精品解析：吉林长春市净月实验中学2025-2026学年下学期九年级数学第五次模试题

2025-2026学年度下学期第五次模拟考试·九年级数学 考试时间：120分钟满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列四个实数中，是正数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简每个选项中的表达式，再根据正数的定义（大于0的实数是正数）判断即可得到结果． 【详解】解：对选项A，， A不是正数； 对选项B，， B不是正数； 对选项C，， C是正数； 对选项D，， D不是正数． 2. 下列几何体中；主视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据从正面看到的图形即为主视图求解即可． 【详解】解：A、圆锥的主视图是三角形，符合题意； B、圆柱的主视图是长方形，不符合题意； C、三棱柱的主视图是长方形，不符合题意； D、正方体的主视图是正方形，不符合题意． 3. 如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的内部时，与之间有一种数量关系始终保持不变，则这种数量关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据折叠的性质和平角的定义可知，再根据三角形内角和定理得，将三个式子结合可得答案． 【详解】解：根据折叠可知， 即． ∵， ∴， 即， ∴． 4. 小明在处理一组数据“12，12，28，35，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在30~40之间．则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查数据平均数、众数、中位数方差的计算方法，根据中位数的定义求解可得． 【详解】解：依题意“■”该数据在30~40之间，则这组数据的中位数为， ∴“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的中位数． 故选：C． 5. 如图，数学课上老师让同学们在方格纸上进行如下操作：经过线段外一点C，画线段的垂线段，并测量．同学们发现：点C到点A，B的距离均大于点C到点D的距离这其中蕴含的数学原理是（ ） A. 点到直线的垂线段的长度 B. 直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间的所有连线中，线段最短 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线段最短．根据“垂线段最短”即可求解． 【详解】解：点C到点A，B的距离均大于点C到点D的距离这其中蕴含的数学原理是直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短． 故选：B 6. 如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为37°，同时测得BC=20米，则树的高AB（单位：米）为（ ） A. B. 20tan37° C. D. 20sin37° 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：如图，在直角△ABC中，∠B=90°，∠C=37°，BC=20m，可得tanC=，则AB=BC•tanC=20tan37°．故选B． 考点：解直角三角形的应用. 7. 如图，在△ABC中，以点C为圆心，任意长为半径作弧，别交AC、BC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线CG交AB于点D，过点D作DH∥BC交AC于点H．若CH＝4，BC＝9，则AH的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用作法得到CD平分∠ACB，再证明∠ACD＝∠HDC得到DH＝CH＝4，然后证明△ADH∽△ABC，则利用相似比可计算出AH的长． 【详解】解：由作法得CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD， ∵DH∥BC， ∴∠HDC＝∠BCD， ∴∠ACD＝∠HDC， ∴DH＝CH＝4， ∵DH∥BC， ∴△ADH∽△ABC， ∴＝，即＝， 解得AH＝． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了尺规作图——作已知角的平分线，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 8. 如图平行四边形的顶点A在反比例函数的图象上，点B在y轴上，点C，D在x轴上，与y轴交于点E，连接，若，则k的值为（　　） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数k的几何意义，正确表示平行四边形的面积是求解本题的关键．先求平行四边形面积，再求k． 【详解】解：如图：作轴于F，则四边形是矩形， 由反比例函数性质知，， ∵， ， ∴． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 计算：=_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用零指数幂和负整数指数幂运算即可． 【详解】原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查实数的混合运算．掌握零指数幂和负整数指数幂是解答本题的关键． 10. 已知一个三角形的两边长分别为2和5，若第三边的长为整数，则第三边的长可以为______．（写出一个即可） 【答案】4（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据三角形三边关系，列出不等式组，根据第三边的长为整数，求得不等式组的整数解即可求解． 【详解】解：∵一个三角形的两边长分别为2和5，设第三边长为， ∴， 解得， 为整数， ． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，不等式组的整数解，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 11. 已知，是一次函数图像上的两个点，则_____．（填“>”、“<”或“=”） 【答案】> 【解析】 【分析】根据一次函数的增减性结合横坐标的大小比较纵坐标的大小． 【详解】解：一次函数为，可得，因此随的增大而减小， 已知，，横坐标满足，因此可得． 12. 如图，将一张长方形纸条沿折叠，点C、D分别折叠至点、，若，则度数为_________． 【答案】##115度 【解析】 【分析】首先由折叠的性质得到，然后根据平行线的性质求解即可． 此题考查了折叠的性质，平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 【详解】由折叠可得， ∵长方形纸条的对边平行 ∴． 故答案为：． 13. 如图，矩形的边长，．把绕B逆时针旋转，使C恰好落在上的点E处，线段扫过部分为扇形．则扇形的面积是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、解直角三角形、矩形的性质、求扇形面积，由旋转的性质可得：，解直角三角形得出，再由扇形面积求解即可． 【详解】解：由旋转的性质可得：， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴扇形的面积是， 故答案为：． 14. 如图，是等边的外接圆，点D是弧上一动点（不与A，C重合），弦，交于点H．下列结论：①；②当最长时，；③当时，；④，其中一定正确的结论有__________．（填写正确结论的序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】结合等边三角形的性质以及“同弧或等弧所对的圆周角相等”，可知，即可判断结论①；当最长时，即为直径，此时，，由“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”，可证明，可判定结论②；在弧上取点，使得，连接，易得，进而可得，结合三角形三边关系可得，易知，即可判断结论③；证明，由相似三角形的性质可得，易得，可判定结论④． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴，故结论①正确； ∵当最长时，即为直径，如下图， 此时， ∵， ∴， ∴， ∴在中，，故结论②正确； 如下图，在弧上取点，使得，连接， 当时，则有， ∴， ∴， 在中，由三角形三边关系可得， ∴，故结论③不正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故结论④正确． 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、圆周角、含30度角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中. 【答案】原式=，值为4. 【解析】 【分析】根据完全平方公式可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：原式=， ∵， ∴原式==4 【点睛】本题考查整式的混合运算-化简求值，解答本题的关键是明确整式的化简求值的计算方法． 16. 某校开展“强国学习”知识竞赛，现从一队，二队，三队，四队四个队中，随机抽取两个队进行第一轮的抢答PK环节比赛，请用列表或画树状图的方法求出抽到二队和三队比赛的概率． 【答案】 【解析】 【分析】先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出含二队和三队的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：设一队，二队，三队，四队四个队分别用A，B，C，D表示，根据题意，画出树状图，如下： 共有12种等可能结果，其中抽到二队和三队比赛的有2种， ∴抽到二队和三队比赛的概率为． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 17. 图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． （1）在图中的内部画一个格点，连接，使． （2）在图中的边上画一个格点，连接，使． （3）在图中的外部画一个格点，连接，使． 【答案】（1）作图见解析； （2）作图见解析； （3）作图见解析． 【解析】 【分析】（1）在上取格点，根据网格可知是等腰直角三角形，则点在上即可； （2）根据网格可知，等腰三角形的性质可得； （3）利用正切函数的定义找出格点即可． 【小问1详解】 解：如图，在上取格点， 根据网格可知：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴点（或或）即为所求； 【小问2详解】 解：如图， 根据网格可知：， ∴， ∴点即为所求； 【小问3详解】 解：如图，点即为所求， ∵，， ∴， ∴， ∴点即为所求（答案不唯一）． 18. 在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一首数学名诗叫“宝塔装灯”．内容为“远望巍塔七层，红灯点点倍加增：共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”，大致意思是有一座七层高塔，从底层开始，每层安装的灯的数目都是上一层的2倍，共有381盏灯，请你算出塔的顶层有多少盏灯． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设塔的顶层有盏灯，根据“从底层开始，每层安装的灯的数目都是上一层的2倍，共有381盏灯”，列出一元一次方程，解方程即可得出答案，理解题意，正确列出方程是解此题的关键． 【详解】解：设塔的顶层有盏灯， 由题意得：， 解得：， 塔的顶层有盏灯． 19. 如图，在四边形中，，，对角线交于O，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点C作的垂线交其延长线于点E，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了菱形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）先证，再证，得，然后证四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）根据菱形的性质结合三角函数得出，，求出，在中，解直角三角形，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，，， 中，， ，， ，， 过点C作的垂线交其延长线于点E， ， 中，， ． 20. 近年来，肥胖已经成为影响人们身体健康的重要因素，国际上常用身体质量指数（．缩写）来衡量人体肥胖程度以及是否健康，其计算公式是（体重单位：，身高单位：）例如：某人身高，体重，则他的．中国成人的数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．某公司为了解员工的健康情况，随机抽取了一部分员工的体检数据，通过计算得到他们的值并绘制了两幅不完整的统计图． 根据以上信息回答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）抽取的员工的肥胖程度的中位数属于______类别；（填序号） ①偏瘦；②正常；③偏胖；④肥胖 （3）基于上述统计结果，公司建议每个人制定健身计划，员工小张身高，值为，他想通过健身减重使自己的值达到正常，则他的体重至少需要减掉______．（结果精确到） 【答案】（1）见解析 （2）③ （3） 【解析】 【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图，先计算出样本的容量，再计算即可； （2）根据求中位数的方法，计算即可； （3）根据计算公式，代入计算即可． 【小问1详解】 解：如图， 理由：抽取员工总人数为（人）， 则抽取的员工中偏胖的人数为（人）； 【小问2详解】 抽取的员工的肥胖程度按照从偏瘦至肥胖排列，则中位数落在第10，11个人的类别，而第10，11个人均为偏胖类别，故中位数属于偏胖类别； 【小问3详解】 （）， 则他的体重至少需要减掉． 21. 随着地球上的水资源日益枯竭，各级政府越来越重视节约用水．某市民生活用水按“阶梯水价”方式进行收费，人均月生活用水收费标准如图所示，图中 x 表示人均月生活用水的吨数，y 表示收取的人均月生活用水费（元）．请根据图象信息，回答下列问题： (1)该市人均月生活用水的收费标准是：不超过 5 吨，每吨按 元收取； 超过 5 吨的部分，每吨按 元收取； (2)当 x＞5 时，求 y 与 x 的函数关系式； (3)若某个家庭有 5 人，五月份的生活用水费共 76 元，则该家庭这个月用了多少吨生活用水？ 【答案】(1)1.6； 2.4；(2) y＝ x﹣4；(3) 该家庭这个月用了 40 吨生活用水． 【解析】 【分析】(1)分析图像可得答案； (2) 当x＞5时设y＝kx+b，代入（5，8）、（10，20）可得一次函数解析式； （3）把 y＝代入 y＝x﹣4 可得答案. 【详解】（1）该市人均月生活用水的收费标准是：不超过 5 吨，每吨按 1.6 元收取； 超过 5 吨的部分，每吨按 2.4 元收取； 故答案为1.6；2.4； （2）当 x＞5 时，设 y＝kx+b，代入（5，8）、（10，20）得 ， 解得 k＝，b＝﹣4， ∴y＝ x﹣4； （3）把 y＝代入 y＝x﹣4 得 x﹣4＝， 解得 x＝8， 5×8＝40（吨）． 答：该家庭这个月用了 40 吨生活用水． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，根据题意列出并解除一次方程是解题的关键. 22. 【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在上，点B的对应点为点E，折痕为；再沿过点F的直线折叠，使点C落在上，点C的对应点为点H，折痕为；然后连结，沿所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想． 【问题解决】 （1）小亮对上面的猜想进行了证明，下面是部分证明过程： 证明：四边形是矩形， ∴． 由折叠可知，，． ∴． ∴． 请你补全余下的证明过程． 【结论应用】 （2）的度数为________度，的值为_________； （3）在图①的条件下，点P在线段上，且，点Q在线段上，连结、，如图②，设，则的最小值为_________．（用含a的代数式表示） 【答案】（1）见解析 （2）22.5°， （3） 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质可得AD=AF，，由HL可证明结论； （2）根据折叠的性质可得 证明是等腰直角三角形，可求出GF的长，从而可得结论 ； （3）根据题意可知点F与点D关于AG对称，连接PD，则PD为PQ+FQ的最小值，过点P作PR⊥AD，求出PR=AR=，求出DR，根据勾腰定理可得结论． 【小问1详解】 证明：四边形是矩形， ∴． 由折叠可知，，． ∴． ∴． 由折叠得，， ∴ ∴ 又AD=AF，AG=AG ∴ 【小问2详解】 由折叠得，∠ 又∠ ∴∠ 由得，∠ ∠ 又∠ ∴∠ ∴∠ ∴ 设则 ∴ ∴ ∴ 【小问3详解】 如图，连接 ∵ ∴AG是FD的垂直平分线，即点F与点D关于AG轴对称， 连接PD交AG于点Q，则PQ+FQ的最小值为PD的长； 过点P作交AD于点R， ∵∠ ∴∠ ∴ 又 ∴ ∴ 在中， ∴ ∴的最小值为 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，最短路径问题，矩形的性质以及勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键． 23. 如图，在中，，，为锐角，且．动点P从点A出发，沿边向终点C运动，连接，将绕点P顺时针旋转得到线段． （1）点B到的距离为_____； （2）当时，求的长； （3）当点Q在内部时，求的长的取值范围； （4）点D是边上一点，且，当直线与的某一边垂直时，直接写出的长． 【答案】（1）4 （2）1或5 （3） （4）10或9或 【解析】 【分析】（1）过点作于点，解即可； （2）先由勾股定理求解，设，则，再对运用勾股定理建立方程求解即可； （3）找出两个临界位置，即点在和上，结合旋转的性质构造全等三角形，再解直角三角形求解即可； （4）分三种情况讨论：当时，垂足记为点；当时，当时，垂足记为点，分别画出符合题意的图形求解． 【小问1详解】 解：过点作于点， 则， ∴点B到的距离为； 【小问2详解】 解：过点作于点， 则， 设，则 ∵ ∴， 解得或 ∴的长为1或5； 【小问3详解】 解：当点重合时，则，如图： 由旋转可得， ∴此时点在边上，此时； 当点在边上时，如图，过点作于点， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴，， 设 ∵， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴， 解得 此时, ∴点Q在内部时，的长的取值范围为； 【小问4详解】 解：当时，垂足记为点，过点作于点，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴由三角形内角和定理可得， ∴， 设， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴，， ∴， ∴， 解得， ∴； 当时，如图： 同理可得， ∴， ∴， ∴； 当时，垂足记为点，如图： 过点作于点，过点作于点， ∴ ∴此时四边形为矩形， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴设，则 ∵， ∵四边形为矩形， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， 综上：当直线与的某一边垂直时，的长为10或9或． 24. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点，，连接、，抛物线的顶点P在线段和上运动（点P不与点O、B重合）. （1）当点P落在点A处时，求抛物线的解析式； （2）当点P在线段上运动时， ①用只含b的代数式表示点P的坐标； ②当抛物线经过，求b的值； ③如图，当抛物线与y轴交于点C，过点C作轴交抛物线于点D，当时，求c的值； （3）若抛物线与x轴交于M，N两点（点M在点N的左侧），当时，直接写出b的取值范围． 【答案】（1） （2）①；②或；③ （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出二次函数的顶点坐标为，再结合点P落在点处，得出，，计算即可得出结果； （2）①由（1）可得二次函数的顶点坐标为，求出直线的解析式为，结合题意得出，即可得解；②设顶点坐标为，则抛物线的解析式为，结合抛物线经过， 或，求出，即可得出结果；③求出，由②可得，再求出，得到，作于点，则，，解直角三角形得出，即可得出结果； （3）利用二次函数平移的性质，分两种情况，结合解直角三角形以及一次函数的性质，分别计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵， ∴二次函数的顶点坐标为， ∵点P落在点处， ∴，， ∴，， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：①由（1）可得二次函数的顶点坐标为， 设直线的解析式为， 将代入解析式可得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点P在线段上运动， ∴， ∴点的坐标为； ②∵点P在线段上运动， ∴设顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， ∵抛物线经过， ∴， 解得：或， ∵，抛物线为， ∴， ∴或 ③在中，当时，，即， 由②可得：， ∵轴， ∴令，则， ∴， 解得：或， ∴， ∴， 如图，作于点，则， ∵点、关于顶点对称， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：抛物线形状不变，将抛物线平移至（顶点在轴正半轴）， 则， ∴， 令，则， 解得或， ∴， ∴， 当时，， ∴， 解得：或， ∴点的纵坐标为时，符合题意； ∵直线的解析式为， ∴当点在直线上时，， ∵二次函数的顶点坐标为， ∴， ∴； 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴当点在上时，令，则， 解得：， ∴， ∵二次函数的顶点坐标为， ∴， ∴； ∴或时，，如图所示： 抛物线形状不变，将抛物线平移至（顶点在轴正半轴）， 则， ∴， 令，则， 解得或， ∴， ∴， 当时，， ∴， 解得：或， ∴点的纵坐标为1时，符合题意； ∵直线的解析式为， ∴当点在直线上时，， ∵二次函数的顶点坐标为， ∴， ∴； ∴当点在上时，令，则， 解得：， ∴， ∵二次函数的顶点坐标为， ∴， ∴； ∴或时，， 综上所述，当时，b的取值范围为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、求一次函数的解析式、二次函数图象的平移、解直角三角形，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期第五次模拟考试·九年级数学 考试时间：120分钟满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列四个实数中，是正数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列几何体中；主视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的内部时，与之间有一种数量关系始终保持不变，则这种数量关系是（ ） A. B. C. D. 4. 小明在处理一组数据“12，12，28，35，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在30~40之间．则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 5. 如图，数学课上老师让同学们在方格纸上进行如下操作：经过线段外一点C，画线段的垂线段，并测量．同学们发现：点C到点A，B的距离均大于点C到点D的距离这其中蕴含的数学原理是（ ） A. 点到直线的垂线段的长度 B. 直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间的所有连线中，线段最短 6. 如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为37°，同时测得BC=20米，则树的高AB（单位：米）为（ ） A. B. 20tan37° C. D. 20sin37° 7. 如图，在△ABC中，以点C为圆心，任意长为半径作弧，别交AC、BC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线CG交AB于点D，过点D作DH∥BC交AC于点H．若CH＝4，BC＝9，则AH的长为（　　） A. B. C. D. 8. 如图平行四边形的顶点A在反比例函数的图象上，点B在y轴上，点C，D在x轴上，与y轴交于点E，连接，若，则k的值为（　　） A. 4 B. C. 8 D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 计算：=_______． 10. 已知一个三角形的两边长分别为2和5，若第三边的长为整数，则第三边的长可以为______．（写出一个即可） 11. 已知，是一次函数图像上的两个点，则_____．（填“>”、“<”或“=”） 12. 如图，将一张长方形纸条沿折叠，点C、D分别折叠至点、，若，则度数为_________． 13. 如图，矩形的边长，．把绕B逆时针旋转，使C恰好落在上的点E处，线段扫过部分为扇形．则扇形的面积是____________． 14. 如图，是等边的外接圆，点D是弧上一动点（不与A，C重合），弦，交于点H．下列结论：①；②当最长时，；③当时，；④，其中一定正确的结论有__________．（填写正确结论的序号） 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中. 16. 某校开展“强国学习”知识竞赛，现从一队，二队，三队，四队四个队中，随机抽取两个队进行第一轮的抢答PK环节比赛，请用列表或画树状图的方法求出抽到二队和三队比赛的概率． 17. 图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． （1）在图中的内部画一个格点，连接，使． （2）在图中的边上画一个格点，连接，使． （3）在图中的外部画一个格点，连接，使． 18. 在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一首数学名诗叫“宝塔装灯”．内容为“远望巍塔七层，红灯点点倍加增：共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”，大致意思是有一座七层高塔，从底层开始，每层安装的灯的数目都是上一层的2倍，共有381盏灯，请你算出塔的顶层有多少盏灯． 19. 如图，在四边形中，，，对角线交于O，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点C作的垂线交其延长线于点E，若，，求的长． 20. 近年来，肥胖已经成为影响人们身体健康的重要因素，国际上常用身体质量指数（．缩写）来衡量人体肥胖程度以及是否健康，其计算公式是（体重单位：，身高单位：）例如：某人身高，体重，则他的．中国成人的数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．某公司为了解员工的健康情况，随机抽取了一部分员工的体检数据，通过计算得到他们的值并绘制了两幅不完整的统计图． 根据以上信息回答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）抽取的员工的肥胖程度的中位数属于______类别；（填序号） ①偏瘦；②正常；③偏胖；④肥胖 （3）基于上述统计结果，公司建议每个人制定健身计划，员工小张身高，值为，他想通过健身减重使自己的值达到正常，则他的体重至少需要减掉______．（结果精确到） 21. 随着地球上的水资源日益枯竭，各级政府越来越重视节约用水．某市民生活用水按“阶梯水价”方式进行收费，人均月生活用水收费标准如图所示，图中 x 表示人均月生活用水的吨数，y 表示收取的人均月生活用水费（元）．请根据图象信息，回答下列问题： (1)该市人均月生活用水的收费标准是：不超过 5 吨，每吨按 元收取； 超过 5 吨的部分，每吨按 元收取； (2)当 x＞5 时，求 y 与 x 的函数关系式； (3)若某个家庭有 5 人，五月份的生活用水费共 76 元，则该家庭这个月用了多少吨生活用水？ 22. 【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在上，点B的对应点为点E，折痕为；再沿过点F的直线折叠，使点C落在上，点C的对应点为点H，折痕为；然后连结，沿所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想． 【问题解决】 （1）小亮对上面的猜想进行了证明，下面是部分证明过程： 证明：四边形是矩形， ∴． 由折叠可知，，． ∴． ∴． 请你补全余下的证明过程． 【结论应用】 （2）的度数为________度，的值为_________； （3）在图①的条件下，点P在线段上，且，点Q在线段上，连结、，如图②，设，则的最小值为_________．（用含a的代数式表示） 23. 如图，在中，，，为锐角，且．动点P从点A出发，沿边向终点C运动，连接，将绕点P顺时针旋转得到线段． （1）点B到的距离为_____； （2）当时，求的长； （3）当点Q在内部时，求的长的取值范围； （4）点D是边上一点，且，当直线与的某一边垂直时，直接写出的长． 24. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点，，连接、，抛物线的顶点P在线段和上运动（点P不与点O、B重合）. （1）当点P落在点A处时，求抛物线的解析式； （2）当点P在线段上运动时， ①用只含b的代数式表示点P的坐标； ②当抛物线经过，求b的值； ③如图，当抛物线与y轴交于点C，过点C作轴交抛物线于点D，当时，求c的值； （3）若抛物线与x轴交于M，N两点（点M在点N的左侧），当时，直接写出b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $