精品解析：山西省吕梁市孝义市2025年中考第一次模拟数学试卷

2025年孝义市第一次中考模拟考试题（卷）数学 注意事项： 1、本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2、答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 3、考试结束后，只收回答题卡． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 如图，太原市某天的气温是，则这天的温差（最高气温减最低气温）是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正负数的实际应用．根据题意利用最高气温减最低气温，并计算即可． 【详解】解：∵太原市某天的气温是， ∴这天的温差：， 故选：C． 2. 近年来，我国大力开发新能源产业，下面是四张新能源图标，其文字上方的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的识别，掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解题的关键．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、它是轴对称图形，不是中心对称图形； B、它是轴对称图形，也是中心对称图形； C、它既不是轴对称图形，也不是中心对称图形； D、它既不是轴对称图形，也不是中心对称图形． 故选：B 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同底数幂相乘，幂的乘方，完全平方公式，积的乘方等．根据题意逐一对选项进行计算即可． 【详解】解：，即A选项不对， ，即B选项不对， ，即C选项不对， ，即D选项对， 故选：D． 4. 月壤砖是一种未来可能用于月球盖房子的建筑材料，呈榫卯结构．2024年11月13日，我国设计的“月壤砖”搭乘“天舟八号”货用飞船飞往天宫空间站开展太空暴露试验．图2是一块月壤砖的示意图，则它的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据左视图是从左面看到的图形即可得到答案． 【详解】解：从左边看，看到的图形是一个长方形，中间有一条横着的虚线，即看到的图形如下： 故选：C． 5. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组．根据题意分别解出两个一元一次不等式，继而得到解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集：， 故选：B． 6. 约公元820年，中亚细亚数学家阿尔—花拉子米写了一本代数书，重点论述怎样解方程．这本书的拉丁文译本取名为《对消与还原》，其中，“对消”指的是“合并同类项”，“还原”指的是“移项”．我国古代数学著作《九章算术》的“方程”章，更早使用了“对消”和“还原”的方法，体现的数学思想是（ ） A. 分类思想 B. 数形结合思想 C. 转化思想 D. 公理化思想 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程，理解一元一次方程的解法是解答关键． 根据题中的材料，结合一元一次方程的解法来进行求解． 【详解】解：约公元820年，中亚细亚数学家阿尔—花拉子米写了一本代数书，重点论述怎样解方程．这本书的拉丁文译本取名为《对消与还原》，其中，“对消”指的是“合并同类项”，“还原”指的是“移项”．我国古代数学著作《九章算术》的“方程”章，更早使用了“对消”和“还原”的方法，体现的数学思想是：转化思想． 故选：C． 7. 已知点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数图象上点的坐标特征． 先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大． ∵ ∴点A在第二象限，点B、C在第四象限， ∵， ∴． 故选：A 8. 自行车尾灯内部的角反射器是由许多垂直的平面镜组成，其工作原理如图2所示，平面镜，当光线 射向镜面时，经过两次反射后，光线沿平行于 的方向射出，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线性质，垂直定义等．根据题意先作，再利用平行线性质得，继而再利用平行线性质即可得到答案． 【详解】解：作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9. 研究人员发现，在时蟋蟀每分钟鸣叫次数y（单位：次）是温度t（单位：℃）的一次函数，部分数据如下表所示，则y与t之间的关系式为（ ） 温度t（℃） 21 23 25 每分钟鸣叫次数y（次） 112 126 140 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．设y与t之间的关系式为，代入表格中的数据求出的值即可得出答案． 【详解】解：设y与t之间的关系式为， 代入和，得， 解得：， y与t之间的关系式为． 故选：A． 10. 如图，在矩形中，，，点E，F分别为 ， 的中点，分别以点E，F为圆心，长为半径作半圆，两半圆交于点G，H，连接，，，，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等边三角形判定及性质，扇形面积公式，圆面积公式等．根据题意作，由题意可得为等边三角形，继而求出面积，再求出扇形的面积，继而求出阴影部分面积等． 【详解】解：作， ， ∵矩形中，，，点E，F分别为 ， 的中点， ∴， ∴和为等边三角形， ∴，， ∴， ∴的面积为：， ∴扇形的面积：， ∵半圆面积为：， ∴下方两块阴影面积：， ∴总的阴影面积为：， 故选：D． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 化简：的结果是_____． 【答案】 【解析】 【详解】分析：首先将原式变为同分母的分式：，然后利用同分母的分式相加减的运算法则求解即可答案，注意运算结果需化为最简． 详解： = = = =m+3． 故答案为m+3． 点睛：此题考查了分式的加减运算法则．此题比较简单，注意运算要细心，注意运算结果需化为最简． 12. 如图，四边形内接于，为的直径，点C为的中点，若，则的度数为______°． 【答案】70 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形对角互补，等腰三角形性质，外角和定理等．根据题意连接，利用圆内接四边形对角互补，得，继而得，再利用圆周角定理得，再利用外角和定理即可得到本题答案． 【详解】解 ： 连接， ， ∵四边形内接于，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点C为的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：70． 13. 为进一步激发家电市场活力，某市总工会携手家电商场共同举办“政企双补”家电以旧换新活动．活动期间，该工会会员小李购买一台原价为4200元的冰箱，除享受政府600元的以旧换新补贴外，还获得一定金额的厂商补贴，若小李实际支付金额不低于2970元，则厂家给予的补贴最多不超过原价的______%． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，设厂家给予的补贴不超过原价的，根据题意可得出，解出x的取值范围即可得出答案． 【详解】解：设厂家给予的补贴不超过原价的， 根据题意： 解得：， 则厂家给予的补贴最多不超过原价的， 故答案为：15 14. 晋剧，作为山西的传统戏曲形式，承载着丰富的历史与文化底蕴．如图所示的两张图片正面印有晋剧经典剧目人物，它们除正面外完全相同，现将两张图片从中间剪断，再把得到的四张形状相同的小图片混合在一起，随机抽取两张小图片，则恰好合成一张完整图片的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用树状图求概率等．四张形状相同的小图片分别用表示，其中 和 合成一张完整图片， 和 合成一张完整图片，继而再画出树状图，计算即可． 【详解】解：四张形状相同的小图片分别用表示，其中 和 合成一张完整图片， 和 合成一张完整图片，画树状图如下： ， 共有 种等可能结果，其中两张小图片恰好合成一张完整图片的结果为４， ∴两张小图片恰好合成一张完整图片的概率为：． 15. 如图，在中，，，，点D是的中点，点E在 上，且，与 交于点F，则线段的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】延长 至点使，连接，作，勾股定理求出的长，斜边上的中线求出 的长，等积法求出的长，等角的正弦值相等，求出的长，进而求出的长，三角形的中位线定理，得到，，证明，求出的值，即可． 【详解】解：延长 至点使，连接，作， ∵，，， ∴， ∵点D是的中点， ∴，， ∵， ∴，即：， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即：， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理，斜边上的中线等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造三角形的中位线和相似三角形，是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）解方程组：． 【答案】（1）；（2）原方程组的解为 【解析】 【分析】本题考查实数混合计算，二元一次方程组计算等． （1）先计算乘法，在计算加法即可； （2）先，再将代入①，继而得到即可． 【详解】解：（1）计算：， 原式， ， ； （2）， 解：，得， 将代入①，得， 解，得． ∴原方程组的解为． 17. 如图，，平分，交于点E． （1）实践与操作：利用尺规作的平分线，交于点O，交 于点F，连接（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； （2）猜想与证明：试猜想四边形的形状，并加以证明． 【答案】（1） 作图如下： （2）猜想：四边形是菱形， 证明如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴ ， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查角平分线画法，菱形的判定，平行四边形判定及性质等． （1）以点 为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于一点，连接 与这点即为的平分线，即可得到本题答案； （2）根据题意先证明四边形是平行四边形，后继而证明出四边形是菱形． 【小问1详解】 解：以点 为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于一点，连接点 与这点交于点 ，即为的平分线，作图如下： 【小问2详解】 略 18. 随着人工智能技术的快速发展，AI＋已成为推动全球创新和经济增长的重要力量．某校为了培养能够适应未来社会的创新人才，拟开设“AI交互设计”“AI工程实践”“AI综合技能”“AI创新挑战”“AI轨迹普及”五项人工智能社团课程．为了解学生对上述五项社团课程的兴趣情况，随机抽取部分学生进行问卷调查（调查问卷如图所示），并将调查结果绘制成如下所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）． 请根据统计图提供的信息，解答下列问题． （1）请将条形统计图补充完整． （2）在扇形统计图中，“AI轨迹普及”的百分比是 ，表示“AI创新挑战”的扇形的圆心角度数为 度． （3）学校对有意向参加“AI创新挑战”社团课程的学生进行了现场测试（满分100分），并将成绩统计如下： 成绩/分 83 87 90 92 95 97 人数 2 4 6 8 3 1 则这组数据的平均数是 分，中位数是 分，众数是 分． （4）若该校学生的总人数是1200人，请你估计最有意向参加“AI创新挑战”社团课程的学生有多少人？ 【答案】（1） 条形图补全如下： （2） （3） （4）估计最有意向参加“AI创新挑战”社团课程的学生有480人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图数据统计问题，补全条形统计图，求圆心角度数，平均数，众数，中位数定义，根据样本估算总体等． （1）根据条形统计图和扇形统计图先求出总人数，再利用占比计算出“AI综合技能”数据，继而补全图形即可； （2）利用“AI轨迹普及”的人数除以总人数即为占比，先求出“AI创新挑战”的占比后再乘以即可； （3）先计算总分数再除以总人数即可为平均分，先将分数进行排序后即可求出中位数，观察表格人数最多的即为分数的众数； （4）根据“AI创新挑战”的占比，再乘以总人数即为答案． 【小问1详解】 解：∵总人数为：（人）， ∵“AI综合技能”占比， ∴“AI综合技能”人数：（人）， 【小问2详解】 解：∵根据条形图可知“AI轨迹普及”人数为：人， 由（1）知：总人数为人， ∴“AI轨迹普及”的百分比：， ∵“AI创新挑战”人数为人， ∴“AI创新挑战”的扇形的圆心角度数：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵根据图表可得： 平均数为：（分）， ∵共有人数：， ∴中位数为第 和分数的平均数，即：（分）， ∵分人数最多，即分为众数， 故答案为：； 【小问4详解】 解：∵该校学生的总人数是1200人， ∴参加“AI创新挑战”社团课程的学生：（人）， 答：估计最有意向参加“AI创新挑战”社团课程的学生有480人． 19. 保护森林资源是每个公民义不容辞的责任，加大废纸的回收再利用可以有效减少人类对森林资源的破坏．据统计，生产一吨优质纸张，所用木材的质量比废纸的质量多吨．已知用750吨废纸生产的优质纸张的质量是用700吨木材生产的优质纸张质量的 倍，求生产一吨优质纸张需要的木材质量． 【答案】生产一吨优质纸张需要的木材质量为吨 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用．根据题意先设生产一吨优质纸张需要的木材质量为x吨，根据题意列式计算即可． 【详解】解：设生产一吨优质纸张需要的木材质量为x吨． 根据题意，得． 解，得． 经检验，是原分式方程的解． 答：生产一吨优质纸张需要的木材质量为吨． 20. 学科实践：南中环桥是连接太原南部汾河两岸的一条重要通道，其主桥桥型设计构思源于“太原古八景”之一的“蒙山晓月”，从桥的两端看，形如“展翅鸿雁”．某校“综合与实践”活动小组的同学对南中环桥的结构进行调查． 数据采集：图2是调查得到的南中环桥的截面示意图，整个示意图关于中央隔离带成轴对称，通过测量得知：中央隔离带的高度为5米，主吊杆与地面的倾角，底端C点到B点的距离为15米，斜拉杆与的夹角． 问题解决：请根据上述数据，计算主拱到地面的距离（即点E到地面的距离）．（参考数据：，，） 【答案】主拱到地面的距离为40米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，轴对称图形，解题的关键构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．过点E作于点P，过点 作于点Q，根据矩形的判定与性质得出，，根据轴对称性得出．设，则．在中，可求，根据等角对等边得出，则，．在中，根据正切定义得出，则． 解方程即可求解． 【详解】解：过点E作于点P，过点 作于点Q， 则四边形为矩形． ∴，． ∵整个示意图关于中央隔离带成轴对称，且． ∴． 设，则． 在中，，， ∴． ∴． ∴，． 在中，，， ∵， ∴． ∴． 解，得． ∴，（米）． 答：主拱到地面的距离为40米． 21. 阅读与思考： 阅读下列材料，并完成相应的学习任务． 倍角三角形 在三角形中，如果一个角是另一个角的二倍，那么这样的三角形叫做倍角三角形．如图1，在中，，，的对边分别为a，b，c．，是倍角三角形． 下面类比等腰三角形的研究思路，对图1所示的倍角三角形的性质进行探究． 角：根据三角形的内角和定理，在图1所示的中，的取值范围是______． 边：二倍角的对边与单倍角的对边的平方差，等于单倍角的对边与第三边的乘积．即． 如图2，延长 到点H，使．连接．则，． 所以． 所以，即．所以． 特殊线段：过点B作 边上的高， 若点F为 的中点，则．理由如下： 如图3，取的中点P，连接，． 学习任务： （1）材料中的取值范围是______． （2）如图4，在中，，，则 的长是______． （3）请根据材料提供的方法，利用图3证明“”． 【答案】（1）； （2）； （3）取的中点 ，连接， ∵点 是的中点，点 是 中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵，点 是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，等腰三角形性质，解一元二次方程，外角和定理等． （1）根据倍角三角形定义及三角形内角和定理即可得到本题答案； （2）根据题意列式解一元二次方程即可； （3）取的中点 ，连接，利用中位线性质得，，再得，再利用外角和定理得，继而得到本题答案． 【详解】解：（1）根据倍角三角形定义，可知， ∴，即：， ∵， ∴， ∴的取值范围：， 故答案为：； （2）∵，二倍角的对边与单倍角的对边的平方差，等于单倍角的对边与第三边的乘积， ∴，即：，解得：， 故答案为： ； （3）略 22. 综合与实践 项目主题：图1所示是某学校植物园的一部分，现要对植物种植区域加装围栏，学校面向全体同学征集围栏设计方案． 方案设计：图2是小慧设计的围栏的一部分，说明如下： ①围栏下部是等腰三角形，且，，垂足为G； ②围栏上部由两段形状相同的抛物线和组成（点D在的延长线上），且抛物线和关于直线对称； ③米，米，米，米（，均与垂直）． ④抛物线的函数表达式为．… 解决问题： 请你根据小慧的设计方案，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，解决下列问题： （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图3，小慧想在设计的围栏上加装一块社会主义核心价值观宣传展板，展板是扇形的一部分、展板整体关于对称．点P，Q分别在抛物线，上，点M，N分别在 ， 上，线段，是所在圆的半径的一部分，且，． ①请求出线段的最大值； ②当线段取得最大值时，直接写出所在圆的半径长． 【答案】（1）抛物线的函数表达式为；（2）①的最大值为；②所在圆的半径长为米 【解析】 【分析】（1）先建立平面直角坐标系，再由题意得出点 的坐标为，继而得到点，后将其代入二次函数解析式中即可得出； （2）①过点 作，垂足为点，交 于，再勾股定理求出，再求出直线 的解析式，后设点，点，再利用二次函数最值即可，再利用相似三角形判定及性质即可求出； ②作轴于W，作轴于V，作轴于T，延长与 轴交于即为圆心，此时即为所在圆的半径，由线段取得最大值时，，可求出，，，，由求出，证明，然后利用相似三角形的对应边成比例即可求解． 【详解】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系， ， 由题意得：， ∴点 的坐标为， ∵，， ∴点， ∵抛物线经过，， ∴，解得：， ∴抛物线的函数表达式为：； （2）解：①过点 作，垂足为点，交 于， ， ∵，， ∴在中，， ∵，， 设直线 的解析式为， ∵图象经过点，， ∴，解得：， ∴直线 的解析式为：， 设点，点， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∴的最大值为：； ②作轴于W，作轴于V，作轴于T，延长与 轴交于即为圆心，此时即为所在圆的半径， ∵线段取得最大值时，，即，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设所在圆的半径为，则， ∵， ∴， ∴，即：，解得：， ∴所在圆的半径长为米． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，二次函数最值，勾股定理，相似三角形判定及性质，以及锐角三角函数的知识，难度较大，属中考压轴题． 23. 综合与探究 问题情境：在数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，点E是矩形的边上一点，，垂足为点F，且．求证：． 数学思考： （1）请你解答老师提出的问题； 拓展探究： “兴趣小组”在图1的基础上，将以点C为中心顺时针旋转，得到（点D与对应），并提出新的问题，请你解决这两个问题： （2）如图2，若点恰好落在边 上，连接并延长交于点P．猜想线段与的数量关系，并说明理由； （3）若，，当直线恰好经过点A时，直线与直线 的交点为Q，请直接写出线段的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）猜想：， 理由如下： 由旋转得：，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）或 【解析】 【分析】本题考查矩形性质，全等三角形判定及性质，外角和定理，等腰三角形性质，旋转性质，相似三角形判定及性质，勾股定理等． （1）利用矩形性质得，，，再证明，再利用全等的性质得，继而得到本题答案； （2）根据旋转性质可得，，，再得，利用外角和定理得，继而得，后得，再利用等边对等角即可证明； （3）根据题意画出符合题意得图，再利用矩形性质设，，后利用相似三角形判定及性质即可计算出本题结果． 【详解】（1）略 （2）略 （3）根据题意画图如下： ∵，，， ∴由旋转性质及矩形性质得：，， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， ∴，即：， 解得：或， ∴的长为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年孝义市第一次中考模拟考试题（卷）数学 注意事项： 1、本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2、答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 3、考试结束后，只收回答题卡． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 如图，太原市某天的气温是，则这天的温差（最高气温减最低气温）是（ ） A. B. C. D. 2. 近年来，我国大力开发新能源产业，下面是四张新能源图标，其文字上方的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 月壤砖是一种未来可能用于月球盖房子的建筑材料，呈榫卯结构．2024年11月13日，我国设计的“月壤砖”搭乘“天舟八号”货用飞船飞往天宫空间站开展太空暴露试验．图2是一块月壤砖的示意图，则它的左视图为（ ） A. B. C. D. 5. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 约公元820年，中亚细亚数学家阿尔—花拉子米写了一本代数书，重点论述怎样解方程．这本书的拉丁文译本取名为《对消与还原》，其中，“对消”指的是“合并同类项”，“还原”指的是“移项”．我国古代数学著作《九章算术》的“方程”章，更早使用了“对消”和“还原”的方法，体现的数学思想是（ ） A. 分类思想 B. 数形结合思想 C. 转化思想 D. 公理化思想 7. 已知点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 自行车尾灯内部的角反射器是由许多垂直的平面镜组成，其工作原理如图2所示，平面镜，当光线射向镜面时，经过两次反射后，光线沿平行于的方向射出，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 研究人员发现，在时蟋蟀每分钟鸣叫次数y（单位：次）是温度t（单位：℃）的一次函数，部分数据如下表所示，则y与t之间的关系式为（ ） 温度t（℃） 21 23 25 每分钟鸣叫次数y（次） 112 126 140 A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，，点E，F分别为， 的中点，分别以点E，F为圆心，长为半径作半圆，两半圆交于点G，H，连接，，，，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 化简：的结果是_____． 12. 如图，四边形内接于，为的直径，点C为的中点，若，则的度数为______°． 13. 为进一步激发家电市场活力，某市总工会携手家电商场共同举办“政企双补”家电以旧换新活动．活动期间，该工会会员小李购买一台原价为4200元的冰箱，除享受政府600元的以旧换新补贴外，还获得一定金额的厂商补贴，若小李实际支付金额不低于2970元，则厂家给予的补贴最多不超过原价的______%． 14. 晋剧，作为山西的传统戏曲形式，承载着丰富的历史与文化底蕴．如图所示的两张图片正面印有晋剧经典剧目人物，它们除正面外完全相同，现将两张图片从中间剪断，再把得到的四张形状相同的小图片混合在一起，随机抽取两张小图片，则恰好合成一张完整图片的概率是______． 15. 如图，在中，，，，点D是的中点，点E在 上，且，与交于点F，则线段的长为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）解方程组：． 17. 如图，， 平分，交于点E． （1）实践与操作：利用尺规作的平分线，交 于点O，交于点F，连接（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； （2）猜想与证明：试猜想四边形的形状，并加以证明． 18. 随着人工智能技术的快速发展，AI＋已成为推动全球创新和经济增长的重要力量．某校为了培养能够适应未来社会的创新人才，拟开设“AI交互设计”“AI工程实践”“AI综合技能”“AI创新挑战”“AI轨迹普及”五项人工智能社团课程．为了解学生对上述五项社团课程的兴趣情况，随机抽取部分学生进行问卷调查（调查问卷如图所示），并将调查结果绘制成如下所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）． 请根据统计图提供的信息，解答下列问题． （1）请将条形统计图补充完整． （2）在扇形统计图中，“AI轨迹普及”的百分比是 ，表示“AI创新挑战”的扇形的圆心角度数为 度． （3）学校对有意向参加“AI创新挑战”社团课程的学生进行了现场测试（满分100分），并将成绩统计如下： 成绩/分 83 87 90 92 95 97 人数 2 4 6 8 3 1 则这组数据的平均数是 分，中位数是 分，众数是 分． （4）若该校学生的总人数是1200人，请你估计最有意向参加“AI创新挑战”社团课程的学生有多少人？ 19. 保护森林资源是每个公民义不容辞的责任，加大废纸的回收再利用可以有效减少人类对森林资源的破坏．据统计，生产一吨优质纸张，所用木材的质量比废纸的质量多吨．已知用750吨废纸生产的优质纸张的质量是用700吨木材生产的优质纸张质量的 倍，求生产一吨优质纸张需要的木材质量． 20. 学科实践：南中环桥是连接太原南部汾河两岸的一条重要通道，其主桥桥型设计构思源于“太原古八景”之一的“蒙山晓月”，从桥的两端看，形如“展翅鸿雁”．某校“综合与实践”活动小组的同学对南中环桥的结构进行调查． 数据采集：图2是调查得到的南中环桥的截面示意图，整个示意图关于中央隔离带成轴对称，通过测量得知：中央隔离带的高度为5米，主吊杆与地面的倾角，底端C点到B点的距离为15米，斜拉杆与的夹角． 问题解决：请根据上述数据，计算主拱到地面的距离（即点E到地面的距离）．（参考数据：，，） 21. 阅读与思考： 阅读下列材料，并完成相应的学习任务． 倍角三角形 在三角形中，如果一个角是另一个角的二倍，那么这样的三角形叫做倍角三角形．如图1，在中，，，的对边分别为a，b，c．，是倍角三角形． 下面类比等腰三角形的研究思路，对图1所示的倍角三角形的性质进行探究． 角：根据三角形的内角和定理，在图1所示的中，的取值范围是______． 边：二倍角的对边与单倍角的对边的平方差，等于单倍角的对边与第三边的乘积．即． 如图2，延长到点H，使．连接．则，． 所以． 所以，即．所以． 特殊线段：过点B作边上的高 ， 若点F为的中点，则．理由如下： 如图3，取的中点P，连接，． 学习任务： （1）材料中的取值范围是______． （2）如图4，在中，，，则 的长是______． （3）请根据材料提供的方法，利用图3证明“”． 22. 综合与实践 项目主题：图1所示是某学校植物园的一部分，现要对植物种植区域加装围栏，学校面向全体同学征集围栏设计方案． 方案设计：图2是小慧设计的围栏的一部分，说明如下： ①围栏下部是等腰三角形，且，，垂足为G； ②围栏上部由两段形状相同的抛物线和组成（点D在的延长线上），且抛物线和关于直线对称； ③米，米，米，米（，均与垂直）． ④抛物线的函数表达式为．… 解决问题： 请你根据小慧的设计方案，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，解决下列问题： （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图3，小慧想在设计的围栏上加装一块社会主义核心价值观宣传展板，展板是扇形的一部分、展板整体关于对称．点P，Q分别在抛物线，上，点M，N分别在 ，上，线段，是所在圆的半径的一部分，且，． ①请求出线段的最大值； ②当线段取得最大值时，直接写出所在圆的半径长． 23. 综合与探究 问题情境：在数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，点E是矩形的边上一点，，垂足为点F，且．求证：． 数学思考： （1）请你解答老师提出的问题； 拓展探究： “兴趣小组”在图1的基础上，将以点C为中心顺时针旋转，得到（点D与对应），并提出新的问题，请你解决这两个问题： （2）如图2，若点恰好落在边上，连接并延长交于点P．猜想线段与的数量关系，并说明理由； （3）若，，当直线恰好经过点A时，直线与直线的交点为Q，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $