精品解析：江苏省苏州市吴中区南京航空航天大学苏州附属中学2025-2026学年高一下学期4月月考数学试题

南航苏州附中2025-2026学年第二学期高一年级四月限时训练 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 向量与共线，则的值为（ ） A. -4 B. 4 C. 9 D. -9 【答案】A 【解析】 【详解】由向量与共线，得， 所以. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合诱导公式，根据两角和的正弦公式的逆用化简计算即可. 【详解】易知. 故选：D. 3. 若是第一象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角正切公式得到方程，解得即可. 【详解】因为，所以，解得或， 又是第一象限角，所以. 故选：C 4. 已知平面向量满足，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，两边同时平方得， 整理得：，， 所以与的夹角为. 5. 在四边形中，，，，则四边形的面积为（ ） A. B. 4 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量关系确定四边形的形状为梯形，再结合向量的坐标运算得梯形相关长度即可求得梯形的面积. 【详解】因为在四边形中，， 所以且，则四边形为梯形， 又，，所以， 则，且，则， 所以四边形的面积为. 故选：B. 6. 已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C所对的边，若，，，则此三角形有（ ） A. 两解 B. 一解 C. 无解 D. 无穷多解 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理求出的值，结合正弦函数的图像和三角形内角和得到结论. 【详解】，，，， ，， ，或 当时，，，不符合三角形内角和定理，故舍去， 则只有一个解，故此三角形只有一个解. 故选：B. 7. 如图所示，在中，，，，是的中点，点在上，且.则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基底表示向量，再利用数量积的运算律求解. 【详解】由，得. 由是的中点知，，且，得， 所以. 则 . 故选：B. 8. 在中，为边上的中点，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理及向量数量积的运算律求出，再利用三角形面积公式求解. 【详解】在中，由余弦定理得， 而，则， 两式联立解得，所以的面积为. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分.错选不得分，漏选得部分分. 9. 已知向量，则下列结论中正确的是（ ） A. 与可以作为所在平面的一组基底 B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，判断出与不平行，所以与可以作为所在平面的一组基底，A正确；B选项，，由模长公式进行求解；C选项，计算出，；D选项，由夹角余弦公式进行求解. 【详解】A选项，，， 故与不平行，所以与可以作为所在平面的一组基底，A正确； B选项，，故，B错误； C选项，， 所以，故，C正确； D选项，，D错误. 故选：AC 10. 在中，，点为直线上的点.则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当为的角平分线时， D. 当时，为的角平分线 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据各个选项所给的条件，利用正弦定理解三角形即可得到答案. 【详解】解：A，当时，在中，，故A对； B，当时，在中，由正弦定理得：，解得， 因为，所以，即，故B正确； C，当为的角平分线时，则，在中，由正弦定理得：，则，故C正确； D，当时，在中，由正弦定理得：，则，因为，所以或，或，当时，与重合，故不一定为的角平分线，故D错误. 故选：ABC. 11. 函数，下列结论正确的有（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数的图象关于直线对称 C. 若关于的方程在上有两个不相等的实数根，则 D. 函数的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，画出函数图象或整体思想分析可判断选项A，B；方程根的个数问题转化为函数图象交点个数问题可判断选项C；利用同角三角函数的关系化简函数解析式可判断选项D． 【详解】， 对于A，由，得，而在上单调递增，故函数在上单调递增，A正确； 对于B，，故函数的图象不关于直线对称，B错误； 对于C，由，可得，由，得， 因为在上单调递增，在上单调递减， 且当，即时，，当，即时，， 当，即时，， 要使方程在上有两个不相等的实数根， ，故，C错误； 对于D，因 ， 因，则当时，取得最大值，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用诱导公式及二倍角的余弦公式求解. 【详解】由，得 . 故答案为： 13. 如图，在边长为1的正方形ABCD中，，F为线段BE的中点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【详解】如图：以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系. 则，，，. 由，得分的比为，故. 为中点，故，即. ，. . 14. 如图，由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成一个较大的等边三角形，其中，则的值为______；设，则______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用建系的方法，假设，根据，利用余弦定理可得长度，由正弦定理求出大小正三角形的面积，即可求得的值；然后计算，可得点坐标，最后根据点坐标，可得结果. 【详解】由，设，则，， 如图 由题可知：， 在中，由余弦定理可得， 即，则， 可得小三角形面积，大三角形面积， 所以； 因为， 在中，由正弦定理可得， 且为锐角，则，可知， 可得，， 若，则，解得， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，且是锐角． （1）求的值； （2）求和的值； （3）求和的值． 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的关系式即可求出； （2）利用二倍角公式即可； （3）利用两角差的正切公式和两角和的正弦公式即可求出. 【小问1详解】 ，且是锐角，， . 【小问2详解】 根据二倍角公式可得， . 【小问3详解】 根据两角差的正切公式得， 根据两角和的正弦公式得. 16. 已知． （1）若与共线，求k的值； （2）若与的夹角为，求k的值； （3）求向量和向量的夹角，并求出向量在向量上的投影向量． 【答案】（1） （2） （3）； 【解析】 【分析】（1）根据线性运算的坐标表示，向量共线列方程求解； （2）利用垂直向量的数量积为0求解； （3）根据向量数量积的概念和投影向量的概念求解. 【小问1详解】 ，， 又与共线，，解得. 【小问2详解】 ， 又与的夹角为， ，解得. 【小问3详解】 ，， ，又因为, 故向量和向量的夹角为， 向量在向量上投影向量为. 17. 在中，． （1）若，求的值和的面积； （2）若，求角的大小； （3）若的周长为，求的面积． 【答案】（1），； （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）由余弦定理求的值，利用面积公式求解三角形的面积 （2）求得，，利用，求解即可. （3）由的周长为，可得，结合余弦定理可得，并求得，代入面积公式求解即可. 【小问1详解】 由余弦定理可得， 即， 整理得， 解得(负根舍去)； 因为， 所以， 所以； 【小问2详解】 因为，， 所以，， 所以 ， 又因为， 所以； 【小问3详解】 因为的周长为， 所以， 所以， 由余弦定理可得， 即， 所以， 解得， 又因为， 所以； 18. 已知中，角所对的边分别为，满足． （1）求角的大小； （2）若，求周长的最大值； （3）若，为线段上一点，满足，求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将已知条件进行边角转化，利用三角恒等变换求解即可； （2）结合余弦定理及基本不等式求解即可； （3）设，利用余弦定理及与互补，可得①，在中，由余弦定理可得②，由①②，求得，代入面积公式求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以． 整理得：， 即，， 而,故，又因为，所以； 【小问2详解】 ，， 由余弦定理可得：， 即， 又因为，当且仅当时，等号成立； 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以周长，当且仅当时，等号成立， 所以周长的最大值为； 【小问3详解】 如图所示： 设， 则， 在中，由余弦定理可得： ， 在中，由余弦定理可得： ， 又因为与互补， 所以， 所以①， 在中，由余弦定理可得： ， 整理得，② 由①②可得：， 解得， 所以 19. 如图所示，在中，，，，，． （1）用表示； （2）若，，是否存在实数使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； （3）若O是内一点，且满足（），求的最小值． 【答案】（1）；； （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）结合条件，根据向量的线性关系，即可求解； （2）利用基底表示向量和，再结合垂直关系的向量运算，即可求解； （3）首先由向量的线性运算关系推出点三点共线，，再结合基本不等式求最值，并化简，求最值. 【小问1详解】 由题意可得：；； 且. 【小问2详解】 由题意可知：，，， 设， 因为， 因为，则， 可得 即，解得， 所以存在点，使得. 【小问3详解】 因为，则， 因为，则， 可得，即， 则，可知三点共线， 且， 当且仅当时，即为中点时等号成立， 则， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南航苏州附中2025-2026学年第二学期高一年级四月限时训练 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 向量与共线，则的值为（ ） A. -4 B. 4 C. 9 D. -9 2. （ ） A. B. C. D. 3. 若是第一象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面向量满足，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 在四边形中，，，，则四边形的面积为（ ） A. B. 4 C. D. 6 6. 已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C所对的边，若，，，则此三角形有（ ） A. 两解 B. 一解 C. 无解 D. 无穷多解 7. 如图所示，在中，，，，是的中点，点在上，且.则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，为边上的中点，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分.错选不得分，漏选得部分分. 9. 已知向量，则下列结论中正确的是（ ） A. 与可以作为所在平面的一组基底 B. C. D. 10. 在中，，点为直线上的点.则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当为的角平分线时， D. 当时，为的角平分线 11. 函数，下列结论正确的有（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数的图象关于直线对称 C. 若关于的方程在上有两个不相等的实数根，则 D. 函数的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则________. 13. 如图，在边长为1的正方形ABCD中，，F为线段BE的中点，则的值为______． 14. 如图，由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成一个较大的等边三角形，其中，则的值为______；设，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，且是锐角． （1）求的值； （2）求和的值； （3）求和的值． 16. 已知． （1）若与共线，求k的值； （2）若与的夹角为，求k的值； （3）求向量和向量的夹角，并求出向量在向量上的投影向量． 17. 在中，． （1）若，求的值和的面积； （2）若，求角的大小； （3）若的周长为，求的面积． 18. 已知中，角所对的边分别为，满足． （1）求角的大小； （2）若，求周长的最大值； （3）若，为线段上一点，满足，求的面积． 19. 如图所示，在中，，，，，． （1）用表示； （2）若，，是否存在实数使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； （3）若O是内一点，且满足（），求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $