精品解析：河南洛阳市伊川县2025-2026学年第二学期九年级第一次练习数学试卷

2025－2026学年第二学期九年级第一次大练习数学试卷 注意事项： 1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. 3 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数比较大小，正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大，其值越小，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴最小的数为，   故选：D ． 2. 2025年9月3日，在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式上，东风—液体洲际战略核导弹作为压轴方队首次公开亮相，一句“打击范围覆盖全球”给所有人都留下了极为深刻的印象．如图为东风—液体洲际核导弹的部分示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都不相同 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，根据简单组合体三视图的画法画出它的三视图即可． 【详解】解：东风洲际导弹的三视图为： 所以主视图与俯视图相同，左视图与俯视图和主视图不相同． 故选：B． 3. 2025年9月3日，东风-5C首次亮相纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会．东风-5C是一种覆盖全球，射程高达15000公里，可以携带多个分导式弹头，而且可以实现核常兼备的液体洲际战略核导弹，是中国战略反击体系中的重要组成部分，其中数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【详解】解：， 故选：B． 4. 如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行．抽象成如图所示的几何图形，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定. 过点P作，则，根据平行线的性质可得，，据此先求出的度数，再求出的度数，即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 5. 为了加深学生对数学文化的了解，某校开展了讲数学家故事的活动．学校收集了祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家的画像，依次制成除内容外，其余完全相同的四张卡片，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，甲从中随机抽取一张，记下数学家名字，放回洗匀后，乙再从中随机抽取一张，记下数学家名字，则甲、乙两名同学恰好都抽到中国数学家的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查树状图或列表法求概率，根据题意，列出表格，利用概率公式进行求解即可． 【详解】解：用表示祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家的画像，列表如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共16种等可能得结果，其甲、乙两名同学恰好都抽到中国数学家的情况有4种， ∴． 故选D。 6. 某地区有38所中学，其中七年级学生共6 858名．为了了解该地区七年级学生每天体育锻炼的时间，请你运用所学的统计知识，将解决上述问题所要经历的几个主要步骤进行排序．①抽样调查；②设计调查问卷；③用样本估计总体；④整理数据；⑤分析数据．其中正确的是（　　） A. ①②③④⑤ B. ②①③④⑤ C. ②①④③⑤ D. ②①④⑤③ 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用调查收集数据的过程与方法分析排序即可． 【详解】解：解决一个问题所要经历的几个主要步骤为：②设计调查问卷，再①抽样调查；④整理数据；⑤分析数据；③用样本估计总体． 所以为：②①④⑤③． 故选D． 【点睛】此题主要考查了调查收集数据的过程与方法，正确掌握调查的过程是解题关键． 7. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的减法，掌握异分母分式加减法的运算法则是解题关键．先将分母变为相同，再进行减法，然后利用平方差公式约分化简即可． 【详解】解： ， 故选：A． 8. 已知为常数，且点在第二象限，则关于的一元二次方程 的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先利用第二象限点的坐标特征得到，则判断，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】在第二象限 一元二次方程有两个不相等的实数根 故选：B． 9. 如图，为的直径，点在的延长线上，，与相切，切点分别为C，D．若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接、、，交于，如图，利用切线的性质和切线长定理得到，，平分，根据等腰三角形的性质得到，则，根据圆周角定理得到，所以，然后求出即可． 【详解】解：连接、、，交于，如图， ，与相切，切点分别为，， ，，平分， ， ， ， ， ， ∵ ∴ ∵ ∴在中，， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和解直角三角形． 10. 如图所示，在台球桌面上建立平面直角坐标系，点P从出发沿图中箭头方向运动，碰到边界（粗线）会发生反弹（反射角等于入射角）．若点P的运动速度为每秒个单位长度，则第2026秒时点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据小球的运动方向可得出小球运动一周所走的路程，再由运动速度得出运动一周所用的时间，再根据规律得出第2026秒的小球所在位置． 【详解】解：如图， 根据题意得： 小球运动一周所走的路程， ∵小球以每秒个单位长度的速度运动， ∴小球运动一周所用的时间为：（秒）， ∴， ∴第2026秒的小球所在位置为点， ∴第2026秒时点P的坐标为． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 函数的自变量的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由有意义可得：再解不等式可得答案． 【详解】解：由有意义可得： 即 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是二次根式与分式有意义的条件，函数自变量的取值范围，理解函数自变量的取值范围的含义是解本题的关键． 12. 不等式组的最小整数解为______． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求解两个不等式，再找出两个解集的公共部分得到不等式组的解集，即可找出最小整数解． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为， 不等式组的最小整数解为． 13. 如图，左图为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，右图为其平面示意图，已知于点B，与水平线l相交于点O，．若分米，分米．，则点C到水平线l的距离为________分米（结果用含根号的式子表示）． 【答案】## 【解析】 【分析】题目主要考查解三角形及利用三角形等面积法求解，延长交l于点H，连接，根据题意及解三角形确定，，再由等面积法即可求解，作出辅助线是解题关键． 【详解】解：延长交l于点H，连接，如图所示： 在中，， ， 即， 解得：． 故答案为：． 14. 如图，等边三角形内切圆的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边三角形的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与的面积之比是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形、三角形的内切圆、勾股定理等知识，解题关键是求出圆的半径． 先作，作于点E，和交于点O，设等边的边长为，求出，即可求出，，，即可求出答案． 【详解】解：作于点D，作于点E，和交于点O，如图所示： 设等边的边长为， ∴，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据太极图的对称性，黑色部分的面积占内切圆面积的一半， ∴ ∵， ∴圆中的黑色部分的面积与的面积之比是：． 故答案为： 15. 若一个三角形三边长之比为，则称这个三角形为“勾股三角形”，如图，在矩形中，，点在边上，将沿折叠，得到，过点作BC于点．若是“勾股三角形”，则长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理；过点作于点，则四边形是矩形．进而分两种情况讨论，①当，时，②当，时，结合图形，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：在矩形中，．将沿折叠，得到， ∴，，． 过点作于点，则四边形是矩形． ∴．若是“勾股三角形”， 分两种情况：①当，时，， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即，解得． ∴． ②当，时，， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即，解得． ∴． 故答案为： 或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查实数的运算、整式的混合运算及化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先算零次幂，负整数指数幂，立方根，然后计算加减即可； （2）根据多项式乘多项式，完全平方公式将题目中的式子化简，然后将，代入化简后的式子计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ， 当，时， 原式． 17. 中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图 类型 人数 百分比 纯电 m 混动 n 氢燃料 3 油车 5 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查活动随机抽取了_____人；表中______，______； （2）请补全条形统计图； （3）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数； （4）若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？ 【答案】（1）50；30，6 （2） 补全条形统计图如图所示： （3） （4）人 【解析】 【分析】本题考查统计表、条形统计图和扇形统计图的综合，理解题意，能从统计图中获取有用信息是解答的关键． （1）用喜欢油车人数除以其所占的百分比可求得调查人数，用喜欢氢燃料人数除以调查人数可求得b，进而用1减去喜欢其他车型所占的百分比可求解a； （2）先求得n，进而可补全条形统计图； （3）用360度乘以喜欢混动所占的百分比即可求解； （4）用总人数乘以样本中喜欢新能源汽车所占的百分比即可求解． 【小问1详解】 解：本次调查活动随机抽取人数为（人）， ，则， ，则， 故答案为：50；30，6； 【小问2详解】 解：∵， 【小问3详解】 解：扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数为； 【小问4详解】 解：（人）． 答：估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有3600人． 18. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，点的横坐标为． （1）求的值； （2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （3）（2）中所作的垂直平分线与交于点，与轴交于点，连接、，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）32 （2） （3） 证明：设垂直平分线与交于点， 由作图易知：， ， 轴于点， ， ， ， 又，， ， ， ， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据点在正比例函数上，点的横坐标为，求出点坐标，再代入反比例函数中求出即可． （2）分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，作直线即为线段的垂直平分线． （3）由作图易知：，，证明得到，从而证出结论． 【小问1详解】 解：点在正比例函数上，点的横坐标为， ， ， 点在反比例函数的图象上， ． 【小问2详解】 如图，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧， 两弧分别相交于，两点，作直线即为线段的垂直平分线． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，尺规作图，线段垂直平分线的性质，菱形的判定，全等三角形的判定以及性质，是一道综合题，熟练掌握反比例函数的性质以及菱形的判定定理是解题的关键． 19. 如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，求线段的长度． 【答案】（1）证明：连接，如图， ∵为直径， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，如图，根据圆周角定理得到，即，求得，得到，根据切线的判定定理得到是的切线； （2）由（1）知，，，得到，证明是等边三角形，求出，再根据，求出，进而得到，最后利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. 洛阳以古都历史文化为底蕴，通过一系列活动正吸引越来越多的游客来一场古今穿越之旅，某单位计划购进A，B两种汉服，若购进2套A种汉服与1套B种汉服共需560元；购进3套A种汉服与2套B种汉服共需920元． （1）求购进A种汉服和B种汉服每套各多少元？ （2）若该单位因举办活动需要购进A，B两种汉服共21套，要求买A种汉服的数量不少于B种汉服数量的一半，怎样购买花费最少？ 【答案】（1） 购进A种汉服每套元，B种汉服每套元； （2） 购买A种汉服套，B种汉服套时花费最少． 【解析】 【分析】（1）设购进A种汉服每套x元，购进B种汉服每套y元，根据购进2套A种汉服与1套B种汉服共需560元；购进3套A种汉服与2套B种汉服共需920元，列出方程组并解方程组即可； （2）设购进A种汉服a套，则购进B种汉服套，根据买A种汉服的数量不少于B种汉服数量的一半列出不等式，求出的范围，再设花费元，结合（1）中单价，列出关系式，利用一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设购进A种汉服每套x元，购进B种汉服每套y元，根据题意得： ， 解得：． 答：购进A种汉服每套元，购进B种汉服每套元． 【小问2详解】 解：设购进A种汉服a套，则购进B种汉服套，根据题意得： ， 解得， 设花费元，则， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值， 此时，（套）， 答：购买A种汉服套，B种汉服套时花费最少． 21. 第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图是其示意图，已知：助滑坡道米，弧形跳台的跨度米，顶端到的距离为40米，，，，．求此大跳台最高点距地面的距离是多少米（结果保留整数）．（参考数据：，，，，，，，，） 【答案】70 【解析】 【分析】过点作，交于点，则四边形是矩形，可得，在中，求得，根据，，求得，进而求得，根据即可求解． 【详解】如图，过点作，交于点，则四边形是矩形， ， ，， 在中，（米）， ， ，，米 ， 解得， 顶端到的距离为40米，即米 （米）． （米）． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． 22. 现有一个二级火箭进行发射．第一级运行路径形如抛物线，当运行一定水平距离时，自动引发第二级，第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线 和直线 ，且火箭第二级的引发点坐标为 （1）求和的值； （2）火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭第一级运行的最高点低，求这两个位置之间的水平距离． 【答案】（1）， （2）这两个位置之间的水平距离为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将分别代入解析式计算即可； （2）将变为，得到火箭第一级运行的最高点为，由比火箭运行的最高点低，得出，进而得到对应的的值，然后进行计算即可． 【小问1详解】 解：火箭第二级的引发点坐标为 ， 将代入得 解得； 将代入得， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）得，抛物线解析式为， 直线 解解析式为， ， 火箭第一级运行的最高点为， ， 将代入得， 解得：或， 火箭第二级的引发点坐标为 ， 不符合题意，舍去， ； 将代入得， 解得； ， 这两个位置之间的水平距离为． 23. 综合实践课上，老师带领同学们进行如下操作、探究： 第一步：将长宽比为的矩形纸片（）的一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：连接，沿过点的直线翻折，使点落在边上的点处，然后把纸片展平，连接并延长，交于点； 【问题解决】 （）与的数量关系为________，位置关系为________； 【问题拓展】 第三步：如图②，沿剪载，得到四边形，将沿翻折，点的对应点为． （）点是否在上？若在，请判断并说明与的数量关系；若不在，请说明理由； 【拓展研究】 第四步：如图③，是上一点，将沿翻折得到，与交于点． （）已知，当是直角三角形时，直接写出线段的长． 【答案】（），；（）点在上，；（）或 【解析】 【分析】（）由“”可证，可得 ，，可证； （）通过证明，可得，则点在上，通过证明，可得，据此即可求解； （）先求出，，，由相似三角形的性质可求的长，再分和讨论，由直角三角形的性质可求的长，即 可求解． 【详解】解：（）∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （）点在上，，理由如下： 由（）得，， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在上， ∵，， ∴ ， ∴， ∵， ∴； （）∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，∵， ∴， ∴， 由折叠可得， ∴； 当时，∵， ∴， ∴， 由折叠可得， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第二学期九年级第一次大练习数学试卷 注意事项： 1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. 3 B. 0 C. D. 2. 2025年9月3日，在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式上，东风—液体洲际战略核导弹作为压轴方队首次公开亮相，一句“打击范围覆盖全球”给所有人都留下了极为深刻的印象．如图为东风—液体洲际核导弹的部分示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都不相同 3. 2025年9月3日，东风-5C首次亮相纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会．东风-5C是一种覆盖全球，射程高达15000公里，可以携带多个分导式弹头，而且可以实现核常兼备的液体洲际战略核导弹，是中国战略反击体系中的重要组成部分，其中数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行．抽象成如图所示的几何图形，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 为了加深学生对数学文化的了解，某校开展了讲数学家故事的活动．学校收集了祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家的画像，依次制成除内容外，其余完全相同的四张卡片，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，甲从中随机抽取一张，记下数学家名字，放回洗匀后，乙再从中随机抽取一张，记下数学家名字，则甲、乙两名同学恰好都抽到中国数学家的概率是（　　） A. B. C. D. 6. 某地区有38所中学，其中七年级学生共6 858名．为了了解该地区七年级学生每天体育锻炼的时间，请你运用所学的统计知识，将解决上述问题所要经历的几个主要步骤进行排序．①抽样调查；②设计调查问卷；③用样本估计总体；④整理数据；⑤分析数据．其中正确的是（　　） A. ①②③④⑤ B. ②①③④⑤ C. ②①④③⑤ D. ②①④⑤③ 7. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 已知为常数，且点在第二象限，则关于的一元二次方程 的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 9. 如图，为的直径，点在的延长线上，，与相切，切点分别为C，D．若，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，在台球桌面上建立平面直角坐标系，点P从出发沿图中箭头方向运动，碰到边界（粗线）会发生反弹（反射角等于入射角）．若点P的运动速度为每秒个单位长度，则第2026秒时点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 函数的自变量的取值范围是_______． 12. 不等式组的最小整数解为______． 13. 如图，左图为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，右图为其平面示意图，已知于点B，与水平线l相交于点O，．若分米，分米．，则点C到水平线l的距离为________分米（结果用含根号的式子表示）． 14. 如图，等边三角形内切圆的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边三角形的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与的面积之比是_____． 15. 若一个三角形三边长之比为，则称这个三角形为“勾股三角形”，如图，在矩形中，，点在边上，将沿折叠，得到，过点作BC于点．若是“勾股三角形”，则长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，． 17. 中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图 类型 人数 百分比 纯电 m 混动 n 氢燃料 3 油车 5 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查活动随机抽取了_____人；表中______，______； （2）请补全条形统计图； （3）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数； （4）若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？ 18. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，点的横坐标为． （1）求的值； （2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （3）（2）中所作的垂直平分线与交于点，与轴交于点，连接、，求证：四边形是菱形． 19. 如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，求线段的长度． 20. 洛阳以古都历史文化为底蕴，通过一系列活动正吸引越来越多的游客来一场古今穿越之旅，某单位计划购进A，B两种汉服，若购进2套A种汉服与1套B种汉服共需560元；购进3套A种汉服与2套B种汉服共需920元． （1）求购进A种汉服和B种汉服每套各多少元？ （2）若该单位因举办活动需要购进A，B两种汉服共21套，要求买A种汉服的数量不少于B种汉服数量的一半，怎样购买花费最少？ 21. 第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图是其示意图，已知：助滑坡道米，弧形跳台的跨度米，顶端到的距离为40米，，，，．求此大跳台最高点距地面的距离是多少米（结果保留整数）．（参考数据：，，，，，，，，） 22. 现有一个二级火箭进行发射．第一级运行路径形如抛物线，当运行一定水平距离时，自动引发第二级，第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线 和直线 ，且火箭第二级的引发点坐标为 （1）求和的值； （2）火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭第一级运行的最高点低，求这两个位置之间的水平距离． 23. 综合实践课上，老师带领同学们进行如下操作、探究： 第一步：将长宽比为的矩形纸片（）的一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：连接，沿过点的直线翻折，使点落在边上的点处，然后把纸片展平，连接并延长，交于点； 【问题解决】 （）与的数量关系为________，位置关系为________； 【问题拓展】 第三步：如图②，沿剪载，得到四边形，将沿翻折，点的对应点为． （）点是否在上？若在，请判断并说明与的数量关系；若不在，请说明理由； 【拓展研究】 第四步：如图③，是上一点，将沿翻折得到，与交于点． （）已知，当是直角三角形时，直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $