精品解析：广东汕尾市陆丰市玉燕中学2025-2026学年高二下学期素养测试4数学试卷

玉燕中学2024级高二下学期素养测试4 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.测试范围：人教A版选必二第四章数列，第五章一元函数的导数及其应用，选必三排列组合，其他. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数的导函数为，则（ ） A. B. 1 C. 5 D. 2. 已知等差数列的前3项和为18，，则（ ） A. 18 B. 15 C. 14 D. 10 3. 已知为平行四边形，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，、两点在河的两岸，为了测量、之间的距离，测量者在的同侧选定一点，测出、之间的距离是，，，则、两点之间的距离为（ ）． A. 50 B. C. 100 D. 5. 对于直线，若与均在集合内取值，则不同的直线条数共有（ ） A. 101 B. 91 C. 90 D. 72 6. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 7. 微信是人们的一个重要社交平台，它有一个功能是可以发朋友圈.微信发朋友圈时，可以最多同时分享9张照片，这9张照片排成三行三列，如九宫格的形式.某人参加了2021年中国共产党建党100周年的一个庆祝活动，拍摄了一些照片，准备将其中的9张不同照片分享给他的朋友，这9张照片中，有3张是不同三人的演讲，有3张是不同演员的双人朗诵，有3张是不同单位的合唱，那么该人在分享照片的时候，每行每列都是不同类别照片的排法有（ ）种. A. 2592 B. 1296 C. 648 D. 108 8. 已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 角为第三象限角的必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 10. 下列不等式中，恒成立的有（ ） A. B. C. D. 11. 设数列的前项和为，且，若，则下列结论正确的有（ ） A. B. 当时，取得最小值 C. 当时，的最小值为7 D. 当时，取得最小值 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则________． 13. 已知等比数列的前项和为，若，，则________. 14. 已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知甲、乙两人进行围棋挑战赛，先胜两局的一方赢得比赛，每局比赛不考虑平局，并且前一局先手的一方，下一局比赛将作为后手．在每一局比赛中若甲方先手，则该局甲获胜的概率为；若甲方后手，则该局甲获胜的概率为． （1）求双方需要进行第三局比赛的概率； （2）若第一局比赛乙先手，求甲赢得比赛的概率． 16. 已知数列满足，且． （1）求证：数列为等比数列； （2）求数列的前n项和． 17. 如图，三棱台中，是正三角形，平面ABC，，M，N分别为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值. 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若函数在存在单调递减区间，求实数的取值范围； （3）当时，证明：函数有且仅有两个零点． 19. 已知椭圆：的焦距为2，且经过点. （1）求椭圆的方程； （2）若，是椭圆上的两个点，且，证明：为定值； （3）将椭圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，得到曲线.若点，点，在曲线上，且，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉燕中学2024级高二下学期素养测试4 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.测试范围：人教A版选必二第四章数列，第五章一元函数的导数及其应用，选必三排列组合，其他. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数的导函数为，则（ ） A. B. 1 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导数，代入x=-1计算即可得答案. 【详解】由题意可得： ，所以, 故选：C． 2. 已知等差数列的前3项和为18，，则（ ） A. 18 B. 15 C. 14 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】由题设可得等差数列首项与公差，据此可得答案. 【详解】设等差数列公差为，则, ，则. 从而. 故选：A 3. 已知为平行四边形，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形性质及向量相等的定义判断A；根据向量加减法运算判断BCD． 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，因为，所以不相等，故B错误； 对于C，根据平行四边形法则知，故C正确； 对于D，，故D错误． 4. 如图，、两点在河的两岸，为了测量、之间的距离，测量者在的同侧选定一点，测出、之间的距离是，，，则、两点之间的距离为（ ）． A. 50 B. C. 100 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理求解即可． 【详解】因为，， 所以，又， 由正弦定理得，． 5. 对于直线，若与均在集合内取值，则不同的直线条数共有（ ） A. 101 B. 91 C. 90 D. 72 【答案】B 【解析】 【分析】根据乘法原理和加法原理计算即可． 【详解】当时，直线方程为，只有1条直线； 当时，任取一个值，直线有条； 所以不同的直线条数为． 6. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得，即得. 【详解】∵，， ∴. 故选：C. 7. 微信是人们的一个重要社交平台，它有一个功能是可以发朋友圈.微信发朋友圈时，可以最多同时分享9张照片，这9张照片排成三行三列，如九宫格的形式.某人参加了2021年中国共产党建党100周年的一个庆祝活动，拍摄了一些照片，准备将其中的9张不同照片分享给他的朋友，这9张照片中，有3张是不同三人的演讲，有3张是不同演员的双人朗诵，有3张是不同单位的合唱，那么该人在分享照片的时候，每行每列都是不同类别照片的排法有（ ）种. A. 2592 B. 1296 C. 648 D. 108 【答案】A 【解析】 【分析】分步骤确定每行每列的图片类型排布，再计算每类图片排列数，相乘即可. 【详解】确定3类图片的位置排列： 第一行的排列数：，第二行是第一行的错位排列，则排列方式有2种， 第三行排列方式唯一确定，因此，类别位置的排列方式有（种）. 各类图片的排列数： 演讲图片放入3个位置，排列数为；双人朗诵图片放入3个位置，排列数为；合唱图片放入3个位置，排列数为. 故总排法有（种）. 8. 已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得，得到得单调性和，转化为成立，令，求得，令，求得，得到在上单调递减，进而得到在上单调递减，求得，即可求解. 【详解】由函数，可得， 当时，，此时在上单调递增， 所以在上的最小值为， 则，使得恒成立， 即，使得成立，即成立， 令，即， 因为， 令，可得， 所以在上单调递减，所以， 所以，可得在上单调递减，所以， 所以，即实数的取值范围为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 角为第三象限角的必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据三角函数值在各象限的符号即可判断． 【详解】若，则角为第二、三象限角； 若，则角为第三、四象限角； 若，则角为第一、四象限角； 若，则角为第一、三象限角； 由题可知，满足角为第三象限角的必要不充分条件是ABD． 10. 下列不等式中，恒成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】举反例说明A；构造函数，根据导数求出最值判断B，C，D即可． 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，设，则，令，解得， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以，即，故B正确； 对于C，设， 则，令，解得， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以，即，故C正确； 对于D，设， 则， 设函数，，即， 所以令，解得， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以，即，故D正确． 11. 设数列的前项和为，且，若，则下列结论正确的有（ ） A. B. 当时，取得最小值 C. 当时，的最小值为7 D. 当时，取得最小值 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知及累加法求得，再由求得，根据通项公式分别判断即可． 【详解】得， 所以， 累加得，， 所以， 当时，满足上式， 所以， 当时，，所以，故A正确； 由于函数，其图象对称轴为， 当时函数单调递增，故当时，单调递增， 又， 所以数列单调递增，且， 所以当时，单调递减，当时，单调递增，且， 所以当时，取得最小值，故B正确； 对于C，当时，单调递增，又， 所以当时，的最小值为8，故C错误； 对于D，当时，，当时，，当时，， 所以当时，考虑的最小值， 又， 所以时，取得最小值，故D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则________． 【答案】32 【解析】 【分析】利用排列数和组合数公式求解． 【详解】因为， 所以，解得． 13. 已知等比数列的前项和为，若，，则________. 【答案】21 【解析】 【分析】根据等比数列的性质进行计算求值. 【详解】因为数列是等比数列，所以，，成等比数列， 因为，，所以，所以， 所以. 故答案为：21 14. 已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意构造，进而在上是增函数，根据奇偶函数的定义判断的奇偶性，原不等式等价于，结合函数的奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】令，则. 又当时，，所以当时，， 即在上是增函数. 又函数是定义在上的偶函数，所以， 所以， 所以是偶函数，且在上单调递减. 又，， 所以等价于， 所以或，解得或. 故该不等式的解集为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知甲、乙两人进行围棋挑战赛，先胜两局的一方赢得比赛，每局比赛不考虑平局，并且前一局先手的一方，下一局比赛将作为后手．在每一局比赛中若甲方先手，则该局甲获胜的概率为；若甲方后手，则该局甲获胜的概率为． （1）求双方需要进行第三局比赛的概率； （2）若第一局比赛乙先手，求甲赢得比赛的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由互斥事件和事件概率加法公式可得； （2）将所求事件转化为这互斥事件的和事件，再由概率加法公式可求. 【小问1详解】 若双方需要进行第三局比赛，则前两局比赛中双方各胜一局， 因为前两局比赛中，双方各先手一次， 故双方需要进行第三局比赛的概率． 【小问2详解】 记第局甲获胜为事件，甲赢得比赛为事件，则包含的所有事件为，且这个事件之间两两互斥， 由， ， ， 得． 16. 已知数列满足，且． （1）求证：数列为等比数列； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）由递推公式得到数列相邻两项的关系，即可得证； （2）由（1）求得通项公式，由分组求和求得数列的前n项和． 【小问1详解】 ∵，∴， 即，又， ∴， ∴数列是以为首项，为公比的等比数列. 【小问2详解】 由（1）可知，∴， ∴， 则 . 17. 如图，三棱台中，是正三角形，平面ABC，，M，N分别为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先应用线面垂直判定定理得出平面再应用线面垂直性质得出线线垂直，即可证明线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，应用空间向量法求线面角正弦值即可. 【小问1详解】 因为是正三角形，M为AB中点，所以CM⊥AB， 因为平面平面ABC，所以， 又平面 所以平面 又因为平面，所以， 连接，易得， 所以，所以， 又因为，所以， 因为，平面， 所以平面. 【小问2详解】 取AC中点O，连接，易知三条直线两两垂直， 以O为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则， 由（1）知平面的一个法向量为，又， 所以， 所以直线与平面所成的角的正弦值为． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若函数在存在单调递减区间，求实数的取值范围； （3）当时，证明：函数有且仅有两个零点． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求在处的导数和函数值，代入直线方程即可求出切线方程； （2）将问题转化为在上有解问题，再求解即可； （3）根据导数求得单调性，结合零点存在性定理即可证明． 【小问1详解】 当时，，则， 所以，所以切线方程为，即． 【小问2详解】 由题意得， 若函数存在单调递减区间，则在上有解， 所以在上有解， 因为函数在上单调递减， 所以，故． 【小问3详解】 由题意得，则， 令，则， 令可得，（舍）或， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 又，，， 所以存在，使得，即， 所以当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 因为时，，， 所以存在，使得， 又， 所以存在，使得， 所以函数有且仅有两个零点． 19. 已知椭圆：的焦距为2，且经过点. （1）求椭圆的方程； （2）若，是椭圆上的两个点，且，证明：为定值； （3）将椭圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，得到曲线.若点，点，在曲线上，且，求的最大值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）. 【解析】 【分析】（1）由题意列式求，进而可得椭圆的方程. （2）分两种情况：直线或其中一条斜率不存在时及直线，斜率存在且均不为0时，直线的方程与椭圆的方程联立可得关于x的一元二次方程，由韦达定理计算，即可证明； （3）解法一：设点及直线代入计算得出轨迹方程，即可得出弦长最值；解法二：设点代入得出，再应用两点间距离公式结合基本不等式求解. 【小问1详解】 由题意得解得 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 当直线或其中一条斜率不存在时，. 当直线，斜率存在且均不为0时，设直线：，， 由得， 所以. 同理可得，所以. 综上，. 【小问3详解】 解法一： 设曲线上任意一点坐标为，对应椭圆上点坐标为， 则代入中得：. 设的中点为，因为，所以 所以，即. 所以. 解法二： 设曲线上任意一点坐标为，对应椭圆上点坐标为， 则代入中得：. 设原点到直线，的距离分别为，，则. . 所以，当且仅当时取得等号. 即的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $