精品解析：江苏省苏州市高新区苏州大学附属中学2025-2026学年高一下学期4月月考数学试题

苏大附中2025-2026学年4月阶段诊断 高一年级数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，且，则实数的值是（ ）. A. 1 B. C. 4 D. 2. 在中，若，则的值为（ ）. A. B. C. D. 1 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知非零向量，满足，向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. 0 B. 1 C. 8 D. 4 5. 在中，，为线段上的点，且.若，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，为了测量河对岸两点之间的距离，在河岸这边找到在同一直线上的三点.从点测得，从点测得，从点测得.若测得（单位：百米），则两点的距离为（ ）百米. A. B. C. D. 3 7. 在中，内角的对边分别为，则一定为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 钝角三角形 8. 在中，角的对边分别为是边上的中点，则中线的长等于（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的图象如下图所示，下列说法正确的是（ ） A. 的解折式为 B. 函数的图象关于点中心对称 C. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到的新函数为奇函数 D. 函数图象的对称轴方程是 10. 的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若为钝角三角形，则 C. 若，，，则有两解 D. 若为斜三角形，则 11. 点O在所在的平面内,则以下说法正确的有 A. 若,则点O为的重心 B. 若,则点O为的垂心 C. 若,则点O为的外心 D. 若,则点O为的内心 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知在中，，则等于______． 13. 若是夹角为的两个单位向量，则和的夹角的余弦值是______． 14. 在中，角的对边分别为，，，则外接圆半径为_______，若有最大值，则实数的取值范围是_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知锐角，满足， （1）求的值． （2）求的大小． 16. 已知函数图象的相邻两条对称轴间的距离为. （1）求的值及函数的单调递增区间； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． （1）求角B； （2）若，角B的角平分线交AC于点D，，求的周长． 18. 如图，在梯形ABCD中，，，，且，E是线段AB上一点，且，F为线段BC上一动点． （1）求的大小； （2）若F为线段BC的中点，直线AF与DE相交于点M，求； （3）求的取值范围． 19. 在面积为S的中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求C的值； （2）若，求周长的最大值； （3）若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏大附中2025-2026学年4月阶段诊断 高一年级数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，且，则实数的值是（ ）. A. 1 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量平行的坐标关系列式计算可得结果. 【详解】由，则有，解得. 故选：A 2. 在中，若，则的值为（ ）. A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理可得答案. 【详解】由正弦定理得，则. 故选：C 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式，即可求解. 【详解】由，得． 4. 已知非零向量，满足，向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. 0 B. 1 C. 8 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的投影向量的定义，列式求解，即可得答案. 【详解】由于向量在向量上的投影向量为， 故可得，即，所以， 故选：C 5. 在中，，为线段上的点，且.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】转化，结合余弦定理，即可求解x,得到. 【详解】不妨设 由余弦定理： 联立得到： 故选：B 【点睛】本题考查了解三角形和向量综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 6. 如图，为了测量河对岸两点之间的距离，在河岸这边找到在同一直线上的三点.从点测得，从点测得，从点测得.若测得（单位：百米），则两点的距离为（ ）百米. A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，结合三角形的性质，正弦定理，余弦定理，即可求解. 【详解】在中，，， 则，， 在中，，，， 则， ， ， 在中，，， 则， . 故选：D. 7. 在中，内角的对边分别为，则一定为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 钝角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】先利用二倍角的余弦公式对等式进行化简，消去半角形式，化简后等式中含有边和角的混合形式，所以考虑利用正弦定理将边转化为角的正弦形式，再结合诱导公式对等式中的角进行转化，整理后得到角之间的关系，进而判断三角形的形状. 【详解】在中， , 则，即， 则，即得, 由于，故，结合，可得， 即一定为直角三角形， 8. 在中，角的对边分别为是边上的中点，则中线的长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由余弦定理得，然后利用中线的向量表示得，利用数量积的运算律及模的运算公式求解的长即可. 【详解】由余弦定理得，解得（负根已舍去）， 因为是边上的中点即， 所以， 所以. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的图象如下图所示，下列说法正确的是（ ） A. 的解折式为 B. 函数的图象关于点中心对称 C. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到的新函数为奇函数 D. 函数图象的对称轴方程是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象可确定最小正周期，进而得到；利用可求得，进而得到，知A正确；根据图象可确定B错误；根据三角函数平移变换和正弦型函数奇偶性可知C正确；利用整体代换法可求得对称轴方程，可知D正确. 【详解】对于A，由图象知：，，解得：； ，，解得：， 又，，，A正确； 对于B，由图象可知：是的一条对称轴，B错误； 对于C，向右平移个单位长度得：， ，所得函数为奇函数，C正确； 对于D，令，解得：， 的对称轴为，D正确. 故选：ACD. 10. 的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若为钝角三角形，则 C. 若，，，则有两解 D. 若为斜三角形，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据正弦定理，结合大边对大角判定；对于B，根据余弦定理判断；对于C，根据判断；对于D，结合正切的和角公式化简判断. 【详解】对于A，由得，由正弦定理得，又，所以，故A选项正确； 对于B，为钝角三角形且为钝角时，，即，当不为钝角时，不成立，故B选项错误； 对于C，因为，，，，如图，故有两解，C选项正确； 对于D，因为为斜三角形，故均不取直角，均有意义， 因为， 所以， 所以，故D选项正确. 11. 点O在所在的平面内,则以下说法正确的有 A. 若,则点O为的重心 B. 若,则点O为的垂心 C. 若,则点O为的外心 D. 若,则点O为的内心 【答案】AC 【解析】 【分析】 逐项进行分析即可. 【详解】解：选项A，设D为的中点，由于，所以为边上中线的三等分点(靠近点D)，所以O为的重心； 选项B，向量分别表示在边和上的单位向量，设为和，则它们的差是向量，则当，即时，点O在的平分线上，同理由，知点O在的平分线上，故O为的内心； 选项C，是以为邻边的平行四边形的一条对角线，而是该平行四边形的另一条对角线，表示这个平行四边形是菱形，即，同理有，于是O为的外心； 选项D，由得， ∴，即， ∴．同理可证， ∴，，，即点O是的垂心； 故选：AC． 【点睛】本题主要考查平面向量在三角形中的应用，考查向量的数量积，考查三角形的“五心”，属于中档题． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知在中，，则等于______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设，再结合余弦定理求解即可. 【详解】因为在中，， 所以，设， 所以 13. 若是夹角为的两个单位向量，则和的夹角的余弦值是______． 【答案】 【解析】 【详解】， ， ， 所以 14. 在中，角的对边分别为，，，则外接圆半径为_______，若有最大值，则实数的取值范围是_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据正弦定理求外接圆半径；将边化为角，运用辅助角公式化简，根据三角函数性质求最值得的取值范围. 【详解】已知，， ，. ， 设， ，其中， 要使取得最大值，需且， 因为，所以，则， 解不等式， 且， . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知锐角，满足， （1）求的值． （2）求的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角关系可得，再结合倍角公式运算求解； （2）先根据同角三角关系求，再利用两家和差公式可求，即可得结果. 【小问1详解】 因为，，则，， 所以. 【小问2详解】 因为，，则， 则， 且，所以. 16. 已知函数图象的相邻两条对称轴间的距离为. （1）求的值及函数的单调递增区间； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）; （2） 【解析】 【分析】（1）借助三角恒等变形来整理，利用周期性来求，结合正弦函数的单调增区间，即可求出该函数的单调递增区间； （2）利用图象的变换求出函数的解析式，再通过定义域求出值域，从而来找到满足不等式恒成立的条件，最后可求解的取值范围. 【小问1详解】 由， 由其图象的相邻两条对称轴间的距离为，可知最小正周期为， 因为，所以，即， 由，，解得，， 所以函数的单调递增区间为，. 【小问2详解】 将函数的图象向右平移个单位长度可得，， 再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象， 即， 对任意的，有，此时， 此时有， 要使得不等式恒成立，则只需要满足，解得或， 故实数的取值范围这. 17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． （1）求角B； （2）若，角B的角平分线交AC于点D，，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由结合三角形的面积公式得出，结合余弦定理可求得的值，即可得出的周长. 【小问1详解】 因为及正弦定理，得， 而，则， 所以， 即， 因为、，则，所以，可得，故. 【小问2详解】 因为，即， 可得①， 由余弦定理可得②， 联立①②可得，即， 因为，解得，故的周长为. 18. 如图，在梯形ABCD中，，，，且，E是线段AB上一点，且，F为线段BC上一动点． （1）求的大小； （2）若F为线段BC的中点，直线AF与DE相交于点M，求； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，，根据与的夹角和与的夹角相同，并设为，，结合题意、平面向量的线性运算、数量积公式、模长公式即可求解，进而得到的大小； （2）如图，过点作于，先求得，的值，则以为原点，以，所在的直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系，再根据平面向量的夹角公式即可求解； （3）结合（2），设，，得到点的坐标，从而得到，，进而得到表示为关于的二次函数，再根据二次函数的性质即可得到的取值范围． 【小问1详解】 连接，， 由，，， 则，， 所以与的夹角和与的夹角相同，并设为，， 则 ， 又，即，得， 又，则，即． 【小问2详解】 如图，过点作于， 则，， 故以为原点，以，所在的直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系， 则，，，，， 又F为线段BC的中点，则， 所以，， 所以． 【小问3详解】 结合（2），得， 设，，则， 所以，， 所以， 又，则当时，；当时，， 所以的取值范围为． 19. 在面积为S的中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求C的值； （2）若，求周长的最大值； （3）若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和三角形面积公式化角为边后，再运用余弦定理即可求得； （2）根据余弦定理化简后，利用基本不等式即可求得的最大值，即得周长最大值； （3）利用三角形面积相等得到，根据正弦定理，将边分别用角表示，利用三角恒等变换将三角形面积表示成，求得的取值范围，利用正弦函数的值域即可求得面积的取值范围. 【小问1详解】 由和正弦定理，三角形面积公式可得，， 因，故得，， 由余弦定理，，因，则； 【小问2详解】 由余弦定理，，即， 整理得，，当且仅当时等号成立，即， 于是，，即当时，周长的最大值为； 【小问3详解】 由可得， 由正弦定理，，即得，，, 则 , 由为锐角三角形可得，，解得，， 则，由正弦函数的图象知，，故得， 即面积的取值范围为. 【点睛】思路点睛：对于三角形的周长最大值，可考虑余弦定理和基本不等式相结合解决；对于三角形面积的范围，一般考虑利用正、余弦定理将面积化成与正弦型函数相关的解析式，利用三角函数的值域求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $