8.4用因式分解法解一元二次方程 同步自主达标测试题 2025-2026学年鲁教版（五四制）八年级数学下册

2025-2026学年鲁教版（五四制）八年级数学下册《8.4用因式分解法解一元二次方程》同步自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．一元二次方程的解为（    ） A． B． C． D． 2．已知方程的一个根是1，则它的另一个根是（　　） A． B．3 C． D．4 3．当时，的值为（　　） A． B．1 C．1或 D．0 4．已知是方程的一个根，则代数式的值为（   ） A．4 B．10 C．12 D．22 5．已知，则的值是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 6．在解一元二次方程时，运用因式分解法将其变为，即或，这个过程中蕴含的比较突出数学思想是（   ） A．类比 B．转化 C．特值 D．数形结合 7．等腰三角形两边长是方程的解，则这个等腰三角形的周长是（ ） A．10 B．8 C．8或10 D．16或6 8．若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（　　） A．33 B．34 C．35 D．36 二、填空题（满分24分） 9．若是一元二次方程的根，则实数______． 10．方程：的解为__________． 11．关于x的方程的常数项是0，则m的值为___________． 12．已知，当时，_______． 13．已知实数x满足，则代数式的值为________． 14．定义新运算：．例如：，则关于x的方程的解为________． 15．关于的方程的解是，（、、均为常数，），则方程的解是______． 16．菱形的一条对角线的长为6，边的长是方程的一个根，则菱形的周长为_________． 三、解答题（满分72分） 17．解方程： (1)； (2)． 18．解方程：． 19．已知一元二次方程有两个相等的实数根． (1)求的值； (2)直接写出该方程的两个实数根． 20．对于部分不是完全平方形式的代数式，往往可以通过配成完全平方的方式进行因式分解，比如把代数式因式分解： 解： (1)请你仿照上面的方法，把代数式因式分解； (2)若代数式，则的值为________． 21．已知关于的一元二次方程． (1)讨论该一元二次方程实数根的情况； (2)若等腰三角形的两条边是方程的两根，边是方程的一个根，求的值． 22．阅读材料： 解方程：． 我们可以将视为一个整体，然后设， 则，原方程化为，解得：，． 当时，，则，解得； 当时，，则，解得， 原方程的解为，，，． 根据上面的解答过程，解决下面的问题： 解方程：． 23．定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”．例如方程的两个根是，因为，所以这个方程是“邻根方程”． (1)判断：方程_____“邻根方程”（填“是”或“不是”）； (2)已知关于的一元二次方程（m是常数）是“邻根方程”，求的值． 参考答案 1．C 【分析】因式分解法解一元二次方程即可. 【详解】解：， ， ∴或， 解得，. 2．B 【分析】利用一元二次方程根的定义，先将已知根代入方程求出参数m的值，再解一元二次方程即可得到另一个根． 【详解】解：∵方程的一个根是1， ∴将代入方程得， 解得， ∴原方程为， 将方程因式分解得， 解得，， ∴方程的另一个根是3． 3．B 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，设，原式化成关于的一元二次方程，解方程即可求解， 解题关键是能准确的找出可用替换的代数式，再用字母代替解方程． 【详解】解：设，则原方程可化为：， ∴， 解得， ∴， 故选：B． 4．B 【分析】本题主要考查一元二次方程的解及代数式的值，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 利用方程根的定义，得到，然后整体代入代数式求值即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴ ， ∴ ． 故选B． 5．D 【分析】本题考查换元法和完全平方公式的应用，通过设，将原式转化为关于的方程，利用完全平方公式展开求解即可． 【详解】解：∵ ∴设，则， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 即 故选：D． 6．B 【分析】本题考查解一元二次方程过程中蕴含的数学思想，需明确各选项中数学思想的含义，结合因式分解法的解题过程进行判断即可． 【详解】解：∵解一元二次方程时，通过因式分解将原方程转化为两个一元一次方程或， 即将一元二次方程的求解问题转化为更易解决的一元一次方程的求解问题 ∴该过程中蕴含的比较突出的数学思想是转化思想． 故选：B 7．A 【分析】先解一元二次方程得到可能的边长，再结合等腰三角形性质与三角形三边关系，筛选出符合条件的边长组合，进而计算周长确定答案． 【详解】解：解方程得，或， ①若腰长为2，底边长为4， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边， ∴此情况舍去； ②若腰长为4，底边长为2， ∵，，满足三角形三边关系， ∴该三角形的周长为， 综上，只有周长为10． 【点睛】注意分类讨论的思想． 8．C 【分析】本题考查一元二次方程的解的应用，关键是将第二个方程变形为与第一个方程结构相同的形式，利用换元思想找到对应解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一根为 ∴ 将方程变形为： 令 解得 ∴一元二次方程必有一根为35， 故选：C 9．2 【分析】本题考查了求解一元二次方程和一元二次方程的定义，准确的计算是解决本题的关键． 将代入方程，得到关于的方程，求解即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴代入得 解得或． ∵为一元二次方程， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 10． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．利用因式分解法解答即可． 【详解】解：， 或 解得：． 故答案为： 11．3或5 【分析】本题考查了方程的定义，解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 根据方程常数项为0的条件，列出关于m的方程，再解方程即可． 【详解】解：方程的常数项是， ，即， 解得或． 当时，原方程为符合题意， 当时，原方程为符合题意， 故答案为：3或． 12．或1 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，因为，所以，再运用因式分解法解方程，即可作答． 【详解】解：∵，且， ∴， 整理方程，得， ∴， 解得或， 故答案为：或1 13．7 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程． 通过换元法将原方程转化为关于新变量的一元二次方程，求解后验证实数解条件，排除无效解，最后代入求值． 【详解】解：设， 则原方程化为， 因式分解得， 所以或， 即或． 当时，方程的判别式，无实数解，故舍去； 当时，方程的判别式； ∴． 故答案为：7． 14．， 【分析】本题考查新定义运算以及一元二次方程的求解．解题的关键在于根据新定义运算的规则，将方程转化为一元二次方程，再通过因式分解的方法求解方程． 【详解】解：由新运算定义，，则， 由题意，， 整理得， 解得，． 故答案为：，． 15．， 【分析】此题主要考查利用整体代换思想解方程．熟练掌握该知识点是关键；通过观察方程结构，可将第二个方程中的看作一个整体，则该整体的值应等于第一个方程的解，从而求出的值． 【详解】解：关于的方程的解是，，，均为常数，， 方程变形为， 即此方程中或， 解得或． 故答案为：，． 16．20 【分析】本题主要考查了菱形性质，三角形的三边关系，一元二次方程的解法，先求出方程的两个根，再根据三角形的三边关系判断出符合题意的菱形的边，即可求出菱形的周长． 【详解】解：， ， 解得或． 当时，由菱形的对角线的一条对角线6和菱形的两边3，3不能组成三角形，即不存在菱形，舍去； 当时，由菱形的对角线的一条对角线6和菱形的两边5，5能组成三角形，即存在菱形， ∴菱形的周长为． 故答案为：20． 17．(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 根据因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 或 ∴，． 18． 【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 将方程两边同乘，去分母转化为整式方程，求解并检验即可． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 整理，得， 解得，， 检验：当时，，所以不是原分式方程的解； 当时，，所以是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为． 19．(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及一元二次方程的解法，熟练掌握根的判别式与根的关系及一元二次方程的解法是解题的关键． （1）根据一元二次方程有两个相等实数根的条件，可知判别式，代入方程系数即可求出的值． （2）将求得的值代回原方程，通过配方或因式分解法即可求出方程的两个相等实数根． 【详解】（1）解：依题意，方程有两个相等的实数根，则 ， 解得． （2）解：把代入原方程得： ， ∴， 解得． 20．(1) ； (2) ， 【分析】本题考查完全平方公式分解因式，因式分解法解一元二次方程． （1）把化为，再进一步求解即可； （2）用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：， ∴， ∴，． 21．(1)当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根 (2)m的值为5或9 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式的意义； （1）求出根的判别式，通过判别式与0的大小关系分类讨论方程实数根的情况； （2）先解方程求出c的值，再分等腰三角形的两腰为方程相等的根、腰长为5两种情况，结合三角形三边关系确定m的取值． 【详解】（1）解：对于一元二次方程，其中，，， 计算判别式， 当，即时，方程有两个不相等的实数根； 当，即时，方程有两个相等的实数根； 当，即时，方程没有实数根； （2）解方程得：， 因为是三角形的边长， 所以， 情况一：若，则方程有两个相等的实数根， 所以， 解得， 将代入方程得， 解得：， 因为，满足三角形三边关系， 所以此情况成立； 情况二：若或，即是方程的根， 将代入方程得， 解得， 将代入方程得， 解得：，， 因为，满足三角形三边关系， 所以此情况成立； 综上，m的值为5或9． 22．， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，平方根的性质，掌握换元法是解题关键． 通过换元法将四次方程转化为一元二次方程，求解后代回，根据平方根性质进行取舍即可得到原方程的实数解． 【详解】解：令，则原方程化为：， 解得，， 当时，，则该方程无实数解； 当时，，解得，． 综上，该方程的解为：，． 23．(1)是 (2)m的值为0或2 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，正确理解题意和熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据因式分解法解一元二次方程，然后根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）解方程得到，，再由“邻根方程”的定义得到关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：， ∴，， ∵， ∴方程是“邻根方程”． 故答案为：是． （2）解：， ， ∴，， 由题意得：，即或， 解得，， ∴m的值为0或2． 学科网（北京）股份有限公司 $