精品解析：广东高州市第一中学附属实验中学2025-2026学年第二学期学情练习（4月）八年级数学试卷

2025-2026学年度第二学期学情练习（4月）八年级数学试卷 一、单选题（每小题3分共30分）． 1. 如图，在三角形纸片中剪去一个三角形得到四边形，且．纸片中的度数为（ ） A. B. C. D. 2. 下列不等式变形错误的是（ ） A. 若 a＞b，则 1﹣a＜1﹣b B. 若 a＜b，则 ax2≤bx2 C. 若 ac＞bc，则 a＞b D. 若 m＞n，则＞ 3. 下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若，则；③直角都相等；④相等的角是对顶角．它们的逆命题是真命题的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 4. 到三角形三个顶点的距离相等的点是（ ）． A. 三角形两边垂直平分线交点 B. 三角形两个内角平分线交点 C. 三角形两条中线交点 D. 三角形两条高线所在直线的交点 5. 如果一元一次不等式（m+2）x＞m+2的解集为x＜1，则m必须满足的条件是（　　） A. m＜﹣2 B. m≤﹣2 C. m＞﹣2 D. m≥﹣2 6. 如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，平分，于点，点在上．若，面积为9，则的长为（ ） A. 2 B. 6 C. 3 D. 9 8. 下列说法错误的是（ ） A. 的解集是 B. 的整数解有无数个 C. 是的一个解 D. 的整数解为 9. 一次函数与的图象如图所示，下列说法：①对于函数来说，y随x的增大而增大．②，；③不等式的解集是；④．其中正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，在中，，，是边上的高，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（　　） A. 5 B. 6 C. 8 D. 4.8 二、填空题（每小题3分共15分）． 11. 不等式的解集为_________． 12. 如图，在中，边的垂直平分线分别交于点，交于点，如果，，那么的长为___________． 13. 如图，等边中，为的中点，过点作于点，过点作于点，若，则线段的长为________． 14. 运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否"为一次程序操作． 若输入x后，程序操作仅进行了一次就停止．则x的取值范围是____． 15. 如图，在中，，，在上取一点，延长到点，使得，在上取一点，延长到点，使得，在上取一点，延长到点，使得，按此操作进行下去，那么第个三角形的内角_____（用含的式子表示）． 三、解答题（一）（每小题7分共21分） 16. 已知：如图，，、相交于点O，求证：． 17. 解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 18. 如图，在中，． （1）请用尺规作图法，在边上求作一点，使得点到点，的距离相等． （2）在（1）所作图中连接，若，，是直角，求的周长． 四、解答题（二）（每小题9分共27分） 19. 如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC （1）求证：△ABE≌DCE； （2）当∠AEB=50°，求∠EBC的度数． 20. “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元． （1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ （2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，根据学生需求，要求购进甲型号“文房四宝”的数量不低于乙型号“文房四宝”数量的3倍，请计算购进甲、乙两种型号“文房四宝”各多少套时花费最少． 21. 如图，在中，，动点P从点A出发，沿射线以的速度运动，设运动时间为t秒． （1）当为直角三角形时，求t的值； （2）当为等腰三角形时，求t的值． 五、解答题（三）（第22小题13分，第23小题14分共27分） 22. 为迎接店庆，某超市举行促销活动，消费不超过200元的按原价付款，对消费超过200元的顾客实行如下优惠： 一次性购物 优惠方案 超过200元但不超过600元 超过200元不超过600元的部分打八折 超过600元 每满300元减100元 （1）顾客甲一次性购物元，用含x的式子表示他实际付款的钱数； （2）顾客乙一次性购物元，顾客丙一次性购物元，若结账时乙丙两人实际付款金额的差值不超过336元，求x的取值范围； （3）顾客丁购买了如下标价的物品：一个电饭煲445元，五斤排骨（38元/斤），两提牛奶（75元/提），两板鸡蛋（35元/板），一提卷纸27元，一个文具袋6元．他正准备一次性付款时，朋友说可以再买价值元的商品一起一次性付款能支付最少的钱，请直接写出a的值，并计算朋友的方案相较于顾客丁原来的方案能少支付多少钱？ 23. 【问题提出】（1）如图，与均是顶角为的等腰三角形，、分别是底边，求证：； 【类比延伸】（2）如图，与均为等边三角形，点、、在同一直线上，连接．填空：的度数为______；线段与之间的数量关系为______． 【拓展研究】（3）如图，与均为等腰直角三角形，，点、、在同一直线上，于点，连接．请求出的度数及线段、、之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期学情练习（4月）八年级数学试卷 一、单选题（每小题3分共30分）． 1. 如图，在三角形纸片中剪去一个三角形得到四边形，且．纸片中的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先在四边形中，运用四边形内角和为，求出，再在中，根据三角形内角和定理，求出的度数． 【详解】解：∵在四边形中， ， 又∵， ∴， ∵在中， ， ∴． 2. 下列不等式变形错误的是（ ） A. 若 a＞b，则 1﹣a＜1﹣b B. 若 a＜b，则 ax2≤bx2 C. 若 ac＞bc，则 a＞b D. 若 m＞n，则＞ 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，逐项判断即可． 【详解】解：A、∵a＞b， ∴﹣a＜-b，1﹣a＜1﹣b ∴选项A不符合题意； B、∵a＜b，x2≥0， ∴ax2≤bx2， ∴选项B不符合题意； C、∵ac＞bc，c是什么数不明确， ∴a＞b不正确， ∴选项C符合题意； D、∵m＞n， ∴＞， ∴选项D不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质．解题的关键是掌握不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变． 3. 下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若，则；③直角都相等；④相等的角是对顶角．它们的逆命题是真命题的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】先写出命题的逆命题，再对逆命题的真假进行判断即可． 【详解】①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，是真命题； ②若，则的逆命题是若，则，是真命题； ③直角都相等的逆命题是相等的角是直角，是假命题； ④相等的角是对顶角的逆命题是对顶角是相等的角，是真命题； 它们的逆命题是真命题的个数是3个． 故选：B． 【点睛】本题考查了逆命题的判定，平行线的性质，绝对值的意义，直角和对顶角的概念，理解相关性质是关键． 4. 到三角形三个顶点的距离相等的点是（ ）． A. 三角形两边垂直平分线交点 B. 三角形两个内角平分线交点 C. 三角形两条中线交点 D. 三角形两条高线所在直线的交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线上的点到线段两端点的距离相等，进行判断即可． 【详解】到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点． 故选：A． 5. 如果一元一次不等式（m+2）x＞m+2的解集为x＜1，则m必须满足的条件是（　　） A. m＜﹣2 B. m≤﹣2 C. m＞﹣2 D. m≥﹣2 【答案】A 【解析】 【分析】根据解集中不等号的方向发生了改变，得出m+2＜0，求出即可． 【详解】解：∵不等式（m+2）x＞m+2的解集是x＜1， ∴m+2＜0， ∴m＜﹣2， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次不等式，解题关键是明确不等式性质，列出不等式求解． 6. 如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，平行线的性质，掌握以上知识，数形结合分析即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴. 7. 如图，平分，于点，点在上．若，面积为9，则的长为（ ） A. 2 B. 6 C. 3 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质及三角形面积公式．过点作于，根据三角形面积公式求出的长，再根据角平分线的性质可得，从而得出答案． 【详解】解：如图，过点作于， ，， 平分，， ． 8. 下列说法错误的是（ ） A. 的解集是 B. 的整数解有无数个 C. 是的一个解 D. 的整数解为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的解集与解的概念，需逐一分析各选项判断正误． 【详解】解：∵解不等式，两边同时除以（不等号方向改变）， ∴，故A说法正确． ∵小于的整数有，有无数个. ∴B说法正确． ∵解不等式，两边同时除以（不等号方向改变）. ∴，又∵. ∴是该不等式的解，故C说法正确． ∵的整数解除外，还有无数个负整数. ∴D说法错误． 故选：D． 9. 一次函数与的图象如图所示，下列说法：①对于函数来说，y随x的增大而增大．②，；③不等式的解集是；④．其中正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，由两条直线的交点求不等式的解集，掌握一次函数的图象与性质并数形结合是解题的关键． 根据由图象与一次函数的性质可判断①②③的正误，由当时，，即，整理后可判断④的正误． 【详解】解：由图象与一次函数的性质可知，对于函数来说，y随x的增大而增大，正确，故①符合要求； ，，正确，故②符合要求； 由图象可知，，即的解集为，正确，故③符合要求； 当时，，即，整理得，，正确，故④符合要求； 故选：D． 10. 如图，在中，，，是边上的高，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（　　） A. 5 B. 6 C. 8 D. 4.8 【答案】D 【解析】 【分析】作于点E，交于点F，连接，根据等腰三角形的性质得到，，，根据勾股定理得到，根据平行线的性质得到，，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：作于点E，交于点F，连接， ∵在中，，，是边上的中线， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值是． 【点睛】此题重点考查轴对称--最短路线问题，正确地添加辅助线，转化求的长是解题的关键． 二、填空题（每小题3分共15分）． 11. 不等式的解集为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解决此题的关键．先移项，合并同类项，再系数化为即可得解． 【详解】解：， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 故答案为：． 12. 如图，在中，边的垂直平分线分别交于点，交于点，如果，，那么的长为___________． 【答案】8 【解析】 【分析】此题考查了垂直平分线的性质，首先得到，然后根据垂直平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∵边的垂直平分线分别交于点， ∴． 故答案为：8． 13. 如图，等边中，为的中点，过点作于点，过点作于点，若，则线段的长为________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查的是直角三角形的性质、等边三角形的性质， 根据等边三角形的性质得出，再根据直角三角形的性质求出，由题意求出，根据直角三角形的性质求出，计算即可，解题的关键是掌握直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半． 【详解】解：∵是等边三角形， ，， ， ， ， ， 又∵为的中点， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：10． 14. 运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否"为一次程序操作． 若输入x后，程序操作仅进行了一次就停止．则x的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式是解题的关键．根据运行程序，列出不等式，然后求解即可． 【详解】解：依题意得：， 解得． 故答案为：． 15. 如图，在中，，，在上取一点，延长到点，使得，在上取一点，延长到点，使得，在上取一点，延长到点，使得，按此操作进行下去，那么第个三角形的内角_____（用含的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形外角的性质，先根据等腰三角形的性质求出， 的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出 ，及的度数，找出规律即可得出. 的度数，根据题意得出，及的度数，找出规律是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，是的外角， ∴， 同理可得，，，， ∴ 故答案为： ． 三、解答题（一）（每小题7分共21分） 16. 已知：如图，，、相交于点O，求证：． 【答案】 证明：在和中， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】找到隐含的公共边这一条件，通过先证明，从而得到，最后利用等角对等边即可证明结论． 【详解】略 17. 解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】， 在数轴上表示如图： 【解析】 【分析】首先去分母，然后移项合并，系数化为1，即可求得答案．在数轴上表示时：注意此题为空心点，方向向左． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 系数化为1，得：， ∴原不等式的解集是：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，在数轴上表示不等式的解集；解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的步骤． 18. 如图，在中，． （1）请用尺规作图法，在边上求作一点，使得点到点，的距离相等． （2）在（1）所作图中连接，若，，是直角，求的周长． 【答案】（1） 如图，点即为所求， 直线是线段的垂直平分线， ，故点即为所求． （2）18 【解析】 【分析】（1）分别以点、为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧分别交于、两点；作直线，直线与的交点即为点； （2）由作图得，由勾股定理得，从而可求出的周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知． ，，，， ∴由勾股定理得：， 的周长． 四、解答题（二）（每小题9分共27分） 19. 如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC （1）求证：△ABE≌DCE； （2）当∠AEB=50°，求∠EBC的度数． 【答案】（1）证明：∵在△ABE和△DCE中， ， ∴△ABE≌△DCE（AAS） （2）∠EBC=25° 【解析】 【分析】（1）根据AAS即可推出△ABE和△DCE全等． （2）根据三角形全等得出EB=EC，推出∠EBC=∠ECB，根据三角形的外角性质得出∠AEB=2∠EBC，代入求出即可 【详解】解（1）略 （2）∵△ABE≌△DCE， ∴BE=EC， ∴∠EBC=∠ECB， ∵∠EBC+∠ECB=∠AEB=50°， ∴∠EBC=25° 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，解决此题的关键是合理运用三角形的外角性质． 20. “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元． （1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ （2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，根据学生需求，要求购进甲型号“文房四宝”的数量不低于乙型号“文房四宝”数量的3倍，请计算购进甲、乙两种型号“文房四宝”各多少套时花费最少． 【答案】（1） 每套甲型号“文房四宝”的价格为100元，每套乙型号“文房四宝”的价格为60元 （2） 购进甲型号90套，乙型号30套时花费最少 【解析】 【分析】（1）设每套甲型号“文房四宝”的价格为x元，每套乙型号“文房四宝”的价格为y元，根据每套甲型号的“文房四宝”的价格比每套乙型号“文房四宝”的价格贵40元，买5套甲型号“文房四宝”和10套乙型号 “文房四宝”共用1100元，得出方程组，解方程即可； （2）设需购乙型号“文房四宝”m套，则购甲型号“文房四宝”套，花费为w元，根据题意得到w表达式和不等式，解不等式，根据w随m的增大而减小，即可得到结论． 【小问1详解】 解：设每套甲型号“文房四宝”的价格为x元，每套乙型号“文房四宝”的价格为y元， 则， 解得， 答：每套甲型号“文房四宝”的价格为100元，每套乙型号“文房四宝”的价格为60元． 【小问2详解】 解：设需购乙型号“文房四宝”m套，则购甲型号“文房四宝”套，花费为w元． 则， ， 解得， 又∵学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套， ∴且为整数． ∵， ∴w随m的增大而减小， ∵m为整数， ∴当时，w最小， 此时， 故当购买甲90套，乙30套时，所需费用最少． 21. 如图，在中，，动点P从点A出发，沿射线以的速度运动，设运动时间为t秒． （1）当为直角三角形时，求t的值； （2）当为等腰三角形时，求t的值． 【答案】（1）4或 （2）5或8或 【解析】 【分析】（1）依题意，，分情况讨论①，点与点重合，②，勾股定理即可求得的值； （2）分情况讨论：①，直接可得的值，②，根据三线合一可得，③，在中勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 动点P从点A出发，沿射线以的速度运动， ， ①当时，如图，点与点重合， ， ， ②当，，， 在中，， 在中，， ， 解得， 综上所述，或， 【小问2详解】 解：①当时，， ②当时， ， ， ③当时， ，， 在中，， ， 解得． 综上所述，当是等腰三角形时，或或． 【点睛】本题考查了勾股定理和等腰三角形，掌握勾股定理以及分类讨论是解题的关键． 五、解答题（三）（第22小题13分，第23小题14分共27分） 22. 为迎接店庆，某超市举行促销活动，消费不超过200元的按原价付款，对消费超过200元的顾客实行如下优惠： 一次性购物 优惠方案 超过200元但不超过600元 超过200元不超过600元的部分打八折 超过600元 每满300元减100元 （1）顾客甲一次性购物元，用含x的式子表示他实际付款的钱数； （2）顾客乙一次性购物元，顾客丙一次性购物元，若结账时乙丙两人实际付款金额的差值不超过336元，求x的取值范围； （3）顾客丁购买了如下标价的物品：一个电饭煲445元，五斤排骨（38元/斤），两提牛奶（75元/提），两板鸡蛋（35元/板），一提卷纸27元，一个文具袋6元．他正准备一次性付款时，朋友说可以再买价值元的商品一起一次性付款能支付最少的钱，请直接写出a的值，并计算朋友的方案相较于顾客丁原来的方案能少支付多少钱？ 【答案】（1）元 （2） （3），能少支付88元 【解析】 【分析】（1）当时，按超过200元不超过600元的部分八折计算即可； （2）因为顾客乙的费用时，所以按原价付款；而顾客丙的费用，故按超过200元不超过600元的部分八折付款，再根据结账时乙丙两人实际付款金额的差值不超过336元列出不等式求出即可得答案； （3）先求得一次性付款的方案实际付款元，再求得，据此计算即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴超过200元不超过600元的部分打八折， ∴他实际付款元； 【小问2详解】 解：， ∴顾客乙按原价付款元． ， ∴按超过200元不超过600元的部分打八折付款， ∴顾客丙实际付款（元）， ∵若结账时乙丙两人实际付款金额的差值不超过336元， ， 解得， 的取值范围是； 【小问3详解】 解：总费用为（元）， ，∴每满300减100元， ∴一次性付款的方案实际付款元， ， ， 此时总费用为（元）， 实际付款（元）， ∴共少支付（元）． 23. 【问题提出】（1）如图，与均是顶角为的等腰三角形，、分别是底边，求证：； 【类比延伸】（2）如图，与均为等边三角形，点、、在同一直线上，连接．填空：的度数为______；线段与之间的数量关系为______． 【拓展研究】（3）如图，与均为等腰直角三角形，，点、、在同一直线上，于点，连接．请求出的度数及线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】 （1）证明：∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴； （2）120°，； （3）90°，，理由如下： ∵和均为等腰直角三角形， ∴，，，， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 即线段、、之间的数量关系为：． 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的判定方法，判断出△BAD≌△CAE，即可判断出BD=CE． （2）首先根据△ACB和△DAE均为等边三角形，可得AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，据此判断出∠BAD=∠CAE；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△BAD≌△CAE，即可判断出BD=CE，∠ADB=∠AEC； （3）首先根据△ACB和△DAE均为等腰直角三角形，可得AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，据此判断出∠BAD=∠CAE；证明△BAD≌△CAE，得出BD=CE，再根据∠DAE=90°，AD=AE，AM⊥DE，可得AM=DM=EM，得出DE=DM+EM=2CM，判断出AE=BE+2CM即可． 【详解】（1）略 （2）∵△ABC和△ADE均是等边三角形， ∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠ADE=∠AED=60°， ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC， ∴∠BAD=∠CAE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD=CE，∠ADB=∠AEC， ∵∠ADE=60°， ∴∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=120°， 故答案为：120°，BE=AD； （3）略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形的性质，判断出△ABD≌△ACE是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $