7.5·正态分布【知识梳理+6个题型归纳】讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

2026年高二数学下学期常考题型归纳 【7.5·正态分布】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：正态密度函数】 【练方法】 知识梳理 1正态分布的定义：若随机变量的概率密度函数为 其中为均值（数学期望）为标准差（）则称服从参数为的正态分布记作 2正态密度函数的本质：描述连续型随机变量的概率分布曲线与轴围成的面积为1 3参数的意义：决定分布的中心位置决定分布的离散程度（越小曲线越“瘦高”分布越集中；越大曲线越“矮胖”分布越分散） 解题方法 1识别正态密度函数：确认形式为 2提取参数：对比标准形式直接读出均值和标准差 3验证参数范围：确保函数为正态密度函数 4易错点：区分与题目中常给出方差需开方得到标准差 【多选题】（25-26高二下·全国·课后作业）某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩（单位：分）服从正态分布，其概率密度函数为，则下列说法正确的是（   ）经典例题1例题 A．这次考试的数学平均成绩为80分 B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同 C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同 D．这次考试的数学成绩的标准差为10 【多选题】（2024高三·全国·专题练习）已知随机变量和满足，若服从正态分布，其正态曲线对应的密度函数为，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （24-25高二下·全国·课后作业）（多选）假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布（单位：g），生产线乙正常情况下生产出来的包装食盐质量为，随机变量x的概率分布密度函数为，其中，则（    ）小试牛刀1 附：随机变量，则，. A．正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于的概率为0.135% B．生产线乙的食盐质量 C．曲线的峰值为 D．生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于，于是判断出该生产线出现异常，该判断是合理的 【多选题】（2022·江苏·模拟预测）18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布，那么当n比较大时，可视为X服从正态分布，其密度函数，.任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布（且）.当时，对任意实数x，记，则（    ）小试牛刀2 A． B．当时， C．随机变量，当减小，增大时，概率保持不变 D．随机变量，当，都增大时，概率单调增大 （22-23高二下·福建泉州·期末）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为，，则下列说法错误的是（    ）小试牛刀3 A．该地水稻的平均株高为 B．该地水稻株高的方差为100 C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小 D．随机测量一株水稻，其株高在和在（单位：cm）的概率一样大 【题型2：正态曲线的性质】 【练方法】 知识梳理 1正态曲线的图像特征： 曲线关于直线对称 曲线在处达到峰值 曲线向左右两侧无限延伸且以轴为渐近线 曲线与轴围成的面积为1 2曲线的平移与伸缩： 变化：曲线沿轴平移增大右移减小左移 变化：曲线形状改变减小变“瘦高”增大变“矮胖” 解题方法 1对称性应用：利用曲线关于对称得到 2单调性分析：时曲线单调递增时曲线单调递减 3形状判断：根据的大小判断曲线的“瘦高”或“矮胖” 4易错点：曲线的对称轴是不是仅标准正态分布的对称轴为 （2026·上海徐汇·二模）已知甲､乙两班在某次数学测验中成绩近似服从正态分布，甲班成绩，乙班成绩，其密度曲线如图所示，则有（    ）经典例题1例题 A．且 B．且 C． D． （25-26高三·全国·三轮复习）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（    ）经典例题2例题 A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 【多选题】（2026·江苏·模拟预测）已知随机变量，则（    ）小试牛刀1 A． B．是增函数 C． D． 【多选题】（2026·浙江·二模）已知连续型随机变量Y服从正态分布，记函数，，则（    ）．（注：若，则，）小试牛刀2 A． B． C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 【多选题】（2026·四川宜宾·一模）赓续绵延长江情，携手共谱新篇章．2026年央视春晚宜宾分会场筹备期间，某中学向全校学生征集“立上游-新宜宾”主题宣传文案，共收到500篇作品．由专业评委进行打分，满分100分，不低于60分为及格，不低于m分为优秀，若征文得分X（单位：分）近似服从正态分布，且及格率为80%，则下列说法正确的是（   ）小试牛刀3 A．随机取1篇征文，则评分在内的概率为0.6 B．已知优秀率为20%，则 C．越大，的值越小 D．越小，评分在的概率越大 【题型3：正态分布求指定区间的概率】 【练方法】 知识梳理 1正态分布的概率计算：随机变量落在区间内的概率为 即正态曲线与轴在区间内围成的面积 2标准正态分布：当时其分布函数为满足 3标准化变换：一般正态分布可通过变换转化为标准正态分布则 解题方法 1标准化变换：将一般正态分布转化为标准正态分布利用 2对称性简化：利用等简化计算 3常用区间概率： 4易错点：标准化时需同时对区间端点进行变换避免漏变 （25-26高二下·江西景德镇·月考）已知，若，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2026·宁夏·一模）已知随机变量，且，则的值为____________.经典例题2例题 （25-26高二下·浙江宁波·月考）已知，若，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二下·浙江衢州·期中）已知随机变量，则（   ）小试牛刀2 A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8 （2026·广东佛山·二模）随机变量服从正态分布，，则______.小试牛刀3 【题型4：由正态分布的对称性求参数】 【练方法】 知识梳理 1正态分布的核心对称性：曲线关于对称即 2概率关系：若则对称轴 3应用场景：已知两个对称区间的概率相等求均值；或已知概率求区间端点 解题方法 1对称性列等式：若则 2利用：若则 3区间中点法：若则对称轴 4易错点：对称区间需以为中心避免误判对称轴位置 （2026·河北衡水·二模）已知随机变量，且，则的展开式中的常数项为________.（用数字作答）经典例题1例题 （安徽蚌埠市2026届高三下学期适应性考试数学试题）已知随机变量，实数满足，则的值为（   ）经典例题2例题 A．4 B．3 C．2 D．1 （2026·安徽池州·二模）已知随机变量，且，若（为有理数），则________．小试牛刀1 （25-26高三上·广西贵港·开学考试）已知随机变量，，则值为（   ）小试牛刀2 A．4 B．5 C．3 D． （25-26高二下·上海奉贤·月考）已知随机变量，且，则当时，的最小值为___________.小试牛刀3 【题型5：3原则】 【练方法】 知识梳理 1 3σ原则（正态分布的实际应用原则）：正态分布中几乎所有数据都落在区间内即 2含义：随机变量落在之外的概率仅为0.27%属于小概率事件通常认为不会发生 3应用场景：质量控制、生产管理、异常检测等若数据超出范围则视为异常 解题方法 1直接套用3σ区间：计算和确定数据的正常范围 2概率计算：利用计算落在区间外的概率 3实际问题应用：判断产品是否合格、数据是否异常超出区间则判定为不合格/异常 4易错点：3σ原则中的区间是不是 【多选题】（2026·陕西西安·模拟预测）已知随机变量，，则下列结论正确的是（    ）经典例题1例题 参考数据：若，则，，． A．若，则 B． C． D．若，则 （2026·云南·模拟预测）十五五规划将商业航天定位为战略性新兴产业，意味着未来几年将是这个领域高速发展的关键时期．某公司生产的飞行器的某一部件质量指标服从正态分布，其中指标的部件为正品，其他为次品，要使次品率不高于，则的值不可能为（   ）经典例题2例题 （参考数据：） A．0.015 B．0.016 C．0.02 D．0.021 （25-26高三下·青海西宁·月考）袋装食盐标准质量为400g，规定误差的绝对值不超过4g就认为合格.随机抽取100袋食盐，假设误差X服从正态分布，则估计这批袋装食盐的合格率是__________.参考数据：若X服从正态分布，则，.小试牛刀1 （25-26高二上·江西南昌·期末）某种植园种植的脐橙单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有10000个该种植园种植的脐橙，估计其中单果质量不低于210g的脐橙个数为（    ）小试牛刀2 附：若，则，. A．130 B．228 C．260 D．1587 （25-26高三上·湖北黄石·期末）假设某次考试的成绩服从正态分布.如果按的比例将考试成绩从高到低分为四个等级，则A等级的分数线约为（    ）小试牛刀3 【若，则】 A．85 B．130 C．115 D．145 【题型6：正态分布的实际应用】 【练方法】 知识梳理 1应用场景：产品质量控制、生产过程管理、考试成绩分析、身高体重分布等数据近似服从正态分布 2核心思路：利用正态分布的对称性和3σ原则分析数据分布、判断异常、进行决策 3常见问题：求合格产品的概率、确定质量控制范围、分析考试成绩分布等 解题方法 1建立模型：将实际问题转化为正态分布问题确定参数 2概率计算：利用对称性、3σ原则或标准化变换计算相关概率 3决策分析：根据概率结果制定质量控制标准、判断产品是否合格、分析成绩分布等 4易错点：实际数据通常近似服从正态分布需注意与理论分布的差异 （25-26高二下·浙江宁波·月考）某市高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布.经典例题1例题 (1)估计数学成绩超过112分的人数占总人数的比例； (2)若该市有10000名高二年级考生，估计全市数学成绩在内的学生人数. 参考数据：若，则，，. （2026·辽宁沈阳·二模）某科技公司研发的AI智能体在进行图象分类任务时，单次分类的准确率X（单位：分）服从正态分布．经典例题2例题 (1)求正常情况下，该AI单次分类的准确率大于99分的概率； (2)某天测试人员随机抽取了该AI的两次分类结果，发现两次的准确率得分均大于99分．测试人员根据这两次测试结果，判断该AI智能体出现了异常波动，要求立即暂停研发更新并进行算法排查．请问测试人员的判断是否合理？请说明理由． 附：若，则，，． （25-26高三上·山东滨州·期末）某企业生产一种零部件，其质量指标介于的为优品．技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布．若该零件生产的控制系统中每个元件正常工作的概率都是（），各个元件能否正常工作相互独立，如果系统中有超过一半的元件正常工作，系统就能正常工作．系统正常工作的概率称为系统的可靠性．小试牛刀1 附：若，则，． (1)求该企业生产的这种零部件在技术改造后与技术改造前的优品率之差； (2)若控制系统原有3个元件，计算该系统的可靠性，并判断若给该系统增加一个元件，可靠性有何变化？ （2023·山东济南·一模）为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平．某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格：小试牛刀2 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩/分 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80 记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，经计算. (1)求； (2)规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列； (3)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，用的值分别作为的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为Y，求Y的数学期望． 附：若，则，，. （25-26高二上·全国·单元测试）从某企业生产的某种产品中随机抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：小试牛刀3    (1)求这1000件产品质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）． (2)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，已知的估计值为12.61. （ⅰ）试估计这批产品质量指标值在的数量； （ⅱ）为监控该产品的生产质量，每天抽取10件产品进行检测，若出现了质量指标值在，之外的产品，就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，请说明上述监控生产过程方法的合理性． 参考数据：若，则，，，． 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高三上·云南曲靖·期中）某市共30000人参加一次数学测试，满分150分，学生的抽测成绩服从正态分布，则抽测成绩在内的学生人数大约为（　　） 若，则 A．4077 B．5436 C．1359 D．2718 2．（25-26高三上·江苏常州·期中）已知随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·江西·期中）已知随机变量，则“”是“”（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．（23-24高二下·福建厦门·期中）某班有60名学生，一次考试后数学成绩，若，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为（ ） A．10 B．9 C．8 D．7 5．（25-26高三下·福建厦门·开学考试）已知随机变量，若，且，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 6．（2026·广西北海·一模）已知随机变量，且，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 7．（25-26高三上·江苏·期中）已知随机变量，且，则的展开式中的系数为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·浙江绍兴·期末）新能源汽车具有零排放、能源利用率高等特点，近年来备受青睐.某新能源汽车制造企业为调查其旗下A型号新能源汽车的耗电量（单位：kW·h/100km）情况，随机调查得到了1000个样本，据统计该型号新能源汽车的耗电量，若，则样本中耗电量小于12kW·h/100km的汽车大约有（   ） A．700辆 B．350辆 C．300辆 D．150辆 二、多选题 9．（25-26高三上·重庆九龙坡·期中）已知随机变量服从正态分布，则下列说法正确的是（    ） A． B．当时， C． D．随机变量落在与落在的概率相等 10．（2025·浙江丽水·一模）已知随机变量，则下列等式正确的是（　　） A． B． C． D． 11．（24-25高三上·陕西·期中）若随机变量，则（   ） A． B． C． D．当时， 三、填空题 12．（25-26高三上·河南郑州·期中）已知随机变量，正实数满足，则的最小值为___________． 13．（25-26高三下·上海宝山·期中）已知随机变量，且，那么__________. 14．（23-24高二下·天津·期中）下列说法正确的有______． ①已知随机变量，，满足，且服从正态分布，则 ②已知随机变量服从正态分布，且，则 ③已知随机变量服从二项分布，则 ④已知随机变量服从两点分布，且，，令，则 15．（24-25高二下·全国·课后作业）某项实验的随机误差为实验次数．要求的概率低于，则至少需做______次实验（，在该实验的误差估计中，可认为）． 16．（2026高二下·全国·专题练习）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，每天的准点率服从正态分布且，则________． 17．（25-26高三下·上海浦东新·期中）某校高中三年级600名学生参加了区质量检测，已知数学检测成绩X服从正态分布（试卷满分为150分）．统计结果显示，数学检测成绩介于80分到120分之间的人数为450名，则此次检测中成绩不低于120分的学生人数约为总人数的________（精确到0.1%）． 四、解答题 18．（25-26高三上·湖北·期中）已知某品牌新能源汽车的电池使用寿命（单位：年）服从正态分布，其质保政策规定：电池寿命低于年可免费更换. (1)求任意一辆该品牌汽车享受免费更换电池的概率（精确到）； (2)某出租车公司购买了辆该品牌汽车，记为免费享受更换的车辆数，利用（1）的结果，求的分布列和数学期望. 附：若随机变量服从正态分布，则. 19．（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）为科普航空航天知识，某学校举办了一次“航空航天知识竞赛”，此次竞赛分为初赛和决赛两个阶段，初赛成绩排名前100名的学生可以参加决赛.已知共有2000名学生参加了初赛，初赛成绩服从正态分布，其中. (1)已知学生甲的初赛成绩为88分，利用该正态分布，估计学生甲是否有资格参加决赛； (2)决赛规则如下： ①每位学生的初赛成绩直接计入决赛成绩； ②每位学生需解答10道决赛题，每题5分；每答对一道题，决赛成绩加5分，答错时既不加分也不减分； 已知参加决赛的学生乙的初赛成绩为95分，他答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立，求他决赛成绩的数学期望和方差. 附：若，则，. 20．（24-25高二下·江苏苏州·期中）某省举办了一次高三年级化学模拟考试，其中甲市有10000名学生参加考试.根据经验，该省及各市本次模拟考试成绩（满分100分）都近似服从正态分布． (1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分，87分以上共有228人．甲市学生A的成绩为76分，试估计学生A在甲市的大致名次； (2)在该省本次模拟考试的参考学生中随机抽取40人，记Y表示在本次考试中化学成绩在之外的人数，求的概率． 参考数据： 参考公式：若，有，， 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高二数学下学期常考题型归纳 【7.5·正态分布】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：正态密度函数】 【练方法】 知识梳理 1正态分布的定义：若随机变量的概率密度函数为 其中为均值（数学期望）为标准差（）则称服从参数为的正态分布记作 2正态密度函数的本质：描述连续型随机变量的概率分布曲线与轴围成的面积为1 3参数的意义：决定分布的中心位置决定分布的离散程度（越小曲线越“瘦高”分布越集中；越大曲线越“矮胖”分布越分散） 解题方法 1识别正态密度函数：确认形式为 2提取参数：对比标准形式直接读出均值和标准差 3验证参数范围：确保函数为正态密度函数 4易错点：区分与题目中常给出方差需开方得到标准差 【多选题】（25-26高二下·全国·课后作业）某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩（单位：分）服从正态分布，其概率密度函数为，则下列说法正确的是（   ）经典例题1例题 A．这次考试的数学平均成绩为80分 B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同 C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同 D．这次考试的数学成绩的标准差为10 【答案】ACD 【分析】首先根据正态密度函数解析式确定和，判断AD，再根据对称性判断BC. 【详解】由函数解析式知这次考试的数学平均成绩为80分，标准差为10，故A，D正确． 因为函数图象关于直线对称，所以分数在120分以上的人数与分数在40分以下的人数相同； 分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同，故B错误，C正确． 故选：ACD 【多选题】（2024高三·全国·专题练习）已知随机变量和满足，若服从正态分布，其正态曲线对应的密度函数为，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据正态曲线对应的密度函数可确定中，继而结合方差的性质以及正态曲线的对称性意义判断各选项，即得答案. 【详解】由正态曲线对应的密度函数为，得，， 则，，A正确； 因为，所以，B错误； 因为，结合正态曲线可知，C正确； ，D错误． 故选：AC （24-25高二下·全国·课后作业）（多选）假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布（单位：g），生产线乙正常情况下生产出来的包装食盐质量为，随机变量x的概率分布密度函数为，其中，则（    ）小试牛刀1 附：随机变量，则，. A．正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于的概率为0.135% B．生产线乙的食盐质量 C．曲线的峰值为 D．生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于，于是判断出该生产线出现异常，该判断是合理的 【答案】ACD 【分析】根据正态分布的性质结合给定区间上的概率值可判断A；根据随机变量x的概率分布密度函数可判断B，C；根据正态分布的“”原则可判断D. 【详解】对于A，设生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐的质量为X，则， 其中，则，A正确； 对于B，随机变量x的概率分布密度函数，有，，因此生产线乙的食盐质量，B错误； 对于C，因为，当且仅当时取等号， 因此当时，，C正确； 对于D，， 说明生产线甲上抽到质量大于食盐的可能性很低， 则随机抽取两包其质量均大于，说明判断出该生产线出现异常是合理的，D正确. 故选:ACD. 【多选题】（2022·江苏·模拟预测）18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布，那么当n比较大时，可视为X服从正态分布，其密度函数，.任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布（且）.当时，对任意实数x，记，则（    ）小试牛刀2 A． B．当时， C．随机变量，当减小，增大时，概率保持不变 D．随机变量，当，都增大时，概率单调增大 【答案】AC 【分析】根据结合正态曲线的对称性，可判断A;由定义即可判断B;根据正态分布的准则可判断C,D. 【详解】对于A，根据正态曲线的对称性可得：，故A正确； 对于B, 当时，，故B错误； 对于C，D，根据正态分布的准则，在正态分布中代表标准差，代表均值, 即为图象的对称轴，根据原则可知数值分布在中的概率为0.6826，是常数， 故由可知，C正确，D错误， 故选：AC （22-23高二下·福建泉州·期末）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为，，则下列说法错误的是（    ）小试牛刀3 A．该地水稻的平均株高为 B．该地水稻株高的方差为100 C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小 D．随机测量一株水稻，其株高在和在（单位：cm）的概率一样大 【答案】C 【分析】根据密度曲线求得，然后对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意， 所以平均数为，方差为，所以AB选项正确. 依题意， 而，即，所以C选项错误. ，所以D选项正确. 故选：C 【题型2：正态曲线的性质】 【练方法】 知识梳理 1正态曲线的图像特征： 曲线关于直线对称 曲线在处达到峰值 曲线向左右两侧无限延伸且以轴为渐近线 曲线与轴围成的面积为1 2曲线的平移与伸缩： 变化：曲线沿轴平移增大右移减小左移 变化：曲线形状改变减小变“瘦高”增大变“矮胖” 解题方法 1对称性应用：利用曲线关于对称得到 2单调性分析：时曲线单调递增时曲线单调递减 3形状判断：根据的大小判断曲线的“瘦高”或“矮胖” 4易错点：曲线的对称轴是不是仅标准正态分布的对称轴为 （2026·上海徐汇·二模）已知甲､乙两班在某次数学测验中成绩近似服从正态分布，甲班成绩，乙班成绩，其密度曲线如图所示，则有（    ）经典例题1例题 A．且 B．且 C． D． 【答案】C 【详解】正态密度曲线关于对称，对称轴位置对应均值；且越大，曲线越矮胖，越小曲线越瘦高 从图中可知：的对称轴为，的对称轴为，因此；曲线更矮胖，因此，故选项A、B错误； 由正态分布的对称性：，，C正确； ，而，所以，因此，D错误 （25-26高三·全国·三轮复习）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（    ）经典例题2例题 A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 【答案】C 【分析】根据正态分布的性质逐项判断即可. 【详解】由正态密度曲线的性质可知，、的密度曲线分别关于、对称， 因此结合所给图象可得且的密度曲线较的密度曲线“瘦高”， 所以，所以对任意正数，. 【多选题】（2026·江苏·模拟预测）已知随机变量，则（    ）小试牛刀1 A． B．是增函数 C． D． 【答案】ABC 【分析】根据正态分布的对称性及条件，可判断A、C、D的正误；根据正态分布的性质及函数的性质，可判断B的正误； 【详解】因为随机变量，则正态分布的对称轴， 选项A：，故A正确； 选项B：随着x逐渐增大，逐渐增大且连续，所以是增函数，故B正确； 选项C：根据对称性可得， 又，所以，故C正确； 选项D： ，故D错误； 【多选题】（2026·浙江·二模）已知连续型随机变量Y服从正态分布，记函数，，则（    ）．（注：若，则，）小试牛刀2 A． B． C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 【答案】AC 【分析】利用正态分布的性质进行判断即可. 【详解】因为，所以连续型随机变量服从正态分布，且均值，标准差， A选项， ，而， 代入、，得，由正态分布的性质得：， 所以，所以A选项正确； B选项，，由解析A可知：， 由正态分布的对称性可知：， 又， 所以，解得：，因此，所以B选项错误； 对于C，，则， ， 而Y服从正态分布，区间和关于直线对称， 故，即的图象关于直线对称，C选项正确； 对于D，，若的图象关于点对称，则， 即， 而Y服从正态分布，则，， 故， 当时，， 即的图象不关于点对称，D错误. 【多选题】（2026·四川宜宾·一模）赓续绵延长江情，携手共谱新篇章．2026年央视春晚宜宾分会场筹备期间，某中学向全校学生征集“立上游-新宜宾”主题宣传文案，共收到500篇作品．由专业评委进行打分，满分100分，不低于60分为及格，不低于m分为优秀，若征文得分X（单位：分）近似服从正态分布，且及格率为80%，则下列说法正确的是（   ）小试牛刀3 A．随机取1篇征文，则评分在内的概率为0.6 B．已知优秀率为20%，则 C．越大，的值越小 D．越小，评分在的概率越大 【答案】AD 【详解】对于A，由题意可知，， ， ，由对称性可知， ，故A正确； 对于B，由题意可知，， 因为，所以，故B不正确； 对于C，因为是该正态分布图象的对称轴，所以， 不会随的变化而变化，故C错误； 对于D，由对正态分布图象的影响可知，越小，图象越“瘦高”， 因此在区间对应图象的面积变大，所以评分在的概率越大，故D正确； 【题型3：正态分布求指定区间的概率】 【练方法】 知识梳理 1正态分布的概率计算：随机变量落在区间内的概率为 即正态曲线与轴在区间内围成的面积 2标准正态分布：当时其分布函数为满足 3标准化变换：一般正态分布可通过变换转化为标准正态分布则 解题方法 1标准化变换：将一般正态分布转化为标准正态分布利用 2对称性简化：利用等简化计算 3常用区间概率： 4易错点：标准化时需同时对区间端点进行变换避免漏变 （25-26高二下·江西景德镇·月考）已知，若，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，故，故. （2026·宁夏·一模）已知随机变量，且，则的值为____________.经典例题2例题 【答案】0.4/ 【详解】因为随机变量，则正态分布曲线的对称轴为， 所以，即. （25-26高二下·浙江宁波·月考）已知，若，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，因此对应的正态曲线的对称轴为 由对称性可知 所以 所以 （25-26高二下·浙江衢州·期中）已知随机变量，则（   ）小试牛刀2 A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8 【答案】C 【分析】根据正态分布的对称性求解即可. 【详解】因为，， 所以. （2026·广东佛山·二模）随机变量服从正态分布，，则______.小试牛刀3 【答案】/ 【详解】因为随机变量服从正态分布，所以， 所以. 【题型4：由正态分布的对称性求参数】 【练方法】 知识梳理 1正态分布的核心对称性：曲线关于对称即 2概率关系：若则对称轴 3应用场景：已知两个对称区间的概率相等求均值；或已知概率求区间端点 解题方法 1对称性列等式：若则 2利用：若则 3区间中点法：若则对称轴 4易错点：对称区间需以为中心避免误判对称轴位置 （2026·河北衡水·二模）已知随机变量，且，则的展开式中的常数项为________.（用数字作答）经典例题1例题 【答案】 【分析】先由正态分布的对称性得到a的值，然后写出二项展开式的通项公式，令x的指数为0即可求解. 【详解】随机变量，则图像关于对称，且， 由对称性可得，解得， 的通项公式为 ， 当时得到展开式的常数项为. （安徽蚌埠市2026届高三下学期适应性考试数学试题）已知随机变量，实数满足，则的值为（   ）经典例题2例题 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据正态分布的对称性求解本题. 【详解】已知随机变量，实数满足， 所以，解得. （2026·安徽池州·二模）已知随机变量，且，若（为有理数），则________．小试牛刀1 【答案】2 【分析】由正态分布的对称性求参数值，应用二项式定理及已知确定对应项系数确定，即可得. 【详解】由正态分布的对称性知，则，所以， 由的展开式通项为， 由题设，， 所以. （25-26高三上·广西贵港·开学考试）已知随机变量，，则值为（   ）小试牛刀2 A．4 B．5 C．3 D． 【答案】A 【分析】根据正态分布的对称性求的值. 【详解】因为随机变量，所以正态分布的曲线的对称轴为． 又因为，所以，解得． （25-26高二下·上海奉贤·月考）已知随机变量，且，则当时，的最小值为___________.小试牛刀3 【答案】 【分析】根据正态分布的对称性，可得a值，根据基本不等式“1”的代换，计算化简，即可得答案. 【详解】因为，所以对称轴， 因为，所以， 则当时，， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 【题型5：3原则】 【练方法】 知识梳理 1 3σ原则（正态分布的实际应用原则）：正态分布中几乎所有数据都落在区间内即 2含义：随机变量落在之外的概率仅为0.27%属于小概率事件通常认为不会发生 3应用场景：质量控制、生产管理、异常检测等若数据超出范围则视为异常 解题方法 1直接套用3σ区间：计算和确定数据的正常范围 2概率计算：利用计算落在区间外的概率 3实际问题应用：判断产品是否合格、数据是否异常超出区间则判定为不合格/异常 4易错点：3σ原则中的区间是不是 【多选题】（2026·陕西西安·模拟预测）已知随机变量，，则下列结论正确的是（    ）经典例题1例题 参考数据：若，则，，． A．若，则 B． C． D．若，则 【答案】BCD 【详解】由题意得，即，所以，故A错误． 因为，则正态分布图象关于直线对称，所以，故，故B正确． ，故C正确． 因为，即随机变量，的正态曲线形状相同， 所以要使， 根据正态曲线的对称性可知，即，故D正确． （2026·云南·模拟预测）十五五规划将商业航天定位为战略性新兴产业，意味着未来几年将是这个领域高速发展的关键时期．某公司生产的飞行器的某一部件质量指标服从正态分布，其中指标的部件为正品，其他为次品，要使次品率不高于，则的值不可能为（   ）经典例题2例题 （参考数据：） A．0.015 B．0.016 C．0.02 D．0.021 【答案】D 【分析】先根据题意确定，再根据正品率和原则确定的取值范围. 【详解】已知，. 又指标的部件为正品，即区间为正品. 要使次品率不高于，即满足正品率大于或等于. 因此要保证区间 ，则， 所以，解得，故选项A、B、C均可能，选项D不可能. （25-26高三下·青海西宁·月考）袋装食盐标准质量为400g，规定误差的绝对值不超过4g就认为合格.随机抽取100袋食盐，假设误差X服从正态分布，则估计这批袋装食盐的合格率是__________.参考数据：若X服从正态分布，则，.小试牛刀1 【答案】95.45% 【详解】由题意可知 ，故合格率约为95.45%. （25-26高二上·江西南昌·期末）某种植园种植的脐橙单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有10000个该种植园种植的脐橙，估计其中单果质量不低于210g的脐橙个数为（    ）小试牛刀2 附：若，则，. A．130 B．228 C．260 D．1587 【答案】B 【分析】由条件求出和值，依据正态分布的对称性可得质量不低于210g的概率，即可得解. 【详解】由可知， ， 故估计其中单果质量不低于210g的脐橙个数为. 故选：B. （25-26高三上·湖北黄石·期末）假设某次考试的成绩服从正态分布.如果按的比例将考试成绩从高到低分为四个等级，则A等级的分数线约为（    ）小试牛刀3 【若，则】 A．85 B．130 C．115 D．145 【答案】C 【分析】借助正态分布的原则，进行解题； 【详解】因为，则， 由于考试成绩从高到低分为四个等级，故等级对应“”， 因为考试的成绩服从正态分布，， 则， 则A等级的分数线约为115. 故选：C. 【题型6：正态分布的实际应用】 【练方法】 知识梳理 1应用场景：产品质量控制、生产过程管理、考试成绩分析、身高体重分布等数据近似服从正态分布 2核心思路：利用正态分布的对称性和3σ原则分析数据分布、判断异常、进行决策 3常见问题：求合格产品的概率、确定质量控制范围、分析考试成绩分布等 解题方法 1建立模型：将实际问题转化为正态分布问题确定参数 2概率计算：利用对称性、3σ原则或标准化变换计算相关概率 3决策分析：根据概率结果制定质量控制标准、判断产品是否合格、分析成绩分布等 4易错点：实际数据通常近似服从正态分布需注意与理论分布的差异 （25-26高二下·浙江宁波·月考）某市高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布.经典例题1例题 (1)估计数学成绩超过112分的人数占总人数的比例； (2)若该市有10000名高二年级考生，估计全市数学成绩在内的学生人数. 参考数据：若，则，，. 【答案】(1) (2)8186人 【分析】（1）由，结合对称性即可求解； （2）由正态分布对称性即可求解. 【详解】（1）由高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布， 可得，则， 所以数学成绩超过112分的人数占总人数的比例； （2）解：则 ， ， 所以估计成绩在内的学生人数为8186人. （2026·辽宁沈阳·二模）某科技公司研发的AI智能体在进行图象分类任务时，单次分类的准确率X（单位：分）服从正态分布．经典例题2例题 (1)求正常情况下，该AI单次分类的准确率大于99分的概率； (2)某天测试人员随机抽取了该AI的两次分类结果，发现两次的准确率得分均大于99分．测试人员根据这两次测试结果，判断该AI智能体出现了异常波动，要求立即暂停研发更新并进行算法排查．请问测试人员的判断是否合理？请说明理由． 附：若，则，，． 【答案】(1) (2)合理，理由见解析. 【分析】（1）考察正态分布的对称性及其性质，重点在于理解正态分布密度曲线的对称性，利用给定区间概率计算概率. （2）理解小概率事件在统计决策中的含义. 【详解】（1）因为，即， 又因为， 所以 所以正常情况下，该AI单次分类的准确率得分大于99分的概率为 （2）测试人员的判断是合理的，理由如下： 设“AI单次分类的准确率得分大于99分的概率”为事件，则， 设 “两次分类准确率得分均大于99分”为事件，则两次测试相互独立， 因为是一个极小概率，根据小概率原理，小概率事件在一次实验中几乎不可能发生. 现在该事件发生了，说明“AI智能体运行正常”这一假设不成立，即出现了异常波动. 所以，测试人员的判断是合理的. （25-26高三上·山东滨州·期末）某企业生产一种零部件，其质量指标介于的为优品．技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布．若该零件生产的控制系统中每个元件正常工作的概率都是（），各个元件能否正常工作相互独立，如果系统中有超过一半的元件正常工作，系统就能正常工作．系统正常工作的概率称为系统的可靠性．小试牛刀1 附：若，则，． (1)求该企业生产的这种零部件在技术改造后与技术改造前的优品率之差； (2)若控制系统原有3个元件，计算该系统的可靠性，并判断若给该系统增加一个元件，可靠性有何变化？ 【答案】(1) (2)可靠性为,变差了 【分析】（1）首先根据优品的范围，再结合正态分布的数据，以及参考公式，分别求解改造前后的优品率，即可求解； （2）根据二项分布概率公式，分别求增加元件前后系统正常工作的概率，再比较. 【详解】（1）由条件可知，技术改造前，，优品率为， 技术改造后，，优品率为， ， 所以这种零部件在技术改造后与技术改造前的优品率之差为. （2）设为原有3个元件正常工作的个数，，则系统正常工作的概率， 所以该系统的可靠性为 为增加一个元件后，元件正常工作的个数，，则系统正常工作的概率， 则， 所以该系统增加一个元件，可靠性变差了. （2023·山东济南·一模）为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平．某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格：小试牛刀2 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩/分 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80 记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，经计算. (1)求； (2)规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列； (3)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，用的值分别作为的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为Y，求Y的数学期望． 附：若，则，，. 【答案】(1)56 (2)分布列见解析 (3)95.45 【分析】（1）利用平均数的定义进行计算； （2）求出X的可能取值和对应的概率，得到分布列； （3）计算出，，所以，得到学生的体质测试成绩恰好落在区间的概率约为，故，从而计算出. 【详解】（1）. （2）因为体质测试不合格的学生有3名，所以X的可能取值为0，1，2，3. 因为，， ，. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P （3）因为，， 所以， 因为， 所以学生的体质测试成绩恰好落在区间的概率约为， 故，所以. （25-26高二上·全国·单元测试）从某企业生产的某种产品中随机抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：小试牛刀3    (1)求这1000件产品质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）． (2)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，已知的估计值为12.61. （ⅰ）试估计这批产品质量指标值在的数量； （ⅱ）为监控该产品的生产质量，每天抽取10件产品进行检测，若出现了质量指标值在，之外的产品，就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，请说明上述监控生产过程方法的合理性． 参考数据：若，则，，，． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）答案见解析 【分析】（1）利用频率分布直方图的平均数计算公式计算即可； （2）（ⅰ）由题意，由可求得，进而可得这批产品质量指标值在的数量； （ⅱ）根据正态分布的性质及原则分析即可． 【详解】（1）由题意可知， ． （2）（ⅰ）由题意，， 则， 则，即． 则这批产品质量指标值在的数量约为 ． （ⅱ）如果生产状态正常，此时一件产品的质量指标值在之外的概率只有， 一天内抽取10件产品中，发现产品质量指标值在之外的概率只有，发生的概率很小， 因此一旦发生这种情况，就有理由认为生产线在这一天的生产过程中可能出现异常，需要对当天的生产过程进行检查，可见这种监控生产过程的方法合理． 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高三上·云南曲靖·期中）某市共30000人参加一次数学测试，满分150分，学生的抽测成绩服从正态分布，则抽测成绩在内的学生人数大约为（　　） 若，则 A．4077 B．5436 C．1359 D．2718 【答案】A 【分析】利用正态分布的性质，结合区间概率，即可求解. 【详解】学生的抽测成绩服从正态分布， 则 ， 由于总人数为30000，则抽测成绩在内的学生人数大约为， 故选：A． 2．（25-26高三上·江苏常州·期中）已知随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正态分布的对称性求，根据求. 【详解】因为，所以，所以， 又. 故选：D 3．（25-26高三上·江西·期中）已知随机变量，则“”是“”（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据正态分布的对称性，结合充要条件的定义进行求解判断即可. 【详解】因为， 则等价于，解得， 因此“”是“” 充要条件， 故选：A 4．（23-24高二下·福建厦门·期中）某班有60名学生，一次考试后数学成绩，若，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为（ ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】根据正态分布的性质求解. 【详解】∵ 考试的成绩服从正态分布， ∴ 考试的成绩关于对称，， ， ∴ 该班学生数学成绩在120分以上的人数为. 故选：B. 5．（25-26高三下·福建厦门·开学考试）已知随机变量，若，且，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用正态分布的性质求解即可. 【详解】因为，，所以， 所以，又，， 所以，解得. 故选：C. 6．（2026·广西北海·一模）已知随机变量，且，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 【答案】B 【详解】因为，由正态分布的对称性可知，关于对称， 又因为，所以， 则 所以 7．（25-26高三上·江苏·期中）已知随机变量，且，则的展开式中的系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正态分布的性质建立方程求得的值，然后代入二项式，并写出其展开式的通项，令通项中的指数与条件提到的项的指数相同，求得，代入中，求得该项的系数. 【详解】由题意可知，∴， ∴ ， 展开式的通项为， 当时，，即. 所以的展开式中的系数为. 故选：B. 8．（25-26高三上·浙江绍兴·期末）新能源汽车具有零排放、能源利用率高等特点，近年来备受青睐.某新能源汽车制造企业为调查其旗下A型号新能源汽车的耗电量（单位：kW·h/100km）情况，随机调查得到了1000个样本，据统计该型号新能源汽车的耗电量，若，则样本中耗电量小于12kW·h/100km的汽车大约有（   ） A．700辆 B．350辆 C．300辆 D．150辆 【答案】D 【分析】根据正态分布的性质，求得的值，再由样本容量求得频数，即可得到答案. 【详解】因为，且， 所以， 所以样本中耗电量小于12kW·h/100km的汽车大约有（辆）. 故选：D. 二、多选题 9．（25-26高三上·重庆九龙坡·期中）已知随机变量服从正态分布，则下列说法正确的是（    ） A． B．当时， C． D．随机变量落在与落在的概率相等 【答案】BCD 【分析】根据正态分布的性质一一判断即可. 【详解】对于A：因为，所以，故A错误； 对于B：当时， 所以，故B正确； 对于C：因为，所以, 所以，故C正确； 对于D：因为， 由正态分布密度曲线的对称性可知，随机变量落在与的概率相等，故D正确． 故选：BCD． 10．（2025·浙江丽水·一模）已知随机变量，则下列等式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义逐一判断即可得解． 【详解】因为随机变量， 则正态分布曲线关于对称， 因为， 则由正态分布曲线的对称性可得：，即，故A正确； 又， 由于，所以，故B不正确，C正确； ，故D正确. 故选：ACD. 11．（24-25高三上·陕西·期中）若随机变量，则（   ） A． B． C． D．当时， 【答案】BC 【分析】根据方差和期望的性质判断AB，根据正态分布的对称性判断CD. 【详解】因为，故，故，故A错误； 由方差的性质可得，故B正确； 因为，由正态分布的对称性可得，故C正确； 因为，故，故，故D错误. 三、填空题 12．（25-26高三上·河南郑州·期中）已知随机变量，正实数满足，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】根据正态分布曲线的性质可得，结合基本不等式“1”的代换求最值即可. 【详解】由题意，随机变量的分布图象关于直线对称， 又，所以，得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 故答案为： 13．（25-26高三下·上海宝山·期中）已知随机变量，且，那么__________. 【答案】 【详解】由可知，正态曲线关于直线对称. 因为和关于对称，所以. 已知，故. 14．（23-24高二下·天津·期中）下列说法正确的有______． ①已知随机变量，，满足，且服从正态分布，则 ②已知随机变量服从正态分布，且，则 ③已知随机变量服从二项分布，则 ④已知随机变量服从两点分布，且，，令，则 【答案】①②④ 【分析】命题①，根据条件，利用期望的运算性质，即可求解；命题②，根据条件，利用正态分布的对称性，即可求解；命题③，根据条件，利用二项分布的概率计算公式，即可求解；命题④，根据条件，利用，即可求解. 【详解】对于命题①，因为服从正态分布，所以， 又，即，所以，故命题①正确， 对于命题②，因为随机变量服从正态分布，且， 所以，故命题②正确， 对于命题③，因为随机变量服从二项分布，所以，故命题③错误， 对于命题④，因为，由，得到，所以，故命题④正确， 故答案为：①②④. 15．（24-25高二下·全国·课后作业）某项实验的随机误差为实验次数．要求的概率低于，则至少需做______次实验（，在该实验的误差估计中，可认为）． 【答案】 【分析】根据正态分布的对称性以及参考数据得出对应不等式，解不等式即可得出答案. 【详解】由题可得，即， 而，所以． 又因为，所以， 所以，即， 解得，故至少需做次实验． 故答案为： 16．（2026高二下·全国·专题练习）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，每天的准点率服从正态分布且，则________． 【答案】 【分析】利用正态分布的对称性求解. 【详解】服从正态分布，且， ． 故答案为：. 17．（25-26高三下·上海浦东新·期中）某校高中三年级600名学生参加了区质量检测，已知数学检测成绩X服从正态分布（试卷满分为150分）．统计结果显示，数学检测成绩介于80分到120分之间的人数为450名，则此次检测中成绩不低于120分的学生人数约为总人数的________（精确到0.1%）． 【答案】12.5% 【详解】由可知，正态分布曲线对称轴为， 可知， 所以，可得，即成绩不低于120分的学生人数约为总人数的12.5%. 四、解答题 18．（25-26高三上·湖北·期中）已知某品牌新能源汽车的电池使用寿命（单位：年）服从正态分布，其质保政策规定：电池寿命低于年可免费更换. (1)求任意一辆该品牌汽车享受免费更换电池的概率（精确到）； (2)某出租车公司购买了辆该品牌汽车，记为免费享受更换的车辆数，利用（1）的结果，求的分布列和数学期望. 附：若随机变量服从正态分布，则. 【答案】(1) (2)分布列答案见解析， 【分析】（1）由已知得出，结合正态分布可得出任意一辆该品牌汽车享受免费更换电池的概率； （2）分析可知，由二项分布的期望公式可得出的值，利用二项分布的分布列可得出随机变量的分布列. 【详解】（1）因为，，则， 所以任意一辆该品牌汽车享受免费更换电池的概率为 . （2）因为每辆车是否更换相互独立，且概率为，由题意可知， 由二项分布的期望公式可得， 分布列为. 19．（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）为科普航空航天知识，某学校举办了一次“航空航天知识竞赛”，此次竞赛分为初赛和决赛两个阶段，初赛成绩排名前100名的学生可以参加决赛.已知共有2000名学生参加了初赛，初赛成绩服从正态分布，其中. (1)已知学生甲的初赛成绩为88分，利用该正态分布，估计学生甲是否有资格参加决赛； (2)决赛规则如下： ①每位学生的初赛成绩直接计入决赛成绩； ②每位学生需解答10道决赛题，每题5分；每答对一道题，决赛成绩加5分，答错时既不加分也不减分； 已知参加决赛的学生乙的初赛成绩为95分，他答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立，求他决赛成绩的数学期望和方差. 附：若，则，. 【答案】(1)甲有资格参加决赛 (2) 【分析】（1）根据正态分布的概率算出不低于88分的人数，从而判断； （2）根据二项分布的期望性质，方差性质进行求解. 【详解】（1）由题意得 故全校2000名参加初赛的学生中成绩不低于88分的人数为， 所以甲有资格参加决赛； （2）设决赛中学生乙答对的题数为，其决赛成绩为，则， 由题意得，则， 所以. 20．（24-25高二下·江苏苏州·期中）某省举办了一次高三年级化学模拟考试，其中甲市有10000名学生参加考试.根据经验，该省及各市本次模拟考试成绩（满分100分）都近似服从正态分布． (1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分，87分以上共有228人．甲市学生A的成绩为76分，试估计学生A在甲市的大致名次； (2)在该省本次模拟考试的参考学生中随机抽取40人，记Y表示在本次考试中化学成绩在之外的人数，求的概率． 参考数据： 参考公式：若，有，， 【答案】(1)1587 (2)0.0989 【分析】根据正态分布的性质即可求解. 【详解】（1）已知本次模拟考试成绩都近似服从正态分布． 由题意得.因为，又. 即，所以，解得. 因为甲市学生A的成绩为分，且. 又，即. 所以学生在甲市的大致名次为名. （2）在本次模拟考试的学生中，抽取名化学成绩在之内的概率为. 所以抽取名化学成绩在之外的概率为. 所以随机变量Y服从二项分布，即， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $