陕西师范大学附属中学2025-2026学年高三下学期5月模考数学试题

**基本信息** 陕西师大附中高三第十次模考数学卷，聚焦高考核心能力，覆盖复数、统计、函数等基础知识点，解答题融合空间几何证明、概率应用、椭圆探究等，注重数学思维与实际情境结合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数纯虚数、下四分位数、集合运算|基础概念辨析，如第2题统计数据处理（数学眼光）| |多选|3/18|数列递推、函数极值、双曲线离心率|多选项分层考查，如第10题含参数函数性质分析（数学思维）| |填空|3/15|不等式最值、函数求值、球与正方体|空间想象与运算结合，第14题球表面积最值（数学眼光）| |解答|5/77|圆台几何证明、解三角形、概率分布、椭圆光学性质|情境化与探究性，如第18题生物科技概率应用（数学语言）、第19题椭圆光学性质证明（数学思维）|

陕西师大附中高三年级第十次模考答案 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B C A B D C B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 BC ACD ABD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）解（1）在圆台中，上、下底面半径分别为和，高为，所以， 因为为的中点，所以， 易知平面，平面，所以， 又因为，，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，、平面，故平面. （2）因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则、、、， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则， 易知平面的一个法向量为， 所以. 故平面与平面夹角的余弦值为. 16．（15分）解：（1）因为，所以， 即， 即， 因为、，则，所以，所以. （2）因为为的平分线，所以， 又，即，整理得. 又由余弦定理，得， 所以，即，解得或（舍去）， 所以的面积为. 17．（15分）解（1），且， ①当时，，令，求导得， 时，，单调递减；时，，单调递增； 故在处取得最小值，即恒成立， 因此不是极值点； ②当时，，不可能是极值点； 综上，不是函数的极值点． （2），，求导， ①，此时恒成立，在上单调递减， 最小值在处，即， 令，得，与矛盾，舍去； ②，即，此时在上为负，单调递减； 在上为正，单调递增， 最小值在处，即， 令，得，满足，成立； ③，即此时在上恒成立，单调递减， 最小值在处，即， 令，得，与矛盾，舍去； 综上，存在，使得在上的最小值为2． 18．（17分）解（1）设使用第一代技术编辑成功为事件,使用第二代技术编辑成功为事件，两次编辑至少成功一次为事件，则， 所以， 所以使用第一代技术与第二代技术各编辑基因1次，至少成功1次的概率为； （2）根据题意，随机变量的可能取值为， 即所有实验均失败，所以； 包含第一阶段恰好成功1次且第二阶段均失败和第一阶段均失败且第二阶段恰好成功1次， 所以； 分为三种互斥情况： ①第一阶段成功2次，实验停止，概率为； ②第一阶段成功0次，第二阶段成功2次，概率为 ； ③第一阶段成功1次，第二阶段成功1次，概率为； 所以； 包含第一阶段恰好成功1次且第二阶段2次均成功， 所以， 所以整个实验过程中基因编辑成功次数的分布列为 0 1 2 3 所以； （3）设2次编辑中使用第一代技术的次数为,所以可能的取值为， 所以使用第二代次数为， 设总成本为，所以， 总成功次数期望，设净收益为， 所以， 函数值随增大而增大，所以时净收益最大，即两次均使用第一代技术. 19．（17分）解（1）由题知椭圆焦点在轴上，设方程为， 因为焦点为和，点在椭圆上 所以，解得，所以椭圆的方程为. （2）设，， 因为当为奇数时，； 所以，，，三点共线， 故设所在直线方程为， 联立方程，得， 所以，， 所以，由椭圆的第二定义，， 所以， 因为， ， 所以 ，综上， （3）由（2）知，即， 由椭圆的对称性可知，， 所以，则， 由椭圆的定义得， 所以，因为， 所以， 又，， 所以数列为等比数列，首项为，公比为， 所以，整理得， 所以 ，所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西师大附中2025—2026学年度高三年级 第十次模考数学试题 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．若复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A．0 B．2 C． D．0或2 2．高三某班10名同学数学期末成绩（满分150）依次为：100，104，110，115，120，125，130，134，140，145，这组数据的下四分位数为（    ） A．107 B．110 C．132 D．134 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．函数在区间上的简图是（    ） A． B． C． D． 5．已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知点为抛物线上的动点，点为圆上的动点，点为抛物线的焦点，则的最小值为（     ） A．8 B．7 C．6 D．5 7．已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则（    ） A． B．1 C．3 D．7 8．已知等差数列的公差为1，且，，成等比数列，则数列的前20项和为（ ） A．210或90 B．210 C． D． 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知数列满足，则下列结论正确的有（    ） A．数列是等比数列 B．数列是等差数列 C．的通项公式为 D．数列是递增数列 10．已知函数，下列说法正确的有（     ） A．对任意，函数是偶函数 B．若，则函数在上存在极值点 C．若，则函数在上的极小值为b+1 D．若，且方程有两个实数解，则 11．双曲线：的离心率为.定义.下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则的取值范围是 D．若且动点轨迹长度为，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．已知，，则的最小值为________. 13．已知函数，则__________. 14．若一个半径为1的实心球O放置于一个正方体形盒子内，且与该正方体内切，若在该盒子内再放入一个球，则球的表面积的最大值是______． 四、解答题（本题共5小题, 共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）如图，在圆台中，上、下底面半径分别为和，高为，四边形为轴截面，在下底上，，为中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 16．（15分）已知的内角、、的对边分别是、、，且. (1)求； (2)若，的平分线与相交于点，且，求的面积. 17．（15分）已知函数． (1)求证：不是函数的极值点； (2)设，，是否存在，使得函数的最小值为2？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 18．（17分）某生物科技公司研发了一种新型基因编辑技术，用于治疗遗传性疾病，实验数据显示使用第一代技术时单次编辑基因成功的概率为；使用第二代技术时单次编辑基因成功的概率为，使用第一代技术与第二代技术编辑的结果相互独立． (1)求使用第一代技术与第二代技术各编辑基因1次，至少成功1次的概率； (2)若该团队采用以下编辑策略：首先使用第一代技术进行最多3次基因编辑，若在此过程中累计成功2次，则整个实验结束；若完成3次编辑后累计成功次数仍少于2次，则再使用第二代技术进行2次编辑，随后实验结束，求整个实验过程中基因编辑成功次数的分布列与期望； (3)在实际实验中，研究团队可以在任意一次基因编辑中使用第一代或第二代技术，且每次只能使用其中某一代技术．已知每次使用第一代技术的成本为1000元，每次使用第二代技术的成本为2000元，编辑一次成功的收益为5000元，编辑一次失败的收益为0元．若某次实验需要进行2次基因编辑，每次基因编辑的结果相互独立，从净收益的数学期望角度分析，第一代技术应选择使用几次？ 19．（17分）【信息1】已知椭圆的方程还可以由椭圆第二定义（椭圆上的动点满足：到一个定点的距离与到不经过这个定点的一条定直线的距离之比是一个常数，其中）得到． 【信息2】由椭圆的光学性质得到：从焦点处发出的一束光线，射向椭圆上的点，经椭圆反射后经过焦点；继续传播，射向椭圆上的点，经椭圆反射后经过焦点；如此反复．按照时间顺序，记在椭圆上产生的点为，规定：当为奇数时，；当为偶数时，． 已知椭圆的焦点为和，点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)求证：为定值； (3)若，记，，求证：数列为等比数列，． 十模数学试题第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $