陕西省西安中学等多校2026届高三下学期3月月考数学试卷

高三数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.已知集合M={-3,一1,0,1,2}，N={x|x2<5},则M∩N= A.{-1,0,1} B.{-1,0,1,2} C.{-1,0} D.{0,1} 2.已知命题p:Hx∈R,x2>x-1,命题q:3x<0,x3=-x,则 A.p和q都是真命题 B.一饣和q都是真命题 C.p和q都是真命题 .一p和q都是真命题 3曲线y-十在点（一3,2）处的切线方程为 A.x-y+5=0 B.x+y+1=0 C.3x-y+11=0D.3x+y+7=0 4.为响应国家“绿水青山就是金山银山”的号召，某乡村在春季开展植树造林活动.计划在第一 年植树100亩，且从第二年开始，每年比上一年多植树20亩.若该活动连续开展10年，则这 10年累计的植树总面积为 A.1700亩 B.1800亩 C.1900亩 D.2000亩 5.已知抛物线y=ax2的焦点在直线l:x一2y一1=0上，则实数a的值为 A-号 B.-2 C.2 D.-2或2 6.2026年春晚节目中机器人的科技感与武术完美融合，让大家赏心悦目.市场上现有甲、乙两 家公司生产机器人，检测机构要评估市场上这两家公司机器人的某项重要技术参数（得分采 用百分制).若甲公司产品市场占比为60%，该项重要技术参数的平均分为85，方差为14，乙 公司产品市场占比为40%，该项重要技术参数的平均分为95，方差为19，则市场上这两家公 司的该项重要技术参数的总的方差为 A.30 B.35 C.40 D.45 7.已知函数f(x)=3sinx十2cosx,若f(x)=t在[0,3π]上恰有四个不同的实数根x1,x2, x3,x4,则tan(x1十x2+x3+x4)= A-9 60 B. c-器 120 D.119 【高三数学O第1页（共4页）】 ⑧卫知双曲线C子-之1，直线y=一2x+b交C于A,B两点，D为C上另一点，满五 ∠ADB=90°，O为平面直角坐标系的原点.若△ADO,△BOD,△ABD的重心分别为G1, G2,G3,则直线OG1,OG2,OG3斜率的乘积为 A.16 a清 C.4 D.4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 5i 9.已知复数x=2一为：的共轭复数，则 A.x·交=5 B.之的虚部为一2 C.|z-5+6i=10 D.在复平面内，乏对应的点在第三象限 10.在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=5,AC=6,BA⊥BC,D,E,F 分别是线段PA,AB,PC的中点，则下列结论正确的是 A.DE平面PBC B.过D,E,F的平面截三棱锥P-ABC所得的截面的面积是定值 C.PB⊥AC D D,三棱锥P-ABC外接球的表面积为6元 625 11.已知函数f(x)是定义在R上的非常数函数，Hx,y∈R,f(x+y)+f(x一y) 2f(x)f)且f()=0,下列结论正确的是 A.f(0)=1 B.f(x)为奇函数 C.若g(x)是f(x)的导函数，则g(x十3)一g(6一x)=0 D.f(2z)-f(r-- 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知向量a=(1,0),b=(t,2),且a⊥(2a一b),则向量a与b的夹角为▲ 13.已知函数f(x)=-x2-4x-5,g(x)=x十(x>0),若存在实数m,n,使得f(m) g(n)≥一3成立，则m一n= 14.已知曲线y=e与圆(x一a)2+y2=6有公共点，则实数a的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知(2a一b)sinA+(2b-a)sinB= 2csin C. (1)求角C; (2)若c=3,b=a十√3，求△ABC的面积. 【高三数学O第2页（共4页）】 16.(15分) 如图，在四棱台A1B1C1D1-ABCD中，AA1⊥平面ABCD,正方形ABCD的边长为4，且 AA,=A,D,=2,M,N分别为线段CD,BC的中点，点P在线段AB上，且BP=AB. (1)证明：平面B1PN/平面D1AM. (2)求点D到平面D1AM的距离. (3)求平面D1AM与平面AA1B,B夹角的余弦值. B 17.(15分) 一个盒子里装有除颜色外大小相同的3个红球、3个黄球，现依次从盒中抽取小球.若抽取 出的是红球，则放回盒中；若抽取出的是黄球，则用一个同样大小的红球替换放回盒中 (1)求第2次抽取到的是红球的概率； (2)记3次抽取结束后盒子中黄球的个数为X,求X的分布列与数学期望. 【高三数学O第3页（共4页）】 18.(17分) 已知函数f(x)=(a-)ln无十alnx. 1若a=号，求f(x)的单调区间： (2)设函数g(x)=f(x)一alnx,证明：Ha∈(0，十o∞)，g(x)的极小值不大于0. 19.(17分) 已知椭圆C:2十y=1,过C上一点P(xoyo)(o≠0)作C的切线交x轴于点Q,F,F? 分别是C的左、右焦点，A1,A2分别为其左、右顶点 )证明：切线PQ的方程为2+yy=1 (2)证明：PQ为∠F1PF2的外角平分线 (3)过点F1,F2分别作F1B1⊥PQ,F,B2⊥PQ,垂足分别为B1,B2.证明：A1,A2,B2,B 四点共圆. 【高三数学O第4页（共4页）】高三数学参考答案 1.B由x2<5,解得-5<x<5,因为M={-3,-1,0,1,2},所以M∩N={-1,0,1,2. 2.C对于p而言，x-(红-1)=x-x+1=(x-)+子>0，故p是真命题，7p是假 命题 对于q而言，当x<0时，x3<0,一x>0,故q是假命题，一q是真命题. 综上，饣和q都是真命题 3.A因为)y=十2)所以切线的斜率为y14=1,所求切线的方程为y一2=7十3.即 x-y+5=0. 4.C设每年植树面积的亩数构成等差数列{am},则a1=100,公差d=20,所以这10年累计的 植树总面积50=10×100+10X9×20=1900亩。 2 5.A依题意可知，抛物线的焦点在y轴上，又直线1与y轴的交点坐标为(0，-)，抛物线的 方程可化为=。，所以。=一 1 2,所以a=一2 6C因为总的平均数为号×85+号×95=89，所以总的方差为[14+(85-89)门+号×[19 +(95-89)2]=18+22=40. 2.Df)=3snz+2osx=Vsnr+0,其中0s9=是m0=名00<票：因为0 √13 √13 ≤x≤3π，所以0≤x+0≤3π+0.因为f(x)=t在[0,3π]上恰有四个不同的实数根x1,x2, 4,不妨设x1<<4,所以x1十0+十0=2×受=，十0+，+0-受×2 5π， 所以x1十x2+x3十x4=6π-40，则tan(x1十x2十x3+x4)=-tan40= 2tan 20 1-an20因为 m0=号，所以an20-号.从面am,+:十十x,)=- 2tan20120 1-tan220119 (x_近=1， 42 8.B设A(x1,y1),B(x2,y2),M为AB的中点，则 -i=0,即 x_=1, 4 2 、42 y1十y2 y1-y2.2=2=1 x1一x2x1十x242 2 【高三数学·参考答案0第1页（共7页）】 kM·ks=2,这表明△AOB中，AB边上中线的斜率与AB的斜率之积为2， 1 ∴kG·kAD=k0c,·kD=kAB·kG,=2, 1 ∴kc,·kAD·kc,·kD·kAB·ke,=kG·kG2·,·kD·kD·kB=8, 又，AD⊥BD,∴.kAD·kBD=-1, 1 小2km·kom,·kam,=8心kam·koc,·ka,=16故选B ACD因为之三2-1+2i,所以之·=(-DP+2=5,则A正确，B错误 因为之-5+6i=一6+8i,所以|z-5+6i=10,C正确， 因为乏=一1一2i,所以乏对应的点（一1，一2）在第三象限，D正确。 10.AD对于A,因为DE是△PAB的中位线，所以DE∥PB且DE= PB,因为DE过平面PBC,PBC平面PBC,所以DE/件面PBC, G A正确； 对于B,取BC的中点G,连接GE,GF,易证四边形DEGF为平行四 边形，FG=号，GE=3,但∠FGE的大小会随着点B的运动面改变， 所以所求截面的面积不是定值，B错误； 对于C,设点P在平面ABC上的射影为H,连接HB,因为PA=PB=PC,所以HA=HB =HC,又△ABC是直角三角形，所以H为线段AC的中点，即PH⊥平面ABC,若PB⊥ AC,则AC⊥BH,从而BA=BC,显然题设中没有这个条件，C错误； 对于D,显然球心O在线段PH上，因为PA=PC=5,PH⊥AC,AH=3,所以PH=4,设 m=r,则0H=4-,由4-r+=,得-怎从而S=标×密-D正确 25 11.ACD对于A,令y=0,得2f(x)=2f(x)f(0),所以f(x)[f(0)-1]=0,又f(x)是非常 数函数，所以f(0)=1,A正确； 对于B,令x=0,得f(y)十f(-y)=2f(y),整理得f(-y)=f(y),则f(x)是偶函数，B 错误； 对于C令y=得f(+)+f(x-)=0,所以f(x+）=-f(-)=f(x ）,即f(x)是周期为6的函数，所以f(6-x)=(-x)=f().所以f(6-x)=f(x), 即g(x)=-g(6-x),又f(x十3)=-f(x),所以f'(x+3)=-f'(x),即g(x十3)= 一g(x),所以g(x十3)-g(6-x)=0,C正确； 对于D,令y=x,得f(2x)+1=2[f(x),所以f2x)-3[f(x)=2f(2x)-3× 【高三数学·参考答案个第2页（共7页）】 f22中1=-多D正确， 2 12. 因为2a-b=(2-t,-2),a⊥(2a-b),所以2-t=0,解得t=2,所以cos(a,b〉= 2 √2 1X2√2 =之，故向量a与b的夹角为不。 13.-3因为f(x)=-x2-4x-5=-(x十2)2-1≤-1，当且仅当x=-2时，f(x)取得最 大值-1，gc)=x+士≥2，当且仅当x=1时，g)取得最小值2，所以fm)一gn)≤ -1-2=-3.又f(m)-g(n)≥-3，所以f(m)-g(n)=-3,则m=-2,n=1,m-n= -3. 14(-o,2n2+2] 当曲线y=e与动圆(x一a)2十y2=6相切时，a的取值达到最大，设 此时切点为o,e),则e,e =-1且(x0-a)2+e20=6,解得a=x0十e20,所以 o-a (。-,-e)P+e=6,即e“+e-6=0,解得e产=2，=ln2,所以a=h2+ 2,所以实数a的取值范围是(-∞，号n2十2] 15.解：(1)因为(2a-b)sinA+(2b-a)sinB=2 csin C, 所以2a2-ab+2b2-ab=2c2,… 2分 整理得a2十b2一c2=ab,… 3分 所以cosC=a+b2-c21 2ab 21 5分 因为0<C<π，所以C=T 3 6分 (2)由余弦定理得32=a2+(a十√3)2-2a(a+√3)cosx 8分 化简得a2十√3a一6=0，… 9分 解得a=√3，… 11分 所以b=23(负值舍去)，… …12分 所以5ar=号×g×2s血音-3 ee ..e.e...............。ee 2 13分 16.(1)证明：取AB的中点Q,连接CQ,易证AQ/∥CM且AQ=CM,则四边形AQCM为平行 四边形，所以AM/CQ, 又因为BP=AB=2BQ,N为BC的中点，所以PN/CQ,所以PN/AM,易证PN/甲 面D1AM.… …2分 【高三数学·参考答案个第3页（共7页）】 因为BC1BC,BC1=CN,所以四边形B1C1CN为平行四边形，所以B:N∥CC1,同理可 证CC1D1M,所以B1NDM,从而B1N平面D1AM.…4分 因为PN∩B1N=N,所以平面B1PN/坪面D1AM.…5分 (2)解：因为AA1⊥平面ABCD,所以CD⊥AA1,又CD⊥AD,所以CD⊥平面D1AD,从而 CD⊥DD1,…6分 因为AD=8,AM=42+2=20,D1M=(2√2)2+22=12，满足AD+D1M=AM,所 以∠AD1M=90°， 1 SAmM-2X2/2X2/3-2/6, 8分 1 S6m=2X4X2=4.… …9分 设点D到平面D1AM的距离为d, 由S△D,w·d=Saw·AM1,得26d=4X2,解得d=2 3. …10分 (3)解：易知AB,AD,AA1两两垂直，以A为坐标原点，AB, A AD,AA1所在直线分别为x,y,之轴，建立空间直角坐标系， B 则A(0,0,0),M(2,4,0),D1(0,2,2) AM=(2,4,0),AD1=(0,2,2).… 11分 设平面D1AM的法向量为n=(x,y,之)， n·AM=2x+4y=0, 则 令之=1，得n=(2,-1,1),… n·AD1=2y+2x=0, …13分 易知m=(0,1,0)为平面AA1B1B的一个法向量，…14分 所以cos(m,n〉= -16 6×16, 即平面D1AM与平面AA,B,B夹角的余弦值为 6 …15分 17.解：记第i次取到红球为事件A:,第i次取到黄球为事件B;,i=1,2,3.…1分 aPA,)=PA.PIA.I4)+PpA:IB)-×+号×g-品+号-品 …4分 (2)由题意，X可以为0,1,2,3，…5分 P(X=3)=PA,AA)=(2)°- ,…7分 P(X=2》=PBAA)+PM,BA,)+PAA,B,)=×号×号+X2×号+号 【高三数学·参考答案个第4页（共7页）】 1×1_37 2×2=72: …9分 PX=1)=PB,BA,)+P(B,A,B)+PA,BB,)-号×号×+号×告×号+号× 11分 1 P(X=0)=P(B1B2B3)= 61 13分 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 1 37 1 36 3 72 8 14分 37 1125 所以E(X)=1X3+2×2+3Xg=72 …15分 18.1)解：当a=2时f(x)=(1-)lnx,fx)=1nx+- 2分 因为函数y=lnx十x一1在(0，十o∞)上单调递增，且x=1时，y=0,…4分 所以当x>1时，y>0,此时f'(x)>0,f(x)在(1，十o∞)上单调递增， 当0<x<1时，y<0,此时f'(x)<0,f(x)在(0,1)上单调递减， 所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增. 6分 (2)i证明：因为g(x)=fx)-alnx=(a-是)ln元(x>0, 所以g'(x)=lnx-ln(2a)+ax-1 …8分 x2 令h(x)=lnx一ln(2a)+ax-1,易知h(x)在(0，十∞)上单调递增， 因为h(2ae+1D=ln(a+e)+a(2ae+I)-1>0, 取t=min(1,e2a+h2a},h(t)≤-2a十at-1=a(t-2)-l<0, …11分 所以存在xo∈(t,2ae十1)，使得h(xo)=0,即lnxo-ln(2a)十axo-1=0, 所以当x>xo时，h(x)>0,g'(x)>0,此时g(x)单调递增， 当0<x<xo时，h(x)<0,g'(x)<0,此时g(x)单调递减， …13分 所以g)a=g,)=(a-)0n-h(2a门=(a-)1-arw 整理得g)m=(a-)1-ax,)=2a- -a-xo. …15分 因为十a2xo22a,所以g)M0:肖且仅当x时，等号成立，即g(z)的极小值不 大于0…17分 【高三数学·参考答案个第5页（共7页）】 xox 2 +yoy=1, 19.证明：(1)依题意易得xo≠0.由 消去x,整理得(x6+2y)y2-4yoy+2- 2+y2=1, x8=0, …1分 2分 又+y8=1,2y2-4yy+2-x6=0,…2 △=(4y0)2-4×2×(2-x8)=16y十8x6-16=16-16=0.…3分 直线2十oy=1与椭圆写十y2=1有且仅有一个交点…4分 又点P(3o)的坐标满足g十Joy=1.切线PQ的方程为受十6y=1.…5分 Tot (2)直线PQ的方程为g+oy=1,令y=0,则x=2,得Q(2,0). …6分 yo 已知F(-1,0),F:1.0),直线PF的方程为y=x。十x+1),即ox-(o+1Dy+o =0.直线PF,的方程为y=红-1D,即1-(，-1y一%=0. …7分 2y十y x0+2 x0+2 yo· yo· 点Q到直线PF1的距离d1 Vy+(xo+1)2 +(x0+1)2 (xo+2)2 2 2yo ,…8分 To 2y0一yo 2-x0 x0-2 yo. 点Q到直线PF2的距离d2= W√y6+(xo-1)2 /1 1 g+(x-1)2 V2(x-2)2 ②0，：d=dPQ为∠FPF,的外角平分线. …9分 (3)设B(x1y1),B2(x2y2),O为坐标原点，BF1⊥PQ,B2F2⊥PQ,.直线B1F1和 直线B,F的方程分别为y=20(x十1)，y=20(c-1D.…10分 ℃0 Tox 2 +yyo=1, 由 解得x1= 2x-4y6_2x6+2x0-4_2x0-2 2y0(x十1) 4yo+xo 4-x6 2-x0 …11分 2x0-2\ y1= 2-（2x0 ）z04-20-2x+2x_2(2-x6=2×2y:° 2y0 2yo(2-xo) 4-x62yo(2-x0)2-xo ,…12分 2yo 【高三数学·参考答案个第6页（共7页）】 (xox_ 2 -+yyo=1, _2zx0+4y6_2x0+4-2x6_2x0十2 由 解得x2=4y8十x6 2十x0 …13分 4-x6 y= 2y0(x-1)· 2x0+2 y2= 2-（2+x0 )4+2x-2ax8-2x。2(2-x6)2y0 2yo 2yo(2+xo) 2yo(2+xo)2+xo ,…14分 2xo-2.2）,B2（2+x2+z0 :B(202-x0 /2x0+22y0） 4(x6-2xo+1)+4y6_4z6-8.x。+4+4-2x6_2x6-8x+8 1OB2=9 (2-x0)2 =2, (2-xo)2 (2-x0)2 同理|OB22=2.…16分 A1(-√2,0)，A2(2,0), ∴.1OB1|=|OB2|=|OA1=|OA2|, ∴.A1,A2,B2,B1四点共圆.… …17分 【高三数学·参考答案第7页（共7页）】