精品解析：山东泰安市泰安高新区奥林匹克花园学校2025-2026学年七年级下学期4月阶段练习数学试卷

七年级数学练习卷 一、单选题 1. 方程，，，，中，二元一次方程的个数是（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 2. 下列语句中，假命题的是（　　） A. 垂线段最短 B. 如果直线a、b、c满足a∥b，b∥c，那么a∥c C. 同角的余角相等 D. 如果∠AOB＝80°，∠BOC＝20°，那么∠AOC＝60° 3. 下列语句中属于命题的是(　　) A. 相等的角是对顶角 B. 过点P作线段AB的垂线 C. 禁止抽烟! D. 难道是我错了吗？ 4. 如图，下列条件能够推理得到AB∥CD的是（ ） A. ∠1+∠3=180° B. ∠1=∠2 C. ∠3+∠4=180° D. ∠3=∠4 5. 方程组，消去y后得到的方程是（ ） A. 3x-4x-10=0 B. 3x-4x+5=8 C. 3x-2（5-2x）=8 D. 3x-4x+10=8 6. 已知是方程的一个解，那么的值是（ ） A. -2 B. 2 C. -4 D. 4 7. 如图，已知直线AB∥CD，∠GEB的平分线EF交CD于点F，∠1=42°，则∠2等于（ ） A. 138° B. 142° C. 148° D. 159° 8. 如图，把一张长方形纸片沿折叠，若，则的度数为（　　）． A. B. C. D. 9. 已知是二元一次方程的两个解，是二元一次方程的两个解，则二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 10. 《九章算术》中的方程问题：“五只雀、六只燕，一共重1斤（古代1斤两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀、燕的重量各为x两、y两，下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 将命题“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式为_____________________. 12. 如果∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，那么∠1与∠3也互余，此命题是_____命题(填“真”或“假”) 13. 把方程改写成用含x的式子表示y的形式是：____． 14. 如图，直角坐标系中，直线和直线相交于点P(m，3)，则方程组的解为______． 15. 如图，在中，，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；；与的平分线相交于点，得，则______． 三、解答题 16. 按要求解方程组： （1）（代入消元） （2）； （3）；（加减消元） （4） 17. 如图，已知，，求证：． 18. 完成下面的证明． 已知：如图，，分别是，的平分线． 求证：． 证明：（已知）， （________________________） ________（________________________） 分别是，的平分线（已知）， ∴________（________________________） ， （________________________） 19. 如图，已知直线经过点，交x轴于点，直线交直线于点B． （1）求直线的函数表达式； （2）求点B的坐标； （3）求的面积． 20. 已知，如图，EF⊥AC于F，DB⊥AC于M，∠1=∠2，∠3=∠C． (1)求证：AB//MN． (2)若∠C=40°，∠MND=100°，求∠CAD的度数． 21. 已知，和． （1）如图1，请直接写出与的关系； （2）如图2，写出与的关系，并说明理由； （3）结合（1），（2）的结论，请用自己的语言归纳得到一个真命题． 22. 江汉区某中学组织七年级同学参加校外活动，原计划租用座客车若干辆，但有人没有座位；如果租用同样数量的座客车，则多出一辆，且其余客车刚好坐满．已知座和座客车的租金分别为元/辆和元/辆． （1）设原计划租座客车辆，七年级共有学生人，则___________（用含的式子表示）若租用同样数量的座客车，则___________；（用含的式子表示） （2）七年级共有学生多少人？ （3）若同时租用两种型号的客车或只租一种型号的客车，每辆客车恰好坐满并且每个同学都有座位，直接写出共有哪几种租车方案？哪种方案更省钱？ 23. 小明在学习了“平行线的判定和性质”知识后，对下面问题进行探究：在平面内，直线，为平面内一点，连接、，根据点的位置探究和、的数量关系． （1）当点分别在如图1、图2和图3所示的位置时，请你直接写出三个图形中相应的和、的数量关系：图①中：______；图②中：______，图③中：_______． （2）请将结论③加以证明． （3）运用上面的结论解决问题：如图4，，平分，平分，，的度数是______．（直接写出结果，不用写计算过程） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学练习卷 一、单选题 1. 方程，，，，中，二元一次方程的个数是（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】D 【解析】 【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． 【详解】解：是分式方程，不是二元一次方程； 3x+y=0是二元一次方程； 2x+xy=1不是二元一次方程； 3x+y-2x=0是二元一次方程； x2-x+1=0不是二元一次方程． 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键． 2. 下列语句中，假命题的是（　　） A. 垂线段最短 B. 如果直线a、b、c满足a∥b，b∥c，那么a∥c C. 同角的余角相等 D. 如果∠AOB＝80°，∠BOC＝20°，那么∠AOC＝60° 【答案】D 【解析】 【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【详解】解：A、垂线段最短是真命题，故A不符合题意； B、如果直线a、b、c满足a∥b，b∥c，那么a∥c是真命题，故B不符合题意； C、同角的余角相等是真命题，故C不符合题意； D、如果∠AOB=80°，∠BOC=20°，那么∠AOC=60°或100°，是假命题，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 3. 下列语句中属于命题的是(　　) A. 相等的角是对顶角 B. 过点P作线段AB的垂线 C. 禁止抽烟! D. 难道是我错了吗？ 【答案】A 【解析】 【分析】根据命题的定义分析判断即可. 【详解】解：A是用语言可以判断真假的陈述句，是命题，B、C、D均不是可以判断真假的陈述句，都不是命题． 故选A． 【点睛】本题考查命题的定义，命题是指一个判断(陈述)的语义(实际表达的概念)，这个概念是可以被定义并观察的现象，命题不是指判断(陈述)本身，而是指所表达的语义. 4. 如图，下列条件能够推理得到AB∥CD的是（ ） A. ∠1+∠3=180° B. ∠1=∠2 C. ∠3+∠4=180° D. ∠3=∠4 【答案】C 【解析】 【分析】依据同旁内角互补，两直线平行，即可得到正确结论． 【详解】解：如图，当∠1+∠3=180°时，不能够推理得到AB∥CD； 当∠1=∠2时，不能够推理得到AB∥CD； 当∠3+∠4=180°，∠4=∠5时，∠3+∠5=180°，能够推理得到AB∥CD； 当∠3=∠4时，不能够推理得到AB∥CD； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同旁内角互补，两直线平行． 5. 方程组，消去y后得到的方程是（ ） A. 3x-4x-10=0 B. 3x-4x+5=8 C. 3x-2（5-2x）=8 D. 3x-4x+10=8 【答案】D 【解析】 【分析】先把①两边同时乘以2，使两方程中y的系数相等，再使两式相减便可消去y． 【详解】解： ①×2得，4x-2y=10…③， ②-③得，3x-4x=8-10， 即3x-4x+10=8． 故选：D． 【点睛】此题比较简单，考查的是用加减消元法解二元一次方程，当方程两边需要同时乘以一个数或式子时不要漏乘常数项，以免误解． 6. 已知是方程的一个解，那么的值是（ ） A. -2 B. 2 C. -4 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】将方程的解代入方程2x-ay=6得到关于a的一元一次方程，解之即可． 【详解】∵是方程的一个解， ∴4+a=6， 解得：a=2， 故选B． 【点睛】考查了二元一次方程的解，正确掌握代入法是解题的关键． 7. 如图，已知直线AB∥CD，∠GEB的平分线EF交CD于点F，∠1=42°，则∠2等于（ ） A. 138° B. 142° C. 148° D. 159° 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：根据两直线平行，同位角相等可得∠BAG=∠1，再根据角平分线的定义求出∠3，然后根据两直线平行，同旁内角互补解答． 解：∵AB∥CD， ∴∠BAG=∠1=42°， ∵EF为∠GEB的平分线， ∴∠3=∠BAG=×42°=21°， ∵AB∥CD， ∴∠2=180°﹣∠1=180°﹣21°=159°． 故选D． 8. 如图，把一张长方形纸片沿折叠，若，则的度数为（　　）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：如图， 由题意可知，， ∴，， 由折叠的性质可得，， ∴． 9. 已知是二元一次方程的两个解，是二元一次方程的两个解，则二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程、二元一次方程组的解，掌握相关定义是解题的关键． 根据二元一次方程组的解是两个方程公共的解即可求解． 【详解】解：是二元一次方程的两个解，是二元一次方程的两个解， 二元一次方程组的解是， 故答案为：A． 10. 《九章算术》中的方程问题：“五只雀、六只燕，一共重1斤（古代1斤两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀、燕的重量各为x两、y两，下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设每只雀重量为两，每只燕重量为两，根据五只雀、六只燕，一共重1斤可得第一个方程，根据互换其中一只，恰好一样重可得第二个方程，据此可得答案． 【详解】解：设每只雀重量为两，每只燕重量为两， ∵五只雀、六只燕一共重1斤，即16两， ∴可得第一个方程， 互换其中一只后，一边剩余4只雀，得到1只燕，另一边剩余5只燕，得到1只雀，此时两边重量相等， ∴可得第二个方程， 因此所列方程组为． 二、填空题 11. 将命题“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式为_____________________. 【答案】如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行 【解析】 【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论． 【详解】命题可以改写为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行． 故答案为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行 【点睛】任何一个命题都可以写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．在改写过程中，不能简单地把题设部分、结论部分分别塞在“如果”、“那么”后面，要适当增减词语，保证句子通顺而不改变原意． 12. 如果∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，那么∠1与∠3也互余，此命题是_____命题(填“真”或“假”) 【答案】假 【解析】 【分析】根据同角的余角相等判断. 【详解】解：∵∠1与∠2互余，∠2与∠3互余， ∴∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°， ∴∠1＝∠3， ∴如果∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，那么∠1与∠3也互余，此命题是假命题； 故答案为假． 【点睛】本题考查余角的概念，熟知同角的余角相等是解题关键. 13. 把方程改写成用含x的式子表示y的形式是：____． 【答案】 【解析】 【分析】要把方程5x-2y=3写成用含x的式子表示y的形式，需要把含有y的项移到等号一边，其他的项移到另一边，然后合并同类项、系数化1； 【详解】5x-2y=3， 移项得：-2y=3-5x， 系数化1得： 故答案为：． 【点睛】本题考查的是方程的基本运算技能：移项、合并同类项、系数化为1等，表示谁就该把谁放到等号的一边，其他的项移到另一边，然后合并同类项、系数化1即可． 14. 如图，直角坐标系中，直线和直线相交于点P(m，3)，则方程组的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出P点坐标，再根据两函数图象的交点坐标即为两函数组成的方程组的解． 【详解】解：∵直线y=x+2过点P（m，3）， ∴3=m+2， 解得：m=1， ∴P（1，3）， ∴方程组的解为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组，关键是掌握二元一次方程（组）与一次函数图象的关系． 15. 如图，在中，，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；；与的平分线相交于点，得，则______． 【答案】 【解析】 【分析】结合题意，根据角平分线、三角形外角、三角形内角和的性质，得，同理得；再根据数字规律的性质分析，即可得到答案． 【详解】根据题意，，与的平分线交于点 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 同理，得； ； ； … ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形和数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、三角形外角、角平分线、数字规律的性质，从而完成求解． 三、解答题 16. 按要求解方程组： （1）（代入消元） （2）； （3）；（加减消元） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据代入消元法求解即可； （2）根据加减消元法求解即可； （3）整理后根据加减消元法求解即可； （4）整理后根据加减消元法求解即可； 【小问1详解】 解：， 将①代入②得：，即，解得：， 将代入①得：， 故方程组的解为． 【小问2详解】 解：， 得：， 得：，解得：， 将代入①得：，解得：， 故方程组的解为． 【小问3详解】 解：， 整理得：， 得：③， ：④， 得：，解得：， 将代入②得：，解得：， 故方程组的解为． 【小问4详解】 解：， 整理得：， 得：③， 得：，解得：， 将代入②得：，解得：， 故方程组的解为． 17. 如图，已知，，求证：． 【答案】 证明：∵，      ∴（两直线平行，内错角相等）  ∵，  ∴（等量代换）   ∴（同位角相等，两直线平行）． 【解析】 【分析】根据平行线的判定与性质求解即可． 【详解】略 18. 完成下面的证明． 已知：如图，，分别是，的平分线． 求证：． 证明：（已知）， （________________________） ________（________________________） 分别是，的平分线（已知）， ∴________（________________________） ， （________________________） 【答案】内错角相等，两直线平行；4；两直线平行，同位角相等；4；角平分线的定义；同位角相等，两直线平行 【解析】 【详解】证明：（已知）， （内错角相等，两直线平行） （两直线平行，同位角相等） 分别是，的平分线（已知）， ∴（角平分线的定义） ， （同位角相等，两直线平行） 19. 如图，已知直线经过点，交x轴于点，直线交直线于点B． （1）求直线的函数表达式； （2）求点B的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的表达式求解，两直线交点坐标的求解及三角形面积的计算． （1）利用已知点通过待定系数法求直线的函数表达式； （2）通过联立方程求点B的坐标； （3）利用三角形面积公式求解的面积即可． 【小问1详解】 解：∵直线过点，且交x轴于点， ∴设直线的解析式为， 将点，点代入得，解得， ∴直线的函数解析式为． 【小问2详解】 解：∵直线与直线交于点B， ∴联立可得，解得， 当时，， ∴点B的坐标为． 【小问3详解】 解：． 20. 已知，如图，EF⊥AC于F，DB⊥AC于M，∠1=∠2，∠3=∠C． (1)求证：AB//MN． (2)若∠C=40°，∠MND=100°，求∠CAD的度数． 【答案】 （1）证明：∵EF⊥AC，DB⊥AC， ∴EF∥DM， ∴∠2=∠CDM， ∵∠1=∠2， ∴∠1=∠CDM， ∴MN∥CD， ∴∠C=∠AMN， ∵∠3=∠C， ∴∠3=∠AMN， ∴AB∥MN； （2）60°． 【解析】 【分析】（1）由EF⊥AC，DB⊥AC得到EF∥DM，根据平行线的性质得∠2=∠CDM，而∠1=∠2，则∠1=∠CDM，根据平行线的判定得到MN∥CD，所以∠C=∠AMN，又∠3=∠C，于是∠3=∠AMN，然后根据平行线的判定即可得到AB∥MN． （2）根据平行线的性质和三角形外角的性质求解即可. 【详解】解：（1）略 （2）∵MN∥CD， ∴∠C=∠AMN=40°， ∵∠MND=100°=∠AMN+∠CAD， ∴∠CAD=100°-40°=60°. 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质以及三角形外角的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 21. 已知，和． （1）如图1，请直接写出与的关系； （2）如图2，写出与的关系，并说明理由； （3）结合（1），（2）的结论，请用自己的语言归纳得到一个真命题． 【答案】（1） （2） 解：，理由如下： 设交于， ∵， ∴，， ∴． （3）如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等即可证明； （2）根据平行线的性质得，，则； （3）根据（1）（2）的结论归纳得到一个真命题,即可求解． 【小问1详解】 解：，理由如下： 设交于， ∵， ∴，， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补 22. 江汉区某中学组织七年级同学参加校外活动，原计划租用座客车若干辆，但有人没有座位；如果租用同样数量的座客车，则多出一辆，且其余客车刚好坐满．已知座和座客车的租金分别为元/辆和元/辆． （1）设原计划租座客车辆，七年级共有学生人，则___________（用含的式子表示）若租用同样数量的座客车，则___________；（用含的式子表示） （2）七年级共有学生多少人？ （3）若同时租用两种型号的客车或只租一种型号的客车，每辆客车恰好坐满并且每个同学都有座位，直接写出共有哪几种租车方案？哪种方案更省钱？ 【答案】（1），； （2）人； （3）有两种租车方案：只租用座客车辆或同时租用座客车辆和座客车辆；最省钱的方案是租辆座客车． 【解析】 【分析】（）根据“原计划租用座客车若干辆，但有人没有座位；如果租用同样数量的座客车，则多出一辆，且其余客车刚好坐满”分别列式，即可求解； （）联立（）中两个二元一次方程，即可求解； （）设租用座客车辆，座客车辆，根据题意列出方程，并求其非负整数解，比较费用大小，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：，， 【小问2详解】 解：根据题意列方程组：， 解得：， ∴七年级共有学生人； 【小问3详解】 解：设租用座客车辆，座客车辆， 依题意得： ，即：， 其非负整数解有两组为：和， 故有两种租车方案：只租用座客车辆或同时租用座客车辆和座客车辆，              当时，租车费用为：（元）； 当时，租车费用为：（元）； ∵， ∴最省钱的方案是租辆座客车． 23. 小明在学习了“平行线的判定和性质”知识后，对下面问题进行探究：在平面内，直线，为平面内一点，连接、，根据点的位置探究和、的数量关系． （1）当点分别在如图1、图2和图3所示的位置时，请你直接写出三个图形中相应的和、的数量关系：图①中：______；图②中：______，图③中：_______． （2）请将结论③加以证明． （3）运用上面的结论解决问题：如图4，，平分，平分，，的度数是______．（直接写出结果，不用写计算过程） 【答案】（1）；； （2） 证明：如图，过点作， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）图①：过点作，利用两直线平行内错角相等，将拆分为两个分别与、相等的角，即可得；图②：过点作，利用两直线平行同旁内角互补，通过两组互补角求和，即可得；图③：过点作，结合内错角相等与角的和差关系，即可得； （2）过点作，结合已知，根据平行公理的推论推出，随后利用“两直线平行，内错角相等”的性质，将转化为、转化为；最后结合图形中的和差关系，通过等量代换，即可证明； （3）过点作，过点作，根据平行公理的推论推出，可得，，，，结合，可得，利用角平分线的性质，得到，，进而得，最后由即可得出． 【小问1详解】 解：图①：如图，过点作， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； 图②：如图，过点作， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴； 图③：如图，过点作， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点作，过点作， 又∵， ∴， ∴，，，， ∴，即， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】过拐点作平行线，是解决所有平行线拐点或折线问题的唯一通用万能方法，本题的三个小问，从探究、证明到应用，全程围绕这一核心方法展开，只要掌握“遇拐点、作平行、用性质、转角度”的十二字逻辑，就能一通百通，搞定同类所有题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $