精品解析：2026年江苏苏州市工业园区星海中学九年级零模数学试卷

2025-2026学年苏州市工业园区星海中学初三零模数学试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分） 1. 的倒数是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 我国已建成全球规模最大的光纤和移动宽带网络．截至2025年底，光缆线路总长度达到千米，其中用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 无解 4. 如图是一个几何体的平面展开图，则这个几何体是（　　） A. B. C. D. 5. 下列命题中，真命题是（） A. 相等的角是对顶角 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 若，，则 D. 若，则 6. 《九章算术》被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”，其中有一题为“今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲乃发长安，问凡何日相逢？“其大意如下：甲从长安出发，用5天时间可到达齐国；乙从齐国出发，用7天时间可到达长安．若乙先从齐国出发2天，甲才从长安出发，问甲经过多少天与乙相遇？设甲经过x天后与乙相遇，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点在反比例函数（k为常数）的图象上，，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. ，则 C. 若，则 D. 若，则 8. 已知关于x的多项式，当时，该多项式的值为，则多项式的值可以是（ ） A. B. 2 C. D. 二、填空题（共8小题，每小题3分，将答案填在答题卷相应位置上） 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是______． 10. 计算：________． 11. 如图，平行四边形中，对角线交于点O，直线l过点O，且与边，分别交于点E、F，．若在平行四边形内随机取点，则点落在内的概率是______． 12. 图①和图②中所有的小正方形都全等，将图①的小正方形放在图②中A，B，C，D的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是_________． 13. 圆锥的侧面展开图是一个半圆，底面半径为，则圆锥的母线长是________． 14. 如图，等腰中，，，点D为斜边上一点（不与A，B重合），，连接，将线段绕点C顺时针方向旋转至，连接、．若，，求________． 15. 如图，点D是平行四边形OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD＝，∠ADB＝135°，S△ABD＝2，若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A、D两点，则k的值是______ 16. 对某一个函数给出如下定义：若存在正数，函数值都满足，则称这个函数是有界函数．其中，的最小值称为这个函数的边界值．若函数（，且）中，的最大值是2，边界值小于3，则应满足的条件是______． 三、解答题（共11小题，在答题卷上写出必要过程） 17. 计算：． 18. 求不等式组． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图①，在中，，是边上的中线，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）如图②．连接，若，求的长． 21. 一张圆桌旁设有4个座位，丙先坐在了如图所示的座位上，甲、乙2人等可能地坐到①、②、③中的2个座位上． （1）甲坐在②号座位的概率是____________； （2）用画树状图或列表等方法，求甲与乙相邻而坐的概率． 22. 某中学准备开展春学期社会实践活动，学校给出：梅园，：鼋头渚，：锡惠公园，：拈花湾，共四个目的地．为了解学生最喜欢哪一个目的地，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）这次被调查的学生共有__________人； （2）将条形统计图补充完整； （3）扇形统计图中对应的扇形圆心角度数是__________； （4）已知该校共有学生人，根据调查结果估计该校最喜欢去鼋头渚的学生人数． 23. 《哪吒2》凭借其精彩的剧情、精良的制作以及深刻的文化内涵，再次掀起观影热潮．某影院IMAX厅每场运营成本为2000元，该厅每场售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且x是整数），部分数据如下表所示： IMAX厅电影票售价x（元/张） 40 50 IMAX厅售出电影票数量y（张） 160 120 （1）请求出y与x之间的函数关系式； （2）为激发文化消费活力，丰富市民文化生活，无锡市推出了春节惠民观影的政策：观众购买无锡市任意影院、任意场次、任意影片均享受票价立减20元/张．该影院IMAX厅将电影票售价x定为多少时，该厅每场的获利最大？（利润＝实际票房收入－运营成本） 24. 如图，过外一点作的切线，切点为点，为的直径，点为上一点，且，连接，线段交直径于点，交于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 25. 为全面落实“五育并举”育人方针，营造浓厚文化氛围，学校计划打造一条极具特色的校园主题文化长廊，现面向全校师生征集创意设计方案．某数学兴趣小组积极响应，精心构思并提供了如下设计方案： 校园主题文化长廊设计表 设计图 几何关系说明 如图 2，点 A、B、C、D、E 在同一竖直平面内，垂直平分，垂足为 F，垂直平分，与 交于点 G．其中， 参考数据 设计任务 任务 1：求文化长廊的最大宽度的长； 任务 2：求文化长廊的最高点E到地面的距离.（结果精确到0.1m） 26. 抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，P是直线上方抛物线上一动点． （1）点C的坐标为_____； （2）求抛物线的函数关系式和直线的函数关系式： （3）如图1，若与相交于点F，判断是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由： （4）如图2，过点P作于E，若与相似，则点P的横坐标为______． 27. 如图1，在中，为边上的中线，交于点，此时我们称点为、的“垂对称点”．特别的，当点也为中点时，我们称这样的三角形为“中垂三角形”，例如，图2、图3中，，是的中线，，垂足为，像这样的三角形均为“中垂三角形”．设，，． （1）【特例探究】如图1，，，为、的“垂对称点”，，则________； 如图2，为“中垂三角形”，当，时，则___，____，____； （2）【归纳证明】观察特例探究结果，猜想、、三者之间的关系，并利用图3证明你的猜想； （3）【拓展应用】如图4，在平行四边形中，点、F、G分别是、、的中点，，，，求的长度． （4）【知识迁移】如图5，在平面直角坐标系中，点，，点在轴上，点在轴上，与轴交于点．当时，求证：为线段的黄金分割点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年苏州市工业园区星海中学初三零模数学试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分） 1. 的倒数是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据倒数的概念计算即可得到结果． 【详解】解：乘积为的两个数互为倒数， 故的倒数为． 2. 我国已建成全球规模最大的光纤和移动宽带网络．截至2025年底，光缆线路总长度达到千米，其中用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定的值时，的值等于原数变为时小数点移动的位数，原数绝对值大于等于10时，为正整数. 【详解】解：． 3. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 无解 【答案】C 【解析】 【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，求解后验根即可得到原方程的解． 【详解】解：原方程为 ， 移项得 ， 方程两边同乘最简公分母去分母，得， 移项合并同类项得， 解得， 检验：当时，，因此是原方程的解． 4. 如图是一个几何体的平面展开图，则这个几何体是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查几何体的展开图，观察所给平面展开图即可选择． 【详解】解：由题图知，该平面展开图是由一个扇形和一个圆组成， 由圆锥的侧面展开图是扇形，地面是一个圆， 可知该几何体是圆锥． 故选：A． 5. 下列命题中，真命题是（） A. 相等的角是对顶角 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了命题的真假判断，根据对顶角的定义，矩形的判定，不等式的性质，平方根的定义，逐项进行判断即可． 【详解】解∶A．对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故原命题是假命题； B．对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题是假命题； C．若，，则，，故原命题是真命题； D．若，则，故原命题是假命题； 故选∶C． 6. 《九章算术》被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”，其中有一题为“今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲乃发长安，问凡何日相逢？“其大意如下：甲从长安出发，用5天时间可到达齐国；乙从齐国出发，用7天时间可到达长安．若乙先从齐国出发2天，甲才从长安出发，问甲经过多少天与乙相遇？设甲经过x天后与乙相遇，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查一元一次方程和实际应用，设甲经过x天后与乙相遇，根据题意列出方程即可，解题关键是读懂题意，根据数量关系列出方程． 【详解】解：设甲经过x天后与乙相遇， 根据题意得：， 故选D． 7. 已知点在反比例函数（k为常数）的图象上，，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. ，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题关键是掌握当比例系数时，函数图象在第一、三象限内，且在每个象限内，随的增大而减小；当比例系数时，函数图象在第二、四象限内，且在每个象限内，随的增大而增大． 根据反比例函数的性质可知，函数图象在第一、三象限内，且在每个象限内，随的增大而减小，对选项逐一进行分析，即可得到答案． 【详解】解：反比例函数，， 函数图象在第一、三象限内，且在每个象限内，随的增大而减小， A、若，则或， 当时，；当时，， 原结论不一定成立，不符合题意，选项错误； B、若，则， ∴，原结论成立，符合题意； C、若，当时，， 当时，，原结论不一定成立，选项错误，不合题意； D、若，则，则 原结论不成立，选项错误，不符合题意， 故选B． 8. 已知关于x的多项式，当时，该多项式的值为，则多项式的值可以是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，整式的乘法运算，通过消元法将代数式化简为二次函数的形式是解题的关键．由已知得，化简得，所以，再求出b的取值范围，最后根据二次函数的图象与性质，可求出的取值范围，由此可判断答案． 【详解】当时，该多项式的值为， ， 整理得， ， ， 即， ， ，， ， ， 当时，， 根据二次函数的图象可知，当时，． 故选A． 二、填空题（共8小题，每小题3分，将答案填在答题卷相应位置上） 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，直接利用二次根式有意义的条件得出的取值范围，进而求出答案． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 10. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据积的乘方进行计算即可． 【详解】解：． 11. 如图，平行四边形中，对角线交于点O，直线l过点O，且与边，分别交于点E、F，．若在平行四边形内随机取点，则点落在内的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查几何概率和平行四边形的性质，先设平行四边形的面积是x，得出阴影部分的面积，再根据几何概率的求法即可得出答案． 【详解】解：设平行四边形的面积是x， 则的面积为， ∵， ∴， ∴的面积为, ∴在平行四边形内随机取点，则点落在内的概率是． 故答案为：． 12. 图①和图②中所有的小正方形都全等，将图①的小正方形放在图②中A，B，C，D的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是_________． 【答案】C 【解析】 【分析】此题属于识别中心对称图形的问题，中心对称图形的定义； 中心对称图形是把图形的一部分绕某一点旋转，两部分能完全重合； 接下来试着将图①的正方形放在规定的各个位置上，结合中心对称图形的定义进行分析即可． 【详解】解：图①中的正方形放在图②中的C的位置，组成的图形是中心对称图形，故放在C的位置． 故答案为：C． 13. 圆锥的侧面展开图是一个半圆，底面半径为，则圆锥的母线长是________． 【答案】8 【解析】 【分析】圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面的周长，结合侧面展开图是半圆的条件，可列方程求解母线长。 【详解】解：设圆锥的母线长为， 已知圆锥底面半径为，可得圆锥底面周长为 ， 因为圆锥侧面展开图是半圆，半圆的半径等于圆锥的母线长，且半圆的弧长等于圆锥底面的周长，因此半圆的弧长为， 列方程得：， 解得． 14. 如图，等腰中，，，点D为斜边上一点（不与A，B重合），，连接，将线段绕点C顺时针方向旋转至，连接、．若，，求________． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的定义得到，，证明，求出，再根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：由旋转可知，，， ， ， ． 在和中，， ，． 是等腰直角三角形， ，， ． 又， 则在中，． 15. 如图，点D是平行四边形OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD＝，∠ADB＝135°，S△ABD＝2，若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A、D两点，则k的值是______ 【答案】6 【解析】 【分析】根据三角形面积公式求得AE＝，易证得△AOM≌△CBD（AAS），得出OM＝BD＝，根据题意得出△ADE是等腰直角三角形，得出DE＝AE＝，设A（m，），则D（m−，），根据反比例函数的定义得出关于m的方程，解方程求得m＝，进一步求得k＝6． 【详解】解：作AM⊥y轴于M，延长BD，交AM于E，设BC与y轴的交点为N， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴OA∥BC，OA＝BC， ∴∠AOM＝∠CNM， ∵BD∥y轴， ∴∠CBD＝∠CNM， ∴∠AOM＝∠CBD， ∵CD∥x轴，BD∥y轴， ∴∠CDB＝90°， ∴∠CDB＝∠AMO， ∴△AOM≌△CBD（AAS）， ∴OM＝BD＝， ∵S△ABD＝BD•AE＝2，BD＝， ∴AE＝， ∵∠ADB＝135°， ∴∠ADE＝45°， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴DE＝AE＝， ∴D的纵坐标为， 设A（m，），则D（m−，）， ∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A、D两点， ∴k＝m＝（m−）×， 解得m＝， ∴k＝m＝6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积等，表示出A、D的坐标是解题的关键． 16. 对某一个函数给出如下定义：若存在正数，函数值都满足，则称这个函数是有界函数．其中，的最小值称为这个函数的边界值．若函数（，且）中，的最大值是2，边界值小于3，则应满足的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据可知函数的随的增大而增大，再根据函数增减性可知当时函数值为边界值，然后由边界值小于3列关于的不等式求解即可． 【详解】解： 函数的随的增大而增大 当时，函数的函数值为边界值， 边界值小于3 ，解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了阅读理解、一次函数的增减性、解不等式等知识点，理解“边界值”的定义成为解答本题的关键． 三、解答题（共11小题，在答题卷上写出必要过程） 17. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查实数的运算、涉及零指数幂、特殊角的三角函数值等，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键．先计算零指数幂、绝对值的性质、特殊角的三角函数，再加减运算即可 【详解】解：原式 18. 求不等式组． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出一元一次不等式的解集，再确定不等式组的解集． 【详解】解：由，得， 由得：， 原不等式组的解集为：． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的运算，熟练掌握知识点是解题的关键．先化简分式，再代入值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 如图①，在中，，是边上的中线，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）如图②．连接，若，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）可证明得到，再由直角三角形的性质证明，进而可证明四边形是平行四边形，再由，即可证明四边形是菱形； （2）先证明四边形是正方形，得到，设，则，由勾股定理可得方程，解方程求出，则． 【小问1详解】 证明：∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是直角三角形斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解：∵， 且四边形是菱形， ∴四边形是正方形， ∴， 设 ， 则， ∵，， ∴， 解得 （负根已经舍弃）， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定，正方形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定等等，熟知正方形的性质与判定定理，菱形的判定定理是解题的关键． 21. 一张圆桌旁设有4个座位，丙先坐在了如图所示的座位上，甲、乙2人等可能地坐到①、②、③中的2个座位上． （1）甲坐在②号座位的概率是____________； （2）用画树状图或列表等方法，求甲与乙相邻而坐的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式计算即可； （2）画树状图，共有6种等可能的结果，甲与乙相邻而坐的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵丙坐了一张座位， ∴甲坐在②号座位的概率是； 故答案为：； 【小问2详解】 画树状图如图： 共有6种等可能的结果，甲与乙两人恰好相邻而坐的结果有4种， ∴甲与乙相邻而坐的概率为． 22. 某中学准备开展春学期社会实践活动，学校给出：梅园，：鼋头渚，：锡惠公园，：拈花湾，共四个目的地．为了解学生最喜欢哪一个目的地，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）这次被调查的学生共有__________人； （2）将条形统计图补充完整； （3）扇形统计图中对应的扇形圆心角度数是__________； （4）已知该校共有学生人，根据调查结果估计该校最喜欢去鼋头渚的学生人数． 【答案】（1） （2）见解析 （3） （4）人 【解析】 【分析】本题考查了画条形统计图，求扇形的圆心角度数，用样本估计总体，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）用目的地的人数除以其所占的比例即可求解； （2）用总人数减去其它三个目的地的人数算出目的地的人数，补全条形统计图即可； （3）用乘以目的地的人数所占的比例即可； （4）用乘以该校最喜欢去鼋头渚的学生所占的比例即可． 【小问1详解】 解：这次被调查的学生共有（人）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：目的地人数为（人）， 补全图形如下： 【小问3详解】 解：扇形统计图中对应的扇形圆心角度数是， 故答案为：； 【小问4详解】 解：（人）， 答：根据调查结果估计该校最喜欢去鼋头渚的学生人数有人． 23. 《哪吒2》凭借其精彩的剧情、精良的制作以及深刻的文化内涵，再次掀起观影热潮．某影院IMAX厅每场运营成本为2000元，该厅每场售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且x是整数），部分数据如下表所示： IMAX厅电影票售价x（元/张） 40 50 IMAX厅售出电影票数量y（张） 160 120 （1）请求出y与x之间的函数关系式； （2）为激发文化消费活力，丰富市民文化生活，无锡市推出了春节惠民观影的政策：观众购买无锡市任意影院、任意场次、任意影片均享受票价立减20元/张．该影院IMAX厅将电影票售价x定为多少时，该厅每场的获利最大？（利润＝实际票房收入－运营成本） 【答案】（1）（，且是整数）； （2）该影院将电影票售价定为元时每场的获利最大，最大利润是元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，实际问题与二次函数，正确列出二次函数解析式是解题的关键． （1）设，将，代入，得，解方程组即可求出与的值，进而得出与之间的函数关系式； （2）根据“每日利润每张电影票售价每天售出的电影票数量每天的运营成本”得出二次函数解析式，先将其化成顶点式，然后求二次函数的最值即可． 【小问1详解】 解：设， 将，代入，得： ， 解得：， （，且是整数）； 【小问2详解】 解：设每场的获利为元， 根据题意，得： ， 抛物线开口向下， 又，且是整数， 时，取得最大值，， 答：该影院将电影票售价定为元时每场的获利最大，最大利润是元． 24. 如图，过外一点作的切线，切点为点，为的直径，点为上一点，且，连接，线段交直径于点，交于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）证明，进而可得，即可求证； （）连接，先证明，由，设，，则，得，进而可得，据此即可求解； 本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角函数，余角性质，等腰三角形的性质和判定，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵为的切线， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 即的半径为． 25. 为全面落实“五育并举”育人方针，营造浓厚文化氛围，学校计划打造一条极具特色的校园主题文化长廊，现面向全校师生征集创意设计方案．某数学兴趣小组积极响应，精心构思并提供了如下设计方案： 校园主题文化长廊设计表 设计图 几何关系说明 如图 2，点 A、B、C、D、E 在同一竖直平面内，垂直平分，垂足为 F，垂直平分，与 交于点 G．其中， 参考数据 设计任务 任务 1：求文化长廊的最大宽度的长； 任务 2：求文化长廊的最高点E到地面的距离.（结果精确到0.1m） 【答案】任务1：的长为4.6m 任务2：文化长廊的最高点E到地面的距离为3.5m 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数和数形结合是解题的关键. 任务1：过点D作，交延长线于点H，求出，证明，求出，即可得到； 任务2：由矩形的性质得到，求出，即可得到答案. 【详解】解：任务1：过点D作，交延长线于点H， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∵垂直平分，垂足为 F，垂直平分， ∴，， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 答：CD的长为4.6m； 任务2：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， 答：文化长廊的最高点E到地面的距离为3.5m． 26. 抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，P是直线上方抛物线上一动点． （1）点C的坐标为_____； （2）求抛物线的函数关系式和直线的函数关系式： （3）如图1，若与相交于点F，判断是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由： （4）如图2，过点P作于E，若与相似，则点P的横坐标为______． 【答案】（1） （2）抛物线解析式为，直线解析式为 （3）存在，的最大值为 （4）或 【解析】 【分析】（1）把代入抛物线解析式可得，即可得抛物线与y轴交于点C坐标， （2）利用待定系数法，把、代入即可求出抛物线的函数关系式；同法可求直线解析式， （3）过作轴交延长线于，过作轴交于，求出，得，设，则，，证明△△，有，故，即得的最大值为． （4）过作轴交于，设，由，得直线解析式为，，故，，，证明△△，知，故，，，根据△与△相似，得或，据此从而列方程，即可解得点的横坐标为或； 【小问1详解】 解：当时，，即点 【小问2详解】 解：把、代入得： ， 解得， ∴抛物线解析式为， 设直线解析式为，把，得： ，解得： 直线解析式为 【小问3详解】 存在最大值，理由如下： 过作轴交延长线于，过作轴交于，如图： 在中，令得， ， ， 设，则， ， 轴， ，， △△， ， ， ， ， 的最大值为． 【小问4详解】 过作轴交于，如图： 由（1）知抛物线解析式为， 设， 在中，令得， ， 由，得直线解析式为，， ， ，， 轴， ， ， △△， ，即， ，， ， △与△相似，，， 或， 或， 或， 解得或（舍去）或， 点的横坐标为或； 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形相似的判定与性质，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 27. 如图1，在中，为边上的中线，交于点，此时我们称点为、的“垂对称点”．特别的，当点也为中点时，我们称这样的三角形为“中垂三角形”，例如，图2、图3中，，是的中线，，垂足为，像这样的三角形均为“中垂三角形”．设，，． （1）【特例探究】如图1，，，为、的“垂对称点”，，则________； 如图2，为“中垂三角形”，当，时，则___，____，____； （2）【归纳证明】观察特例探究结果，猜想、、三者之间的关系，并利用图3证明你的猜想； （3）【拓展应用】如图4，在平行四边形中，点、F、G分别是、、的中点，，，，求的长度． （4）【知识迁移】如图5，在平面直角坐标系中，点，，点在轴上，点在轴上，与轴交于点．当时，求证：为线段的黄金分割点． 【答案】（1）；；； （2），证明见解析 （3） （4）证明见解析 【解析】 【分析】（1）过点作，交的延长线于点，根据平行线的性质得出，根据等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定和性质得出，根据相似三角形的判定和性质得出，结合勾股定理求出的值，即可求解；连接，根据直角三角形的性质得出，根据等角对等边得出，根据勾股定理求出，根据中线的定义以及中位线的判定和性质得出，，根据平行线的性质和等角对等边得出，根据勾股定理求出，结合勾股定理即可求解； （2）连接，根据中线的定义以及中位线的判定和性质得出，根据勾股定理推得，据此即可证明； （3）连接，交于点，与交于点，根据中线的定义以及中位线的判定和性质得出，根据平行线的性质得出，根据平行四边形的性质和平行线的性质得出，，求得，根据平行四边形的判定和性质得出，，根据全等三角形的判定和性质得出，根据中线的定义得出，分别是的中线，结合（2）的结论，即可求解； （4）过点作轴于点，连接，根据等边对等角和三角形内角和定理求得，根据三角形的外角性质和等角的余角相等得出，根据相似三角形的判定和性质得出，等量代换得出，即可证明． 【小问1详解】 如图所示，过点作，交的延长线于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 在中，， 故 ∵ 故． 如图所示，连接， 根据题意可得：、是的中线，，； ，， ∴， ∴， 在中，， 故， ∵、是的中线， ∴，， ∴是的中位线， ，， ， 故， 在中，， ， 在中，， 在中，， 故，， 即，，． 【小问2详解】 猜想：， 如图所示，连接， 根据题意可得：、是的中线，， 即，， ∵、是的中线， ∴，， ∴是的中位线， 则， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， 故， ， 整理，得． 【小问3详解】 如图所示，连接，交于点，与交于点， ∵点、G分别是、的中点， ∴是的中位线， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ，， ， ∵点，分别是，的中点， ，， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，， ∴， ， ∴，分别是的中线， 由（2）的结论得：， ∴， ． 【小问4详解】 如图所示，过点作轴于点，连接， 即， 根据题意可得， ∴． 在中，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 又， 故． ∴点为线段的黄金分割点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $