精品解析：广东省汕尾市普宁华美实验学校2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题

2024-2025学年高二年级（数学）学科 第二学期第二次月考（一） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知函数 的图象如图所示， 是 的导函数，则下列数值排序正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象判断函数增长速度即可得解. 【详解】由图可知，的增长速度越来越慢，所以， 表示在上的平均变化率， 由图可知. 故选：A 2. 5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同的选择的种数为（ ） A. 60 B. 125 C. 240 D. 243 【答案】D 【解析】 【分析】有分步计算原理即可得出结果. 【详解】每个同学由3种选择方式，5名同学共有种选择方式 故选：D 3. 如图，是当取不同值的三种正态曲线的图象，那么的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】本题考查正态分布密度曲线的性质. 由图象可知，此正态分布为标准正态分布，其函数的解析式为．对于正态分布密度曲线，其标准差反映该组数据的离散程度．越大，数据越分散，曲线越矮胖；越小，数据越集中，曲线越瘦高.因而一定有 又由知，当时， 由图象知，则，所以. 故正确答案为 4. 若函数存在零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】函数存在零点，即方程有根，构造同构的形式，利用换元法转化为，利用导数研究函数的值域即可. 【详解】函数存在零点，即方程有根， 因为，所以方程有根， 设，则，即， 令，则， 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减； 所以当时，y有最小值1. 要使有解，只需. 故选：B. 5. 已知离散型随机变量X 的 分布列如下表：若离散型随机变量，则（ ） X 0 1 2 3 P a 5a A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由分布列中各概率之和为1求得参数，进一步将所求变形为即可求解. 【详解】由题意，解得， 而. 故选：A. 6. 已知随机变量的分布列为 1 3 0.16 0.44 0.40 则（ ）. A. 1.32 B. 1.71 C. 2.94 D. 7.64 【答案】D 【解析】 【分析】先由随机变量的分布列求出，再由期望的性质，即可求出结果. 【详解】由题意可得，随机变量的期望为， 所以. 故选：D. 【点睛】本题主要考查期望性质的应用，熟记期望的性质即可，属于基础题型. 7. 设随机变量的正态分布密度函数为，，则参数，的值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由正态分布密度函数的概念即得. 【详解】由正态分布密度函数表达式知，. 故选：D. 8. 骰子是六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个圆点且质地均匀的小正方体，常被用来做等可能性试验．掷一颗骰子一次，用A，B，C，D分别表示事件“结果是偶数”“结果不小于3”“结果不大于2”与“结果为奇数”，则下列结论错误的是（ ） A. 事件A与B相互独立 B. 事件B与C互为对立事件 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定事件A，B，C，D的概率，根据独立事件的乘法公式判断A；根据对立事件的概念判断B；根据条件概率的计算公式判断C；判断C，D不互斥，即可求得，判断D. 【详解】由题意得, 对于A，，， 故，则事件A与B相互独立，A正确； 对于B，事件“结果不小于3”“结果不大于2”不可能同时发生，故二者互斥， 且二者必有一个发生，故事件B与C互为对立事件，B正确； 对于C，，， 故，C正确， 对于D，事件“结果不大于2”与“结果为奇数”不互斥，二者有相同事件“结果为1” 故，D错误， 故选：D 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知随机变量，，满足，且服从正态分布，则 B. 已知随机变量服从二项分布，则 C. 已知随机变量服从正态分布，且，则 D. 已知一组数据，，，，，的方差是3，则数据，，，，，的标准差是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据离随机变量的正态分布、二项分布的性质，以及方差和标准差的概念，逐项分析判断即可得解. 【详解】，故选项A正确； ，故选项B错误； 由题可知服从正态分布，由正态分布的对称性知， ， ，故选项C正确； ，，，，，的方差， ，，，，，的方差 ， 标准差，故选项D正确. 故选:ACD. 10. 已知，则（ ） A. 展开式中所有项的系数和为1 B. 展开式中二项式系数最大项为第1011项 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，令可得；对B，根据展开式有2023项可得；对C，令求得，再令即可求得；对D，对展开式两边分别求导再将代入可得. 【详解】在展开式中，令可得：，故A选项正确． 展开式有2023项，所以第1012项的二项式系数最大，故B选项错误． 在展开式中，令可得：， 再令，得 所以可得，故C选项正确． 对展开式两边分别求导得：， 再令可得，故D选项正确． 故选：ACD． 11. 已知递增的等差数列的各项均为整数，其前项和为，若，且成等比数列，则（ ） A. B. C. 是递增数列 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由等差数列的求和公式、等比中项、等差数列的性质可得A错误；由等差数列的求和公式可得B正确；由可得C正确；由等差数列的求和公式和通项公式代入计算可得D正确； 【详解】对于A，由题得，解得. 又成等比数列，所以，即，解得或（舍去）. 故，从而，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，因为，即，所以是递增数列，故C正确； 对于D，因为，故，故D正确； 故选：BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知数列{an}中，a1=1，若an=2an-1+1（n≥2），则的值是___________. 【答案】31 【解析】 【分析】根据递推式和首项依次求出 【详解】因为a1=1，若an=2an-1+1（n≥2）， 所以， ， ， ， 故答案为：31 13. 已知随机变量，且，其中，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求得结果. 【详解】由正态分布曲线的对称性可知：， . 故答案为：. 14. 节约能源是人类面临的重大课题，为了更好地配置电力资源，某市电力部门调查了一年的居民用电量，发现每户居民该年用电量X（单位：千瓦时）服从正态分布，且，在该市随机抽取500户居民，设这500户居民中该年用电量超过1200千瓦时的户数为，则______． 【答案】100 【解析】 【分析】根据正态分布求出，然后由二项分布期望公式可得. 【详解】由正态分布的对称性知， 则，所以． 故答案为：100 四､解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤 15. 已知公差不为0的等差数列满足，且. （1）求的通项公式； （2）记是数列的前项和，证明: . 【答案】（1） （2） 由于， 故 . 【解析】 【分析】（1）设，再用已知条件列出两个方程并解出其中的参数； （2）直接求出，再用裂项法即可. 【小问1详解】 设，则由已知有，. 将第一个等式展开化简可得，故由知. 再代入第二个等式可得，解得，从而. 故的通项公式是. 【小问2详解】 略 16. 某校为了解本校学生课间进行体育活动的情况，随机抽取了60名男生和60名女生，通过调查得到如下数据：60名女生中有10人课间经常进行体育活动，60名男生中有20人课间经常进行体育活动. （1）请补全列联表，试根据小概率值的独立性检验，判断性别与课间经常进行体育活动是否有关联； 课间不经常进行体育活动 课间经常进行体育活动 合计 男 女 合计 （2）以样本的频率作为概率的值，在全校的学生中任取4人，记其中课间经常进行体育活动的人数为，求的分布列、数学期望和方差. 附表： 0. 1 0. 05 0. 01 0. 005 0. 001 2. 706 3. 841 6. 635 7. 879 10. 828 附：，其中. 【答案】（1）表格见解析，有关联 （2）分布列见解析，数学期望为1，方差为 【解析】 【分析】（1）计算卡方，根据独立性检验方法求解即可； （2）根据二项分布的分布列与数学期望和方差公式求解即可 【小问1详解】 零假设为：性别与课间经常进行体育活动相互独立，即性别与课间是否经常进行体育活动无关，依题意，列出列联表如下： 课间不经常进行体育活动 课间经常进行体育活动 合计 男 40 20 60 女 50 10 60 合计 90 30 120 ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为性别与课间是否经常进行体育活动有关联，此推断犯错误的概率不大于0. 05 【小问2详解】 由题意得，经常进行体育活动者的频率为， 所以在本校中随机抽取1人为经常进行体育活动者的概率为， 随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4，由题意得， 所以， ， ， ， ， ， 的分布列为： 0 1 2 3 4 的数学期望为，的方差为. 17. 从某工厂的一个车间抽取某种产品50件，产品尺寸（单位：cm）落在各个小组的频数分布如下表： 数据分组 [12.5，15.5） [15.5，18.5） [18.5，21.5） [21.5，24.5） [24.5，27.5） [27.5，30.5） [30.5，33.5） 频数 3 8 9 12 10 5 3 （1）根据频数分布表，求该产品尺寸落在[27.5，33.5]内的概率； （2）求这50件产品尺寸的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）根据频数分布对应的直方图，可以认为这种产品尺寸服从正态分布，其中近似为样本平均值，近似为样本方差，经计算得.利用该正态分布，求（）. 附：（1）若随机变量服从正态分布，则；（2）. 【答案】（1）0.16；（2）22.7；（3）0.1587 【解析】 【分析】（1）直接根据频数分布表求尺寸落在[27.5，33.5）内的概率； （2）由每一组数据的中间值乘以频率作和求得样本平均数； （3）依题意，求得与，再由正态分布曲线的对称性求P（z≥27.43）＝0.1587． 【详解】（1）根据频数分布表可知，产品尺寸落在[27.5,33.5]内的概率为； （2）样本平均数； （3）依题意，而，，则， ，. 【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，训练了利用频率分布表求概率及平均数，属于基础题． 18. 某校高二年级设计了一个实验学科的能力考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题．规定：至少正确完成其中2道题的便可通过该学科的能力考查．已知6道备选题中考生甲能正确完成其中4道题，另2道题不能完成；考生乙正确完成每道题的概率都为. （1）分别求考生甲、乙能通过该实验学科能力考查的概率； （2）记所抽取的3道题中，考生甲能正确完成的题数为，写出的概率分布列，并求及． 【答案】（1）， （2）分布列见解析，，. 【解析】 【分析】（1）设甲、乙能过关分别为事件A、B，利用互斥事件概率加法公式、n次独立重复试验概率计算公式即可求解； （2）由题意，的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，从而即可求出的分布列及． 【小问1详解】 解：设甲、乙能过关分别为事件， 则，； 【小问2详解】 解：由题意，， ， ，， 1 2 3 0.2 0.6 0.2 ， . 19. 已知函数. （1）讨论的极值点的个数； （2）当时，设的极值点为，若，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2）. 【解析】 【分析】 （1），令，分两种情况讨论，判断方程根的个数即可； （2）由（1）知，即，，先求得，进而可得答案即可. 【详解】（1），令 当时，由知，在有唯一零点， 故在有一个极值点； 当时，，的对称轴为， 若方程的，即，时，在有两个零点， 在有两个极值点； 若方程的，即，时，， 在上单减，无极值点. （2）由（1）知，即，……（*） 由且得，又∵，∴ 代入（*）式，， 即解得，∴， ∴.. 【点睛】求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年高二年级（数学）学科 第二学期第二次月考（一） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知函数 的图象如图所示， 是 的导函数，则下列数值排序正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同的选择的种数为（ ） A. 60 B. 125 C. 240 D. 243 3. 如图，是当取不同值的三种正态曲线的图象，那么的关系是（ ） A. B. C. D. 4. 若函数存在零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知离散型随机变量X 的 分布列如下表：若离散型随机变量，则（ ） X 0 1 2 3 P a 5a A. B. C. D. 6. 已知随机变量的分布列为 1 3 0.16 0.44 0.40 则（ ）. A. 1.32 B. 1.71 C. 2.94 D. 7.64 7. 设随机变量的正态分布密度函数为，，则参数，的值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 骰子是六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个圆点且质地均匀的小正方体，常被用来做等可能性试验．掷一颗骰子一次，用A，B，C，D分别表示事件“结果是偶数”“结果不小于3”“结果不大于2”与“结果为奇数”，则下列结论错误的是（ ） A. 事件A与B相互独立 B. 事件B与C互为对立事件 C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知随机变量，，满足，且服从正态分布，则 B. 已知随机变量服从二项分布，则 C. 已知随机变量服从正态分布，且，则 D. 已知一组数据，，，，，的方差是3，则数据，，，，，的标准差是 10. 已知，则（ ） A. 展开式中所有项的系数和为1 B. 展开式中二项式系数最大项为第1011项 C. D. 11. 已知递增的等差数列的各项均为整数，其前项和为，若，且成等比数列，则（ ） A. B. C. 是递增数列 D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知数列{an}中，a1=1，若an=2an-1+1（n≥2），则的值是___________. 13. 已知随机变量，且，其中，则___________. 14. 节约能源是人类面临的重大课题，为了更好地配置电力资源，某市电力部门调查了一年的居民用电量，发现每户居民该年用电量X（单位：千瓦时）服从正态分布，且，在该市随机抽取500户居民，设这500户居民中该年用电量超过1200千瓦时的户数为，则______． 四､解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤 15. 已知公差不为0的等差数列满足，且. （1）求的通项公式； （2）记是数列的前项和，证明: . 16. 某校为了解本校学生课间进行体育活动的情况，随机抽取了60名男生和60名女生，通过调查得到如下数据：60名女生中有10人课间经常进行体育活动，60名男生中有20人课间经常进行体育活动. （1）请补全列联表，试根据小概率值的独立性检验，判断性别与课间经常进行体育活动是否有关联； 课间不经常进行体育活动 课间经常进行体育活动 合计 男 女 合计 （2）以样本的频率作为概率的值，在全校的学生中任取4人，记其中课间经常进行体育活动的人数为，求的分布列、数学期望和方差. 附表： 0. 1 0. 05 0. 01 0. 005 0. 001 2. 706 3. 841 6. 635 7. 879 10. 828 附：，其中. 17. 从某工厂的一个车间抽取某种产品50件，产品尺寸（单位：cm）落在各个小组的频数分布如下表： 数据分组 [12.5，15.5） [15.5，18.5） [18.5，21.5） [21.5，24.5） [24.5，27.5） [27.5，30.5） [30.5，33.5） 频数 3 8 9 12 10 5 3 （1）根据频数分布表，求该产品尺寸落在[27.5，33.5]内的概率； （2）求这50件产品尺寸的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）根据频数分布对应的直方图，可以认为这种产品尺寸服从正态分布，其中近似为样本平均值，近似为样本方差，经计算得.利用该正态分布，求（）. 附：（1）若随机变量服从正态分布，则；（2）. 18. 某校高二年级设计了一个实验学科的能力考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题．规定：至少正确完成其中2道题的便可通过该学科的能力考查．已知6道备选题中考生甲能正确完成其中4道题，另2道题不能完成；考生乙正确完成每道题的概率都为. （1）分别求考生甲、乙能通过该实验学科能力考查的概率； （2）记所抽取的3道题中，考生甲能正确完成的题数为，写出的概率分布列，并求及． 19. 已知函数. （1）讨论的极值点的个数； （2）当时，设的极值点为，若，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $