第10章 分式（章节复习检测基础卷）-2025-2026学年苏科版数学八年级下册章节复习检测卷

2025-2026学年苏科版数学八年级下册章节复习检测基础卷（新教材） 第10章 分式 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.48 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（25-26八年级下·湖南衡阳·月考）若，则的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【思路引导】设，，然后代入求解． 【规范解答】解： ∴设，，， ∴． 2．（25-26八年级下·河南周口·月考）下列分式中，最简分式是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据最简分式定义：分子与分母没有公因式的分式为最简分式，将各选项分子因式分解，判断是否存在公因式即可得到结果． 【规范解答】解：最简分式的定义为分子分母没有公因式的分式，对各选项逐一分析： ∵ 选项A中，分子，分母无法因式分解，分子分母没有公因式， ∴A是最简分式； ∵ 选项B中，，分子分母有公因式，可约分， ∴B不是最简分式； ∵ 选项C中，，分子分母有公因式，可约分， ∴C不是最简分式； ∵ 选项D中，，分子分母有公因式，可约分， ∴D不是最简分式. 综上，选A． 3．（25-26八年级下·河南周口·月考）分式的值为，则的值为 （    ） A． B． C．且 D． 【答案】A 【思路引导】根据“分式的值为需同时满足分子为、分母不为两个条件”，据此列式求解即可． 【规范解答】解：∵分式的值为， ∴， 解得：． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）化简的结果为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查分式的化简，先统一分母，再合并分子化简后约分即可得到结果． 【规范解答】解：∵， ∴ 原式． 故选：． 5．（25-26八年级上·四川泸州·期末）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【思路引导】根据分式方程解为正数、分式有意义的条件确定x的限制，再解分式方程得到x关于m的表达式，代入限制即可求出m的取值范围． 【规范解答】解：∵分式方程的解为正数，且分式有意义时分母不为0， ∴且， 即且， ， 去分母得：， 整理得， ∵且， ∴且， 解得：且． 6．（25-26九年级下·安徽安庆·开学考试）哥哥带弟弟去操场锻炼，已知哥哥绕跑道跑一圈需要120秒，弟弟绕跑道跑一圈需要150秒．若弟弟和哥哥同时从起点同向出发，设t秒后哥哥正好比弟弟多跑一圈，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】将跑道一圈长度设为单位1，利用行程问题中路程、速度、时间的关系，根据“秒后哥哥比弟弟多跑一圈”的条件列等式即可． 【规范解答】解：把跑道一圈的长度看作单位1， ∵哥哥跑一圈需要120秒，弟弟跑一圈需要150秒， ∴哥哥的速度为，弟弟的速度为， ∵秒后哥哥比弟弟多跑一圈， ∴， ∴． 7．（25-26八年级上·山东滨州·期末）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．设乙队单独施工一个月能完成总工程的，根据题意，可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了分式方程的应用——工程问题，熟练掌握工作量与工作效率和工作时间的关系，列方程，是解题的关键． 设乙队单独施工1个月完成总工程的，将总工程量记为单位1，根据“甲完成的工程量+乙完成的工程量=总工程量”列方程，整理后对应选项即可． 【规范解答】∵总工程量记为单位1，甲单独1个月完成总工程的， ∴两队共同工作的半个月中，甲完成的工程量为，乙完成的工程量为， ∵工程全部完成，总工程量为1， ∴可得方程 ， 移项整理得 ，与选项A一致． 故选：A． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）若小菁按如图所示的流程输入后，输出的，则输入的值为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【思路引导】分和两种情况，把分别代入两个代数式，得出一个分式方程和一个一元一次方程，分别解方程求出的值，取符合题意的值即可． 【规范解答】解：当时，， 去分母得，， 解得：， 经检验：是分式方程的解，且符合题意； 当时，， 解得：，（与矛盾，舍去） ∴输入的值为． 9．（25-26八年级上·河北沧州·期末）若，在如图所示的数轴上标注了四段，则表示的点落在（    ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】D 【思路引导】将原式化简后，将代入即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴ ， ∴表示的点落在④段． 10．（24-25八年级下·四川资阳·月考）关于x的不等式组有解且至多有4个整数解，关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数a的和为（   ） A．4 B．8 C．11 D．15 【答案】A 【思路引导】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式组的解的情况确定参数的取值范围，分式方程的解法， 分式方程的增根问题及根据分式方程的解为整数确定参数的值．先解不等式组，根据有解且至多4个整数解确定a的取值范围，再解分式方程，结合解为整数且不为增根的条件筛选出符合的整数a，最后求和． 【规范解答】解：∵解不等式组， 得，， ∴不等式组解集为， ∵不等式组有解且至多4个整数解， ∴整数解为（至多4个）， ∴ 两边乘2得， ∴ 解分式方程， 解得， ∵分式方程的解为整数且 ∴是9的约数，且，又∵a为整数且， 逐一验证： 当时，，，符合条件， 当时，，，符合条件， 当时，，（增根，舍去）， 当时，，，符合条件， 当时，（不在范围内，舍去）， 当时，，，符合条件， ∴满足条件的整数a为， ∴所有满足条件的整数a的和为， 故选：A． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（25-26八年级下·湖南衡阳·月考）函数中，自变量x的取值范围是___________． 【答案】 【思路引导】根据分式的分母不为零求解即可． 【规范解答】解：∵函数中， ∴， ∴， ∴自变量x的取值范围是． 12．若分式的值为0，则x的值为______． 【答案】 6 【思路引导】分式值为需满足分子为且分母不为，据此列式求解即可． 【规范解答】解：若分式的值为， ∴ 解得． 13．（25-26八年级下·甘肃天水·月考）分式、、的最简公分母是________． 【答案】 【思路引导】确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【规范解答】解：分式、、的最简公分母是． 14．（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）某班学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校．一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度？设慢车的速度为，则可列方程为____________ 【答案】 【思路引导】设慢车速度为，则快车速度为，根据“慢车行驶全程的时间 - 快车行驶全程的时间 = 慢车先行的时间”这一等量关系列方程． 【规范解答】解：设慢车的速度为，则快车的速度为. ∴慢车行驶全程的时间为，快车行驶全程的时间为. 由此可列方程： 15．（25-26八年级下·河南周口·月考）若，则________． 【答案】 2 【思路引导】先对等式右边进行通分，根据分式相等的性质得到分子相等，再利用多项式相等对应系数相等建立方程组，求解得到B的值． 【规范解答】解：对等式右边通分，得， 已知， 分母相同且分式相等，因此分子相等，即， 将等式右边整理为多项式的形式，得， 根据多项式相等，对应项的系数相等，可得方程组， 将， 代入第二个方程，得， ， 解得． 16．（25-26八年级下·四川宜宾·月考）已知是实数，并且，则代数式的值是____． 【答案】2020 【思路引导】先由已知等式变形得到与，再将这两个关系代入所求代数式，通过化简计算得出结果． 【规范解答】解：， ， ． ∴ ． 17．（25-26八年级下·重庆·月考）若整数a使得关于x的分式方程有正整数解，且使得关于x的一次函数的图象不过第二象限，那么符合条件的所有整数a的和为________． 【答案】9 【思路引导】求出分式方程的解，根据解的情况，确定满足题意的整数的值，再根据一次函数不经过第二象限，求出的取值范围，进而确定出符合条件的所有整数a，求和即可． 【规范解答】解：解，得， ∵关于x的分式方程有正整数解， ∴且能被整除，且即， ∴， ∴， ∵关于x的一次函数的图象不过第二象限， ∴， ∴， ∴，． 18．某中学计划对甲、乙、丙三个校区进行绿化改造，校区内种植银杏和紫叶李．初步预算，这三个校区各需两种树木数量和之比为，需银杏数量之比为，并且甲、乙两校区需紫叶李数量之比为．在实际购买时，银杏的价格比预算高，紫叶李购买数量增加了，紫叶李的价格比预算低，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买银杏的总费用与实际购买紫叶李的总费用之比为_____． 【答案】/ 【思路引导】根据已知比例设参数表示各部分数量，利用甲、乙两校区紫叶李的数量比得到参数关系，再设单价，根据总费用相等得到单价关系，最后计算实际总费用之比． 本题考查了用字母表示数，根据相等关系列方程进行化简等知识，解决问题的关键是设需要的量，列出关系式，进行数据处理． 【规范解答】解：设三个校区需两种树木总数量分别为，，，设三个校区需银杏数量分别为，，． 则甲校区紫叶李数量为，乙校区紫叶李数量为． 由题意得 交叉相乘得 整理得，解得． 三个校区树木总数量为，总银杏数量为，预算紫叶李总数量为． 设预算银杏单价为，预算紫叶李单价为，则预算总费用为． 实际银杏总费用为． 实际紫叶李总数量为，实际紫叶李单价为，因此实际紫叶李总费用为． 由实际总费用等于预算总费用得： 约去整理得． 因此实际购买银杏总费用与实际购买紫叶李总费用之比为： ． 故答案为：． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（25-26八年级下·重庆·月考）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 无解 【思路引导】（1）去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后进行检验，即可； （2）去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后进行检验，即可. 【规范解答】（1）解：， 去分母，得， 解得； 检验，当时，， 故是原方程的解； （2）解：， 去分母，得， 解得； 当时，， ∴是原方程的增根，舍去； ∴原方程无解. 20．（本题6分）（25-26八年级下·云南昆明·开学考试）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【思路引导】先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【规范解答】解： ， 把代入，． 21．（本题8分）（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）2026年4月23日是第31个世界读书日．某中学欲举办“书香润心灵·阅读伴成长”的主题活动．学校图书馆计划订购一批鲁迅文集和四大名著套装． (1)管理员从市场上了解到四大名著（套）的单价比鲁迅文集（套）的单价贵25元．花费3600元购买鲁迅文集（套）的数量与花费5100元购买四大名著（套）的数量相同．求鲁迅文集（套）和四大名著（套）的单价各是多少元？ (2)若该校图书馆计划购买鲁迅文集和四大名著共40套，并且总费用不超过3000元，问该校图书馆最多可以购买多少套四大名著？ 【答案】(1)鲁迅文集（套）和四大名著（套）的单价分别为60元和85元 (2)24套 【思路引导】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设鲁迅文集（套）的单价为元，则四大名著（套）的单价为元，根据“花费3600元购买鲁迅文集（套）的数量与花费5100元购买四大名著（套）的数量相同”建立分式方程求解，即可解题； （2）设购买四大名著套，则购买鲁迅文集套，根据“总费用不超过3000元，”建立不等式求解，即可解题． 【规范解答】（1）解：设鲁迅文集（套）的单价为元，则四大名著（套）的单价为元， 根据题意，得， 解得， ， 答：鲁迅文集（套）和四大名著（套）的单价分别为60元和85元； （2）解：设购买四大名著套，则购买鲁迅文集套， 根据题意，得：， 解得， 答：该校图书馆最多可以购买24套四大名著． 22．（本题8分）（25-26八年级下·吉林长春·月考）在一次数学课上，老师让解方程．某同学的解方程过程如下： 第一步，， 第二步，， 第三步，， 第四步，， 第五步，， 第六步，检验：当时，． ∴原分式方程的解为． (1)填空：该同学解方程的过程中去分母的步骤是第________步，去分母的依据是________________； (2)该同学解方程的过程是否正确？若不正确，请你解这个方程． 【答案】(1)一；等式两边同时乘同一个不等于0的整式，等式仍然成立 (2)不正确，原方程的解为 【思路引导】（1）根据该同学解方程的过程分析即可； （2）根据等式的性质可知该同学第一步出现错误；根据正确的步骤求出方程的解，然后检验即可． 【规范解答】（1）解：该同学解方程的过程中去分母的步骤是第一步，去分母的依据是等式两边同时乘同一个不等于0的整式，等式仍然成立； （2）解：该同学在去分母时左边的2漏乘了最简公分母，所以该同学解方程的过程不正确． ， 两边都乘以，得 ， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 23．（本题8分）（25-26八年级下·河南南阳·月考）2026年春晚舞台上，人形机器人表演让人叹为观止．某公司计划购买甲、乙两种机器人进行销售，调查发现，甲种机器人的单价比乙种机器人的单价少5万元，花1200万元购进甲种机器人的数量是花650万元购进乙种机器人数量的2倍． (1)求购买一个甲种机器人、一个乙种机器人各需多少万元？ (2)该公司打算购进甲、乙两种机器人共30个（两种都要买），且总经费预算不超过1900万元．若购进甲种机器人个，购买经费为万元，求与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围． 【答案】(1)购买一个甲种机器人需60万元，一个乙种机器人需65万元 (2)（且为整数） 【思路引导】（1）设购买一个乙种机器人需万元，则购买一个甲种机器人需万元，再根据“甲种机器人的单价比乙种机器人的单价少5万元，花1200万元购进甲种机器人的数量是花650万元购进乙种机器人数量的2倍”列分式方程并求解即可； （2）设该公司购进甲种机器人个，则购进乙种机器人个，根据“总经费预算不超过1900万元”进行求解即可． 【规范解答】（1）解：设购买一个乙种机器人需万元，则购买一个甲种机器人需万元． 根据题意得，， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． ， 答：购买一个甲种机器人需60万元，一个乙种机器人需65万元； （2）解：设该公司购进甲种机器人个，则购进乙种机器人个， 根据题意得，． 又， 解得， 为整数且小于30， ． （且为整数）． 24．（本题8分）（25-26八年级下·江苏南京·月考）形如（a，b不为零，且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”，例如为十字分式方程，可化为，∴，． 再如为十字分式方程，可化为， ∴，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则______，______． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． (3)若关于x的方程的两个解是，，若是整数，求满足条件的整数k的值． 【答案】(1)2；5 (2)7 (3)或或或 【思路引导】（1）根据，结合题意可得答案； （2）原方程变形为，则根据定义可得，再根据计算求解即可； （3）原方程可变形为，可证明方程是“十字分式方程”，则，进而得到，则，根据是整数，得到是整数，据此求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵十字分式方程的两个解分别为，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴方程是“十字分式方程”， ∵关于x的方程的两个解是，， ∴， ∴， ∴， ∵是整数， ∴是的整数，即是整数， 又∵k是整数， ∴或， ∴或或或． 25．（本题10分）（25-26八年级下·重庆·月考）我校计划采购、两种型号的文件柜用于存放教学资料，调查发现：型号文件柜的单价是型号文件柜单价的倍，用元购买型号文件柜的数量比用元购买型号文件柜的数量多个． (1)、两种型号文件柜的单价分别是多少元？ (2)学校计划采购这两种文件柜共个，要求型号文件柜的数量不少于型号文件柜数量的倍，且型号文件柜的数量不少于个．请你设计一种购买方案，使所需费用最少，最少费用是多少？ 【答案】(1)型号文件柜单价元，型号文件柜单价元 (2)购买型号个、型号个时费用最少，最少费用为元 【思路引导】（1）根据“数量=总价÷单价”，结合型号数量比型号多个的等量关系列分式方程求解；（2）先根据题意列出关于型号数量的不等式组，得到的取值范围，再列出总费用的一次函数表达式，利用一次函数的增减性求解最少费用即可； 【规范解答】（1）设型号文件柜单价为元，则型号文件柜单价为元 ， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元）； 答：型号文件柜单价元，型号文件柜单价元． （2）设购买型号文件柜个，总费用为元，则购买型号文件柜个， 由题意得， ， ， 不等式组的解集为，为整数， 总费用， ， 随的增大而减小， 当取最大值时，最小， （元）， （个）； 答：购买型号个、型号个时费用最少，最少费用为元． 26．（本题10分）（25-26八年级下·湖南衡阳·月考）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式友好分式．如与，因为，所以是的友好分式． (1)分式__________分式的友好分式（填是或不是）； (2)小明在求分式的友好分式时，用了以下方法； 设的友好分式为，则， ． 请你仿照小明的方法求分式的友好分式． (3)①若分式的友好分式的值是正整数，求整数的值． ②若是的友好分式（，为整数），则的值为_____． 【答案】(1)是 (2) (3)①，；②． 【思路引导】（1）根据友好分式的定义，分别计算两个分式的差与积，比较二者是否相等，完成判断． （2）仿照示例，设分式的友好分式为，根据定义列方程，通过移项、整理求解． （3）①先根据定义求出分式的友好分式，再根据其值为正整数，结合整数的性质求解的取值；②根据友好分式的定义列等式，通分后对比等式两边的系数，建立关于、的方程，求解后计算的值． 【规范解答】（1）解： ， ， ， 是的友好分式； （2）解：设的友好分式为，根据定义得： ， ， ， ， ， ， ∴分式的友好分式为； （3）解：①设的友好分式为，根据定义得： ， ∴， 是正整数，为整数， 为整数，且， 为的非零因数，且． 当时，，不符合正整数，舍去； 当时，，符合； 当时，，不符合； 当时，，符合． 综上，整数的值为，． ②根据友好分式定义，其中，，得 ， ， ∴ ∴， ∴ 由方程得： ， 或． 当时，代入方程得 ∴， 本方程中，常数项为，首项系数为，因此可能的有理根为，． 代入：， 代入：， 代入：， 代入：， ∴该方程无有理根，故方程无整数解，舍去． 当，即时，代入方程得 ， ∴， ∴ 或（舍去）， 当时，． ， ∴的值为． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年苏科版数学八年级下册章节复习检测基础卷（新教材） 第10章 分式 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.48 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（25-26八年级下·湖南衡阳·月考）若，则的值为（    ） A． B．3 C． D．4 2．（25-26八年级下·河南周口·月考）下列分式中，最简分式是 （    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·河南周口·月考）分式的值为，则的值为 （    ） A． B． C．且 D． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）化简的结果为（   ）． A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·四川泸州·期末）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 6．（25-26九年级下·安徽安庆·开学考试）哥哥带弟弟去操场锻炼，已知哥哥绕跑道跑一圈需要120秒，弟弟绕跑道跑一圈需要150秒．若弟弟和哥哥同时从起点同向出发，设t秒后哥哥正好比弟弟多跑一圈，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·山东滨州·期末）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．设乙队单独施工一个月能完成总工程的，根据题意，可列方程（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）若小菁按如图所示的流程输入后，输出的，则输入的值为（    ） A． B． C．0 D． 9．（25-26八年级上·河北沧州·期末）若，在如图所示的数轴上标注了四段，则表示的点落在（    ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 10．（24-25八年级下·四川资阳·月考）关于x的不等式组有解且至多有4个整数解，关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数a的和为（   ） A．4 B．8 C．11 D．15 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（25-26八年级下·湖南衡阳·月考）函数中，自变量x的取值范围是___________． 12．若分式的值为0，则x的值为______． 13．（25-26八年级下·甘肃天水·月考）分式、、的最简公分母是________． 14．（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）某班学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校．一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度？设慢车的速度为，则可列方程为____________ 15．（25-26八年级下·河南周口·月考）若，则________． 16．（25-26八年级下·四川宜宾·月考）已知是实数，并且，则代数式的值是____． 17．（25-26八年级下·重庆·月考）若整数a使得关于x的分式方程有正整数解，且使得关于x的一次函数的图象不过第二象限，那么符合条件的所有整数a的和为________． 18．某中学计划对甲、乙、丙三个校区进行绿化改造，校区内种植银杏和紫叶李．初步预算，这三个校区各需两种树木数量和之比为，需银杏数量之比为，并且甲、乙两校区需紫叶李数量之比为．在实际购买时，银杏的价格比预算高，紫叶李购买数量增加了，紫叶李的价格比预算低，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买银杏的总费用与实际购买紫叶李的总费用之比为_____． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（25-26八年级下·重庆·月考）解分式方程： (1)； (2)． 20．（本题6分）（25-26八年级下·云南昆明·开学考试）先化简，再求值：，其中． 21．（本题8分）（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）2026年4月23日是第31个世界读书日．某中学欲举办“书香润心灵·阅读伴成长”的主题活动．学校图书馆计划订购一批鲁迅文集和四大名著套装． (1)管理员从市场上了解到四大名著（套）的单价比鲁迅文集（套）的单价贵25元．花费3600元购买鲁迅文集（套）的数量与花费5100元购买四大名著（套）的数量相同．求鲁迅文集（套）和四大名著（套）的单价各是多少元？ (2)若该校图书馆计划购买鲁迅文集和四大名著共40套，并且总费用不超过3000元，问该校图书馆最多可以购买多少套四大名著？ 22．（本题8分）（25-26八年级下·吉林长春·月考）在一次数学课上，老师让解方程．某同学的解方程过程如下： 第一步，， 第二步，， 第三步，， 第四步，， 第五步，， 第六步，检验：当时，． ∴原分式方程的解为． (1)填空：该同学解方程的过程中去分母的步骤是第________步，去分母的依据是________________； (2)该同学解方程的过程是否正确？若不正确，请你解这个方程． 23．（本题8分）（25-26八年级下·河南南阳·月考）2026年春晚舞台上，人形机器人表演让人叹为观止．某公司计划购买甲、乙两种机器人进行销售，调查发现，甲种机器人的单价比乙种机器人的单价少5万元，花1200万元购进甲种机器人的数量是花650万元购进乙种机器人数量的2倍． (1)求购买一个甲种机器人、一个乙种机器人各需多少万元？ (2)该公司打算购进甲、乙两种机器人共30个（两种都要买），且总经费预算不超过1900万元．若购进甲种机器人个，购买经费为万元，求与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围． 24．（本题8分）（25-26八年级下·江苏南京·月考）形如（a，b不为零，且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”，例如为十字分式方程，可化为，∴，． 再如为十字分式方程，可化为， ∴，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则______，______． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． (3)若关于x的方程的两个解是，，若是整数，求满足条件的整数k的值． 25．（本题10分）（25-26八年级下·重庆·月考）我校计划采购、两种型号的文件柜用于存放教学资料，调查发现：型号文件柜的单价是型号文件柜单价的倍，用元购买型号文件柜的数量比用元购买型号文件柜的数量多个． (1)、两种型号文件柜的单价分别是多少元？ (2)学校计划采购这两种文件柜共个，要求型号文件柜的数量不少于型号文件柜数量的倍，且型号文件柜的数量不少于个．请你设计一种购买方案，使所需费用最少，最少费用是多少？ 26．（本题10分）（25-26八年级下·湖南衡阳·月考）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式友好分式．如与，因为，所以是的友好分式． (1)分式__________分式的友好分式（填是或不是）； (2)小明在求分式的友好分式时，用了以下方法； 设的友好分式为，则， ． 请你仿照小明的方法求分式的友好分式． (3)①若分式的友好分式的值是正整数，求整数的值． ②若是的友好分式（，为整数），则的值为_____． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $