的二项式系数最大，则 B. 若，则 C. 在的展开式中，常数项为60 D. 的展开式中，的系数为5 【答案】BCD 【解析】 【分析】对分奇偶讨论可求得判断A；令与，可求得的值判断B；利用展开式的通项公式求解判断C；求得中的与的系数即可判断D. 【详解】对于A，由二项式的系数的性质可知最中间项的二项式系数最大， 当为偶数时，最中间项只有一项，又第3项的二项式系数最大，故共为5项， 所以，解得， 当为奇数时，中间项有二项，又第3项的二项式系数最大， 所以可能第二项与第三项二项式系数相同都最大或第三项与第四项二项式系数相同都最大或， 此时或，解得或，故A错误； 对于B，令，可得， 令，可得，所以，故B正确； 对于C，二项式的展开式的通项公式为， 令，解得，所以第5项为常数项且常数项为，故C正确； 对于D，展开式中的系数为，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：赋值法是求解二项式定理中各项系数和的重要方法，求解展开式中的常数项的方法主要是利用展开式的通项公式求解. 11. 设且，若，则下列大小关系可能成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先降次，将降为后再构造函数即可判断. 【详解】因为且，，所以. 又，所以. 构造函数， 则的定义域为，， 所以在上单调递减，又， 所以当时，，即，所以， 所以，故CD正确； 当时，，即， 所以，所以，故AD正确，B错误. 故选:ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两位游客准备分别从古汉台、拜将台、兴汉胜境、石门栈道风景区4个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择古汉台”，事件“两位游客选择的景点不同”，则______． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出事件的对立事件和事件包含的样本点个数，再利用求解即可. 【详解】两位游客从4个景点中任选，每人有4种选择，总事件数：种． 事件的对立事件为“两位游客都不选择古汉台”，的事件数：种， 事件分为两种情况：甲选古汉台，乙选其余3个景点，3种； 乙选古汉台，甲选其余3个景点，3种； 共种事件， 所以． 13. 将个相同的小球放入编号为的个盒子中，共有_______种放法（数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】对放入盒子的个数分类讨论，结合组合数公式及分步、分类计数原理计算可得. 【详解】依题意，①放入一个盒子中，则有种放法； ②放入两个盒子中，首先选出两个盒子有种，个相同的小球分成两堆，有，两种方法， 若是，则放法只有一种，若是，则放法有种， 所以有种放法； ③放入三个盒子中，首先选出三个盒子有种，每个盒子给一个球，多出一个球有种放法，则有种放法； ④放入四个盒子中，则有种放法； 综上可得，一共有种放法. 故答案为： 14. 已知函数,,若对任意都存在使成立,则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意，得到，从而转化为存在，使，判断出，从而分离出，利用导数得到在的范围，再得到关于的不等式，解得的范围. 【详解】对任意都存在使成立， 所以得到， 而，所以， 即存在，使， 此时，， 所以， 因此将问题转化为 存在，使成立， 设，则， ， 当，，单调递增， 所以， 即，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题考查根据不等式的恒成立和存在性问题，利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若，求的最大值与最小值． 【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，求出极值点，然后通过导函数的符号，判断函数的单调性求出单调区间． （2）借助（1）求解函数的极值、端点值比较即可． 【小问1详解】 因为． 令，得或， 当变化时，的变化情况如表所示． 2 0 0 单调递增 28 单调递减 单调递增 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为． 【小问2详解】 由（1）知当时，取得极小值． 因为 . 所以． 16. 某中学组织运动会，入场式每个班都按排方阵进场，要求每排六个人，某班级第一排6名学生中有2名是班长，其余4名是普通学生.回答下列问题： （1）该班班主任要求两名班长必须站在队列的最左端和最右端，其余4个学生站在中间，问有多少种不同的排法？ （2）入场式结束后从这6名学生中选出4名参加校运会志愿者活动，要求至多1名班长被选中，问有多少种不同的选法？ （3）若已知选派参加校运会志愿者有两男两女，派两人去沙坑处维持秩序，抽签决定，问在第1次抽到男生的条件下，第2次抽到女生的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用位置优先，结合分步乘法计数原理列式计算. （2）利用分类加法计数原理，及组合计数问题列式计算. （3）利用条件概率公式计算得解. 【小问1详解】 分两步：第一步先安排最左端和最右端，有种；第二步安排中间的人，有种， 根据分步乘法计数原理，共有种. 【小问2详解】 分两类：第一类，没有班长，有种；第二类，一个班长，有种. 根据分类加法计数原理，共有种. 【小问3详解】 记事件“第一次抽到男生”，事件“第二次抽到女生”， ，，， 所以在第1次抽到男生的条件下，第2次抽到女生的概率. 17. 有3台机床加工同一型号的零件，第1台加工零件的次品率为4%，第2，3台加工零件的次品率均为6%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台机床加工的零件数分别占总数的25%，35%，40%．记为“零件为第台机床加工”． （1）任取一个零件，计算它是次品的概率； （2）如果取到的一个零件是次品，分别计算它是第1，2台机床加工的概率． 【答案】（1）0.055；（2）. 【解析】 【分析】（1）任取一个零件为次品包括三种情况：可能是第1台机床加工的次品，可能是第2台机床加工的次品，可能是第3台机床加工的次品，且每两种情况都是互斥的，所以利用互斥事件的概率公式求解； （2）利用条件概率的概率公式求解 【详解】（1）解：设“任取一个零件为次品” 由题意，，且，，两两互斥，由全概率公式，得 （2） ． 18. 已知函数 （1）若，求在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）讨论函数的零点个数. 【答案】（1） （2）时，在单调递减，时，在单调递减，在单调递增. （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义可直接求出切线方程； （2）对函数求导并对参数进行分类讨论，得出导函数符号即可得出函数单调性； （3）根据（2）中的结论求出函数最小值，再利用零点存在性定理即可判断出函数的零点个数. 【小问1详解】 当时，，则， 此时，所以切线方程为， 即. 【小问2详解】 的定义域为，， 显然恒成立， （ⅰ）若，则，所以在单调递减. （ⅱ）若，则由得. 当时，；当时，， 所以在单调递减，在单调递增. 【小问3详解】 （ⅰ）若，由（2）知，在单调递减，又. 取且时，，所以只有一个零点； （ⅱ）若，由（2）知，当时，取得最小值，最小值为. ①当时，由于，故只有一个零点； ②当时，由于，即，故没有零点； ③当时，，即. 又，故在有一个零点. 设正整数满足，则. 由于，因此在有一个零点. 故时有两个零点； 综上所述：当时，只有一个零点； 当时，有两个零点； 当时，只有一个零点； 当时，没有零点； 19. 设函数的定义域为，导函数为，对于实数，若存在，使得成立，则称函数具有性质． （1）若函数，请判断该函数是否具有性质，并说明理由； （2）设，若函数具有性质，且的值恰有三个，求的取值范围； （3）若函数具有性质，求的取值范围． 【答案】（1）具有性质，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，利用零点存在定理即可求解； （2）由题意得存在实数，使得，即，即，设，利用导数研究单调性进而求解； （3）由得，，设，利用导数研究单调性，根据的情况分类讨论，进而求解. 【小问1详解】 由得，， 设， 当时，， 又， 则存在，使得，即 故函数具有性质； 【小问2详解】 由得，， 因为函数具有性质， 所以存在实数，使得， 即，即， 即存在实数，使得有三个实数根 设，则， 令，解得或，列表如下： 0 0 + 0 ↘ 极小值0 ↗ 极大值 ↘ 因为函数具有性质时，的值恰有三个， 所以满足条件的的取值范围是； 【小问3详解】 由得，， 由得，， 设，， 若，则，与已知矛盾； 若，设，则，即函数是严格减函数， 所以函数是严格增函数， 又，， 则存在使得，即， 当时，，即函数严格减函数， 当时，，即函数严格增函数， 所以， 需证，令， 则，在单调递增， 所以， 所以， 则不存在，使得成立，与具有性质矛盾； 当时，，考虑函数，则， 当时，，当时，，当时，， 所以函数在上严格单调递减，在上严格单调递增，在时有极小值， 所以，当时，，函数具有性质， 当且时，， 且当时，，则， 则存在满足，即成立， 所以函数具有性质，综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $