精品解析：安徽省A10联盟2025-2026学年高三下学期4月阶段检测数学试题

2026届高三4月质量评估 数学 满分150分，时间120分钟．请在答题卡上作答． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知平面向量，，若，且．则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，若成等比数列，则（ ） A. B. 2 C. D. 4. 已知，则“圆：不经过第四象限”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若事件满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若是曲线上从左往右依次连续相邻的三个交点，且，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，连接，若，则双曲线的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知抛物线的焦点为，准线为．点在抛物线上，则下列说法正确的是（ ） A. 准线的方程为 B. 若，则 C. 过点总能作出两条直线与抛物线仅有1个交点 D. 若，延长与抛物线交于点，则 10. 已知平行六面体中，，，则下列说法正确的是（ ） A. ． B. C. 该平行六面体的体积为 D. 二面角的正弦值为 11. 定义：若函数满足对区间内任意一个实数，总在区间内存在唯一实数，使得，则称函数具有性质．下列说法正确的是（ ） A. 在上具有性质 B. 若在区间上具有性质，则 C. 若在上具有性质，则 D. 已知，则不存在实数，使得在上具有性质 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12. 若集合，则的子集个数为___________． 13. 某校高二（1）班到高二（4）班各篮球代表队准备举行友谊赛，比赛开始前，有四位同学预测比赛结果如下：赵同学说：（2）班是第二名，（4）班是第四名；钱同学说：（2）班是第一名，（3）班是第四名；孙同学说：（1）班是第四名，（4）班是第三名；李同学说：（1）班是第一名，（3）班是第三名．赛后得知，四人的预测都只有一半正确，则第一名是高二___________班． 14. 已知函数，在点处作曲线的切线，其纵截距记为，若对恒成立，则实数的取值范围为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等腰梯形与等腰梯形如图所示，其中，过点作，垂足为．现沿进行翻折，使得点在平面内的投影为点，连接，得到的图形如图所示． （1）求证：平面平面； （2）在图1中，若，，求图2中直线与平面所成角的正弦值． 16. 已知长方形中，，点分别在线段上（不含端点位置），且． （1）若，求的面积； （2）求面积的最小值． 17. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（没有平局，先胜三局者获胜），每局比赛甲获胜的概率为，各局结果相互独立．比赛计分规则如下：若一方以或获胜，则胜者得分，败者得分；若一方以获胜，则胜者得分，败者得分． （1）求甲获得分的概率； （2）若，设甲的总得分为随机变量，求的分布列和数学期望； （3）已知甲在比赛中的总得分的分布列由决定．定义意外指数为，求的最大值． 18. 已知函数． （1）当时，过点作直线与曲线相切，求切点坐标； （2）若，且，求证：（其中为的导数）． （3）若关于的不等式恒成立，求实数的取值构成的集合． 19. 【信息1】已知椭圆的方程还可以由椭圆第二定义（椭圆上的动点满足：到一个定点的距离与到不经过这个定点的一条定直线的距离之比是一个常数，其中）得到． 【信息2】由椭圆的光学性质得到：从焦点处发出的一束光线，射向椭圆上的点，经椭圆反射后经过焦点；继续传播，射向椭圆上的点，经椭圆反射后经过焦点；如此反复．设第次入射点为，规定：当为奇数时，；当为偶数时，． 已知椭圆的焦点为和，点在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）求证：为定值； （3）若，记，，求证：数列为等比数列，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三4月质量评估 数学 满分150分，时间120分钟．请在答题卡上作答． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【详解】由题意， 对应的点坐标为，位于第三象限. 2. 已知平面向量，，若，且．则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平面向量垂直的充要条件（数量积为），以及向量的坐标表示. 根据，的坐标，求出向量的坐标，由，则其数量积为，代入坐标即可建立之间的等量关系，从而求出的值. 【详解】由，，则， 又因为，所以， 所以，化简得， 又，因此. 3. 已知，若成等比数列，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可得，， 则，即，得. 4. 已知，则“圆：不经过第四象限”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合圆不经过第四象限，根据圆心到原点的距离与半径的大小关系列不等式求出的范围，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】圆可化为标准方程为，且， 又，所以，圆心坐标为，半径. 圆心到原点的距离为. 因为圆不经过第四象限，所以，即，解得或（舍去）. 综上，圆不经过第四象限时的取值范围为. 又，所以， 故“圆：不经过第四象限”是“”的充分不必要条件. 5. 若事件满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对立事件的概率公式，可得，根据概率的加法公式，可得，结合全概率公式及条件概率公式，代入求解，即可得答案. 【详解】由，得， 又， 所以， 由，得， 所以. 6. 已知函数，若是曲线上从左往右依次连续相邻的三个交点，且，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用辅助角公式化简，再根据函数图象的平移规律得到函数和的关系，数形结合得到为等腰三角形，通过添加辅助线，得到关于的不等式，进而求解的取值范围. 【详解】 所以将的图象向左平移个单位长度后可得到的图象，如图所示： 是与图象从左往右依次连续相邻的三个交点， 为等腰三角形，， 由,得，即，解得. 过作交于点，则， 为等腰三角形，，， ，，得， ，解得 实数的取值范围为. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，连接，若，则双曲线的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得，，， 又，则， 则，则， 在中，，故， ，则， 综上，双曲线的离心率的取值范围为. 8. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】适当构造函数，根据函数单调性比较大小即可. 【详解】构造函数，求导得， 当时，单调递增，因此，即. 令，得，即. ​，对同时取次方得 ， . 因为幂函数在单调递增，，，故. 综上. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知抛物线的焦点为，准线为．点在抛物线上，则下列说法正确的是（ ） A. 准线的方程为 B. 若，则 C. 过点总能作出两条直线与抛物线仅有1个交点 D. 若，延长与抛物线交于点，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据抛物线的标准方程及性质，结合直线与抛物线的位置关系逐项分析判断即可. 【详解】选项A：抛物线方程可化为标准形式为：，则焦点为，准线方程为，A错误. 选项B：抛物线的焦半径公式为，则，B正确. 选项C：点在抛物线上，则过点能作出1条切线与抛物线仅有1个交点； 当过点的直线与轴平行时，仅有1个交点，满足题意， 故过点总能作出两条直线与抛物线仅有1个交点，C正确. 选项D：已知，则，即. 又，则直线方程为，代入中可得，. 所以，D错误. 10. 已知平行六面体中，，，则下列说法正确的是（ ） A. ． B. C. 该平行六面体的体积为 D. 二面角的正弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由即可判断A；由即可判断B；求出即可由正弦定理和柱体体积公式计算求解判断C；取AD中点O，连接得到是二面角的一个平面角，再计算即可求解二面角的正弦值. 【详解】由题可得， 因为，所以， 所以即，A正确； 因为 所以不垂直，B错误； 因为四面体为正四面体，故顶点在底面的投影落在直线上， 因为， ， 所以，所以， 所以该平行六面体的体积为， C正确； 取AD中点O，连接，则由题意易知， 所以是二面角的一个平面角， 因为， 则， ， 所以， 所以二面角的正弦值为，D正确. 11. 定义：若函数满足对区间内任意一个实数，总在区间内存在唯一实数，使得，则称函数具有性质．下列说法正确的是（ ） A. 在上具有性质 B. 若在区间上具有性质，则 C. 若在上具有性质，则 D. 已知，则不存在实数，使得在上具有性质 【答案】BCD 【解析】 【分析】A利用基本不等式求出最小值即可判断；BC根据函数的单调性求出值域，再将问题转化为使得，根据值域的包含关系求出结论；D，分函数在上不单调和单调两种情况讨论，结合函数新定义判断即可. 【详解】当时，，等号成立时， 则当时有， 故在上不具有性质，故A错误； 因为在区间上单调递增，所以， 由题意可知，使得，即， 则，得， 即，得，得，故B正确； 因为在上单调递减，所以，， 由题意得，使得，即， 则，得，得，故C正确； 假设在上具有性质， 若函数在上不单调， 则存在与不相等的实数，使得， 因为，所以， 与性质中的唯一性矛盾，不满足定义； 若函数在上单调递增，设的最大值为M， 若，当时，，则不存在使得； 若，存在，则不存在使得； 故不存在实数，使得在上具有性质，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12. 若集合，则的子集个数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦（型）函数的性质解不等式，结合集合交集运算以及集合子集个数的计算即可. 【详解】由，则， 即：， 因为， 当时，， 当时，得， 当时，得， 当时，， 所以，所以的子集个数为个. 13. 某校高二（1）班到高二（4）班各篮球代表队准备举行友谊赛，比赛开始前，有四位同学预测比赛结果如下：赵同学说：（2）班是第二名，（4）班是第四名；钱同学说：（2）班是第一名，（3）班是第四名；孙同学说：（1）班是第四名，（4）班是第三名；李同学说：（1）班是第一名，（3）班是第三名．赛后得知，四人的预测都只有一半正确，则第一名是高二___________班． 【答案】（1） 【解析】 【分析】通过假设，结合每个人的预测都只对一半，然后推理可得. 【详解】因为每个人的预测都只对一半， 如果赵同学说（2）班是第二名正确的，（4）班是第四名错误的， 则钱同学说（2）班是第一名错误的，说（3）班第四名是正确的， 那么李同学说（3）班是第三名是错误的，则（1）班是第一名是正确的， 那么孙同学说（1）班是第四名错误，则（4）班第三名正确， 即（1）班第一名，（2）班第二名，（3）班第四名，（4）班第三名，这种情况成立； 如果赵同学说（2）班是第二名错误的，（4）班是第四名正确的， 则孙同学说（4）班是第三名是错误的，（1）班是第四名正确的， 那么李同学说（1）班是第一名是错误的，（3）班是第三名是正确的． 那么钱同学说（3）班是第四名是错误的，（2）班是第一名正确的， 即（1）班是第四名，（2）班是第一名，（3）班是第三名，（4）班是第四名， 矛盾，所以这种情况不成立. 14. 已知函数，在点处作曲线的切线，其纵截距记为，若对恒成立，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求出点处的切线方程，得到截距，再根据裂项相消法求出的表达式，最后解不等式的恒成立问题即可． 【详解】由题意得，，， 因为，故点处的切线方程为， 则，所以， 则， 结合题意可得， 所以，可得， 的取值范围为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等腰梯形与等腰梯形如图所示，其中，过点作，垂足为．现沿进行翻折，使得点在平面内的投影为点，连接，得到的图形如图所示． （1）求证：平面平面； （2）在图1中，若，，求图2中直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，结合，根据线面垂直判定定理证明平面，再由面面垂直判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求直线的方向向量与平面的法向量，利用向量夹角公式求结论. 【小问1详解】 因为翻折后点在平面内的投影为， 所以平面， 又平面， 因此，又，，平面， 所以平面，平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 由已知， 等腰梯形中，， 由，得​， 所以，故， 因为平面，平面， 所以，又，， 所以， 因为平面， 又平面， 所以，又，， 所以， 以为原点，，，分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系， 则 所以，，， 设平面的法向量为， 则，故， 所以，取，可得， 所以为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 16. 已知长方形中，，点分别在线段上（不含端点位置），且． （1）若，求的面积； （2）求面积的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知依次求出和即可计算求解； （2）由题设设，求出即可由正弦定理的面积公式结合三角恒等变换公式以及三角函数性质计算求解. 【小问1详解】 因为，， 所以， 又，， 所以， ， 所以， 所以的面积为 ； 【小问2详解】 由题可设，则， 又，所以，， 所以面积为， 因为，所以，所以， 所以，则， 所以面积的最小值为. 17. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（没有平局，先胜三局者获胜），每局比赛甲获胜的概率为，各局结果相互独立．比赛计分规则如下：若一方以或获胜，则胜者得分，败者得分；若一方以获胜，则胜者得分，败者得分． （1）求甲获得分的概率； （2）若，设甲的总得分为随机变量，求的分布列和数学期望； （3）已知甲在比赛中的总得分的分布列由决定．定义意外指数为，求的最大值． 【答案】（1） （2）的分布列为： ​ 数学期望为. （3） 【解析】 【分析】（1）甲获得分，有和获胜两种情况，根据事件的相互独立性和互斥事件的加法即可求解； （2）先确定随机变量的所有可能取值，再分别计算每个取值的概率，列出分布列，最后根据数学期望的公式计算； （3）先求出的表达式，再利用均值不等式得到表达式的最大值. 【小问1详解】 根据题意，每局比赛甲获胜的概率为，各局结果相互独立． 甲获胜时，概率为； 甲获胜时，前局甲胜局输局，第局甲胜，概率为； 因此甲得分的概率为. 【小问2详解】 甲的总得分的可能取值为，  ；​ 对应甲获胜，前局甲胜局输局，第局甲胜：  ；​ 对应乙获胜，前局乙胜局输局，第局乙胜：  ；​ 对应乙或获胜，.​ 的分布列为： ​ 数学期望为. 【小问3详解】 由定义， 代入得 由基本不等式​，当且仅当即​时取等号. 因此 ，即的最大值为. 18. 已知函数． （1）当时，过点作直线与曲线相切，求切点坐标； （2）若，且，求证：（其中为的导数）． （3）若关于的不等式恒成立，求实数的取值构成的集合． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）设切点为，利用导数的几何意义求切线方程，结合切线过点可得，设函数，判断函数单调性，结合单调性解方程求即可； （2）由条件可得要证明只需证明，令，则需证明，设，利用导数证明结论即可； （3）设，条件可转化为函数的最大值小于等于，利用导数求函数的最大值，结合，可得，由此可求的取值集合. 【小问1详解】 由已知当时，，函数的定义域为， 所以， 设切点为，切线斜率， 所以切线方程为 因为切线过点，所以， 故，  设函数，因为函数和函数在单调递增， 所以函数在单调递增，且， 故，， 所以切点坐标为； 【小问2详解】 因为，， 所以，即， 要证，只需证明， 只需证明，又， 故只需证明， 令，则，故只需证明， 设，则 ，  故在单调递增，所以， 即不等式成立， 所以； 【小问3详解】 由有意义得， 由已知对恒成立， 设，则​， 令，由得或（舍去）， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以当时，函数取最大值，最大值为， 又， 结合  恒成立，可得， 所以，所以， 所以 综上所述，的取值构成的集合为. 19. 【信息1】已知椭圆的方程还可以由椭圆第二定义（椭圆上的动点满足：到一个定点的距离与到不经过这个定点的一条定直线的距离之比是一个常数，其中）得到． 【信息2】由椭圆的光学性质得到：从焦点处发出的一束光线，射向椭圆上的点，经椭圆反射后经过焦点；继续传播，射向椭圆上的点，经椭圆反射后经过焦点；如此反复．设第次入射点为，规定：当为奇数时，；当为偶数时，． 已知椭圆的焦点为和，点在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）求证：为定值； （3）若，记，，求证：数列为等比数列，． 【答案】（1） （2）证明见解析； （3）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用待定系数法求解即可； （2）由椭圆的光学性质得，，三点共线，设所在直线方程为，进而结合椭圆的第二定义，根据韦达定理化简整理即可证明. （3）由椭圆的对称性得，则，再结合椭圆的定义得，进而建立递推关系，结合等比数列定义证明数列为等比数列，即可求得通项公式得 ，最后结合等比数列求和公式求解即可. 【小问1详解】 由题知椭圆焦点在轴上，设方程为， 因为焦点为和，点在椭圆上 所以，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 设，， 因为当为奇数时，； 所以，，，三点共线， 故设所在直线方程为， 联立方程，得， 所以，， 所以，由椭圆的第二定义，， 所以， 因为， ， 所以 ， 综上， 【小问3详解】 由（2）知，即， 由椭圆的对称性可知，， 所以，则， 由椭圆的定义得， 所以， 因为， 所以 ， 又，， 所以数列为等比数列，首项为，公比为， 所以，整理得， 所以 ， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $