精品解析：吉林长春市力旺实验初级中学2025-2026学年九年级下学期期中数学试题

九年级期中考试数学试卷 一．选择题 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. 3.14 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：∵无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称， A、是分数，属于有理数， C、是有限小数，属于有理数， D、，是整数，属于有理数， B、是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数． 2. 下列物体的形状可以抽象地看成圆柱的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A的物体形状上下粗细不一样，不能抽象为圆柱； 选项B的物体形状可以抽象为球体； 选项C的物体形状可以抽象为圆锥； 选项D的物体形状可以抽象为圆柱． 3. 如图，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形三个内角的和等于180度求解即可． 【详解】根据三角形内角和可知，， 故选：B． 4. 生活中常见的打火机所用燃料的主要成分是丁烷，其密度很小，丁烷的质量约为，数据0.00057用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法表示形式为，要求，当原数的绝对值小于1时，为负整数，其绝对值等于原数中第一个非零数字前面所有0的个数（含小数点前的0）． 【详解】解：0.00057用科学记数法表示为． 5. 若点和点都在抛物线上，则和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵抛物线的二次项系数为， ∴抛物线开口向下，对称轴为轴， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴． 6. 如图，小明在点C处测得树顶端A的仰角为，且米，则树高度为（ ）米． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵小明在点C处测得树顶端A的仰角为，且米， ∴， 即树高度为米． 7. 如图，在中，，，，根据尺规作图的痕迹，长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由作图可知为的垂线，为的角平分线，先由勾股定理求出的长度，利用证得，得到的长度，再设，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由作图可知为的垂线，为的角平分线， 在中，，，， ∴， ∵为的垂线， ∴， ∵为的角平分线，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在直角三角形中，利用勾股定理可得：， 解得． 8. 如图，矩形的顶点、分别在反比例函数与的图象上，点、在轴上，、分别交轴于点、，若，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】设点的坐标为，根据矩形的性质可得轴，点坐标为，从而得出，再证得，利用面积比求出相似比，进而得出点横坐标，最后代入反比例函数解析式求出值 ． 【详解】解：设点的坐标为，其中 ， 四边形是矩形，点、在轴上 ， 轴，轴，  点的坐标为，即， 点、的纵坐标相同，  点的纵坐标为，  交轴于点，  轴 ， 在轴上，轴轴，   ，  ， ， ，即， ，  点在第二象限 ， 点的横坐标为， 点的坐标为，  点在反比例函数的图象上 ， ． 二．填空题 9. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了提公因式分解因式，提公因式a即可解答． 【详解】解： 故答案为： 10. 单项式的系数是：___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查单项式的系数，单项式的系数是指单项式中的数字因数，包括符号． 【详解】解：单项式的数字因数为， 因此系数是， 故答案为：． 11. 函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可. 【详解】解：依题意，得， 解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 12. 如图所示的地面由正六边形和四边形两种地砖镶嵌而成，则的度数为______． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查平面镶嵌（密铺），根据正六边形内角和定理，求出每个内角度数，然后根据周角求出答案．几何图形镶嵌成平面的关键：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角． 【详解】解：∵正六边形内角和：， ∴每个内角度数：， ∴， ∴的度数为． 故答案为：． 13. 将一副直角三角板如图放置，点C在的延长线上，，，则的度数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据题意得，结合 即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 故答案为： 14. 如图，在正方形中，是边上一点，的垂直平分线交于点，交的延长线于点，连结交于点，连结．给出下面四个结论：①；②平分；③；④若是中点，则也是中点．上述结论中，正确结论的序号有________ 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质即可判断①；根据平行线的性质以及等腰三角形即可判断②；过点A作于点E，根据角平分线的性质可得， 证明，可得，证明，可得，即可判断③；假设是的中点，此时，可得，不满足三角形的三边关系，故假设不成立，即可判断④． 【详解】解：①∵垂直平分， ∴，故①正确； ②∴， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴， ∴，即平分，故②正确； ③过点A作于点E， ∵平分，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ，故③正确； ④∵是的中点， ∴， 假设是的中点，此时， ∴， ∵， ∴，与在中，相矛盾，故假设不成立，即此时不是的中点，故④错误； 综上所述，正确的有①②③． 三．解答题 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 如图所示某地铁站有三个闸口． （1）一名乘客随机选择此地铁闸口通过时，选择闸口通过的概率为________． （2）当两名乘客随机选择此地铁闸口通过时，请用树状图或列表法求两名乘客选择相同闸口通过的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式进行求解即可； （2）根据题意列出表格，然后进行求解概率即可． 【小问1详解】 解：由题意得：选择闸口通过的概率为； 【小问2详解】 解：由题意可列表格如下： A B C A B C 由表可知两名乘客随机选择此地铁闸口通过时，共有9种等可能情况，其中两名乘客选择相同闸口通过的等可能情况有3种，所以两名乘客选择相同闸口通过的概率为． 17. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． （1）在图①中的线段上找一点，连接，使． （2）在图②中的线段上找一点，连接，使． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 【解析】 【分析】（1）根据作图即可； （2）先根据勾股定理可得,再根据，可得，进而得出，则． 【小问1详解】 解：如图所示，连接交于点D，则； 【小问2详解】 解：如图所示，取点F，G，连接，交于点E，连接，则． 18. 某班原分成两个小组进行课外体育活动，第一组32人，第二组22人．根据学校活动器材的数量，要将第一组的人数调整为第二组的一半，应从第一组调多少人到第二组去？ 【答案】应从第一组调14人到第二组去 【解析】 【分析】设出未知数后，根据调整后第一组人数是第二组人数的一半这一数量关系，列一元一次方程即可求解.． 【详解】解：设应从第一组调x人到第二组去，根据题意，得 解得： 答：应从第一组调14人到第二组去． 19. 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE//AC，CE//BD， 求证：四边形OCED是菱形． 【答案】 证明：∵DE//AC，CE//BD， ∴四边形OCED是平行四边形． ∵四边形ABCD是矩形， ∴OC=OD=AC=BD ∴四边形OCED是菱形． 【解析】 【分析】首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形OCED是平行四边形，再根据矩形的性质可得OC=OD，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，菱形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键 20. 在国际数学日到来之际，力旺中学举办了“数学节”，通过数学素养竞赛、数学创意市集、数学名师讲座等活动，展现数学魅力、传播数学文化．为了解学生数学素养竞赛的答题情况，从七、八两个年级各随机抽取了20名学生成绩（单位：分）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．八年级学生成绩数据的频数分布直方图如图所示（数据分为四组：，，，） b．八年级学生成绩数据在这一组的是：80，81，81，82，85，86，88，88； c．七、八两年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 七 79 78 八 76 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中的值； （2）①七年级的小明同学得分78，分数低于七年级的平均分，小明认为自己在七年级20名同学中处于后10名； ②八年级的小聪认为八年级成绩的众数是76分，所以76分更能体现八年级学生的一般水平； ③八年级高于平均数的人数要比七年级高于平均数的人数要多． 其中所有正确推断的序号是________； （3）若八年级共有200名学生参加了该数学素养竞赛，且成绩不低于85分的学生可获得“数学之星”的称号，估计八年级获得“数学之星”称号的学生有多少人？ 【答案】（1） （2）③ （3）70人 【解析】 【分析】（1）从小到大排列后第个和第个数是和，由中位数的定义，即可求解； （2）根据中位数，众数，平均数的意义，逐项判断，即可求解； （3）根据题意得不低于85分的学生数为，可求出样本中的百分比，即可求解． 【小问1详解】 解：由频数分布直方图得：从小到大排列后第个和第个数是和， ； 【小问2详解】 解：①七年级的小明同学得分78，分数低于七年级的中位数79，小明认为自己在七年级20名同学中处于后10名，原说法错误； ②因为中位数体现一般水平， 所以分更能体现八年级学生的一般水平，原说法错误； ③因为七年级的平均数大于中位数，八年级的平均数小于中位数， 所以八年级高于平均数的人数要比七年级高于平均数的人数要多，正确； 综上所述，所有正确推断的序号是③； 【小问3详解】 解：由题意得人， 即八年级获得“数学之星”称号的学生有70人． 21. 某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，乙厂直接按印刷数量收取印刷费．甲、乙两厂的印刷费用（千元）与证书数量（千个）的函数关系图象分别如图中甲、乙所示． （1）甲厂的制版费为________千元，甲厂的印刷费为________元/个； （2）当时，求乙厂的印刷费用（千元）与证书数量（千个）之间的函数关系式； （3）当印制证书8千个时，应选择哪个印刷厂节省费用？节省费用多少元？ 【答案】（1）1； （2） （3）当印制证书8千个时，选择乙厂，节省费用500元 【解析】 【分析】（1）当时，，由此即可得出甲厂的制版费为1千元，根据“单价总价印刷数量”即可求出甲厂的印刷单价； （2）设与间的函数解析式为，观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法即可求出函数解析式； （3）代入，分别求出与的值，比较做差即可得出结论． 【小问1详解】 解：根据图象可得，当时，， ∴甲厂的制版费为1千元． 根据图象可得甲厂的印刷单价为：（元／个）． 【小问2详解】 解：当时，设与间的函数解析式为， 将点代入中，得： ， 解得：， ∴． 【小问3详解】 解：当时，， 当时，， ∵，且千元元． ∴当印制证书8千个时，选择乙厂，节省费用500元． 22. 【问题呈现】小旺在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图1，在正方形中，，点是射线上一动点，点是中点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接．求最小值． 【问题分析】 （1）小旺通过作图发现，点随着点的运动而运动，他想找到点的运动路径．如图2，连接，，延长交延长线于点．以下是小旺的部分证明过程： 点是的中点， 四边形是正方形 又 以下证明过程缺失 绕点逆时针旋转得到 ， 在四边形中 ① ② 即可证明点的运动路径是一条射线． 请你补全缺失的证明过程． 【问题解决】 （2）通过以上分析可知的最小值为________． 【答案】（1）135；45 （2） 【解析】 【分析】（1）根据四边形内角和定理以及等边对等角即可填写①；再减去即可填写②； （2）根据垂线段最短可得，当时，最小，再解即可． 【小问1详解】 解：点是的中点， ， 四边形是正方形， ， ， 又， ， ，即点是的中点， ， ， 绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， 在四边形中， ， 即可证明点的运动路径是一条射线． 【小问2详解】 解：∵点的运动路径是一条射线 ∴当时，最小， ∵正方形中，， ∴， ∴的最小值为． 23. 如图，，，，以为边向右作正方形．点为射线上一动点，，以为圆心，为半径作． （1）正方形的边长是________； （2）当所在的直线与相切时，求线段的长； （3）当时，求线段的长； （4）直接写出当正方形存在位于内部的点时，线段的取值范围． 【答案】（1）6 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）解即可； （2）设切点为点，连接，则，，可得四边形均是矩形，解得，则，则，再对运用勾股定理求解； （3）过点作于点，解求出，解求出，最后对运用勾股定理求解； （4）分两种情况讨论，当点在点左侧，经过点时；当点在点右侧，经过点时，再解直角三角形求解即可． 【小问1详解】 解：∵正方形， ∴ ∴， ∴， 设， ∴ 解得， ∴， ∴正方形的边长是； 【小问2详解】 解：设切点为点，连接，则，， ∵正方形 ∴， ∵， ∴四边形均是矩形， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴； 【小问3详解】 解：过点作于点， ∵， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴ ∴； 【小问4详解】 解：当点在点左侧，经过点时， ∴， ∵， ∴设， ∵， ∴，解得， ∴； 当点在点右侧，经过点时， ∴， ∵， ∴设， ∵， ∴，解得， ∴； ∴当正方形存在位于内部的点时，线段的取值范围为． 24. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点在抛物线上，其横坐标为，过点作轴交直线于点． （1）求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标； （2）求线段的最小值； （3）连接、，为直角三角形时，求的值； （4）点关于点对称点为点，点关于点对称点为点，连接、、，构成四边形，直线分四边形为两部分，两部分的面积分别为，，若，直接写出的取值范围． 【答案】（1） 抛物线函数表达式为，顶点坐标为 （2） （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）将点代入抛物线解析式，求得，进而可得到函数解析式，然后将其化为顶点式，进而可求出顶点坐标； （2）设点横坐标为，则，进而可表示出点坐标，然后写出的表达式，再通过二次函数性质即可求解； （3）由图象可知，为直角三角形时，有两种情况，或，分情况解答即可； （4）画出图形，先用表示出，再根据题干给的面积关系分情况讨论，当时，当时，分别列出不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， 将代入抛物线解析式得：  解得， ∴抛物线对应的函数表达式为， 对解析式配方得， 因此顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：设点横坐标为，则， ∵轴，交直线于点， ∴， ∴线段的长度为， ∴是关于的开口向上的二次函数，对称轴为直线， 将代入得的最小值为． 【小问3详解】 解：由图象可知，为直角三角形时，有两种情况，或， 当时，， 又∵轴， ∴轴， ∴点纵坐标为， 代入直线解析式得到，解得， 此时，故A点的横坐标为，即； 当时，有， ∵，，， ∴，，， ∴， 化简得到， 解得或， 当时，两点重合，故舍去， ∴， 综上，的值为或． 【小问4详解】 解：∵点关于点对称点为点，点关于点对称点为点， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵，，， ∴点的坐标为，即，点的坐标为， ∴， 设直线与的交点为，过点作，垂足为， ∴点的横坐标为，纵坐标为：， ∴直线分四边形为两部分，分别为以及四边形， ，， 此时， ， ∵直线分四边形为两部分，两部分的面积分别为，，， ∴， 当时，，当时，， ∴，， 当时，有，令，由（2）可知，， ∴， 解得，即， ∴解得到或， 解得到， ∴综上或； 当时，由，令，由（2）可知，， ∴， 解得：，但与矛盾， 此时此种情况不存在； ∴综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级期中考试数学试卷 一．选择题 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. 3.14 D. 2. 下列物体的形状可以抽象地看成圆柱的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，（ ） A. B. C. D. 4. 生活中常见的打火机所用燃料的主要成分是丁烷，其密度很小，丁烷的质量约为，数据0.00057用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 若点和点都在抛物线上，则和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 如图，小明在点C处测得树顶端A的仰角为，且米，则树高度为（ ）米． A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，，根据尺规作图的痕迹，长是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形的顶点、分别在反比例函数与的图象上，点、在轴上，、分别交轴于点、，若，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 二．填空题 9. 分解因式：______． 10. 单项式的系数是：___________ 11. 函数中，自变量的取值范围是_____． 12. 如图所示的地面由正六边形和四边形两种地砖镶嵌而成，则的度数为______． 13. 将一副直角三角板如图放置，点C在的延长线上，，，则的度数为_________． 14. 如图，在正方形中，是边上一点，的垂直平分线交于点，交的延长线于点，连结交于点，连结．给出下面四个结论：①；②平分；③；④若是中点，则也是中点．上述结论中，正确结论的序号有________ 三．解答题 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 如图所示某地铁站有三个闸口． （1）一名乘客随机选择此地铁闸口通过时，选择闸口通过的概率为________． （2）当两名乘客随机选择此地铁闸口通过时，请用树状图或列表法求两名乘客选择相同闸口通过的概率． 17. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． （1）在图①中的线段上找一点，连接，使． （2）在图②中的线段上找一点，连接，使． 18. 某班原分成两个小组进行课外体育活动，第一组32人，第二组22人．根据学校活动器材的数量，要将第一组的人数调整为第二组的一半，应从第一组调多少人到第二组去？ 19. 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE//AC，CE//BD， 求证：四边形OCED是菱形． 20. 在国际数学日到来之际，力旺中学举办了“数学节”，通过数学素养竞赛、数学创意市集、数学名师讲座等活动，展现数学魅力、传播数学文化．为了解学生数学素养竞赛的答题情况，从七、八两个年级各随机抽取了20名学生成绩（单位：分）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．八年级学生成绩数据的频数分布直方图如图所示（数据分为四组：，，，） b．八年级学生成绩数据在这一组的是：80，81，81，82，85，86，88，88； c．七、八两年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 七 79 78 八 76 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中的值； （2）①七年级的小明同学得分78，分数低于七年级的平均分，小明认为自己在七年级20名同学中处于后10名； ②八年级的小聪认为八年级成绩的众数是76分，所以76分更能体现八年级学生的一般水平； ③八年级高于平均数的人数要比七年级高于平均数的人数要多． 其中所有正确推断的序号是________； （3）若八年级共有200名学生参加了该数学素养竞赛，且成绩不低于85分的学生可获得“数学之星”的称号，估计八年级获得“数学之星”称号的学生有多少人？ 21. 某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，乙厂直接按印刷数量收取印刷费．甲、乙两厂的印刷费用（千元）与证书数量（千个）的函数关系图象分别如图中甲、乙所示． （1）甲厂的制版费为________千元，甲厂的印刷费为________元/个； （2）当时，求乙厂的印刷费用（千元）与证书数量（千个）之间的函数关系式； （3）当印制证书8千个时，应选择哪个印刷厂节省费用？节省费用多少元？ 22. 【问题呈现】小旺在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图1，在正方形中，，点是射线上一动点，点是中点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接．求最小值． 【问题分析】 （1）小旺通过作图发现，点随着点的运动而运动，他想找到点的运动路径．如图2，连接，，延长交延长线于点．以下是小旺的部分证明过程： 点是的中点， 四边形是正方形 又 以下证明过程缺失 绕点逆时针旋转得到 ， 在四边形中 ① ② 即可证明点的运动路径是一条射线． 请你补全缺失的证明过程． 【问题解决】 （2）通过以上分析可知的最小值为________． 23. 如图，，，，以为边向右作正方形．点为射线上一动点，，以为圆心，为半径作． （1）正方形的边长是________； （2）当所在的直线与相切时，求线段的长； （3）当时，求线段的长； （4）直接写出当正方形存在位于内部的点时，线段的取值范围． 24. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点在抛物线上，其横坐标为，过点作轴交直线于点． （1）求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标； （2）求线段的最小值； （3）连接、，为直角三角形时，求的值； （4）点关于点对称点为点，点关于点对称点为点，连接、、，构成四边形，直线分四边形为两部分，两部分的面积分别为，，若，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $