精品解析：2025年河南省洛阳市伊川县九年级中考一模数学试题

2024－2025学年第二学期九年级第一次大练习 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在，，0，，这四个数中，最小的实数是（ ） A B. C. 0 D. 2. 中原熟，天下足．处于中原的河南一直是我国重要的粮食大省，最近几年粮食总产量更是连续突破1300亿斤（注：1斤＝0.5千克），为保证国家粮食安全做出了突出贡献．数据“1300亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 学校会议室的圆桌如图所示，则它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是一款吸管杯的截面示意图，已知，吸管看作一条直线，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 国产动画电影《哪吒2》在全球上映后引发强烈反响．小伟购买了《哪吒2》电影中“哪吒”，“敖丙”，“太乙真人”，“申公豹”四张人物卡片，他将卡片背面朝上放在桌面上（卡片背面完全相同），小峰从中随机抽取两张，则他抽到两张纪念卡片恰好是“哪吒”和“敖丙”的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 在探究圆周角的度数与它所对弧上圆心角的度数之间的数量关系时，我们分类讨论了如图所示的三种情况，经画图操作并添加辅助线将图2、图3化为图1，从而得出了，其中体现的数学思想是（ ） A. 数形结合思想 B. 转化思想 C. 建模思想 D. 类比思想 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 9. 如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止，设点的运动路程为，线段的长度为，的高，图2是与的函数关系的大致图象，其中点为曲线的最低点，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个大小在和之间的整数是______． 12. 不等式组的解集为______． 13. 一个盒子中有12个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，经过多次重复实验，发现摸到红球的频率稳定在0.6附近，则估计盒子中白球有______个． 14. 如图，在菱形中，为上一点，连接，，交于点，若，则______． 15. 抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，有以下结论：①；②若，是图象上的两点，则；③；④若方程没有实数根，则；⑤．其中结论正确的是______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）计算：． （2）化简： 17. 李老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（随机摸出记下颜色后放回），下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数m 23 31 60 130 200 250 摸到黑球的频率 0.23 0.21 0.30 0.26 0.25 a （1）求a的值，并根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率； （2）估计袋中白球的个数； （3）在（2）的条件下，若小强同学从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，用画树状图或列表的方法求出他两次都摸出白球的概率． 18. 如图，是的直径，是的切线，切点为，点为直径右侧上一点，连接并延长，交直线于点，连接． （1）尺规作图：作出的角平分线，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下， ①求证：． ②若半径为2，当的长为______时，四边形是正方形． 19. 新能源汽车采用电能作为动力来源，更加节能环保，已知某品牌新能源汽车的电池每分钟可以充的电，为了解该品牌新能源汽车在充满电量状态下的最大行驶里程，某综合实践小组探究了该品牌新能源汽车行驶过程中仪表盘显示电量与续航里程（千米）的关系，部分数据记录表如下： 新能源汽车行驶过程中显示电量与续航里程数据 显示电量 续航里程y（千米） （1）请结合表中的数据，求出关于的函数表达式； （2）该品牌新能源汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点千米处的目的地，若新能源汽车行驶千米后，在途中的服务区充电分钟，充电后该新能源汽车是否可以行驶到目的地？ 20. 天王寺善济塔位于河南省新乡市，元朝至元四年(公元1267年)创建，为七级六角形砖塔，该塔是第七批全国重点文物保护单位.某校数学“综合与实践”小组的同学把“测量善济塔的高度”作为一项课题活动，制订了测量方案，测量数据如下表(不完整)： 课题 测量善济塔的高度 成员 组长：XXX组员：XXX，XXX， 测量工具 测角仪，皮尺等 测量方案及数据 方案一：将测角仪放置在与塔底端水平处测得塔顶的仰角为，向前走米到达点处架起测角仪，测得塔顶的仰角为，测角仪，的高度为米 方案二：将测角仪放置在善济塔附近某一高台顶部测得塔顶的仰角为，测得塔底端处的俯角为，高台的高度为米，测角仪的高度为米 参考数据 ，，，， ，，， 说明 所有的点均在同一平面内 （1）任务一：请判断上述哪种方案的误差较小； （2）任务二：请你帮小组的同学求出善济塔的高度.(结果精确到0.1) 21. 实心球是中考体育项目之一，在掷实心球时，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．已知小军在一次掷实心球训练中，第一次投掷时出手点距地面，实心球运动至最高点时距地面，距出手点的水平距离为．设实心球掷出后距地面的竖直高度为，实心球距出手点的水平距离为．如图，以水平方向为x轴，出手点所在竖直方向为y轴建立平面直角坐标系． （1）求第一次掷实心球时运动路线所在抛物线的函数表达式． （2）若实心球投掷成绩（即出手点与着陆点的水平距离）达到为满分，请判断小军第一次投掷实心球能否得满分． 22. 某班数学兴趣小组对函数的图象与性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量的取值范围是，与的几组对应值列表如下： … 0 2 3 4 5 9 … … 1 0 10 6 4 3 … 其中，______； （2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象： （3）进一步探究函数图象发现： ①函数可以看成是由函数先向______平移______个单位长度，再向______平移______个单位长度得到的； ②函数的图象关于______成中心对称； ③写出这个函数的一条性质：______________________________； ④结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集． 23. 【教材呈现】 现行人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索”第14题： 14．如图，在锐角中，探究，，之间关系．（提示：分别作和边上的高．） 【得出结论】 ． 【基础应用】 在中，，，，利用以上结论求的长； 【推广证明】 进一步研究发现，不仅在锐角三角形中成立，在任意三角形中均成立，并且还满足（R为外接圆的半径）． 请利用图1证明：． 【拓展应用】 如图2，四边形中，，，，． 求过A，B，D三点的圆的半径． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年第二学期九年级第一次大练习 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在，，0，，这四个数中，最小的实数是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，无理数的估算，根据负数小于和正数，得到最小的数在，然后比较它们的绝对值即可得到答案，熟练掌握有理数的大小比较法则是解题的关键． 【详解】解：∵，，，且， ∴， ∵负数小于和正数， ∴四个数中最小的数为， 故选：B． 2. 中原熟，天下足．处于中原的河南一直是我国重要的粮食大省，最近几年粮食总产量更是连续突破1300亿斤（注：1斤＝0.5千克），为保证国家粮食安全做出了突出贡献．数据“1300亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：数据“1300亿”用科学记数法表示为； 故选：A． 3. 学校会议室的圆桌如图所示，则它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查简单的几何体的三视图，熟知俯视图是从上边看到的图形是解答本题的关键．根据从上边看到的图形是一个大圆内有两个小圆，且小圆为虚线，即可得到结果． 【详解】解：从上边看到的图形是一个大圆内有两个小圆，且小圆为虚线， 故选：A． 4. 如图，是一款吸管杯的截面示意图，已知，吸管看作一条直线，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质及补角的计算，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．先根据平行线的性质得出的度数，再根据邻补角的定义得出的度数即可． 【详解】解：，， ， ， 故选：D． 5. 国产动画电影《哪吒2》在全球上映后引发强烈反响．小伟购买了《哪吒2》电影中“哪吒”，“敖丙”，“太乙真人”，“申公豹”四张人物卡片，他将卡片背面朝上放在桌面上（卡片背面完全相同），小峰从中随机抽取两张，则他抽到的两张纪念卡片恰好是“哪吒”和“敖丙”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了画树状图或列表求概率．熟练掌握画出树状图或列表是解题关键．画树状图可得出所有等可能的结果数以及他抽到的两张纪念卡片恰好是“哪吒”和“敖丙”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将“哪吒”，“敖丙”，“太乙真人”，“申公豹”四张纪念卡片分别记为A，B，C，D，画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中他抽到的两张纪念卡片恰好是“哪吒”和“敖丙”的结果有：，，共2种， ∴他抽到的两张纪念卡片恰好是“哪吒”和“敖丙”的概率为，． 故选：C． 6. 在探究圆周角的度数与它所对弧上圆心角的度数之间的数量关系时，我们分类讨论了如图所示的三种情况，经画图操作并添加辅助线将图2、图3化为图1，从而得出了，其中体现的数学思想是（ ） A. 数形结合思想 B. 转化思想 C. 建模思想 D. 类比思想 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查对数学思想的理解，理解转化思想是将一般情况转化为特殊情况成为解题的关键．根据转化思想的含义进行判断即可． 【详解】解：由画图操作并添加辅助线将图2、图3转化为图1，可知体现了转化的思想． 故选：B． 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法、幂的乘方、完全平方公式、平方差公式等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键．根据同底数幂的除法、幂的乘方、完全平方公式、平方差公式逐项判定即可． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 8. 若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】由于关于的一元二次方程有实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可知，且，据此列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，，且， 解得，，且. 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 9. 如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，根据，，求出，根据“圆内接四边形的对角互补”求出即可，熟练运用圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：， ， 四边形内接于， ， ， 故选：D． 10. 如图1，在中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止，设点的运动路程为，线段的长度为，的高，图2是与的函数关系的大致图象，其中点为曲线的最低点，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，从图象中获取条件，并判断动点位置进行计算是本题的解题关键．先求出和，作，利用等面积法求出，再用勾股定理求出，即可求出点坐标． 【详解】解：当点运动到点处时，， ∴， 当点运动到点处时，， ∴， 过点作于点，如图， 当点运动到点处时，最短， 由等面积得：， ∴， ∴点的纵坐标为， 在中，， ∴， ∴点的横坐标为， ∴点坐标， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个大小在和之间的整数是______． 【答案】（答案不唯一，5,6都可以） 【解析】 【分析】本题考查了立方根，无理数的估算，熟练掌握估算的基本方法是解题的关键．求出，估算，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴符合题意的整数是：或或， 故答案为：． 12. 不等式组的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求出不等式组中每一个不等式的解集，再根据确定不等式组解集原则“大大取较大，小小取较小，大小小大，中间找，大大小小无处找”确定出不等式组的公共解集即可． 【详解】解：， 解①得：x≤–1， 解②得：x>-4， ∴-4<x≤-1． 故答案为：-4<x≤-1． 【点睛】本题考查解不等式组，掌握确定不等式组解集原则“大大取较大，小小取较小，大小小大，中间找，大大小小无处找”是解题关键． 13. 一个盒子中有12个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，经过多次重复实验，发现摸到红球的频率稳定在0.6附近，则估计盒子中白球有______个． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量问题，分式方程的应用，熟知大量反复试验下频率的稳定值即概率值是解题的关键．设袋子中白球约有x个，根据题意可知从袋子中随机摸出一个红球的概率为，由此根据概率公式建立方程求解即可． 【详解】解：设袋子中白球约有x个， ∵通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在附近， ∴从袋子中随机摸出一个红球的概率为， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴袋子中白球约有8个， 故答案为：8． 14. 如图，在菱形中，为上一点，连接，，交于点，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方．相似三角形的面积比等于相似比的平方，平行四边形的对边平行且相等，平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似，据此解答即可． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， ， ， 设，则， ，， ， 故答案为：． 15. 抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，有以下结论：①；②若，是图象上的两点，则；③；④若方程没有实数根，则；⑤．其中结论正确的是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即)，对称轴在轴左；当与异号时即)，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点．抛物线与轴交于．根据抛物线与轴有两个交点，可得，据此解答即可；根据抛物线的对称轴，开口向下，据此判断即可；根据抛物线与轴的一个交点A在点和之间，可得抛物线与轴的另一个交点在点和之间，所以当时，据此判断即可；根据的最大值是，可得方程没有实数根，则，据此判断即可；首先根据抛物线的对称轴，可得，然后根据，判断出即可． 【详解】解：抛物线与轴有两个交点， ， 结论不正确． 抛物线的对称轴，开口向下，，是图象上的两点， ， 结论正确． 抛物线与轴的一个交点A在点和之间， 抛物线与轴的另一个交点在点和之间， 当时，， 结论正确． 的最大值是， 方程没有实数根，则， 结论正确． 抛物线的对称轴， ， ， ， ， 结论正确． 综上，可得正确结论的序号是：． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）计算：． （2）化简： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了负整数幂，特殊角锐角三角函数值，绝对值的性质，二次根式的化简，分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，绝对值，计算负整数幂，代入特殊角锐角三角函数值，再计算乘法，最后计算加减即可求解； （2）先计算括号内的，然后计算除法，即可求解． 【小问1详解】 解：； ； 【小问2详解】 解： ． 17. 李老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（随机摸出记下颜色后放回），下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数m 23 31 60 130 200 250 摸到黑球的频率 0.23 0.21 0.30 0.26 0.25 a （1）求a的值，并根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率； （2）估计袋中白球的个数； （3）在（2）的条件下，若小强同学从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，用画树状图或列表的方法求出他两次都摸出白球的概率． 【答案】（1），估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25 （2）估计袋中白球的个数为3 （3）P（两次都摸出白球） 【解析】 【分析】本题考查频率与概率，概率公式，画树状图或列表法求概率： （1）用大量重复试验中事件发生频率稳定到某个常数来表示该事件发生的概率即可； （2）利用概率公式列出方程求解即可； （3）用画树状图将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：， 观察表格得，通过多次摸球试验后发现其中摸到黑球的频率稳定在0.25左右， 估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25； 【小问2详解】 解：设袋中白球的个数为x，根据题意，得， 解得， 经检验，是分式方程的解， ∴估计袋中白球的个数为3； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有16种等可能的情况，两次都摸出白球的情况有9种， ∴P（两次都摸出白球）． 18. 如图，是的直径，是的切线，切点为，点为直径右侧上一点，连接并延长，交直线于点，连接． （1）尺规作图：作出的角平分线，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下， ①求证：． ②若半径为2，当的长为______时，四边形是正方形． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②π 【解析】 【分析】（1）利用尺规作图，作出∠COD的角平分线，交CA于点E； （2）①证明△OCE≌△ODE（SAS），由全等三角形的性质得出∠ODE=∠OCE=90°，得出∠CAD=∠ADE，则可得出结论； ②由弧长公式可求出∠BOD=90°，由正方形的判定定理可得出结论． 【详解】解：（1）如图， （2）①证明：连接DE， 由（1）可知∠COE=∠DOE， ∵OC=OD，OE=OE， ∴△OCE≌△ODE（SAS）， ∴∠ODE=∠OCE=90°， ∵∠CAD+∠OBD=∠ADE+∠ODB=90°，∠OBD=∠BDO， ∴∠CAD=∠ADE， ∴DE=AE； ②解：当的长为π时，四边形OCED是正方形． ∵长为π， ∴＝π， ∴∠BOD=90°， ∵∠OCE=90°， ∴OD∥CE， ∵OE平分∠DOC， ∴∠DOE=∠COE=45°， ∴OC=CE， 又∵OD=OC， ∴OD=CE， ∴四边形OCED是正方形． 故答案为π． 【点睛】本题考查了作图-基本作图，切线的性质、圆周角定理，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，正方形的判定，弧长公式，解决本题的关键是掌握切线的性质． 19. 新能源汽车采用电能作为动力来源，更加节能环保，已知某品牌新能源汽车的电池每分钟可以充的电，为了解该品牌新能源汽车在充满电量状态下的最大行驶里程，某综合实践小组探究了该品牌新能源汽车行驶过程中仪表盘显示电量与续航里程（千米）的关系，部分数据记录表如下： 新能源汽车行驶过程中显示电量与续航里程数据 显示电量 续航里程y（千米） （1）请结合表中的数据，求出关于的函数表达式； （2）该品牌新能源汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点千米处的目的地，若新能源汽车行驶千米后，在途中的服务区充电分钟，充电后该新能源汽车是否可以行驶到目的地？ 【答案】（1） （2）充电后可以行驶到目的地 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的应用，有理数的混合运算的应用，建立函数关系式是解题的关键； （1）根据表格数据可得关于的函数是正比例函数，设，待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据题意，可得新能源汽车行驶千米后，在途中的服务区充电分钟，剩余电量，进而得出续航里程为千米，即可求解． 【小问1详解】 解：根据表格数据可得关于的函数是正比例函数，设， 代入得， 解得：， ∴ 代入表格其他数据验证，符合表达式； 小问2详解】 充电后可以行驶到目的地， ∵满电（100%）续航 400 千米，目的地 560 千米，需中途充电 行驶 240 千米后：消耗电量 ，剩余电量 在途中的服务区充电分钟，充电量，总电量 ． 续航里程千米，剩余路程千米． 因此，充电后电量可支持行驶至目的地． 20. 天王寺善济塔位于河南省新乡市，元朝至元四年(公元1267年)创建，为七级六角形砖塔，该塔是第七批全国重点文物保护单位.某校数学“综合与实践”小组的同学把“测量善济塔的高度”作为一项课题活动，制订了测量方案，测量数据如下表(不完整)： 课题 测量善济塔的高度 成员 组长：XXX组员：XXX，XXX， 测量工具 测角仪，皮尺等 测量方案及数据 方案一：将测角仪放置在与塔底端水平的处测得塔顶的仰角为，向前走米到达点处架起测角仪，测得塔顶的仰角为，测角仪，的高度为米 方案二：将测角仪放置在善济塔附近的某一高台顶部测得塔顶的仰角为，测得塔底端处的俯角为，高台的高度为米，测角仪的高度为米 参考数据 ，，，， ，，， 说明 所有的点均在同一平面内 （1）任务一：请判断上述哪种方案的误差较小； （2）任务二：请你帮小组的同学求出善济塔的高度.(结果精确到0.1) 【答案】（1）方案一误差较小 （2）依第一种方案可得善济塔的高度约为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是是解题的关键． （1）根据两次地面观测可知方案一误差较小； （2）根据方案一给出的测量数据，设塔高为，令从塔底到测角仪第一次位置点的水平距离为，根据正切的定义，得出关于的方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：由于方案二测得塔底端B处的俯角，而不一定与底面垂直，故会产生误差， 从两次地面观测方案一误差较小； 【小问2详解】 解：设塔高为，令从塔底到测角仪第一次位置点的水平距离为 根据方案一给出的测量：①在处测得仰角，测角仪高，故 ②向前走到处测得仰角，此时与塔的水平距离为，仍有测角仪高，故 将代入上式， ∵，即 ∴ 米 答：善济塔的高度约为23.8 m. 21. 实心球是中考体育项目之一，在掷实心球时，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．已知小军在一次掷实心球训练中，第一次投掷时出手点距地面，实心球运动至最高点时距地面，距出手点的水平距离为．设实心球掷出后距地面的竖直高度为，实心球距出手点的水平距离为．如图，以水平方向为x轴，出手点所在竖直方向为y轴建立平面直角坐标系． （1）求第一次掷实心球时运动路线所在抛物线的函数表达式． （2）若实心球投掷成绩（即出手点与着陆点的水平距离）达到为满分，请判断小军第一次投掷实心球能否得满分． 【答案】（1） （2）小军第一次投掷实心球不能得满分 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用以及待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）设抛物线的表达式为，将代入解得a即可； （2）令，解得x，与比较即可； 【小问1详解】 解：由题意，可知抛物线最高点的坐标为， 设抛物线的表达式为， 将代入，得， 解得． ∴第一次掷实心球时运动路线所在抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：令， 解得（负值已舍去）， ∴实心球出手点与着陆点的水平距离为． ∵，即， ∴， ∴小军第一次投掷实心球不能得满分． 22. 某班数学兴趣小组对函数的图象与性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量的取值范围是，与的几组对应值列表如下： … 0 2 3 4 5 9 … … 1 0 10 6 4 3 … 其中，______； （2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象： （3）进一步探究函数图象发现： ①函数可以看成是由函数先向______平移______个单位长度，再向______平移______个单位长度得到的； ②函数的图象关于______成中心对称； ③写出这个函数的一条性质：______________________________； ④结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1）； （2）见解析； （3）①右，1，上，2（或上，2，右，1）；；②；③当时，随的增大而减小；④或 【解析】 【分析】（1）将代入到中，即可求得m的值； （2）通过描点画图的方法即可作出对应的函数图像； （3）①通过“左加右减，上加下减”的原则对函数进行平移即可； ②先将函数化成形式，此时就是对称中心； ③通过观察图像即可得到函数的性质，答案不唯一，合理即可； ④先作出的函数图像，并求出交点坐标，通过观察图像的方法可直接得到不等式的解集． 【小问1详解】 m表示当时，对应的y值， 即； 【小问2详解】 在表格中取几个点在坐标系中标出，然后用平滑曲线将各点连接起来即可，如图所示： 【小问3详解】 ①根据“左加右减”原则可知，从中的“x”到中的“x-1”，说明函数向右平移了一个单位长度，根据“上加下减”可知，函数向上平移了2个单位长度； ②可将函数化成形式，此时就是对称中心， 可化为， ∴对称中心为； ③由图像可知，当时，随的增大而减小； （答案不唯一，合理即可）； ④在图中作出的函数图像，如图所示 设与的交点分别为A、B， 令， 解得或5， 经检验，或5都是原方程的解， ， 由图像可得，当或时，不等式， 故答案为：右，1，上，2（或上，2，右，1）；；当时，随的增大而减小；或． 【点睛】本题考查了函数的综合内容，包括描点作函数图像，函数图像的平移，将函数转化为不等式求解集等，灵活运用所学知识，数形结合是解决问题的关键． 23. 【教材呈现】 现行人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索”第14题： 14．如图，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作和边上的高．） 【得出结论】 ． 【基础应用】 在中，，，，利用以上结论求的长； 【推广证明】 进一步研究发现，不仅在锐角三角形中成立，在任意三角形中均成立，并且还满足（R为外接圆半径）． 请利用图1证明：． 【拓展应用】 如图2，四边形中，，，，． 求过A，B，D三点的圆的半径． 【答案】教材呈现：见解析；基础应用：；推广证明：见解析；拓展应用： 【解析】 【分析】本题考查三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数．添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 教材呈现：分别作，垂足分别为，根据正弦的定义，在4个直角三角形中分别表示出，进而将等式变形，即可求得． 基础应用：利用三角形内角和定理求得，利用公式，代入数据求解即可； 推广证明：作直径，连接，利用圆周角定理求得，，推出，即，同理，，据此即可证明结论成立； 拓展应用：连接，作于点，证得四边形是矩形，利用勾股定理求得和，证明，利用三角函数的定义求得，再根据，据此即可求解． 【详解】解：教材呈现：如图，分别作，垂足分别为， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ． 基础应用：∵中，，， ∴， 由题意得， ∴， 解得； 推广证明：作直径，连接， ∵直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴； 拓展应用：连接，作于点， ∵， ∴四边形是矩形， ∵，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$