精品解析：2026年山西省吕梁市孝义市第一次中考模拟考试题（卷） 数学

2026年孝义市第一次中考模拟考试题（卷） 数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 3．考试结束后，只收回答题卡． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 的相反数是（　　　） A. 3 B. C. －3 D. 2. 电力储能技术是指将电能通过物理、化学或电磁等方式储存起来，并在需要时释放的技术．下列电力储能图标，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 2026年3月11日，我国自主研发的级超高强度碳纤维全球首发并实现百吨级量产，其单丝直径仅约6微米（1微米米），不足人类头发丝的十分之一．数据6微米用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 无解 6. 图1是2026年米兰—科尔蒂纳冬奥会会徽，主体是一笔连贯线条勾勒出的数字“26”，图2是其示意图，其中，且，若，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点都在反比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知，以为直径的交于点，与相切于点，是上一点，连接，若 ，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 10. 从“中国戏曲之乡”到“民间工艺宝库”，山西非遗以最厚重的底蕴，呈现着最生动的传承．小慧将下面四张非遗图片背面朝上放在桌面上（图片背面完全相同），从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则抽到的两张图片恰好是“绛州鼓乐”和“孝义皮影”的概率是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 12. 为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中随机抽取6株麦苗，测得苗高（单位：cm）如下表． 品种 第一株 第二株 第三株 第四株 第五株 第六株 平均数 甲 12 13 14 15 13 11 13 乙 16 17 6 12 19 8 13 则两种小麦中长势比较整齐的是______（填“甲”或“乙”）． 13. 标准体重是评估人体健康的重要指标之一，可根据身高进行粗略估算．已知成年人标准体重是身高的一次函数，部分数据如下表所示，若小亮的身高为，则他的标准体重为______． 身高 165 170 175 180 标准体重 60 65 70 75 14. 如图，在中，， ，于点．分别以点为圆心， 的长为半径画弧，两弧分别交 于点．再以点为圆心，的长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为______． 15. 如图，在四边形中， ，对角线，相交于点，，，则线段的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算与解方程组 （1）计算：； （2）解方程组： 17. 2026年2月1日起正式施行的《全民阅读促进条例》明确规定每年4月第四周为全民阅读活动周．为迎接首个全民阅读活动周，持续改善阅读环境，某图书馆花60000元购置阅读桌和阅读椅，已知阅读桌的单价为600元/张，阅读椅的单价为120元/把，且要求购置的阅读椅的数量不少于阅读桌的4倍，则最多可购置多少张阅读桌？ 18. 为践行“健康第一”教育理念，细化落实近视防控要求，某校积极开展第12个全国近视防控宣传教育月活动．为了解全校3600名学生“科学用眼•健康护眼”好习惯践行情况，学校医务处随机抽取部分学生进行问卷调查（调查问卷如图所示），所有问卷全部收回，并将调查结果绘制成统计图（均不完整）． “科学用眼•健康护眼”好习惯践行情况调查问卷 亲爱的同学： 您好！为进一步增强爱眼护眼意识，诚邀您参加本次匿名调查． 1．您在日常生活中践行了哪些“科学用眼•健康护眼”好习惯（ ）（可多选） A．每天户外活动2小时 B．保持“一尺一拳一寸”读写姿势 C．遵守“ ”护眼法则 D．每天睡眠不少于9小时 E．严控电子产品使用时间 F．定期进行视力检查 2．您平均每天使用电子产品的时间大约是（ ）（只能单选，每项含最小值，不含最大值） A． 小时 B． 小时 C． 小时 D．3小时及以上 请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）参加本次问卷调查的总人数为______人，的值为______，的值为______． （2）估计该校3600名学生中，平均每天使用电子产品的时间大约是“ 小时”的人数． （3）除上述调查问卷中提到的六个“科学用眼•健康护眼”好习惯，请你给全校学生再提出一个“科学用眼•健康护眼”好习惯． 19. 随着L3级自动驾驶技术的日趋成熟，首批获批的两种车型北汽极狐阿尔法S和长安深蓝分别在北京、重庆指定区域上路试点运行．经测试，长安深蓝的最高车速是北汽极狐阿尔法S的，两车均以最高车速行驶时，长安深蓝行驶100公里所用的时间比驾驶北汽极狐阿尔法S行驶120公里所用的时间多30分钟，求长安深蓝SL03的最高车速是多少公里/时？ 20. 项目学习 项目背景：“鱼沼飞梁”为我省晋祠的三大国宝建筑之一，是我国现存唯一的古代木结构十字形桥梁建筑．其东西桥面宽广，连接圣母殿与献殿，南北桥面下斜如鸟翼，整体造型犹如大鸟展翅欲飞．某校“综合与实践”小组的同学围绕“鱼沼飞梁的测量与计算”开展项目学习活动，并形成如下活动报告． 项目主题 鱼沼飞梁的测量与计算 驱动问题 如何测量南北桥梁的跨度 活动内容 利用视图、锐角三角函数等有关知识进行测量与计算 活动过程 方案说明 图1为该景点的俯视图示意图， 是南北桥梁中心线的两端，为东西桥梁桥面宽度．图中点在同一条直线上． 图2为测量方案示意图，桥面宽度 地面，于点， 于点，且，．图中各点都在同一竖直平面内． 数据测量 在点的正上方点处测得点和点的俯角分别为，，米． 计算 …… 交流展示 …… 请根据上述数据，计算南北桥梁的跨度的长（结果精确到米．参考数据：，，，，，）． 21. 阅读与思考 下面是善思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“平行六边形”的研究报告 研究对象：平行六边形 研究思路：类比平行四边形，按“概念—性质—判定”的路径展开研究． 研究方法：观察度量—提出猜想—推理证明 研究内容： 【概念理解】如果一个凸六边形的三组对边分别平行，我们称这个凸六边形为平行六边形．如图1，在六边形中， ，，，六边形就是平行六边形．其中与，与，与是三组对边，与， 与，与是三组对角． 【性质探索】由平行六边形的定义，我们知道平行六边形的三组对边分别平行．除此之外，平行六边形还有什么性质呢？它的角之间有什么关系？它的边之间还有什么关系？ 通过观察和度量，我们提出如下猜想： 猜想1：平行六边形相邻三个角的和都等于______，三组对角分别相等． 下面我们结合图1所示平行六边形，证明 ，，． 证明：如图2，连接． 六边形是平行六边形，， ． ，．（依据1） ，即 ． 同理，，． 猜想2：如果平行六边形的一组对边相等，则另两组对边也分别相等． 如图3，若六边形是平行六边形，且，则 ，． 证明：分别连接 ． 六边形是平行六边形， ，， ． 又，四边形是平行四边形． … 学习任务： （1）材料中空缺的内容是______，依据1是______． （2）补全猜想2的证明过程． （3）如图4，四边形是平行四边形．在平行四边形外求作两点，使得六边形是平行六边形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） 22. 综合与实践 问题情境：滑雪者从山坡滑下时，其滑行速度（单位：），滑行距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）之间具有一定关系．“综合实践”小组利用高速移动相机，对某滑雪运动员在某次训练中从山坡滑下时的滑行速度，滑行距离，滑行时间进行了拍摄记录，整理得到如下图表． 信息整理： ①在山坡的滑行速度与滑行时间的部分数据如下表． 滑行时间（单位：s） 0 1 2 3 4 … 滑行速度（单位：） 2 6 10 14 18 … ②在山坡的滑行距离与滑行时间之间的关系用图1所示坐标系中的图象刻画． 解决问题： （1）根据表中数据可知，在山坡的滑行速度是滑行时间的______函数（填“一次”“二次”或“反比例”），其函数表达式为______． （2）观察图1可知，在山坡的滑行距离与滑行时间满足二次函数关系，当该运动员在山坡的滑行时间为时，求出他的滑行距离． （3）如图2，在此次训练中，该运动员从山坡的点处滑下，滑行到坡脚点处时沿跳台做身体姿势调整，并在点处完成起跳，然后在空中作转体、旋转技巧展示．根据要求，若要顺利完成此次技巧展示，运动员距离地面的最大高度不得低于10米（不考虑其他因素）．已知，运动员从到的过程中速度保持不变，从点起跳后距离地面的垂直高度与在空中的飞行时间之间的函数关系表达式是（其中为运动员在点时的速度）．请你判断该运动员能否顺利完成此次技巧展示？并说明理由． 23. 综合与探究 问题情境：如图1，在中，，，点是斜边的中点，点是线段上的动点．将绕点顺时针旋转，得到 ，点的对应点恰好落在边上，连接． 数学思考： （1）求证：四边形 为矩形． 深入探究： （2）如图2，过点作 ，交于点，设线段与线段交于点， ①猜想线段 之间的数量关系，并说明理由． ②连接．若，当 为等腰三角形时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年孝义市第一次中考模拟考试题（卷） 数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 3．考试结束后，只收回答题卡． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 的相反数是（　　　） A. 3 B. C. －3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案． 【详解】解：的相反数是3． 故选：A． 【点睛】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数． 2. 电力储能技术是指将电能通过物理、化学或电磁等方式储存起来，并在需要时释放的技术．下列电力储能图标，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意 D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】需运用同类项定义、同底数幂乘法法则、积的乘方法则、完全平方公式，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，A错误； B、根据同底数幂乘法法则，，B错误； C、根据积的乘方法则，，C正确； D、根据完全平方公式，，D错误． 4. 2026年3月11日，我国自主研发的级超高强度碳纤维全球首发并实现百吨级量产，其单丝直径仅约6微米（1微米米），不足人类头发丝的十分之一．数据6微米用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】将微米转换为米，并用科学记数法表示即可． 【详解】解：∵1微米米， ∴6微米米米， ， 即6微米米． 5. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 无解 【答案】B 【解析】 【分析】分别解出不等式组中两个一元一次不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的最终解集． 【详解】解：解不等式， 移项得， ， 解不等式， ， 两个解集的公共部分为， 原不等式组的解集是． 6. 图1是2026年米兰—科尔蒂纳冬奥会会徽，主体是一笔连贯线条勾勒出的数字“26”，图2是其示意图，其中，且，若，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质，求出，等边对等角，结合三角形的内角和定理，进行求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴. 7. 已知点都在反比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据反比例函数的比例系数判断函数图象所在象限，再根据两点横坐标的范围判断两点所在象限，进而比较纵坐标的大小； 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴该反比例函数的图象分布在第二、四象限， ∵， ∴点 在第二象限，点 在第四象限， ∵第二象限内点的纵坐标为正，第四象限内点的纵坐标为负， ∴，即． 8. 如图，已知，以为直径的交于点，与相切于点，是上一点，连接，若 ，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，圆周角定理得到，根据切线的性质得到，进而求出的度数，再求出的度数即可. 【详解】解：连接，则， ∵以为直径的交于点，与相切于点， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴. 9. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化为同分母作差，再约分化简即可． 【详解】解： ． 10. 从“中国戏曲之乡”到“民间工艺宝库”，山西非遗以最厚重的底蕴，呈现着最生动的传承．小慧将下面四张非遗图片背面朝上放在桌面上（图片背面完全相同），从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则抽到的两张图片恰好是“绛州鼓乐”和“孝义皮影”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将图片“绛州鼓乐”、“天塔舞狮”、 “孝义皮影”、 “平遥推光漆器”分别记为，根据题意列表，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：将图片“绛州鼓乐”、“天塔舞狮”、 “孝义皮影”、 “平遥推光漆器”分别记为， 列表如下： A B C D A B C D 由表格可知，共有12种等可能的情况，其中两张图片恰好是“绛州鼓乐”和“孝义皮影”的情况有2种， 则两张图片恰好是“绛州鼓乐”和“孝义皮影”的概率为． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式乘法运算，平方差公式，利用平方差公式进行运算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中随机抽取6株麦苗，测得苗高（单位：cm）如下表． 品种 第一株 第二株 第三株 第四株 第五株 第六株 平均数 甲 12 13 14 15 13 11 13 乙 16 17 6 12 19 8 13 则两种小麦中长势比较整齐的是______（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】判断小麦长势的整齐程度需比较方差大小，方差越小，数据波动越小，长势越整齐，根据方差公式分别计算两种小麦的方差，再比较大小即可得出结论． 【详解】解：已知，，根据方差公式计算得 甲的方差：； 乙的方差：； ，即甲的方差更小，数据波动更小，因此甲的长势比较整齐. 13. 标准体重是评估人体健康的重要指标之一，可根据身高进行粗略估算．已知成年人标准体重是身高的一次函数，部分数据如下表所示，若小亮的身高为，则他的标准体重为______． 身高 165 170 175 180 标准体重 60 65 70 75 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法求出，再将代入求值即可． 【详解】解：因为标准体重是身高的一次函数， 所以可设， 则，解得：， ， 当时，， 即若小亮的身高为，则他的标准体重为． 14. 如图，在中，， ，于点．分别以点 为圆心， 的长为半径画弧，两弧分别交 于点．再以点为圆心，的长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先由勾股定理求解，即可求出扇形 、 、 的半径，再由扇形面积公式分别求解这三个扇形的面积，最后进行相加即可． 【详解】解：  为等腰直角三角形，   ，  由题意可知，扇形 的半径为，圆心角为， 扇形 的半径为，圆心角为    以点为圆心，长为半径画弧交于点      扇形 的半径为，圆心角为    图中阴影部分的面积为． 15. 如图，在四边形中， ，对角线，相交于点，，，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意证明，，，四点共圆， 是的外接圆直径，根据垂径定理构建的外接圆，圆心为，连接，，设的半径为 ，由勾股定理构建方程求出外接圆半径，从而得到的长，最后在直角中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：， ， ，，，四点共圆，且为该圆的直径， 也是的外接圆直径， 过点作于点，设的外接圆，圆心为，连接，， ， 为等腰三角形， 为的中点，且，，三点共线， ， ， 在直角 中，， 设的半径为 ，则， ， 在直角 中，， ， 解得， 为该圆的直径， ， 在直角中，． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算与解方程组 （1）计算：； （2）解方程组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先算括号内的运算，再算乘方、负整数指数幂和绝对值，然后算乘法，最后算加法； （2）利用加减消元法求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 由① ②得，，解得； 将代入①得，，解得， ∴原方程组的解为：． 17. 2026年2月1日起正式施行的《全民阅读促进条例》明确规定每年4月第四周为全民阅读活动周．为迎接首个全民阅读活动周，持续改善阅读环境，某图书馆花60000元购置阅读桌和阅读椅，已知阅读桌的单价为600元/张，阅读椅的单价为120元/把，且要求购置的阅读椅的数量不少于阅读桌的4倍，则最多可购置多少张阅读桌？ 【答案】最多可购置55张阅读桌． 【解析】 【分析】设购置阅读桌的数量为张，购置阅读椅的数量为 张，根据“某图书馆花60000元购置阅读桌和阅读椅，购置的阅读椅的数量不少于阅读桌的4倍”列不等式组求解即可． 【详解】解：设购置阅读桌的数量为张，购置阅读椅的数量为 张， 由题意得， 整理得， 解得， 答：最多可购置55张阅读桌． 18. 为践行“健康第一”教育理念，细化落实近视防控要求，某校积极开展第12个全国近视防控宣传教育月活动．为了解全校3600名学生“科学用眼•健康护眼”好习惯践行情况，学校医务处随机抽取部分学生进行问卷调查（调查问卷如图所示），所有问卷全部收回，并将调查结果绘制成统计图（均不完整）． “科学用眼•健康护眼”好习惯践行情况调查问卷 亲爱的同学： 您好！为进一步增强爱眼护眼意识，诚邀您参加本次匿名调查． 1．您在日常生活中践行了哪些“科学用眼•健康护眼”好习惯（ ）（可多选） A．每天户外活动2小时 B．保持“一尺一拳一寸”读写姿势 C．遵守“ ”护眼法则 D．每天睡眠不少于9小时 E．严控电子产品使用时间 F．定期进行视力检查 2．您平均每天使用电子产品的时间大约是（ ）（只能单选，每项含最小值，不含最大值） A． 小时 B． 小时 C． 小时 D．3小时及以上 请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）参加本次问卷调查的总人数为______人，的值为______，的值为______． （2）估计该校3600名学生中，平均每天使用电子产品的时间大约是“ 小时”的人数． （3）除上述调查问卷中提到的六个“科学用眼•健康护眼”好习惯，请你给全校学生再提出一个“科学用眼•健康护眼”好习惯． 【答案】（1）， ， （2）估计该校对应人数为 人 （3） 解：建议：坚持每天做眼保健操（或“不在昏暗/强光下看书”“不躺着看书”等，合理即可）． 【解析】 【分析】（1）由条形图可知，选择F习惯的有30人，占总人数的 ，据此求出总人数；选择B习惯的人数为117，据此求出；选择C习惯的占比为 ，据此求出 ； （2）根据用样本估计总体的方法求解即可； （3）结合护眼常识，提出合理建议即可． 【小问1详解】 解：总人数为  人， ∴  ，  ． 【小问2详解】 解：“ 小时”的占比： ， 该校3600名学生中，平均每天使用电子产品的时间大约是“ 小时”的人数为： 人． 【小问3详解】 略 19. 随着L3级自动驾驶技术的日趋成熟，首批获批的两种车型北汽极狐阿尔法S和长安深蓝分别在北京、重庆指定区域上路试点运行．经测试，长安深蓝的最高车速是北汽极狐阿尔法S的，两车均以最高车速行驶时，长安深蓝行驶100公里所用的时间比驾驶北汽极狐阿尔法S行驶120公里所用的时间多30分钟，求长安深蓝SL03的最高车速是多少公里/时？ 【答案】长安深蓝的最高车速为公里/时． 【解析】 【分析】设北汽极狐阿尔法S的最高车速为x公里/时，则长安深蓝的最高车速为公里/时，根据“长安深蓝行驶100公里所用的时间比驾驶北汽极狐阿尔法S行驶120公里所用的时间多30分钟”列出分式方程，据此求解即可． 【详解】解：设北汽极狐阿尔法S的最高车速为x公里/时，则长安深蓝的最高车速为公里/时， 根据题意得， 解得 ， 经检验， 是原方程的解，且符合题意， ， 答：长安深蓝的最高车速为公里/时． 20. 项目学习 项目背景：“鱼沼飞梁”为我省晋祠的三大国宝建筑之一，是我国现存唯一的古代木结构十字形桥梁建筑．其东西桥面宽广，连接圣母殿与献殿，南北桥面下斜如鸟翼，整体造型犹如大鸟展翅欲飞．某校“综合与实践”小组的同学围绕“鱼沼飞梁的测量与计算”开展项目学习活动，并形成如下活动报告． 项目主题 鱼沼飞梁的测量与计算 驱动问题 如何测量南北桥梁的跨度 活动内容 利用视图、锐角三角函数等有关知识进行测量与计算 活动过程 方案说明 图1为该景点的俯视图示意图， 是南北桥梁中心线的两端，为东西桥梁桥面宽度．图中点在同一条直线上． 图2为测量方案示意图，桥面宽度 地面，于点， 于点，且，．图中各点都在同一竖直平面内． 数据测量 在点的正上方点 处测得点和点的俯角分别为，，米． 计算 …… 交流展示 …… 请根据上述数据，计算南北桥梁的跨度的长（结果精确到米．参考数据：，，，，，）． 【答案】米 【解析】 【分析】先证明四边形 是矩形，得出米． 设米，则（米），（米），根据，得出，，在中，解直角三角形表示出，在 中，解直角三角形表示出，联立后求出，即可解答． 【详解】解：根据题意：，， ， ∴四边形 是矩形， ∴米． 根据题意：， 设米， 则（米），且（米）． 又∵， ∴，， 在中，，  ∴， 在 中，​， ∴， 联立两个等式： ， 解得：， ∴ 米， ∴南北桥梁的跨度约为米． 21. 阅读与思考 下面是善思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“平行六边形”的研究报告 研究对象：平行六边形 研究思路：类比平行四边形，按“概念—性质—判定”的路径展开研究． 研究方法：观察度量—提出猜想—推理证明 研究内容： 【概念理解】如果一个凸六边形的三组对边分别平行，我们称这个凸六边形为平行六边形．如图1，在六边形中， ，，，六边形就是平行六边形．其中与，与，与是三组对边，与， 与，与是三组对角． 【性质探索】由平行六边形的定义，我们知道平行六边形的三组对边分别平行．除此之外，平行六边形还有什么性质呢？它的角之间有什么关系？它的边之间还有什么关系？ 通过观察和度量，我们提出如下猜想： 猜想1：平行六边形相邻三个角的和都等于______，三组对角分别相等． 下面我们结合图1所示平行六边形，证明 ，，． 证明：如图2，连接． 六边形是平行六边形，， ． ，．（依据1） ，即 ． 同理，，． 猜想2：如果平行六边形的一组对边相等，则另两组对边也分别相等． 如图3，若六边形是平行六边形，且，则 ，． 证明：分别连接 ． 六边形是平行六边形， ，， ． 又，四边形是平行四边形． … 学习任务： （1）材料中空缺的内容是______，依据1是______． （2）补全猜想2的证明过程． （3）如图4，四边形是平行四边形．在平行四边形外求作两点，使得六边形是平行六边形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） 【答案】（1）；两直线平行，内错角相等 （2）证明：分别连接 ， 六边形是平行六边形， ，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 在 和中， ， ， ； （3）如图，六边形为求作： 【解析】 【分析】本题主要考查了平行六边形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质以及尺规作图，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据平行六边形的性质得到 ，求出，根据四边形的内角和即可得到答案，再由平行线的性质得到依据； （2）根据平行四边形的性质得到 ，证明，证明，即可得到结论； （3）以点为圆心，长为半径画弧，以点为圆心，长为半径画弧，两弧交点为 ，以点为圆心，长为半径画弧，以点为圆心，长为半径画弧，两弧交点为，连接线段即可． 【小问1详解】 解：连接， 六边形是平行六边形， ， ， ， 依据1是两直线平行，内错角相等， 故答案为：；两直线平行，内错角相等； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 综合与实践 问题情境：滑雪者从山坡滑下时，其滑行速度（单位：），滑行距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）之间具有一定关系．“综合实践”小组利用高速移动相机，对某滑雪运动员在某次训练中从山坡滑下时的滑行速度，滑行距离，滑行时间进行了拍摄记录，整理得到如下图表． 信息整理： ①在山坡的滑行速度与滑行时间的部分数据如下表． 滑行时间（单位：s） 0 1 2 3 4 … 滑行速度（单位：） 2 6 10 14 18 … ②在山坡的滑行距离与滑行时间之间的关系用图1所示坐标系中的图象刻画． 解决问题： （1）根据表中数据可知，在山坡的滑行速度是滑行时间的______函数（填“一次”“二次”或“反比例”），其函数表达式为______． （2）观察图1可知，在山坡的滑行距离与滑行时间满足二次函数关系，当该运动员在山坡的滑行时间为时，求出他的滑行距离． （3）如图2，在此次训练中，该运动员从山坡的点 处滑下，滑行到坡脚点处时沿跳台做身体姿势调整，并在点处完成起跳，然后在空中作转体、旋转技巧展示．根据要求，若要顺利完成此次技巧展示，运动员距离地面的最大高度不得低于10米（不考虑其他因素）．已知，运动员从到的过程中速度保持不变，从点起跳后距离地面的垂直高度与在空中的飞行时间之间的函数关系表达式是（其中为运动员在点时的速度）．请你判断该运动员能否顺利完成此次技巧展示？并说明理由． 【答案】（1）； （2）滑行距离为 （3）能顺利完成 【解析】 【分析】（1）观察表格数据，滑行时间​每增加1，滑行速度随之增加4，得出是​的一次函数，设，根据待定系数法求解即可． （2）由图1可知，二次函数过原点，且经过点、，故设，运用待定系数法求出，再代入，求解即可． （3）根据题意知，将，代入​求出，将代入求得点速度 ，再将代入得出， 根据二次函数的性质即可求出最大高度 ，与比较即可． 【小问1详解】 解：观察表格数据，滑行时间​每增加1，滑行速度随之增加4， ∴是​的一次函数， 设， 代入 和得：， 解得，验证其余点均满足， ∴函数表达式为 ． 【小问2详解】 解：由图1可知，二次函数过原点，且经过点、， 设， 代入得：， 解得， 即． 当时，． 答：滑行时间为时，滑行距离为 ． 【小问3详解】 解：该运动员能顺利完成， 理由如下： 根据题意知， 令，代入​得： ， 整理得， 解得：或（舍去）． 将代入得，点速度． 将代入得： ， 这是开口向下的二次函数，最大高度为顶点纵坐标： ． ∵， ∴该运动员能顺利完成此次技巧展示． 23. 综合与探究 问题情境：如图1，在中，，，点是斜边的中点，点是线段上的动点．将绕点顺时针旋转，得到 ，点的对应点恰好落在边上，连接． 数学思考： （1）求证：四边形 为矩形． 深入探究： （2）如图2，过点作 ，交于点，设线段与线段交于点 ， ①猜想线段 之间的数量关系，并说明理由． ②连接．若，当 为等腰三角形时，请直接写出线段的长． 【答案】（1） 证明：中，，，是中点， ∴ ， ， 由旋转性质得： ， ， ， ， 在 中， ， ， ∴ ， ∴ ，即， 又， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∴四边形 是平行四边形， ∵ ， ∴平行四边形 是矩形． （2）① ，理由如下： 如图，过点D作 交 于点K，交于点Q， ∵ ，， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ，即 ， ∴四边形 是平行四边形， ∴ ， 根据（1）可得平行四边形 是矩形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ ． ②或或 【解析】 【分析】（1）中，，，是中点，根据等腰直角三角形的性质得出 ， ，由旋转性质得： ， ， ， ，在 中， ， ，则 ，得出，结合，得出 ，根据 ，，得出 ，结合 ，即可证明平行四边形 是矩形． （2）①如图，过点D作 交 于点K，交于点Q，根据 ，，得出 ，根据 ， ，得出 ，即 ，则四边形 是平行四边形，得出 ，根据（1）可得平行四边形 是矩形，则 ，证明 ， ，即可得出 ，则 ． ②如图，连接 ，设，则 ，根据勾股定理的 ，根据矩形的性质得出 ，则 ，得出 ， ， ，勾股定理表示出 ，根据 ，得出 ，，则 ，勾股定理表示出 ，即可表示出 ，分三种情况：当 时，当 时，当 时，列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②如图，连接 ， 设，则 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 当 时， ，解得：（负值已舍去），符合条件； 当 时， ，解得：，符合条件； 当 时， ，解得： （舍去）或（与重合，与重合，与重合）． 综上，的长为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $