专题01 一元二次方程的解法（专项训练）数学鲁教版五四制八年级下册

专题01 一元二次方程的解法 目录 A题型建模・专项突破 题型一、一元二次方程配方问题 1 题型二、解一元二次方程 1 题型三、解一元二次方程中错解复原问题 3 题型四、十字相乘法解一元二次方程 8 题型五、换元法解一元二次方程 12 题型六、一元二次方程中的新定义型问题 16 B综合攻坚・能力跃升 题型一、一元二次方程配方问题 1．将一元二次方程配方后可化为（  ） A． B． C． D． 2．用配方法解一元二次方程时，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 3．将一元二次方程配方成的形式，则，的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 4．把方程左边配成一个完全平方式后，得到的方程是（    ） A． B． C． D．以上都不对 5．小思在解方程时，解答的过程如下． ， ，……第一步 ，……第二步 ，……第三步 ，……第四步 ，． 小思的解答开始出错的步骤是（    ） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 题型二、解一元二次方程 6．用适当方法解方程： (1) (2) (3) 7．解下列方程组 (1)； (2)； (3)． 8．解方程： (1) (2) (3) (4) 9．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 10．按指定的方法解方程： (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（因式分解法） (4)（公式法） 题型三、解一元二次方程中错解复原问题 11．下面是小华同学解方程的过程： 解方程：． 解：移项，得 …………第一步 两边同时除以，得 …………第二步 ∴．……………………………………第三步 (1)小华同学的解题过程从第________步开始出现错误，错误的原因是________； (2)请你写出正确的解题过程． 12．解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 解法一： 或 或 解法二： ，， 此方程无实数根． (1)判断：两位同学的解题过程是否正确，若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”． (2)请选择合适的方法求解此方程． 13．下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务， 解： 二次系数化为1，得                        第一步 移项，得                                    第二步 配方，得，即            第三步 由此，可得                                第四步 所，                        第五步 任务一：填空： ①上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是 ，其中，“配方法”所依据的数学公式是 ； ②“第二步”变形的数学依据是 ； ③小明同学解题过程中，从第 步开始出现错误，并直接写出正确的结果 ； 任务二：请你运用“配方法”解一元二次方程： 14．（1）解方程：； （2）小明在解关于x的方程时，过程如下： 第1步：移项，得， 第2步：变形，得， 第3步：设，即，代入上式得， 所以，即， 第4步：两边开平方，得， 第5步：代入，得，即． 你认为小明的做法从第______步开始出现错误，原因是______． 15．下面是壮壮同学进行解方程的过程，请你认真阅读并完成相应任务： 解方程：． 解：，……第一步 ，……第二步 ，……第三步 或，……第四步 解得：，……第五步 任务一：①以上解方程过程中，主要是依据______来求解的（填“配方法”或“公式法”或“因式分解法”或“直接开平方法”）． ②第______步开始出现错误，错误的原因是______． 任务二：请正确地解该方程． 题型四、十字相乘法解一元二次方程 16．用十字相乘法解方程： (1) (2) 17．用十字相乘法解下列一元二次方程： (1) (2) 18．多项式乘法：．将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：． 示例：． 运用上述方法，解下列方程． (1)． (2)． 19．阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式： （2）若，则或，所以方程可以这样求解： 方程左边分解因式得 ∴或 ∴， 上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程： (1)； (2)． 20．阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ②交叉相乘，验中项：    ③横向写出两因式： （2）根据乘法原理，若，则或 ，则方程可以这样求解： 方程左边因式分解得 或 试用上述这种十字相乘法解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 题型五、换元法解一元二次方程 21．利用换元法解方程． 22．请运用“整体换元法”解方程： (1)． (2)． 23．阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题． 材料：为解方程，可将方程变形为， 然后设，则，原方程化为， 解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为或． 问题： (1)已知方程，若设，则原方程化为一般式为　　　　　； (2)利用以上学习到的方法解下面方程： 24．阅读下列材料： 解方程， 解：设，则原方程化为， 解得，． 当时，，解得：； 当时，，解得． 原方程的解为：，，，． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． (1)请用上述方法解下列方程：； (2)已知实数，满足，求的值． 25．【阅读思考】利用均值换元法解一类一元二次方程： ． 第一步：原方程可变形为：； 第二步：令； 第三步：第一步的方程可变形为； 第四步：……； 根据的值可以求出，． 【方法总结】求第一步方程等号左边两个多项式的平均值，从而换元得到较为简单的一元一次方程，因此，这种方法称为均值换元法，我们在解决形如（其中，，，是常数，且）的方程时可以利用均值换元法求解． (1)利用均值换元法解方程体现的数学思想是_________； A．分类讨论思想   B．数形结合思想   C．整体代换思想   D．类比思想 (2)完成材料中第三步以后求值的过程； (3)利用均值换元法解方程：． 题型六、一元二次方程中的新定义型问题 26．用适当的方法解下列方程， (1)①     ② (2)定义新运算“”如下：当时，；当时，，若，求的值． 27．对于任意实数规定一种新运算：．例如：13．请根据上述定义解决以下问题： (1)计算：． (2)若的值为1，求的值． 28．对于实数定义运算“”为，如．请根据这个规定解答下列问题： (1)求的值； (2)解方程：． 29．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如：和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． (1)根据定义，判断一元二次方程与是否属于“同伴方程”； (2)关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值． 一、单选题 1．方程的根是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．用配方法解方程，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 4．现定义运算“★”，对于任意实数a、b都有，如：，若，则实数x的值是（   ） A． B．4 C．或4 D．1或 二、填空题 5．方程的根是 ． 6．将一元二次方程配方后得到，则 ． 7．已知a，b满足，已知，x为正数，则 ． 8．若实数x，y满足，则的值为 ． 三、解答题 9．解方程： (1)； (2)． 10．用适当方法解下列方程： (1)； (2)． 11．用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 12．换元法解方程：． 13．王明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程的过程如下： 解：移项，得．                第一步 二次项系数化为1，得．            第二步 配方，得．                第三步 因此．                        第四步 由此得或．                第五步 解得．                        第六步 (1)王明的解题过程从第______步开始出现了错误； (2)请利用配方法正确地解方程． 14．由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：． 示例：分解因式： (1)尝试：分解因式： ； (2)应用：请运用“十字相乘法”解方程： 15．定义一种新的运算法则：，如 (1)根据这个运算规则，计算的值． (2)求关于x的方程的解． 16．【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用这种方法可以解决很多数学问题．下面是小明同学用配方法解一元二次方程的过程： 解：移项，得． 配方，得， 所以． 直接开平方，得， 所以，． 【问题解决】 （1）小明配方的依据是 A．完全平方公式    B．平方差公式    C．多项式与多项式乘法法则 （2）用配方法解方程：． 【拓展应用】 （3）已知x是实数，求代数式的最小值． 17．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，则方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，判断一元二次方程是不是“倍根方程”？并说明理由； (2)若点在双曲线上，请说明关于x的方程是“倍根方程”． 18．我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．例如， ①换元法求解四次方程：． 设，则原方程可变为，解得，， 当时，即，； 当时，即，； 原方程有四个根：，，，． ②因式分解法求解三次方程：． 将其变形为， ， ， ， ， 或， 原方程有三个根：，，． (1)仿照以上方法解方程： ①； ②； (2)已知：，且，求的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程的解法 目录 A题型建模・专项突破 题型一、一元二次方程配方问题 1 题型二、解一元二次方程 1 题型三、解一元二次方程中错解复原问题 3 题型四、十字相乘法解一元二次方程 8 题型五、换元法解一元二次方程 12 题型六、一元二次方程中的新定义型问题 16 B综合攻坚・能力跃升 题型一、一元二次方程配方问题 1．将一元二次方程配方后可化为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查配方法，根据配方法的步骤，一除，二移，三配，四变形，进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ∴； 故选A． 2．用配方法解一元二次方程时，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程配方法，熟知配方法是解题的关键．利用配方法对所给一元二次方程进行变形即可． 【详解】解：由题知， ， ， ， ． 故选：A． 3．将一元二次方程配方成的形式，则，的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．先化二次项系数为，然后把方程左边写成完全平方的形式，从而得到、的值． 【详解】解：， ∴， ∴ ∴， 所以 故选：D． 4．把方程左边配成一个完全平方式后，得到的方程是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．根据配方法解一元二次方程的步骤即可得出答案． 【详解】解： 把方程左边配成一个完全平方式后，得到的方程是． 故选：C． 5．小思在解方程时，解答的过程如下． ， ，……第一步 ，……第二步 ，……第三步 ，……第四步 ，． 小思的解答开始出错的步骤是（    ） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 【答案】A 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程的方法和步骤，掌握配方法的一般步骤是解决问题的关键． 根据配方法解一元二次方程的步骤判断即可． 【详解】解：小思的解答开始出错的步骤是第一步，因为在处理二次项系数化1时，等号右边没有除以2， 故选：A． 题型二、解一元二次方程 6．用适当方法解方程： (1) (2) (3) 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】此题考查选择合适的方法解一元二次方程的能力，熟练掌握常用解法，直接开平方法，配方法，因式分解法，求根公式法，是解题的关键，本题宜采用后两种方法． （1）用公式法计算即可； （2）运用提取公因式法将左边分解因式求解； （3）用公式法计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，． （2）解：， ， ， ，． （3）解：， ， ． 7．解下列方程组 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查解一元二次方程-因式分解法，配方法，解题的关键是掌握因式分解法解方程，配方法解方程． （1）利用配方法解一元二次方程，即可求解； （2）利用因式分解法解一元二次方程，即可求解； （3）利用因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得： （2）解： ， 或， 解得： （3）解： ∴ ， 或， 解得： 8．解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根据方程特点，选择合适的解法是解题的关键． （1）直接用因式分解法解一元二次方程； （2）先移项，将方程化为一般式，再利用公式法解一元二次方程； （3）直接利用开平方法解一元二次方程； （4）先移项，再用因式分解法解一元二次方程； 【详解】（1）方程因式分解得， 或， 解得，． （2）方程变形得， ， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ，． （3）方程直接开平方得 或 解得，． （4）方程移项得， ， 或， 解得，． 9．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）先移项，再用直接开平方法求解； （2）先化为一般式，再由因式分解法求解； （3）先移项，再由因式分解法求解； （4）先化为一般式，再由公式法求解； 【详解】（1）解： 或， 解得：； （2）解： ， ， 或 解得：; （3）解： 或， 解得： （4）解：， ， ， 解得：． 10．按指定的方法解方程： (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（因式分解法） (4)（公式法） 【答案】(1)， (2)， (3) (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的式子的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法或配方法，这两种方法适用于任何一元二次方程． （1）把25移到方程的右边，利用直接开平方解答即可． （2）先把5移到方程的右边，再对左边进行配方，再方程的左右两边同时加上4，左边是完全平方式，右边等于9，可以解答． （3）先移项，发现左边的形式是完全平方式，则可以分解因式，利用因式分解法解答． （4）根据方程的系数特点，可先确定各个项的系数，然后求出的值，最后套用求根公式解得． 【详解】（1）解： 移项得， 所以， 解得，，； （2）解： 移项得， 配方，得 即 所以 解得，，； （3）解： 移项得， 即 解得，； （4）解： ，，， ， ， 所以，． 题型三、解一元二次方程中错解复原问题 11．下面是小华同学解方程的过程： 解方程：． 解：移项，得 …………第一步 两边同时除以，得 …………第二步 ∴．……………………………………第三步 (1)小华同学的解题过程从第________步开始出现错误，错误的原因是________； (2)请你写出正确的解题过程． 【答案】(1)二；忽略的情况 (2)或 【分析】本题考查了用因式分解法解一元二次方程： （1）首先判定小明的解法从第二步开始出现错误； （2）利用因式分解的方法与步骤求得方程的解即可． 【详解】（1）解：小明的解法从第二步开始出现错误；错误原因是忽略的情况；故答案为：二，忽略的情况； （2）解： 或 或． 12．解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 解法一： 或 或 解法二： ，， 此方程无实数根． (1)判断：两位同学的解题过程是否正确，若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”． (2)请选择合适的方法求解此方程． 【答案】(1)两位同学均错 (2)， 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了因式分解法解一元二次方程． （1）利用因式分解法解方程可对解法一进行判断；根据根的判别式的计算可判断解法二进行判断； （2）利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程． 【详解】（1）两位同学的解题过程都不正确． （2）， ， 或， 所以，． 13．下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务， 解： 二次系数化为1，得                        第一步 移项，得                                    第二步 配方，得，即            第三步 由此，可得                                第四步 所，                        第五步 任务一：填空： ①上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是 ，其中，“配方法”所依据的数学公式是 ； ②“第二步”变形的数学依据是 ； ③小明同学解题过程中，从第 步开始出现错误，并直接写出正确的结果 ； 任务二：请你运用“配方法”解一元二次方程： 【答案】任务一：转化，完全平方公式；等式的基本性质；三，，；任务二：， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键； 任务一：①根据转化思想，完全平方公式解答； ②根据移项的依据是等式的性质解答； ③由完全平方公式判断即可解答； 任务二： 根据配方法的基本步骤，由完全平方公式进行计算． 【详解】解：任务一：①转化：完全平方公式（或填） ②等式的基本性质（或等式两边同时加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式）； ③三： 配方，得，即 由此，可得 ， 任务二： 解： 或 ， 14．（1）解方程：； （2）小明在解关于x的方程时，过程如下： 第1步：移项，得， 第2步：变形，得， 第3步：设，即，代入上式得， 所以，即， 第4步：两边开平方，得， 第5步：代入，得，即． 你认为小明的做法从第______步开始出现错误，原因是______． 【答案】（1），；（2）4，可能小于0，而负数没有平方根． 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法 （1）利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可； （2）由于可能小于0，所以不能两边开方． 【详解】解：（1）， ， 或， 所以，； （2）小明的做法从第4步开始出现错误，原因是可能小于0，而负数没有平方根． 故答案为：4，可能小于0，而负数没有平方根． 15．下面是壮壮同学进行解方程的过程，请你认真阅读并完成相应任务： 解方程：． 解：，……第一步 ，……第二步 ，……第三步 或，……第四步 解得：，……第五步 任务一：①以上解方程过程中，主要是依据______来求解的（填“配方法”或“公式法”或“因式分解法”或“直接开平方法”）． ②第______步开始出现错误，错误的原因是______． 任务二：请正确地解该方程． 【答案】任务一：①因式分解法；②三，合并同类项出错 任务二：， 【分析】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 任务一：①利用因式分解法解一元二次方程的步骤判断即可； ②根据题目中所解的步骤检查即可清楚第三步合并同类项错误； 任务二：利用因式分解法解一元二次方程即可； 【详解】任务一：①以上解方程过程中，主要是依据因式分解法来求解的； ②第三步开始出现错误，错误的原因是合并同类项出错； 任务二：解：， 或 解得：，． 题型四、十字相乘法解一元二次方程 16．用十字相乘法解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，主要考查学生的计算能力． （1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． （2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：； ， ，， ，． （2）解： ， ，， ，． 17．用十字相乘法解下列一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知十字相乘法解一元二次方程是解题的关键． （1）把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可； （2）把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得． 18．多项式乘法：．将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：． 示例：． 运用上述方法，解下列方程． (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法中的因式分解法． （1）类比题干因式分解方法求解； （2）类比题干因式分解方法求解． 【详解】（1）解：， ， ， 或， 解得：； （2）解：， ， ， 或， 解得：． 19．阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式： （2）若，则或，所以方程可以这样求解： 方程左边分解因式得 ∴或 ∴， 上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案； （2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 或 ∴，． 20．阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ②交叉相乘，验中项：    ③横向写出两因式： （2）根据乘法原理，若，则或 ，则方程可以这样求解： 方程左边因式分解得 或 试用上述这种十字相乘法解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）利用十字相乘法解方程即可； （2）利用十字相乘法解方程即可； （3）利用十字相乘法解方程即可； （4）利用十字相乘法解方程即可． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 或 ∴，； （3） 或 ∴，； （4） 或 ∴，． 【点睛】本题考查十字相乘法解方程，掌握十字相乘法是解题的关键． 题型五、换元法解一元二次方程 21．利用换元法解方程． 【答案】， 【分析】本题考查的是利用换元法解一元二次方程，设，于是原方程化为，求解，再进一步求解即可． 【详解】解：设，于是原方程化为， ∴， 解得，； 当时，， ∴， ∴， 解得，； 当时，， ∴， 此时，方程无解， 故原方程的解为，． 22．请运用“整体换元法”解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程的方法，掌握解一元二次方程方程的基本方法，是利用整体换元法解方程的关键． （1）根据“整体换元法” 设，则原方程可化为：，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解． （2）根据“整体换元法” 设，则原方程可化为：，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解． 【详解】（1）解：设， 则原方程可化为，解得． 当时，； 当时，，此方程无解． 综上所述，原方程的解为． （2）解：设，则原方程可化为， 解得． 当时，； 当时，． 综上所述，原方程的解为． 23．阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题． 材料：为解方程，可将方程变形为， 然后设，则，原方程化为， 解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为或． 问题： (1)已知方程，若设，则原方程化为一般式为　　　　　； (2)利用以上学习到的方法解下面方程： 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，理解题中求解过程，熟练掌握换元法和转化思想的运用是解答的关键． （1）根据题意可得，然后去分母即可化为一般式； （2）仿照材料中的求解过程，利用换元法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，化为一般式为， 故答案为：； （2）解：设，则原方程化为， 整理，得，解得或， 当时，即，解得或 当时，即，方程无解； 综上所述，原方程的解为或． 24．阅读下列材料： 解方程， 解：设，则原方程化为， 解得，． 当时，，解得：； 当时，，解得． 原方程的解为：，，，． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． (1)请用上述方法解下列方程：； (2)已知实数，满足，求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题主要考查了运用换元法解方程．解决本题的关键是读懂阅读材料中的解题思路，通过换元的方法降低方程的次数，从而达到简化方程的目的，使解方程更容易． （1）设，则原方程可化为，利用因式分解法求出未知数的值，从而把一元二次方程转化为两个一元一次主程，通过解一元一次方程求出原方程的解； （2）设，则原方程化为，通过解一元二次方程求出的值，即可得到的值，根据平方的非负性把不符合条件的解舍去． 【详解】（1）解： 设， 则原方程可化为， 分解因式可得：， 解得：，， 当时，可得：， 解得：， 当时，可得：， 解得：， 原方程的解为，； （2）解：， 整理得：， 设， 则原方程化为， 整理得：， 分解因式可得：， 解得：，， 当时，， 当时，(不符合题意，舍去)， ． 25．【阅读思考】利用均值换元法解一类一元二次方程： ． 第一步：原方程可变形为：； 第二步：令； 第三步：第一步的方程可变形为； 第四步：……； 根据的值可以求出，． 【方法总结】求第一步方程等号左边两个多项式的平均值，从而换元得到较为简单的一元一次方程，因此，这种方法称为均值换元法，我们在解决形如（其中，，，是常数，且）的方程时可以利用均值换元法求解． (1)利用均值换元法解方程体现的数学思想是_________； A．分类讨论思想   B．数形结合思想   C．整体代换思想   D．类比思想 (2)完成材料中第三步以后求值的过程； (3)利用均值换元法解方程：． 【答案】(1)C (2)见解析 (3)， 【分析】（1）利用整体代换的思想把原一元二次方程化简单的一元二次方程； （2）用直接开平方法解关于的方程，然后求出对应的的值得到原方程的解： （3）先把原方程变形为，令，则原方程可化为，再解关于的方程得到，，然后计算出对应的的值即可． 本题考查了换元法解一元二次方程以及解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 【详解】（1）解：依题意，利用均值换元法解方程体现的数学思想是整体代换思想； 故选：C； （2）解：∵， ∴， 解得，， 当时，，解得， 当时，，解得， 原方程的解为，； （3）解：原方程变形为， 令， 原方程可化为， ， 解得，， 当时，，解得， 当时，，解得， 原方程的解为，． 题型六、一元二次方程中的新定义型问题 26．用适当的方法解下列方程， (1)①     ② (2)定义新运算“”如下：当时，；当时，，若，求的值． 【答案】(1)①，；②， (2)2或 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）①利用公式法解一元二次方程即可； ②利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）根据题意分和两种情况讨论，然后分别列出方程求解即可． 【详解】（1）（1）① ，， ∴ 解得，； ② ， 解得，； （2）根据题意得， 当时，即时， ∵ ∴ 解得或（舍去）； 当时，即时， ∵ ∴ 解得或（舍去）； 综上所述，的值为2或． 27．对于任意实数规定一种新运算：．例如：13．请根据上述定义解决以下问题： (1)计算：． (2)若的值为1，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了实数的新定义运算，解一元二次方程，理解新定义的运算是解题的关键． （1）根据新定义计算即可； （2）根据新定义得到，利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ （2）∵ ， ∴， 即， ∴， 解得 28．对于实数定义运算“”为，如．请根据这个规定解答下列问题： (1)求的值； (2)解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义下实数的运算，解一元二次方程，根据新定义列方程是解题的关键． （1）根据定义，即可解答； （2）根据定义，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：根据题意得， 整理得， ， ． 29．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如：和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． (1)根据定义，判断一元二次方程与是否属于“同伴方程”； (2)关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值． 【答案】(1)属于 (2)或． 【分析】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法，从而完成求解． （1）结合题意，通过求解一元二次方程，即可得到答案； （2）首先求解，得，；结合题意，将，分别代入，从而计算得m的值；再经检验符合m的值是否符合题意，从而完成求解． 【详解】（1）解：解方程，得，， 解方程，得，， ∴一元二次方程与有且只有一个相同的实数根， ∴一元二次方程与属于“同伴方程”； （2）解：解，得，， 当相同的实数根是时，则， 解得， 把代入，得， 解得，， ∴两个方程有且仅有一个相同的实数根，符合题意； 当相同的实数根是时，则， 解得， 把代入，得， 解得，， ∴两个方程有且仅有一个相同的实数根，符合题意； ∴m的值为或． 一、单选题 1．方程的根是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，根据因式分解法解方程，当两个因式的乘积为0时，至少有一个因式为0，分别解出对应的根即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解得，， 故选：A． 2．用配方法解方程，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查配方法，通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，确定正确选项即可． 【详解】解： 移项：将常数项移到方程右边 配方：取一次项系数4的一半（即2），平方得4，两边同时加上4： 化简：左边写成完全平方形式，右边合并常数项：， 故选：B． 3．若可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，由求根公式得出，，，即可得解，熟练掌握求根公式是解此题的关键． 【详解】解：∵可以表示某个一元二次方程的根， ∴，，， ∴这个一元二次方程为， 故选：D． 4．现定义运算“★”，对于任意实数a、b都有，如：，若，则实数x的值是（   ） A． B．4 C．或4 D．1或 【答案】C 【分析】此题考查了新定义，解一元二次方程．原式根据题中的新定义，进行列式计算即可得到结果． 【详解】解：∵对于任意实数a，b，都有， ∴， 即：， ∴， ∴， ∴或， ∴． 故选：C． 二、填空题 5．方程的根是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 先将方程整理成一般形式，然后利用因式分解法解方程即可． 【详解】解： 解得， 故答案为：，． 6．将一元二次方程配方后得到，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了配方法的应用，先把原式变形为，进一步变形得到，则，据此可得b、c，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．已知a，b满足，已知，x为正数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，二次根式的性质，根据题意得到方程，再将方程转换为一元二次方程即可解答，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 整理得， 两边平方得， 整理得， 解得，， 当时，，故舍去， ， 故答案为：． 8．若实数x，y满足，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握整体代换思想是解题关键．将看成一个整体，令，转换成一个关于的一元二次方程，利用因式分解法求出的值，再结合平方的非负性，即可得到答案． 【详解】解：令， ， ∴ ， ， 或， 或（舍去）， ∴． 故答案为：4． 三、解答题 9．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据配方法计算即可； （2）根据公式法计算即可． 【详解】（1）解：原方程可化为： 即， 即， ，； （2）解：方程整理得：， ，，， ， ， ， 10．用适当方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用解一元二次方程﹣公式法，进行计算即可解答； （2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， 这里，，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：， ， ∴或， 解得：，． 11．用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）先把两边都除以3，再用直接开平方法求解； （2）整理后用求根公式法求解即可； （3）用因式分解法求解即可； （4）用因式分解法求解即可． 【详解】（1）∵ ∴ ∴ （2）∵ ∴ ∵ ∴ ∴ （3）∵ ∴ ∴或 ∴ （4）∴ ∴ ∴或 ∴ 12．换元法解方程：． 【答案】，， 【分析】本题主要考查利用整体思想及换元法、因式分解法求一元二次方程的根，能够熟练运用式子相乘以及整体思想是解题关键设，则，解方程得到或，带回后再解一元二次方程求解未知数的值即可． 【详解】解：设．则． 解得或． 当时，，即． 解得． 当时，，即． 解得，． 综上所述，原方程的解为，，． 13．王明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程的过程如下： 解：移项，得．                第一步 二次项系数化为1，得．            第二步 配方，得．                第三步 因此．                        第四步 由此得或．                第五步 解得．                        第六步 (1)王明的解题过程从第______步开始出现了错误； (2)请利用配方法正确地解方程． 【答案】(1)二 (2) 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键，配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方． （1）由配方法解一元二次方程即可判断错误的步骤； （2）由配方法解一元二次方程即可得到答案； 【详解】（1）解题过程从第二步开始出现了错误，错误原因是系数化为1时，等式右边的-3未除以2， 故答案为：二； （2）． 移项，得：， 二次项系数化为1，得：， 配方，得：， 因此， 由此得：或， 解得：． 14．由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：． 示例：分解因式： (1)尝试：分解因式： ； (2)应用：请运用“十字相乘法”解方程： 【答案】(1)1；5 (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用“十字相乘法”进行因式分解，即可求解； （2）利用“十字相乘法”将方程左边因式分解可得，即可求解． 【详解】（1）解：； 故答案为：1；5 （2）解：将方程左边因式分解得， ∴或， 解得：． 15．定义一种新的运算法则：，如 (1)根据这个运算规则，计算的值． (2)求关于x的方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了新定义，解一元二次方程： （1）根据新定义可得，据此计算求解即可； （2）根据新定义可得，据此解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得． 16．【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用这种方法可以解决很多数学问题．下面是小明同学用配方法解一元二次方程的过程： 解：移项，得． 配方，得， 所以． 直接开平方，得， 所以，． 【问题解决】 （1）小明配方的依据是 A．完全平方公式    B．平方差公式    C．多项式与多项式乘法法则 （2）用配方法解方程：． 【拓展应用】 （3）已知x是实数，求代数式的最小值． 【答案】（1）A；（2）；（3）4． 【分析】本题主要考查利用完全平方公式、运用配方法解一元二次方程、运用配方法求最值等知识点，灵活运用完全平方公式成为解题的关键． （1）根据运算过程即可解答； （2）结合配方法将原式变形为，再利用直接开平方法计算即可； （3）利用配方法将原式化简为，结合，即有，则当时，代数式的最小值是4． 【详解】解：（1）方程两边同时加上1，方程左边变成，即，右边变成2，则依据是完全平方公式． 故选：A． （2）， 移项得：， 二次项系数化为1得：， 配方得，即， 直接开平方得， 所以； （3）， ∵无论x取什么数，都有， ， ∴当时，有最小值4，即代数式的最小值是4． 17．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，则方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，判断一元二次方程是不是“倍根方程”？并说明理由； (2)若点在双曲线上，请说明关于x的方程是“倍根方程”． 【答案】(1)是“倍根方程”，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键． （1）先解一元二次方程，然后根据“倍根方程”的定义判断即可； （2）先转化一元二次方程求解，再根据“倍根方程”的定义判断即可． 【详解】（1）解：是“倍根方程”，理由如下： ，解得：， 所以，则是“倍根方程”； （2）证明：∵点在双曲线y上， ∴，且， ∴方程化为方程，解得：， ∴， ∴方程是“倍根方程”． 18．我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．例如， ①换元法求解四次方程：． 设，则原方程可变为，解得，， 当时，即，； 当时，即，； 原方程有四个根：，，，． ②因式分解法求解三次方程：． 将其变形为， ， ， ， ， 或， 原方程有三个根：，，． (1)仿照以上方法解方程： ①； ②； (2)已知：，且，求的值． 【答案】(1)①，；②原方程有三个根：，， (2) 【分析】本题考查根的判别式，解一元二次方程—配方法，换元法，因式分解法，解题的关键是学会模仿例题解决问题． （1）模仿例题解决问题即可； （2）求出的值，利用降次思想求解即可． 【详解】（1）解：①设，则原方程可变为，解得， 当时，即，∴无解（舍去） 当时，即，，． ②将其变形为： ， ， 或 原方程有三个根：，，． （2）， ，且 ， 原式． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $