精品解析：江西南昌二中九湾学校2025-2026学年第二学期八年级数学学科阶段性训练

南昌二中九湾学校2025-2026学年第二学期八年级数学学科阶段性训练 说明： 1．本试卷共六题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试卷上作答，否则不给分 一、选择题（每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项．） 1. 下列各组数为勾股数的是（　　） A. 0.3 B. C. 7，24，25 D. 2. 若一个多边形的内角和等于，则这个多边形的边数是（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 3. 如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”“炮”两棋子所在格点之间的距离为（ ） A. B. 3 C. D. 4. 如图，在长方形中，．将长方形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点处，则的长为（ ） A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4 5. 如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分．交于点．若，则的长度为（　　） A. 2 B. C. D. 6. 如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 若正多边形的每一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是_______． 8. 如图，菱形中，对角线与相交于点，若，，则的长为_________cm． 9. 如图，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，C，D的面积依次为7，18，30，则正方形B的面积为_____． 10. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在线段上，，点在线段上，，连接，点为的中点，连接，则的长为___________． 11. 如图，在正方形中，点E在边上，，垂足为F．若，，则的面积为_______． 12. 已知四边形ABCD为菱形，其边长为6，，点P在菱形的边AD、CD及对角线AC上运动，当时，则DP的长为________. 三、（本大题共五个小题，每小题6分，共30分） 13. 如图，在四边形中，已知，，，． （1）求的度数； （2）求四边形的面积． 14. 如图，在四边形中，AD//BC，点、在上，AE//CF，且．求证：四边形是平行四边形． 15. 如图，在四边形ABDC中，AB＝AC，BD＝DC，BE∥DC，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在图1中，画一个以AB为边的直角三角形； （2）在图2中，画一个菱形． 16. 如图，将矩形沿对角线折叠，使点落在处，交于，，． （1）求的长； （2）求的面积． 17. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到定滑轮的垂直距离是，．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 四、（本大题共三个小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在矩形中，点E是的中点，延长至点G，使得 连接，的延长线与的延长线交于点F，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若平分，，求菱形的面积． 19. 如图，在中，点，分别是，的中点，连接，过点作，垂足为，延长至点，使，连接，延长至点，使，连接． （1）求证：四边形为矩形． （2）若，，求的面积． 20. 如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得，，，，，已知． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求椅子最高点A到地面的距离． 五、（本大题共2个小题，每小题9分，共18分） 21. 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． 【结论探究】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【问题拓展】 （3）中，，垂足为，请求出的值． 22. 如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由； （2）性质探究：如图1，垂美四边形的对角线，交于点．猜想：与有什么关系？并证明你的猜想． （3）解决问题：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结，，．已知，，求的长． 六、（本大题共一个小题，共12分） 23. 【问题呈现】 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段之间的数量关系． 【问题初探】 （1）爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论．请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【问题引申】 （2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段、、之间的数量关系是 ； 【问题解决】 （3）如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为8，点P运动至与A点距离恰好为7的位置，且旋转至时，的长度为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌二中九湾学校2025-2026学年第二学期八年级数学学科阶段性训练 说明： 1．本试卷共六题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试卷上作答，否则不给分 一、选择题（每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项．） 1. 下列各组数为勾股数的是（　　） A. 0.3 B. C. 7，24，25 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股数的定义，勾股数需同时满足两个条件，一是三个数均为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐一验证选项即可． 【详解】解：A、三个数均为小数，不是正整数，不符合勾股数定义，该选项不符合题意； B、三个数均为分数，不是正整数，不符合勾股数定义，该选项不符合题意； C、7，24，25都是正整数，且，满足勾股数定义，该选项符合题意； D、三个数均为无理数，不是正整数，不符合勾股数定义，该选项不符合题意； 2. 若一个多边形的内角和等于，则这个多边形的边数是（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】利用公式列方程即可求解． 【详解】解：设多边形边数为， 根据题意列方程得， 解得， ∴这个多边形的边数是． 3. 如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”“炮”两棋子所在格点之间的距离为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，将问题转化为直角三角形的问题，利用勾股定理计算斜边长度，从而得到两棋子之间的距离． 【详解】解：根据题意得，“车”“炮”两棋子所在格点之间的距离为：． 故选：C． 4. 如图，在长方形中，．将长方形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点处，则的长为（ ） A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理可得的长，再由折叠的性质可得，，从而得到，，设，则，在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：在长方形中，，， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴，， 设，则， 在中，∵， ∴， 解得：， 即． 5. 如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分．交于点．若，则的长度为（　　） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，先由正方形的性质得到，再证明得到，进一步证明得到，设，则， 在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故选：D． 6. 如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等等，先证明得到，进而得到，则由直角三角形的性质可得，如图所示，在延长线上截取，连接，易证明，则，可得当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，求出，在中，由勾股定理得，责任的最小值为5． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴； 如图所示，在延长线上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为5， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 若正多边形的每一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是_______． 【答案】9 【解析】 【分析】此题主要考查了多边形的外角与内角，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数，再利用外角和定理求出求边数．首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数． 【详解】∵正多边形的一个内角是140°， ∴它的一个外角是：180°-140°=40°， ∵多边形的外角和为360°， ∴这个正多边形的边数是：360°÷40°=9． 故答案为：9． 8. 如图，菱形中，对角线与相交于点，若，，则的长为_________cm． 【答案】8 【解析】 【分析】利用菱形对角线互相垂直且平分的性质结合勾股定理得出答案即可． 【详解】解： 菱形中，对角线，相交于点，AC=4cm， ，，AO=OC=AC=2cm cm， cm， cm， 故答案为：8． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握菱形的性质，运用勾股定理解直角三角形，是解题关键． 9. 如图，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，C，D的面积依次为7，18，30，则正方形B的面积为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】根据勾股定理可知，以直角三角形斜边为边的正方形面积等于以直角三角形两直角边为边的正方形面积之和，依照此可求出正方形E的面积． 【详解】解：由勾股定理可知：， ∴， 由勾股定理可知：， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，能够将勾股定理与几何之间的面积关系相结合是解决本题的关键． 10. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在线段上，，点在线段上，，连接，点为的中点，连接，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形中位线的性质等．由菱形对角线互相垂直且平分，可得，，取中点H，连接，则，，再用勾股定理解即可． 【详解】解：在菱形中，对角线与相交于点， ，， ， ， 如图，取中点H，连接， 点为的中点，点H为的中点， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 11. 如图，在正方形中，点E在边上，，垂足为F．若，，则的面积为_______． 【答案】##0.375 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．过点F分别作，垂足为M，N，连接，则，先根据平行线间的距离处处相等得出，继而得出，通过解直角三角形得出，即可求解． 【详解】解：过点F分别作，垂足为M，N，连接，则， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， ∵，垂足为F，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 已知四边形ABCD为菱形，其边长为6，，点P在菱形的边AD、CD及对角线AC上运动，当时，则DP的长为________. 【答案】2或或 【解析】 【分析】分以下三种情况求解：（1）点P在CD上，如图①，根据菱形的边长以及CP1=2DP1可得出结果；（2）点P在对角线AC上，如图②，在三角形CDP2中，可得出∠P2DC=90°，进而可得出DP2的长；（3）当点P在边AD上，如图③，过点D作于点F，过点作于点E，设，则，再用含x的代数式表示出CE，EP3，CP3的长，根据勾股定理列方程求解即可. 【详解】解：（1）当点P在CD上时，如解图①， ，，； （2）当点P在对角线AC上时，如解图②， ，. 当时，，； （3）当点P在边AD上时，如解图③，过点D作于点F，过点作于点E，设，则， ，，，， ，， . ，在中，由勾股定理得，解得，（舍）. 综上所述，DP的长为2或或. 故答案为：2或或. 【点睛】本题主要考查菱形的性质，含30°直角三角形的性质以及勾股定理，在解答无图题时注意分类讨论，避免漏解. 错因分析 较难题.出错原因：①不能全面考虑所有情况，即根据动点在每一条边上进行分类讨论求解；②在第三种情况下不能将已知条件有效利用，转化到一个三角形中通过勾股定理列方程求解. 三、（本大题共五个小题，每小题6分，共30分） 13. 如图，在四边形中，已知，，，． （1）求的度数； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理，证明是直角三角形是解答本题的关键． （1）利用勾股定理可求，求出，由勾股定理的逆定理可证是直角三角形，再由即可得出结论； （2）由三角形的面积公式即可得出结果． 【小问1详解】 解：连接， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：四边形的面积的面积的面积 ． 14. 如图，在四边形中，AD//BC，点、在上，AE//CF，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：∵AD//BC （两直线平行，内错角相等） 又∵AE//CF （两直线平行，内错角相等） 在与中， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 【解析】 【分析】先根据AD//BC、AE//CF得出等角，再证明，得到，从而证明四边形是平行四边形． 【详解】略 【点睛】本题考查平行四边形的判定，解决本题的关键是熟知平行四边形的判定定理． 15. 如图，在四边形ABDC中，AB＝AC，BD＝DC，BE∥DC，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在图1中，画一个以AB为边的直角三角形； （2）在图2中，画一个菱形． 【答案】 （1）如图，Rt△AOB即为所求； （2）如图，菱形BFCD即为所求． 【解析】 【分析】（1）在图1中，画一个以AB为边的直角三角形即可； （2）在图2中，画一个菱形即可． 【详解】解：略． 【点睛】本题考查了作图−复杂作图、菱形的判定，解决本题的关键是掌握菱形的判定方法． 16. 如图，将矩形沿对角线折叠，使点落在处，交于，，． （1）求的长； （2）求的面积． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由折叠得出，根据平行线的性质得出，等量代换可得，根据等角对等边求得，设，则，根据勾股定理得出，据此即可求解； （2）根据三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 证明：是由沿直线折叠得到的， ∴， 四边形是矩形， ∴， ， ∴， ， 设，则， ，， ∴， ∴， ， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴的面积． 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 17. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到定滑轮的垂直距离是，．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟悉掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理运算求解即可； （2）利用勾股定理运算求解即可． 【小问1详解】 解：设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴绳子长度； 【小问2详解】 解：如图进行标注： 若物体升高，则此时， ∴在中，， ∴， 答：滑块向左滑动的距离为． 四、（本大题共三个小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在矩形中，点E是的中点，延长至点G，使得 连接，的延长线与的延长线交于点F，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若平分，，求菱形的面积． 【答案】（1） 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， 即， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合矩形的性质以及点E是的中点，证明，则，再证明四边形是平行四边形，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行分析，即可作答． （2）结合矩形的性质以及角平分线的定义得，则，运用勾股定理列式得，由（1）得四边形是菱形，运用对角线的乘积的一半算出菱形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴ ∵平分， ∴ ∴ ∴ ∵点E是的中点， ∴ ∴ ∵四边形是矩形， ∴ 由（1）得四边形是菱形； ∴， ∴菱形的面积． 19. 如图，在中，点，分别是，的中点，连接，过点作，垂足为，延长至点，使，连接，延长至点，使，连接． （1）求证：四边形为矩形． （2）若，，求的面积． 【答案】（1） 证明：， ， 点，分别是，的中点， ， 在和中， ， ，， 同理可得， ，， ，， 四边形为矩形． （2）36 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理． （1）通过证明和可得出且，继而证出四边形是平行四边形，又因为，所以四边形为矩形． （2）由（1）可得出的面积与四边形面积相等，．通过过三角形中位线定理可求出的长度，进而求得的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点，分别是，的中点， ， 由（1）可得，， ． 20. 如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得，，，，，已知． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求椅子最高点A到地面的距离． 【答案】（1）证明：∵，，， ∴，， 则， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）由平行线的性质可得，，进而得，可知，即可证明结论； （2）由平行四边形的性质得，延长交于，由（1）可知，，，可知四边形是平行四边形，得，，求得，，证明，再由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， 延长交于， 由（1）可知，，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 则，， 连接， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即：椅子最高点到地面的距离为． 五、（本大题共2个小题，每小题9分，共18分） 21. 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． 【结论探究】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【问题拓展】 （3）中，，垂足为，请求出的值． 【答案】 （1）解：梯形的面积为， 也可以表示为， ，即； （2）千米； （3）8 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识． （1）利用梯形的面积的两种表示方法即可证明； （2）设千米，在中，根据勾股定理得到，解得，即千米，即可得到答案； （3）在中，，在中，，则，则，解得：，利用勾股定理即可得出． 【详解】（1）略 （2）设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ， 解得，即千米， (千米)， 答：新路比原路少千米； （3）解：如图， 设， ， ，，，， 根据勾股定理： 在中，， 在中，， ， 即， 解得：， ， ． 22. 如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由； （2）性质探究：如图1，垂美四边形的对角线，交于点．猜想：与有什么关系？并证明你的猜想． （3）解决问题：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结，，．已知，，求的长． 【答案】 （1）四边形是垂美四边形，理由如下： 如图，连接， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线，即， ∴四边形是垂美四边形； （2）猜想，证明如下： ∵四边形是垂美四边形， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ， ∴； （3）． 【解析】 【分析】（1）连接，先根据线段垂直平分线的判定定理可证直线是线段的垂直平分线，再根据垂美四边形的定义即可得证； （2）先根据垂美四边形的定义可得，再利用勾股定理解答即可； （3）设分别交于点，交于点，连接，先证明，得到，再根据角的和差可证，即，从而可得四边形是垂美四边形，然后结合（2）的结论、利用勾股定理进行计算即可得． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）如图，设分别交于点，交于点，连接， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即， ∴四边形是垂美四边形， 由（2）得：， ∵是的斜边，且，， ∴，， 在中，， 在中，， ∴， 解得或（不符题意，舍去）， 故的长为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定定理与性质、线段垂直平分线的判定、勾股定理等知识点，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题关键． 六、（本大题共一个小题，共12分） 23. 【问题呈现】 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段之间的数量关系． 【问题初探】 （1）爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论．请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【问题引申】 （2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段、、之间的数量关系是 ； 【问题解决】 （3）如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为8，点P运动至与A点距离恰好为7的位置，且旋转至时，的长度为 ． 【答案】（1）， 理由：如图1中， 正方形的对角线，交于点， ，， ， ， 在和中 ， ， ， ； （2）；（3）4或2 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，证明，得到，即可求解； （2）取的中点，连接，根据菱形的性质可得是等边三角形，可证明，得到，即可证明； （3）分两种情况：当点靠近点时，；当点靠近点时；过点作于，连接，作交于，结合（2），根据勾股定理和等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）结论变为，理由如下： 如图2中，取的中点T，连接， 四边形为的菱形， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：； （3）如图3﹣1中，当点P靠近点B时，过点A作于H，连接，作交于G． 是等边三角形，， ，， 在中，， ， 由（2）可知，， ； 如图中，当点靠近点时，同法可得，， ， ， 综上所述，满足条件的的值为或； 故答案为：4或2． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形及菱形的性质，等腰三角形的性质，解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与线段之间的等量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $