精品解析：江苏省扬州市宝应县氾水高级中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题

氾水高级中学第二次阶段考试高二数学试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 若全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据补集和交集的定义即可得解. 【详解】解：因为，集合，， 所以， 所以. 故选：B. 2. 若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由特称命题的真假即可求实数的取值范围. 【详解】若命题“”是假命题，则“”为真命题 又对于函数，当时，取到最小值，所以恒成立 故实数的取值范围是. 故选：B. 3. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为.若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到，进而得到方程组，求得的值，即可求解. 【详解】由直线的方向向量为，平面的法向量为， 因为，可得，所以， 即，解得，所以. 故选：A. 4. 已知是函数的导函数，且的图像如图所示， 则函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数图象判断出函数的单调性即可得出. 【详解】根据导函数的图象可得，当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减， 所以只有D选项符合. 故选：D. 5. 某小吃店的日盈利（单位：百元）与当天平均气温（单位：）之间有如下数据： 0 1 2 百元 5 4 2 1 经分析知，与之间有较强的线性关系，其线性回归直线方程为，则（ ） A. 3 B. 2.8 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】求出，，根据回归直线方程必过样本中心点，代入计算即可. 【详解】依题意，， 又回归直线方程必过样本中心点， 所以，解得. 故选：C 6. 的展开式的各项系数和为243，则该展开式中的系数是（ ）． A. 5 B. C. D. 100 【答案】C 【解析】 【分析】 的展开式的各项系数和为的值，求出的值，根据产生的项可求其系数 【详解】解：， 所以 =展开式中的系数是： 故选：C 【点睛】考查二项展开式中各项系数的和的求法和求特定的项；基础题. 7. 假设甲袋中有3个白球和3个红球，乙袋中有2个白球和2个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球．已知从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用全概率公式及贝叶斯公式计算可得. 【详解】设从甲中取出个球，其中红球的个数为个的事件为，事件的概率为， 从乙中取出个球，其中红球的个数为个的事件为，事件的概率为，由题意： ①，； ②，； ③，； 所以 所以， 即已知从乙袋中取出的是个红球，则从甲袋中取出的也是个红球的概率为. 故选：C. 8. 定义：如果函数y＝f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足，则称函数y＝f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，如y＝x2是[﹣1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点，现有函数f（x）＝x3+tx是[﹣1，1]上的平均值函数，则实数t的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】函数是区间[﹣1，1]上的平均值函数，故有在（﹣1，1）内有实数根，进而可得方程在（﹣1，1）上有根，即可求出t的取值范围． 【详解】∵函数是区间[﹣1，1]上的平均值函数， 故有即在（﹣1，1）内有实数根，则有根， 所以x＝1或. 又1∉（﹣1，1） ∴方程在（﹣1，1）上有根， 因为，而当时，， 于是. 故选：A． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分.共18分、在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分.部分选对的得部分分） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 公式中的L和W具有相关关系 B. 回归直线恒过样本点的中心 C. 相关系数r的绝对值越接近1，则两个变量的相关性越强 D. 对分类变量x与y的随机变量来说，越小，判断“x与y有关系”的把握越大 【答案】BC 【解析】 【分析】利用变量间相关关系的概念与性质，可判断A、C选项；由回归直线方程的性质，判断B选项；由分类变量的独立性检验，可判断D选项. 【详解】解：对于A，公式中，L和W关系明确，属于函数关系，不是相关关系，相关关系是一种非确定的关系，故A错误 对于B，回归直线恒过样本点的中心，故B正确； 对于C，相关系数r的绝对值越接近1，则两个变量的相关性越强，故C正确； 对于D，对分类变量x与y，它们的随机变量越大，判断“x与y有关系”的把握越大，故D错误. 故选：BC. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 随机变量服从两点分布，若，则 B. 随机变量，若，，则 C. 随机变量服从正态分布，且，则 D. 随机变量服从正态分布，且满足，则随机变量服从正态分布 【答案】BCD 【解析】 【分析】计算两点分布的期望判断A；利用二项分布的期望、方差公式计算判断B；利用正态分布的对称性计算判断C；利用期望、方差的性质计算判断D. 【详解】对于A：因为服从两点分布且， 所以，所以，故A错误； 对于B：因为且，， 即，，解得，故B正确； 对于C：因为且， 所以， 所以， 则，故C正确； 对于D：因为且，即， 所以， ， 所以，故D正确. 故选：BCD 11. 如图，设正方体的棱长为为线段的中点，为线段上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 当为的中点时，点到平面的距离为 B. 当为的中点时，记与平面的交点为，则 C. 存在，使得异面直线与所成的角为 D. 存在，使得点到直线的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的向量公式判断A，利用共线向量与共面向量基本定理判断B，利用异面直线夹角的向量公式判断C，利用点到直线距离的向量公式判断D. 【详解】如图，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系. 则，，，，，，，，. 当为的中点时，，，， 设平面的法向量为，则， 令得，又， 则点到平面的距离为，故A正确； 对于选项B：设，则， 又点M在平面内，则，所以，解得， 所以，，所以，正确； 设，，则，， 若异面直线与所成的角为，则， 平方化简得，解得，又，所以方程无解， 故点不存在，故C错误； ，，，所以， 则点到直线的距离为，平方化简得， 解得或，又，所以，故点存在，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点睛：本题考查了正方体中的线线夹角，点到平面的距离，点到直线的距离，意在考查学生的计算能力，空间想象能力和综合应用能力，其中建立空间直角坐标系，将空间中的距离和夹角问题转化为向量运算，是解题的关键. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. “”是“一元二次方程有实数解”的______条件．（填“充分不必要”或“必要不充分”） 【答案】充分不必要 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若一元二次方程有实数解，则，解得， 所以由推得出一元二次方程有实数解，故充分性成立， 由一元二次方程有实数解推不出，故必要性不成立； 所以“”是“一元二次方程有实数解”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要 13. 现有7本不同的书准备分给甲、乙、丙三人．若甲、乙、丙三人中，一人得3本，另外两人每人得2本，则不同的分配方法有______种？ 【答案】 【解析】 【分析】首先将7本书分成3本、2本、2本（部分平均分组），再将三组作全排即可得结果； 【详解】首先将7本书分成3本、2本、2本三组，有种， 再将三组分给甲、乙、丙三人有种， 所以共有种不同的分配方法. 故答案为： 14. 已知函数为定义在R上的奇函数，且对于，都有，且，则不等式的解集为___________. 【答案】 【解析】 【分析】令，可得是上的增函数，根据为奇函数可得为偶函数，且在上是减函数，分类讨论的符号，将变形后，利用的单调性可解得结果. 【详解】令，则对于，都有， 所以是上的增函数， 因为函数为定义在R上的奇函数，所以， 所以，所以是定义在R上的偶函数，所以在上是减函数， 当时，化为，即，因为是上的增函数，所以， 当时，化为，因为为奇函数，且，所以，所以化为，因为在上是减函数，所以， 综上所述：的解集为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：构造函数，利用的奇偶性和单调性求解是解题关键. 四、解答题：（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的展开式的第2项与第3项的二项式系数之比是2：5． （1）求n的值； （2）求展开式的常数项． （3）在的展开式中，求的项的系数． 【答案】（1） （2）60 （3）120 【解析】 【分析】（1）由二项式系数之比列式求解即可； （2）求出展开式的通项，再令的指数等于零，即可得解； （3）利用通项的特点，依次写出对应的的系数（即二项式系数），然后借助于二项式系数和组合数性质计算． 【小问1详解】 依题意可得第2项的二项式系数为，第3项的二项式系数为， 所以，即，则，或（舍去）； 【小问2详解】 展开式的通项为 ， 令，解得， 所以，所以常数项为60，为第5项； 【小问3详解】 （1）知，， 展开式中项的系数分别为： 所以的展开式中项的系数为： ． 16. 李平放学回家途经3个有红绿灯的路口，交通法规定：若在路口遇到红灯，需停车等待；若在路口没遇到红灯，则直接通过．经长期观察发现：他在第一个路口遇到红灯的概率为，在第二、第三个路口遇到红灯的概率依次增加，在三个路口都没遇到红灯的概率为，在三个路口都遇到红灯的概率为，且他在各路口是否遇到红灯相互独立． （1）求李平放学回家途中在第三个路口首次遇到红灯的概率； （2）记为李平放学回家途中遇到红灯的路口个数，求的概率分布列及数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）设第二､三个路口遇到红灯的概率分别为，由已知列出方程组，求解得出的值，即可得出答案； （2）的可能值为，根据独立事件的乘法公式以及互斥事件的概率加法公式，分别求出取不同值的概率，列出分布列，然后根据期望公式，即可得出答案. 【小问1详解】 设第二､三个路口遇到红灯的概率分别为，， 依题意可得，解得或（舍去）， 所以李平放学回家途中在第三个路口首次遇到红灯的概率. 【小问2详解】 由已知可得的可能值为， 所以， ， ， ， 所以分布列： 0 1 2 3 所以. 17. 如图,在直三棱柱中,是以为斜边的等腰直角三角形，,分别为上的点,且. （1）若,求证:平面; （2）若,直线与平面所成角的正弦值为,求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）当时可得点分别为的中点,根据已知条件证明四边形为平行四边形,再依据线面平行的判定定理即可证明. （2）以为正交基底空间直角坐标系,写出各个点的坐标,根据直线与平面所成角的正弦值为求出值,再分别求出平面和平面的法向量,根据公式求解即可. 【小问1详解】 当时,,即点分别为的中点, 直三棱柱中,,所以, 所以四边形为平行四边形,所以,， 又,所以, 所以四边形为平行四边形,则, 又因为平面平面, 所以平面. 【小问2详解】 平面,又,以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系, 则点, 由得, 所以. 设平面的一个法向量,则,即, 取,得, 设直线与平面所成角为,则, 得,解得或,又因为,所以. 而, 所以, 设平面的一个法向量为,则,即, 取,则, 又平面的一个法向量为,得, 观察得二面角为锐角,所以二面角的余弦值为. 18. 某电影平台为了解观众对某影片的感受，已知所有参评的观众中男、女之比为2：1，现从中随机抽取120名男性和60名女性进行调查，抽取的男观众中有80人给了“点赞”的评价，女观众中有45人给了“一般”的评价. （1）把下面列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为对该影片的评价与性别有关？ 性别 评价结果 合计 点赞 一般 男 80 女 45 合计 180 （2）用频率估计概率，在所有参评的观众中按“男”和“女”进行分层抽样，随机抽取6名参评观众. ①若再从这6名参评观众中随机抽取1人进行访谈，求这名观众给出“点赞”评价的概率； ②若再从这6名参评观众中随机抽取2人进行访谈，求在抽取的2人均给出“点赞”的条件下，这2人是1名男性和1名女性的概率. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析，有的把握认为对该影片的评价与性别有关 （2）①② 【解析】 【分析】（1）由卡方的计算即可求解， （2）由分层抽样确定人数，即可由全概率公式以及贝叶斯公式进行求解 【小问1详解】 填写列联表如下： 性别 评价结果 合计 点赞 一般 男 80 40 120 女 15 45 60 合计 95 85 180 假设：对该影片的评价与性别无关. 根据列联表中的数据可以求得 由于，且当成立时，，所以有的把握认为对该影片的评价与性别有关. 【小问2详解】 ①由分层抽样知，随机抽取的6名参评观众中，男性有4人，女性有2人. 根据频率估计概率知，男性观众给出“点赞”评价的概率为，给出“一般”评价的概率为； 女性观众给出“点赞”评价的概率为，给出“一般”评价的概率为. 从这6名参评观众中随机抽取1人进行访谈，记“这名学生给出“点赞”评价”为事件，“这名观众是男性观众”为事件，“这名观众是女性观众”为事件. 则， 所以 ②从这6名参评观众中随机抽取2人进行访谈，记“抽取的2人均给出“点赞’的评价”为事件，“这两名观众均是男性”为事件，“这两名观众均是女性”为事件，“这两名观众是1名男性和1名女性”为事件. 则， . 所以 ， 所以 19. 已知，函数，其中是自然对数底数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程. （2）已知，时，讨论函数的单调性. （3）求证：函数存在极值点，并求极值点的最小值. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析，的最小值是 【解析】 【分析】（1）先求的导函数, 再点斜式求曲线在点处的切线方程 （2）求出函数的定义域与导函数，再分、、、四种情况讨论，分别求出函数的单调区间； （3）根据导数的分母正，需要分子有变号零点，转变为双变量函数的恒成立和有解问题，利用导数再次确定新函数单调性和最值即可求解. 【小问1详解】 当时，，， ，， 曲线在点处的切线方程， 切线方程为. 【小问2详解】 函数的定义域为， ， 当时，令得，令得， 所以在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令得或，令得， 所以在，上单调递减，在上单调递增； 当时，令得或，令得， 所以在，上单调递减，在上单调递增； 综上：当时在，上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 当时，，单调递减，在上单调递增； 当时，在单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 函数的定义域为， 又 令，因为， 所以方程有两个不相等的实根， 又因为，所以， 令， 则，，的关系列表如下: 0 单调递减 极小值 单调递增 所以存在极值点. 所以存在使得成立， 所以存在使得， 所以存在使得对任意的有解，因此需要讨论等式左边的关于的函数， 记， 所以， 当时，单调递减； 当时，单调递增． 所以当时，的最小值为． 所以需要， 即需要， 即需要， 即需要 因为在上单调递增，且， 所以需要，故的最小值是． 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 氾水高级中学第二次阶段考试高二数学试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 若全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为.若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 4. 已知是函数的导函数，且的图像如图所示， 则函数的图像可能是（ ） A B. C. D. 5. 某小吃店的日盈利（单位：百元）与当天平均气温（单位：）之间有如下数据： 0 1 2 百元 5 4 2 1 经分析知，与之间有较强的线性关系，其线性回归直线方程为，则（ ） A. 3 B. 2.8 C. 2 D. 1 6. 的展开式的各项系数和为243，则该展开式中的系数是（ ）． A. 5 B. C. D. 100 7. 假设甲袋中有3个白球和3个红球，乙袋中有2个白球和2个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球．已知从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 定义：如果函数y＝f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足，则称函数y＝f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，如y＝x2是[﹣1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点，现有函数f（x）＝x3+tx是[﹣1，1]上的平均值函数，则实数t的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分.共18分、在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分.部分选对的得部分分） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 公式中的L和W具有相关关系 B. 回归直线恒过样本点的中心 C. 相关系数r绝对值越接近1，则两个变量的相关性越强 D. 对分类变量x与y的随机变量来说，越小，判断“x与y有关系”的把握越大 10. 下列说法正确的是（ ） A. 随机变量服从两点分布，若，则 B. 随机变量，若，，则 C 随机变量服从正态分布，且，则 D. 随机变量服从正态分布，且满足，则随机变量服从正态分布 11. 如图，设正方体的棱长为为线段的中点，为线段上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 当为的中点时，点到平面的距离为 B. 当为的中点时，记与平面的交点为，则 C. 存在，使得异面直线与所成的角为 D. 存在，使得点到直线的距离为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. “”是“一元二次方程有实数解”的______条件．（填“充分不必要”或“必要不充分”） 13. 现有7本不同的书准备分给甲、乙、丙三人．若甲、乙、丙三人中，一人得3本，另外两人每人得2本，则不同的分配方法有______种？ 14. 已知函数为定义在R上的奇函数，且对于，都有，且，则不等式的解集为___________. 四、解答题：（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的展开式的第2项与第3项的二项式系数之比是2：5． （1）求n的值； （2）求展开式的常数项． （3）在的展开式中，求的项的系数． 16. 李平放学回家途经3个有红绿灯的路口，交通法规定：若在路口遇到红灯，需停车等待；若在路口没遇到红灯，则直接通过．经长期观察发现：他在第一个路口遇到红灯的概率为，在第二、第三个路口遇到红灯的概率依次增加，在三个路口都没遇到红灯的概率为，在三个路口都遇到红灯的概率为，且他在各路口是否遇到红灯相互独立． （1）求李平放学回家途中在第三个路口首次遇到红灯的概率； （2）记为李平放学回家途中遇到红灯的路口个数，求的概率分布列及数学期望． 17. 如图,在直三棱柱中,是以为斜边的等腰直角三角形，,分别为上的点,且. （1）若,求证:平面; （2）若,直线与平面所成角的正弦值为,求二面角的余弦值. 18. 某电影平台为了解观众对某影片的感受，已知所有参评的观众中男、女之比为2：1，现从中随机抽取120名男性和60名女性进行调查，抽取的男观众中有80人给了“点赞”的评价，女观众中有45人给了“一般”的评价. （1）把下面列联表补充完整，并判断是否有99.9%把握认为对该影片的评价与性别有关？ 性别 评价结果 合计 点赞 一般 男 80 女 45 合计 180 （2）用频率估计概率，在所有参评的观众中按“男”和“女”进行分层抽样，随机抽取6名参评观众. ①若再从这6名参评观众中随机抽取1人进行访谈，求这名观众给出“点赞”评价概率； ②若再从这6名参评观众中随机抽取2人进行访谈，求在抽取的2人均给出“点赞”的条件下，这2人是1名男性和1名女性的概率. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19. 已知，函数，其中是自然对数的底数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程. （2）已知，时，讨论函数的单调性. （3）求证：函数存在极值点，并求极值点的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$